**内部资料，禁止传播**
**编委会（不分先后，姓氏首字母顺序）：韩魏   刘柯妤   卢吉辚   王轲楠   支宝宁  郑哲航**

## 隐函数求导

### 原理

设方程 $F(x, y) = 0$ 确定 $y$ 是 $x$ 的函数 $y = y(x)$，则对方程两边关于 $x$ 求导（注意 $y$ 是 $x$ 的函数），再解出 $y'$ 即可。

### **适用情况**

适用于方程中 $x$ 与 $y$ 混合在一起，无法或不易解出 $y = f(x)$ 的情况，如：
- 圆的方程：$x^2 + y^2 = 1$
- 椭圆方程：$\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1$
- 一般隐式方程：$e^{x+y} + \ln(xy) = 0$

### **优势**
1. 不必显式解出 $y = f(x)$，可直接求导；
2. 适用于复杂关系式，尤其是含有 $x$、$y$ 混合的函数形式。

### **劣势**
1. 求导过程中需注意 $y$ 是 $x$ 的函数，常需使用链式法则；
2. 最终表达式中可能仍含有 $y$，需结合原方程化简。

### **例子**

> [!example] 例1(简单)  
求由方程 $x^2 + y^2 = 1$ 确定的隐函数 $y = y(x)$ 的导数。

**解析**  
两边对 $x$ 求导：
$$
2x + 2y \cdot y' = 0
$$
解得：
$$
y' = -\frac{x}{y}
$$

>[!example] 例2
>设方程$y=y(x)$由方程$xe^{f(y)}=e^y$确定，其中$f$具有二阶导数，且$f'\neq1$，求$\frac{d^2y}{dx^2}.$




>[!example] 例3
>曲线$\ln{\sqrt{x^2+y^2}}=arctan(\frac{x}{y})$在点(0,1)处的切线方程为$\_\_\_$
>（A）$y=-x+1$
>（B）$y=1$
>（C）$y=x+1$
>（D）$y=\frac{1}{2}x+1$




>[!example] 例4
>函数$y=y(x)$由方程$sin(x^2+y^2)+e^x-xy^2=0$所确定，则$\frac{dy}{dx}=\_\_$.


>[!example] 例5(卢吉辚原创难题)
>已知由方程  $e^{(x y - 1)(x + y)} \ln (x^3 + y^3) = \frac{xy(x^2 + y^2)}{(x y)^{x^2 + x y + y^2}} \ln (\sqrt{x + y})$  所确定的函数单调减，求其在点 $(1,1)$ 处的切线方程。




>[!example] 例6(卢吉辚原创难题)
>已知由方程  $\arctan\left( \frac{x^2 y + x y^2}{2} \right) = \arcsin\left( \frac{\sqrt{x^2 + y^2}}{x + y} \right)$  所确定的函数在其连续区间内单调减，求其在点 $(1,1)$ 处的切线方程。


---

## 参数方程求导

### 原理

已知 $$\left\{ \begin{array}{c} 	x=x\left( t \right)\\ 	y=y\left( t \right)\\ \end{array} \right.$$若有均可导且 $x'(t) \neq 0$，则
$$y'\left( t \right) =\frac{dy}{dt}$$
$$x'\left( t \right)=\frac{dx}{dt}$$
 $$y'=\frac{dy}{dx}=\frac{dy}{dt}\cdot \frac{1}{\frac{dx}{dt}}=\frac{y'\left( t \right)}{x'\left( t \right)}$$
则有 $$y''=\frac{d^2y}{dx^2}=\frac{dy'}{dx}=\frac{dy'}{dt}\cdot \frac{1}{\frac{dx}{dt}}=\frac{dy'}{dt}\cdot \frac{1}{x'\left( t \right)}=(\frac{y'(t)}{x'(t)})'\cdot \frac{1}{x'\left( t \right)}$$

而 $$\frac{y'(t)}{x'(t)}=\frac{y''\left( t \right) x'\left( t \right) -x''\left( t \right) y'\left( t \right)}{x'^2\left( t \right)}$$ 

故 $$y''=\frac{y''\left( t \right) x'\left( t \right) -x''\left( t \right) y'\left( t \right)}{x'^3\left( t \right)}$$
### **适用情况**
适用于曲线由参数形式给出，尤其是：
- 物理中的运动轨迹；
- 极坐标、摆线、旋轮线等曲线；
- 复杂曲线的简化表示。

### **优势**
1. 形式简洁，直接利用两个导数作商；
2. 适用于参数化表示，便于计算高阶导数。

### **劣势**
1. 要求 $x'(t) \neq 0$，否则导数不存在；
2. 高阶导数计算需重复使用公式，略显繁琐。

### **例子**

> [!example] 例1(简单)  
> 求参数方程
> $$
\begin{cases}
x = a\cos t \\
y = b\sin t
\end{cases}$$
所确定的函数 $y = y(x)$ 的导数。

**解析**  

计算：

$$
\frac{dx}{dt} = -a\sin t, \quad \frac{dy}{dt} = b\cos t
$$

因此：
$$
\frac{dy}{dx} = \frac{b\cos t}{-a\sin t} = -\frac{b}{a}\cot t
$$


> [!example] 例2  
设 $y$ 由方程 $e^{x+y} = xy$ 确定，则 $y'$ 在点 $(1,0)$ 处的值为  
A. $0$  
B. $1$  
C. $-1$  
D. 不存在  



> [!example] 例3  
> 参数方程
> $$
\begin{cases}
x = t^2 + 1 \\
y = t^3 - t
\end{cases}$$
在 $t = 1$ 处的导数 $\left. \frac{dy}{dx} \right|_{t=1}$ 为  
A. $1$  
B. $2$  
C. $3$  
D. $4$



>[!example] 例4(卢吉辚原创难题)
>设参数方程 $x = e^{t^2} \arcsin(t^2)$，$y = \ln(1+t^4) \arctan(t^3)$，求 $\frac{d^2 y}{dx^2}$ 在 $t=0$ 处的值（需要用到泰勒展开，仅作习题）


>[!example] 例5(卢吉辚原创难题)
>设参数方程 $x = e^{t} \sin t + \ln(1+t^2)$，$y = e^{t} \cos t + \arctan(t^3)$，求 $\frac{d^2 y}{dx^2}$ 在 $t=0$ 处的值。



## **应用题**

应用题就比较综合了，它可以考很多知识点，比如参数方程，比如隐函数求导，也有可能就是一个普通的求导。但关键不在于求导，关键在于建立一个准确的模型，也就是

（1）把需要求的对象找出来，即自变量和因变量，注意可能有多个。
（2）根据条件把关系式列出来，画一画示意图有时候会很有帮助。

### 微分估计值

>[!example] 例1
>利用微分估计值也是导数应用的一种。利用微分估计下面几个式子的值：
>（1）$\sqrt{34}$（保留两位小数）
>（2）摆的振动周期公式为：$T=2\pi \sqrt{\frac{l}{g}}$。其中$l$为摆长（厘米），重力加速度$g=981cm^2/s$.为了使周期$T$增大$0.05$秒，摆长$l=20cm$的长度需要作何修正？（参考数据：$\sqrt{981\times20}\approx140.07,\frac{1}{\pi}\approx0.318$,保留两位小数）


### 相关变化率

#### 飞机航空摄影问题

##### 问题描述

>[!example] 例题
>一飞机在离地面$2 km$的高度，以$200 km/h$的速度水平飞行到某目标上空，以便进行航空摄影。试求飞机飞至该目标正上方时，摄影机转动的角速率。



---

#### 人拉船问题

##### 问题描述

>[!example] 例题
>人在河岸用绳经过定滑轮以速度 $v$、加速度 $a$ 拉船。绳与水平面夹角为 $\theta$。求此时船的加速度 $a'$。
![[应用题人拉船.png]]


---

#### 动点曲线运动问题

##### 问题描述

>[!example] 例题
>已知动点 $P$ 在曲线 $y = \sqrt{x}$ 上运动，记坐标原点 $O$ 与 $P$ 间的距离为 $l$。若点 $P$ 横坐标随时间的变化率为常数 $v$，则当点 $P$ 运动到点 $(1, 1)$ 时，$l$ 对时间的变化率是多少？



---

#### 球浸入水问题

##### 问题描述

>[!example] 例题
>半径为$a$的球渐渐沉入盛有部分水的半径为$b(b>a)$的圆柱形容器中.若球以匀速$c$下沉，求：球浸没一半时，容器内水面上升的速率.
>
>（A）$\frac{a^2c}{b^2}$
>
>（B）$\frac{a^c}{b^2-a^2}$
>
>（C）$\frac{a^2c}{2b^2}$
>
>（D）$\frac{a^2c}{b^2+a^2}$


### 应用题期中真题

>[!example]  **例1**（2020）
>有一个正圆锥形漏斗，深度  $18 \text{ cm}$  ，上端口直径为  $12 \text{ cm}$ （即半径  $6 \text{ cm}$ ）。漏斗下方连接一个圆柱形筒，圆柱筒直径为  $10 \text{ cm}$ （即半径  $5 \text{ cm}$ ）。初始时刻漏斗内盛满水，然后水从漏斗流入圆柱筒。已知当漏斗中水深为  $12 \text{ cm}$  时，漏斗水面下降的速度是  $1 \text{ cm/min}$
问：此时圆柱筒内液面上升的速度是多少？




>[!example] **例2** (2021)
>一长为 L 米的木梯靠在倾角为$\frac{\pi}{3}$的光滑斜坡上，木梯的顶部距离 A 点 h 米，底部距离 A 点 d 米，受重力作用木梯的顶部以 $a \, \mathrm{m/s}$ 的速度沿直线 BA 下滑，底部水平向右运动。问：当木梯的顶部和底部与 A 点的距离相等时，底部的水平速度为多少？
>![[应用题梯子.jpg]]




>[!example] **例3**（2023）
>有一个长度为5m的梯子贴靠在铅直的墙上，假设其下端沿地板以3m/s的速率离开墙脚而滑动，则
(1) 何时梯子的上、下端能以相同的速率移动？
(2) 何时其上端下滑之速率为4m/s？





>[!example] **例4**(2022)
>某部举行八一阅兵，队列正步通过阅兵台时步幅间距离为75厘米，步速为每分钟112步。某观礼人员离行进队列垂直距离为60米，视线追随队列领队，求其视线与队列夹角为$\frac{\pi}{6}$时，视线转动角度的变化率。






>[!example] **例5**（2024）
>一架巡逻直升机在距离地面3km的高度以120km/h的速度沿着一条水平笔直的高速公路向前飞行。飞行员观察到迎面驶来一辆汽车，通过雷达测出直升机与汽车的距离为5km，同时此距离以160km/h的速率在减少。试求此时汽车行进的速度。


