1.级数$\sum_{n=1}^{\infty}sin(\sqrt{n^2+1}\pi).$收敛
A.正确
B.错误
$sin(\sqrt{n^2+1}\pi)=(-1)^{n}sin((\sqrt{n^2+1}-n)\pi)=(-1)^{n}sin(\frac{1}{\sqrt{n^2+1}+n}\pi),$
$a_{n}=sin(\frac{\pi}{\sqrt{n^2+1}+n})\to0(n\to\infty),且\{a_{n}\}单调递减，由莱布尼兹判别法，级数收敛$


2.级数 $\sum_{n=1}^{\infty} \left( \frac{\sin n}{n^2} + \frac{(-1)^n}{n} \right)$ 的收敛性是：

A. 绝对收敛

B. 条件收敛

C. 发散

D. 可能收敛可能发散

解析

拆成两个：

1. $\sum \frac{\sin n}{n^2}：因 |\frac{\sin n}{n^2}| \le \frac{1}{n^2}$，绝对收敛。

2. $\sum \frac{(-1)^n}{n}$ 是交错调和级数，条件收敛。

   条件收敛 + 绝对收敛 = 条件收敛。

答案：B




3.级数$\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{3^n}{n^2}$  收敛
A.正确
B.错误


解
$$a_n = \frac{3^n}{n^2}$$
$$\frac{a_{n+1}}{a_n} = \frac{3^{n+1}}{(n+1)^2} \cdot \frac{n^2}{3^n}

= 3 \cdot \frac{n^2}{(n+1)^2}$$
$$\lim_{n\to\infty} 3 \cdot \frac{n^2}{(n+1)^2} = 3 > 1$$

所以发散。

答案：B




4,级数$\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{5^n} \cdot \frac{3n^3 + 2n^2}{4n^3 + 1}$  收敛
A.正确
B.错误

 由于 $\lim_{n \to \infty} \left( \frac{1}{5^n} \cdot \frac{3n^3 + 2n^2}{4n^3 + 1} \right) / \left( \frac{1}{5^n} \right) = \frac{3}{4}$，又几何级数 $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{5^n}$ 收敛，故原级数收敛。  


5.级数$\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n} \arctan \frac{n}{n+1}$  收敛
A.正确
B.错误

 由于 $\lim_{n \to \infty} \left( \frac{1}{n} \cdot \arctan \frac{n}{n+1} \right) / \frac{1}{n} = \frac{\pi}{4}$，又级数 $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n}$ 发散，故原级数发散。

