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  - 编写小组
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**内部资料，禁止传播**
**编委会（不分先后，姓氏首字母顺序）：程奕铭   韩魏   刘柯妤   卢吉辚   王轲楠   支宝宁  郑哲航

# 单调有界准则

## 原理

- **单调有界数列必收敛**：
  1. 若数列 $\{a_n\}$ 单调递增且有上界 $M$，则 $\{a_n\}$ 收敛，且 $\lim_{n \to \infty} a_n = \sup\{a_n\} \leq M$。
  2. 若数列 $\{a_n\}$ 单调递减且有下界 $m$，则 $\{a_n\}$ 收敛，且 $\lim_{n \to \infty} a_n = \inf\{a_n\} \geq m$。

- **函数单调有界性质**：
  若函数 $f(x)$ 在区间 $I$ 上单调且有界，则 $f(x)$ 在 $I$ 的端点或无穷远处存在单侧极限。

- **这类题的基本思路**：
  
  先看有界性：尝试用不等式或者使用数学归纳法，注意在上下界不好找的时候，可以先取极限，来确定一个大致范围，再对猜测的有界性尝试证明

  再看单调性：尝试作差、作商或者使用数学归纳法

## 适用情况

适用于证明数列或函数极限的存在性，尤其是：

- 递推数列极限的存在性与求解；
- 函数在某区间上的极限存在性；
- 某些无法直接求极限但可判断单调性和有界性的情形。

## 优势

1. 不依赖于极限的具体值，只需判断单调性和有界性；
2. 适用于很多递推定义的数列；
3. 证明过程结构清晰，易于理解和操作。

## 劣势

1. 只能证明极限存在，不能直接给出极限值（需另解方程）；
2. 判断单调性和有界性有时需要一定的技巧；
3. 对于非单调或没有明显界的序列不适用。

## 例子

> [!example] 例1  
> 证明数列 $a_1 = \sqrt{2}, a_{n+1} = \sqrt{2 + a_n}$ 收敛，并求其极限。

```







```

> [!example] 例2  
> 证明函数 $f(x) = \frac{x}{x+1}$ 在 $[0, +\infty)$ 上单调有界，并求 $\lim_{x \to +\infty} f(x)$。

```







```

>[!example] **例3** 
>设数列 $\{x_n\}$ 满足 $x_1 = \sqrt{2}$，且对任意 $n \ge 1$，有 $x_{n+1} = \sqrt{2 + x_n}$。证明该数列收敛，并求其极限。

```







```

>[!example]  例4
>设$a > 0,\sigma  > 0,{a_1} = \frac{1}{2}\left( {a + \frac{\sigma }{a}} \right),{a_{n + 1}} = \frac{1}{2}\left( {{a_n} + \frac{\sigma }{{{a_n}}}} \right),n = 1,2,...$
> 证明：数列$\left\{ {{a_n}} \right\}$收敛，且极限为$\sqrt \sigma$.

```







```

>[!example] 例5  
>证明：数列${x_n} = 1 + \frac{1}{2} + ... + \frac{1}{n} - \ln {\kern 1pt} n{\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} (n = 1,2,...)\\$单调递减有界，从而有极限（此极限称为Euler常数，下记作$C$）。

```







```

>[!example] 例6  
>令$c>0$，定义整序变量数列为: $x_1 = \sqrt{c}, x_2 = \sqrt{c +\sqrt{c}}, x_3 = \sqrt{c+\sqrt{c+\sqrt{c}}}, \cdots$
>求$\mathop {\lim }\limits_{n \to \infty }{x_n}$

 ```







```

# 介值定理
## 原理

- **介值定理（Intermediate Value Theorem, IVT）**：
  若函数 $f(x)$ 在闭区间 $[a,b]$ 上连续，且 $f(a) \neq f(b)$，则对于任意介于 $f(a)$ 和 $f(b)$ 之间的实数 $C$，至少存在一点 $\xi \in (a,b)$，使得 $f(\xi) = C$。

- **零点定理（特殊情形）**：
  若 $f(x)$ 在 $[a,b]$ 上连续，且 $f(a) \cdot f(b) < 0$，则至少存在一点 $\xi \in (a,b)$，使得 $f(\xi) = 0$。

## 适用情况

适用于连续函数在区间上的值域问题，尤其是：

- 证明方程在某区间内至少有一个根；
- 证明函数可取到某个中间值；
- 确定函数值域或解的存在性。

## 优势

1. 不需求解方程，只需验证连续性和端点函数值；
2. 可用于证明解的存在性，构造性证明中常用；
3. 定理直观，易于理解和应用。

## 劣势

1. 只能证明存在性，不能确定解的个数或具体位置；
2. 要求函数在闭区间上连续，否则定理不适用；
3. 对于非连续函数或开区间，需额外处理。

## 例子

> [!example] 例1  
> 证明方程 $x^3 - 3x + 1 = 0$ 在区间 $(0,1)$ 内至少有一个实根。

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> [!example] 例2  
> 设函数 $f(x)$ 在 $[0,1]$ 上连续，且 $0 \leq f(x) \leq 1$，证明至少存在一点 $c \in [0,1]$，使得 $f(c) = c$。

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> [!example] **例3** 
> 设$f(x)$在$[a,b]$上连续，且$a < c < d < b$。证明：在$(a,b)$内必存在点$\xi$，使得$mf(c)+nf(d)=(m+n)f(\xi)$，其中$m,n$为任意给定的自然数。

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```

> [!example] **例4** 
> 一支巡逻小分队定期到山上的岗哨换岗，每天上午7点从营地出发，8点到达目的地。第二天上午7点沿原路返回，8点前返回到达山下营地。利用零点定理证明，在换岗的路途中必有一点，小分队在两天中的同一时刻经过该点。

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```

> [!example] 例5 
> 设$f(x)$在$(-\infty,+\infty)$上连续，且$\lim\limits_{x \to \infty}\frac{f(x)}{x}=0$，试证存在$\xi\in(-\infty,+\infty)$，使$f(\xi)+\xi=0$

```







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>[!example] 例6
>设$f(x)$在$[0,1]$上连续，且$f(0)=f(1)$，试证：对任何自然数$n$，必存在一点$c\in[0,1-\frac{1}{n}]$，使$f(c)=f(c+\frac{1}{n})$.

