#官方试卷
#民间答案
#### 一、单选题（共5小题，每小题3分，共15分）
1. 若$\lim\limits_{n\rightarrow\infty}a_n=4$，则当$n$充分大时，恒有
	A. $|a_n|\le 1$
	B. $|a_n|>2$
	C. $|a_n|<2$
	D. $|a_n|>4$
> **答案：B**
>  解析：保号性 
> 若$\lim\limits_{n\rightarrow\infty}a_n=4$，按照定义，$\forall \epsilon >0,\exists N, n>N\text{时},|a_n-4|<\epsilon$，
> 取$\epsilon=2$，则$|a_n-4|<\epsilon$，则$2<a_n<6$，B选项符合题意
2. 已知$g(x)=\frac{1}{x^2}$，复合函数$y=f(g(x))$对$x$的导数为$-\frac{1}{2x}$，则$f'(\frac{1}{2})$的值为
	A. $1$
	B. $2$
	C. $\frac{\sqrt 2}{4}$
	D. $\frac{1}{2}$
>**答案：D**
>解析：复合函数求导法则
>$y'=f'(g(x))g'(x)=\frac{-2}{x^3}f'(\frac{1}{x^2})=-\frac{1}{2x}\Rightarrow f'(\frac{1}{x^2})=\frac{x^2}{4}$，即$f'(\frac{1}{x})=\frac{x}{4}(x> 0)$
>代入$x=2$得：$f'(\frac{1}{2})=\frac{1}{2}$
3. 设$f(x)$可导且$f'(x_0)=\frac{1}{3}$，则当$\Delta x \rightarrow 0$时，$f(x)$在$x_0$处的微分$\text{d}y$是$\Delta x$的
	A. 同阶无穷小
	B. 低阶无穷小
	C. 等价无穷小
	D. 高阶无穷小
> **答案：A**
> 解析：同阶无穷小；微分的定义
> $\Delta x \rightarrow 0$时，$\Delta x \sim \mathrm{d}x$，又$\mathrm{d}y|_{x=x_0}=\frac{1}{3}\mathrm{d}x$，故$\mathrm{d}y$与$\Delta{x}$是同阶不等价的无穷小
4. 设数列通项为$x_n=\begin{cases}\frac{n^2-\sqrt{n}}{n},n=2k, \\ \frac{1}{n},n=2k+1  \end{cases}(k\in \mathbb{N}^+)$，则当$n\rightarrow\infty$时，$x_n$是
	A. 无穷大量
	B. 无穷小量
	C. 有界变量
	D. 无界变量
>**答案：D**
>解析：易错点10-无穷大与无界的辨析
>$\lim\limits_{k\to\infty}a_{2k}=+\infty$，因此$a_n$无界；然而，$\lim\limits_{k\to\infty}a_{2k+1}=0$，因此$a_n(n\to\infty)$不是无穷大
5. 下列四个级数，**发散**的是
	A. $\sum\limits_{n=1}^{\infty}{(a^{\frac{1}{n}}+a^{-\frac{1}{n}}-2)}(a>0)$
	B. $\sum\limits_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^{2n\sin{\frac{1}{n}}}}$
	C. $\sum\limits_{n=1}^{\infty}{(\frac{\cos{n!}}{n^2+1}+\frac{1}{\sqrt{n+12}})}$
	D. $\sum\limits_{n=1}^{\infty}\frac{[\sqrt{2}+(-1)^n]^n}{3^n}$
>**答案：C**
>
#### 二、填空题（共5小题，每小题3分，共15分）
6. 函数$f(x)=\frac{\mathrm{e}^\frac{1}{x-1} \ln{|1+x|}}{(\mathrm{e}^x-1)(x-2)}$的第二类间断点的个数为____.
7. 设函数$y=x-\frac{1}{\sqrt{2}}\arctan{(\sqrt{2}\tan x)}$，则$\text{d}y|_{x=\frac{\pi}{4}}=$\_\_\_\_\_.
8. 已知级数$\sum\limits_{n=2}^{\infty}{(-1)^n\frac{1}{n^a}\ln\frac{n+1}{n-1}}$条件收敛，则常数$a$的取值范围是_____.
9. 已知函数$f(x)$在$x=1$处可导，且$f(1)=0,f'(1)=2$，则$\lim\limits_{x\rightarrow 0}{\frac{f(e^{x^2})}{\sin^2 x}}$=\_\_\_\_\_\_.
10. 曲线$y=\frac{1}{2}x^2$与曲线$y=c\ln x$相切，则常数$c$的值为\_\_\_\_\_\_.
#### 三、解答与证明题（11~19小题，共70分）
11. （6分）求极限$\lim\limits_{x\rightarrow 0}(\cos 2x + x\arcsin x)^\frac{1}{x^2}$.
12. （6分）求极限$\lim\limits_{n\rightarrow\infty}\sqrt[n+2]{2\sin^2 n+\cos^2 n}$.
13. （6分）已知函数$f(x)=\begin{cases}\sin 2x+1, x\le 0\\a^{2x}+b, x>0 \end{cases}$在$x=0$处可导，求常数$a,b$的值.
14. （6分）设$y=y(x)$是由方程$y=x\mathrm{e}^y=1$所确定的函数，求曲线$y=y(x)$在$x=0$对应点处的切线方程.
15. （8分）设函数$y=f(x)$的极坐标式为$\rho=\mathrm{e}^\theta$，求$\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}|_{\theta=\frac{\pi}{2}}$，$\frac{\mathrm{d}^2 y}{\mathrm{d}x^2}|_{\theta=\frac{\pi}{2}}$.
16. （8分）设$f(x)$在$(-\infty,+\infty)$内是以$2T$为周期的连续函数，证明对任一实数$x_0$，方程$f(x)=f(x+T)$在区间$[x_0-\frac{T}{2},x_0+\frac{T}{2}]$上至少有一个根.
17. （10分）求曲线$y=\frac{x^2-3x+2}{x-1}+2\ln|x-2|,(x>0)$的所有渐近线方程.
18. （10分）百米跑道上正在举行百米赛跑，摄影师站在50米处为4号跑道夺冠种子选手A录像，摄像头始终对准选手A，摄影师距离4号跑道5米，若选手A以10m/s的速度从摄影师正前方经过，问此时摄影镜头的角速度是多少？ ![[期中试卷-18.png]]
19. （10分）设$a_1=3,a_{n+1}=\frac{a_n}{2}+\frac{1}{n},n=1,2,\dots,$
	(1) 证明$\lim\limits_{n\rightarrow\infty}a_n$存在，并求其极限值；（5分）
	(2) 证明：对于任意实数$p$，级数$\sum\limits_{n=1}{\infty}{n^p(\frac{a_n}{a_{n+1}}-1)}$收敛. （5分）