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# 分类模型性能评估指标


##准确度的缺陷

准确度这个概念相信对于大家来说肯定并不陌生，就是正确率。例如模型的预测结果与数据真实结果如下表所示：

|  编号 |  预测结果 |  真实结果 |
| :-: | :-: | :-: |
|  1 | 1  | 2  |
|  2 | 2  | 2  |
|  3 | 3  |  3 |
|  4 | 1  | 1  |
|  5 | 2  | 3  |

很明显，连小朋友都能算出来该模型的准确度为`3/5`。

那么准确对越高就能说明模型的分类性能越好吗？非也！举个例子，现在我开发了一套癌症检测系统，只要输入你的一些基本健康信息，就能预测出你现在是否患有癌症，并且分类的准确度为`0.999`。您认为这样的系统的预测性能好不好呢？

您可能会觉得，哇，这么高的准确度！这个系统肯定很牛逼！但是我们知道，一般年轻人患癌症的概率非常低，假设患癌症的概率为 0.001 ，那么其实我这个癌症检测系统只要一直输出您没有患癌症，准确度也可能能够达到`0.999`。

假如现在有一个人本身已经患有癌症，但是他自己不知道自己患有癌症。这个时候用我的癌症检测系统检测发现他没有得癌症，那很显然我这个系统已经把他给坑了（耽误了治疗）。

看到这里您应该已经体会到了，一个分类模型如果光看准确度是不够的，尤其是对这种样本**极度不平衡**的情况（`10000`条健康信息数据中，只有`1`条的类别是患有癌症，其他的类别都是健康）。


##混淆矩阵

想进一步的考量分类模型的性能如何，可以使用其他的一些性能指标，例如精准率和召回率。但这些指标计算的基础是**混淆矩阵**。

继续以癌症检测系统为例，癌症检测系统的输出不是有癌症就是健康，这里为了方便，就用`1`表示患有癌症，`0`表示健康。假设现在拿`10000`条数据来进行测试，其中有`9978`条数据的真实类别是`0`，系统预测的类别也是`0` ，有`2`条数据的真实类别是`1`却预测成了`0`，有`12`条数据的真实类别是`0`但预测成了`1`，有`8`条数据的真实类别是`1` ，预测结果也是`1`。

如果我们把这些结果组成如下矩阵，则该矩阵就成为**混淆矩阵**。

|  真实\预测 | 0  | 1  |
| :-: | :-: | :-: |
|  0 | 9978  |  12 |
|  1 | 2  | 8  |

混淆矩阵中每个格子所代表的的意义也很明显，意义如下：

|  真实\预测 | 0  | 1  |
| :-: | :-: | :-: |
|  0 | 预测 0 正确的数量  |  预测 1 错误的数量 |
|  1 | 预测 0 错误的数量  | 预测 1 正确的数量  |

如果将正确看成是`True`，错误看成是`False`， `0`看成是 `Negtive`，`1`看成是`Positive`。然后将上表中的文字替换掉，混淆矩阵如下：

|  真实\预测 | 0  | 1  |
| :-: | :-: | :-: |
|  0 | TN  |  FP |
|  1 | FN | TP  |

因此`TN`表示真实类别是`Negtive`，预测结果也是`Negtive`的数量； `FP`表示真实类别是`Negtive`，预测结果是`Positive`的数量； `FN`表示真实类别是`Positive`，预测结果是`Negtive`的数量； `TP`表示真实类别是`Positive`，预测结果也是`Positive`的数量。

很明显，当`FN`和`FP`都等于`0`时，模型的性能应该是最好的，因为模型并没有在预测的时候犯错误。即如下混淆矩阵：

|  真实\预测 | 0  | 1  |
| :-: | :-: | :-: |
|  0 | 9978  |  0 |
|  1 | 0 | 22  |

**所以模型分类性能越好，混淆矩阵中非对角线上的数值越小。**

## 精准率

**精准率(Precision)**指的是模型预测为`Positive`时的预测准确度，其计算公式如下：

<center>
$$
Precisioin=\frac{TP}{TP+FP}
$$
</center>
<br>

假如癌症检测系统的混淆矩阵如下：

|  真实\预测 | 0  | 1  |
| :-: | :-: | :-: |
|  0 | 9978  |  12 |
|  1 | 2  | 8  |

则该系统的精准率为：`8/(8+12)=0.4`。

`0.4`这个值表示癌症检测系统的预测结果中如果有`100`个人被预测成患有癌症，那么其中有`40`人是真的患有癌症。**也就是说，精准率越高，那么癌症检测系统预测某人患有癌症的可信度就越高。**


##召回率

**召回率(Recall)**指的是我们关注的事件发生了，并且模型预测正确了的比值，其计算公式如下：

<center>
$$
Recall=\frac{TP}{FN+TP}
$$
</center>
<br>

假如癌症检测系统的混淆矩阵如下：

|  真实\预测 | 0  | 1  |
| :-: | :-: | :-: |
|  0 | 9978  |  12 |
|  1 | 2  | 8  |

则该系统的召回率为：`8/(8+2)=0.8`。

从计算出的召回率可以看出，假设有`100`个患有癌症的病人使用这个系统进行癌症检测，系统能够检测出`80`人是患有癌症的。**也就是说，召回率越高，那么我们感兴趣的对象成为漏网之鱼的可能性越低。**


##精准率与召回率之间的关系

假设有这么一组数据，菱形代表`Positive`，圆形代表`Negtive` 。

<div align=center><img src="./img/66.jpg", height="50" width="300"/></div>


现在需要训练一个模型对数据进行分类，假如该模型非常简单，就是在数据上画一条线作为分类边界。模型认为边界的左边是`Negtive`，右边是`Positive`。如果该模型的分类边界向左或者向右移动的话，模型所对应的精准率和召回率如下图所示：

<div align=center><img src="./img/67.jpg", height="120" width="300"/></div>

从上图可知，**模型的精准率变高，召回率会变低，精准率变低，召回率会变高。**

##F1 Score

上一节中提到了精准率变高，召回率会变低，精准率变低，召回率会变高。那如果想要同时兼顾精准率和召回率，这个时候就可以使用**F1 Score**来作为性能度量指标了。

`F1 Score`是统计学中用来衡量二分类模型精确度的一种指标。它同时兼顾了分类模型的准确率和召回率。`F1 Score`可以看作是模型准确率和召回率的一种加权平均，它的最大值是`1`，最小值是`0` 。其公式如下：

<center>
$$
F1=\frac{2*precision*recall}{precision+recall}
$$
</center>
<br>

- 假设模型`A`的精准率为`0.2`，召回率为`0.7`，那么模型`A`的`F1 Score`为`0.31111`。

- 假设模型`B`的精准率为`0.7`，召回率为`0.2`，那么模型`B`的`F1 Score`为`0.31111`。

- 假设模型`C`的精准率为`0.8`，召回率为`0.7`，那么模型`C`的`F1 Score`为`0.74667`。

- 假设模型`D`的精准率为`0.2`，召回率为`0.3`，那么模型`D`的`F1 Score`为`0.24`。

从上述`4`个模型的各种性能可以看出，模型C的精准率和召回率都比较高，因此它的`F1 Score`也比较高。而其他模型的精准率和召回率要么都比较低，要么一个低一个高，所以它们的`F1 Score`比较低。

这也说明了只有当模型的精准率和召回率都比较高时`F1 Score`才会比较高。这也是`F1 Score`能够同时兼顾精准率和召回率的原因。


## ROC曲线

`ROC`曲线(`Receiver Operating Characteristic Curve`)描述的是`TPR`（`True Positive Rate`）与 `FPR`（`False Positive Rate`）之间关系的曲线。

`TPR`与`FPR`的计算公式如下：

<center>
$$
TPR=\frac{TP}{TP+FN}
$$
</center>
<br>

<center>
$$
FPR=\frac{FP}{FP+TN}
$$
</center>
<br>

其中`TPR`的计算公式您可能有点眼熟，没错！就是召回率的计算公式。**也就是说 TPR 就是召回率**。**所以 TPR 描述的是模型预测 Positive 并且预测正确的数量占真实类别为 Positive 样本的比例。而 FPR 描述的模型预测 Positive 并且预测错了的数量占真实类别为 Negtive 样本的比例。**

和精准率与召回率一样，`TPR`与`FPR`之间也存在关系。假设有这么一组数据，菱形代表`Positive`，圆形代表`Negtive`。

<div align=center><img src="./img/66.jpg", height="50" width="300"/></div>

现在需要训练一个逻辑回归的模型对数据进行分类，假如将从`0`到 `1`中的一些值作为模型的分类阈值。若模型认为当前数据是 `Positive`的概率**小于**分类阈值则分类为 Negtive ，**否则**就分类为`Positive`（**假设分类阈值为 0.8 ，模型认为这条数据是 Positive 的概率为 0.7 ， 0.7 小于 0.8 ，那么模型就认为这条数据是 Negtive**）。在不同的分类阈值下，模型所对应的`TPR`与`FPR`如下图所示（竖线代表分类阈值，模型会将竖线左边的数据分类成`Negtive`，竖线右边的分类成`Positive`）：

<div align=center><img src="./img/68.jpg", height="120" width="300"/></div>

从图中可以看出，**当模型的 TPR 越高 FPR 也会越高， TPR 越低 FPR 也会越低。这与精准率和召回率之间的关系刚好相反。**并且，模型的分类阈值一但改变，就有一组对应的`TPR`与`FPR`。假设该模型在不同的分类阈值下其对应的`TPR`与`FPR`如下表所示：

| TPR  | FPR  |
| :-: | :-: |
|  0.2 | 0.08  |
|  0.35 | 0.1  |
|  0.37 | 0.111  |
|  0.51 | 0.12  |
| 0.53  | 0.13  |
| 0.56  | 0.14  |
| 0.71  | 0.21  |
| 0.82  | 0.26  |
| 0.92  | 0.41   |
| 0.93  | 0.42 |

若将`FPR`作为横轴，`TPR`作为纵轴，将上面的表格以折线图的形式画出来就是**ROC曲线**。

<div align=center><img src="./img/69.jpg"/, height="300" width="300"></div>

假设现在有模型`A`和模型`B`，它们的`ROC`曲线如下图所示(其中模型`A`的`ROC`曲线为黄色，模型`B`的`ROC`曲线为蓝色)：

<div align=center><img src="./img/70.jpg", height="300" width="300"/></div>

那么模型`A`的性能比模型`B`的性能好，因为模型`A`当`FPR`较低时所对应的`TPR`比模型`B`的低`FPR`所对应的`TPR`更高。由由于随着`FPR`的增大，`TPR`也会增大。所以ROC曲线与横轴所围成的面积越大，模型的分类性能就越高。而ROC曲线的面积称为`AUC`。


#####AUC

很明显模型的`AUC`越高，模型的二分类性能就越强。`AUC`的计算公式如下：

<center>
$$
AUC=\frac{\sum_{ie positive class}rank_i-\frac{M(M+1)}{2}}{M*N}
$$
</center>
<br>

其中`M`为真实类别为`Positive`的样本数量，`N`为真实类别为 `Negtive`的样本数量。`ranki`代表了真实类别为`Positive`的样本点额预测概率从小到大排序后，该预测概率排在第几。

举个例子，现有预测概率与真实类别的表格如下所示（其中`0`表示 `Negtive` ，`1`表示`Positive`）：

| 编号  |  预测概率 |  真实类别 |
| :-: | :-: | :-: |
| 1  | 0.1  |  0 |
|  2 | 0.4  |  0 |
| 3  | 0.3  |  1 |
| 4  | 0.8  |  1 |

想要得到公式中的`rank` ，就需要将预测概率从小到大排序，排序后如下：

| 编号  |  预测概率 |  真实类别 |
| :-: | :-: | :-: |
| 1  | 0.1  |  0 |
|  3 | 0.3  |  1 |
| 2  | 0.4  |  0 |
| 4  | 0.8  |  1 |

排序后的表格中，真实类别为`Positive`只有编号为`3`和编号为`4`的数据，并且编号为`3`的数据排在第`2` ，编号为`4`的数据排在第`4`。所以`rank=[2, 4]`。又因表格中真是类别为 `Positive`的数据有`2`条，`Negtive`的数据有`2`条。因此`M`为`2`，`N`为`2`。所以根据`AUC`的计算公式可知：

<center>
$$
AUC=\frac{(2+4)-\frac{2(2+1)}{2}}{2*2}=0.75
$$
</center>
<br>