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# 2020—2021 学年秋季学期  
## 《高等数学》（I）考试试卷（A）卷  

**考试形式：闭卷**  
**考试时间：150 分钟**  
**满分：100 分**  

| 题号 | 一 | 二 | 三 | 总分 |
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| 得分 |    |    |    |      |
| 评阅人 |    |    |    |      |

**注意：**  
1. 所有答题都须写在答题卡对应位置，写在其它纸上一律无效。  
2. 答题卡密封线外不得有姓名及相关标记。  

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### 一、单选题（共5小题，每小题2分，共10分）  

1. 函数$f(x) = \frac{|x+1|}{x(x-1)(x+1)} \arctan x + \sin \frac{1}{x-2}$的可去间断点为（ ）。  
   (A)$x = 0$ 
   (B)$x = 1$ 
   (C)$x = 2$ 
   (D)$x = -1$ 

2. 已知函数$f(x)$可导，$y = \int_0^x f(t^2) dt$，则$y''(x)$等于（ ）。  
   (A)$f(x^2)$ 
   (B)$2xf'(x^2)$ 
   (C)$2xf(x^2)$ 
   (D)$2f(x^2) + 4x^2 f'(x^2)$ 

3. “级数$\sum_{n=1}^\infty a_n$收敛”是“级数$a_1 - a_1 + a_2 - a_2 + \cdots + a_n - a_n + \cdots$收敛”的（ ）。  
   (A) 充分但非必要条件  
   (B) 必要但非充分条件  
   (C) 充要条件  
   (D) 既非充分也非必要条件  

4. 已知函数$f(x), g(x)$在$(-\infty, +\infty)$内可导，且$f'(x) > 0, g'(x) < 0$，则（ ）。  
   (A)$\int_0^1 f(x) dx > \int_1^2 f(x) dx$ 
   (B)$\int_0^1 [f(x)] dx > \int_1^2 [f(x)] dx$ 
   (C)$\int_0^1 f(x) g(x) dx > \int_1^2 f(x) g(x) dx$ 
   (D)$\int_0^1 [g(x)] dx > \int_1^2 [g(x)] dx$ 

5. 已知函数$f(x) = x^2 \sin \frac{1}{x}$，则下列四个判断：  
   ①$f(x)$在$(0, +\infty)$上有界  
   ②$f(x)$是$x \to +\infty$过程的无穷大量  
   ③$f'(x)$在$(0, +\infty)$上有界  
   ④$f'(x)$是$x \to +\infty$过程的无穷大量  
   正确的是（ ）。  
   (A) ①③  
   (B) ①④  
   (C) ②③  
   (D) ②④  

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### 二、填空题（共5小题，每小题2分，共10分）  

6. 设$y = y(x)$是由方程$xy + e^{2y} = \sin 3x + 1$确定的隐函数，则$dy|_{x=0} = \underline{\qquad}$。  

7. 极限  
  $$
   \lim_{n \to \infty} \left( \frac{1}{\sqrt{3n^4 + 1}} + \frac{2}{\sqrt{3n^4 + 2}} + \cdots + \frac{n}{\sqrt{3n^4 + n}} \right)
  $$ 
   的值为 $\underline{\qquad}$。  

8. 定积分  
  $$
   \int \frac{\pi}{2} \left( |\sin x| + x \right) \cos^2 x \, dx
  $$ 
   的值为 $\underline{\qquad}$。  

9. 不定积分  
  $$
   \int x \tan^2 x \, dx = \underline{\qquad}。
  $$ 

10. 已知  
   $$
    \int x f(x) \, dx = \ln \left( 1 + x^2 \right) + C,
   $$ 
    则曲线$y = f(x) (x > 0)$的拐点为 \underline{\qquad}。  

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### 三、解答题（共11小题，共80分）  

11. （6分）求极限  
   $$
    \lim_{x \to 0} \frac{e^{x^2} - 1 - \ln \left( x^2 + 1 \right)}{x^3 \arcsin x}.
   $$ 

12. （6分）设函数  
   $$
    f(x) = 
    \begin{cases} 
    |x|^x, & x \neq 0, \\ 
    a, & x = 0, 
    \end{cases}
   $$ 
    试求常数$a$的值，使得$f(x)$在$x = 0$处连续，并讨论此时$f(x)$在$x = 0$处的可导性。  

13. （6分）将函数$f(x) = x^2 e^x + x^6$展开成六阶带佩亚诺余项的麦克劳林公式，并求$f^{(6)} (0)$的值。  

14. （6分）已知$f(x)$是周期为 2 的可导函数，且曲线$y = f(x)$与曲线$y = \int_0^x e^{-t^2} dt$在点$(0,0)$处相切。求曲线$y = f(x)$在$x = 4$处的切线方程。  

15. （6分）已知函数$f(x)$在$[0,1]$上可导，$f(0)=0$。证明：至少存在一点$\xi \in (0,1)$，使得  
   $$
    f'(1-\xi)=\frac{2}{\xi}f(1-\xi).
   $$ 

16. （6分）在某直线公路上有 A, B, C, D 四个加油站，依次相距 20 km。现计划在该公路上建一个加油总站 M，并配备一台供油车给各加油站供油。已知 A, B, C, D 四个加油站每天所需的油量依次为 2 车、3 车、5 车及 4 车。问：加油总站 M 建在何处可使供油车每天行驶的总路程最少？并说明理由。  

    （图略：A、B、C、D 依次排列，间距均为 20 km）  

17. （8分）已知函数$f(x) = \frac{\ln(1+x)}{1+x}$。  
    (1) 求函数$f(x)$的单调区间与极值；（4分）  
    (2) 求曲线$y = f(x)$的渐近线。（4分）  

18. （8分）求极坐标曲线$C: \rho = 1 + \cos \theta$在$\theta = \frac{\pi}{2}$对应点处的曲率与曲率半径。  

19. （8分）已知函数$f(x)$在$(-\infty, +\infty)$内连续，且  
   $$
    \int_{0}^{x} tf(x-t) dt = x^3 - \int_{0}^{x} f(t) dt.
   $$ 
    (1) 验证：$f'(x) + f(x) = 6x$且$f(0) = 0$；（5分）  
    (2) 计算定积分$\int_{0}^{1} e^{x} f(x) dx$。（3分）  

20. （10分）设函数$f(x)$在$(-\infty, +\infty)$内可导，$f'(0) = 2$，且对任意$x, y$，恒有  
   $$
    f(x+y) = f(x) + f(y) + 2xy.
   $$ 
    (1) 求函数$f(x)$的表达式；（6分）  
    (2) 求曲线$y = f(x)$与$x$轴所围成的平面图形的面积。（4分）  

21. （10分）  
    (1) 证明：对任意的正整数$n$，方程  
   $$
    x^n + n^2 x - 1 = 0
   $$ 
    有唯一正实根（记为$x_n$）；（6分）  
    (2) 证明级数$\sum_{n=1}^{\infty} x_n$收敛，且其和不超过 2。（4分）