设 $A, B$ 为 $n$ 阶矩阵，则
(A) $\mathrm{rank}\begin{bmatrix}A&AB\end{bmatrix}=\mathrm{rank}A$
(B) $\mathrm{rank}\begin{bmatrix}A&BA\end{bmatrix}=\mathrm{rank}A$
(C) $\mathrm{rank}\begin{bmatrix}A&B\end{bmatrix}=\max{\{\mathrm{rank}A,\mathrm{rank}B\}}$
(D) $\mathrm{rank}\begin{bmatrix}A&B\end{bmatrix}=\mathrm{rank}\begin{bmatrix}A^T&B^T\end{bmatrix}$

（[[1.10线代限时练]]）设 $A$ 是 $m\times n$ 实矩阵， $\beta \neq 0$ 是 $m$ 维实列向量，证明：
	(1) $\mathrm{rank}A=\mathrm{rank}(A^\mathrm{T}A)$ .
	(2) 线性方程组 $A^\mathrm{T}Ax = A^\mathrm{T}\beta$ 有解.

设 $A$ 是 $m\times n$ 矩阵， $B$ 是 $n\times m$ 矩阵，$E$ 是 $m$ 阶单位矩阵，若 $AB=E$，则
(A) $\mathrm{rank}A=m,\mathrm{rank}A=m$
(B) $\mathrm{rank}A=m,\mathrm{rank}A=n$
(C) $\mathrm{rank}A=n,\mathrm{rank}A=m$
(D) $\mathrm{rank}A=n,\mathrm{rank}A=n$

已知 $A,B,C,D$ 都是 $4$ 阶非零矩阵，且 $ABCD=O$，如果 $|BC|\ne 0$，记 $\mathrm{rank}A+\mathrm{rank}B+\mathrm{rank}C+\mathrm{rank}A=r$，则 $r$ 的最大值是
(A) $11$
(B) $12$
(C) $13$
(D) $14$

已知 $A,B,C$ 都是 $n$ 阶非零矩阵，且 $ABC=O$，$E$ 是 $n$ 阶单位矩阵，记 $\begin{bmatrix}O&A\\BC&E\end{bmatrix}\begin{bmatrix}AB&C\\O&E\end{bmatrix},\begin{bmatrix}E&AB\\AB&O\end{bmatrix}$ 的秩分别是 $r_1,r_2,r_3$，则
(A) $r_1 \le r_2 \le r_3$
(B) $r_1 \le r_3 \le r_2$
(C) $r_3 \le r_1 \le r_2$
(D) $r_2 \le r_1 \le r_3$

设 $A,B$ 都是 $n$ 阶矩阵，求证：$\mathrm{rank}(AB-E) \le \mathrm{rank}(A-E)+\mathrm{rank}(B-E)$

设 $A$ 为 $n$ 阶矩阵，$1<r<n$，记 $s=\mathrm{rank}(\begin{bmatrix}E_r&O\\O&O\end{bmatrix}A)$，则
(A) $s=r$
(B) $s=\max{\{r,\mathrm{rank}A\}}$
(C) $s\le\min{\{r,\mathrm{rank}A\}}$
(D) $s=\mathrm{rank}A$

设 $A=\begin{bmatrix}3&1&2\\2&a&1\\1&-1&2\end{bmatrix}, B\in\mathbb{R}^{3\times 2}$ 是一个列满秩矩阵.
(1) 证明 $\mathrm{rank}(AB) \ge 1$ ;
(2) 若 $\mathrm{rank}(AB)=1$，求参数 $a$ 的值，并给出一个使此式成立的矩阵 $B$ ;
(3) 对于 (2) 给出的参数 $a$ 的值，举例说明存在这样的矩阵 $B$，使 $\mathrm{rank}(AB)=2$ .

设 $A$ 是 $n$ 阶方阵，$A=A_1A_2A_3$，且 $A_i^2=A_i\ (i=1,2,3)$，证：$\mathrm{rank}(E-A)\le 3(n-\mathrm{rank}A)$ .

已知 $A,B$ 均为 $m\times n$ 阶矩阵，$\beta_1,\beta_2$ 为 $m$ 维列向量，则下列选项中正确的有
(A) 若 $\mathrm{rank}A=m$，则对于任意 $m$ 维列向量 $b$，$Ax=b$ 总有解.
(B) 若 $A$ 与 $B$ 等价，则齐次方程组 $Ax=0$ 与 $Bx=0$ 同解.
(C) 矩阵方程 $AX=B$ 有解，但 $BY=A$ 无界的充要条件是$\mathrm{rank}B<\mathrm{rank}A=\mathrm{rank}\begin{bmatrix}A&B\end{bmatrix}$
(D) 线性方程组 $Ax=\beta_1$ 与 $Ax=\beta_2$ 同时有解当且仅当$\mathrm{rank}A=\mathrm{rank}\begin{bmatrix}A&\beta_1&\beta_2\end{bmatrix}$

（[[1231线性代数考试卷]]）已知方程组$\quad\begin{cases}x_1 + 2x_2 + 3x_3 = 0, \\2x_1 + 3x_2 + 5x_3 = 0, \\x_1 + x_2 + ax_3 = 0,\end{cases}$与$\text{(II)} \quad\begin{cases}x_1 + bx_2 + cx_3 = 0, \\2x_1 + b^2x_2 + (c+1)x_3 = 0\end{cases}$同解，则
   (A) $a = 1, b = 0, c = 1$;  
   (B) $a = 1, b = 1, c = 2$;  
   (C) $a = 2, b = 0, c = 1$;  
   (D) $a = 2, b = 1, c = 2$.

（[[1231线性代数考试卷]]）设矩阵$A = \begin{bmatrix}1 & a_1 & a_1^2 & a_1^3 \\1 & a_2 & a_2^2 & a_2^3 \\1 & a_3 & a_3^2 & a_3^3 \\1 & a_4 & a_4^2 & a_4^3\end{bmatrix},x = \begin{bmatrix} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \\ x_4 \end{bmatrix},b = \begin{bmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \\ 1 \end{bmatrix},$其中常数 $a_1, a_2, a_3, a_4$ 互不相等，则线性方程组 $Ax = b$ 的解为$\underline{\qquad\qquad\qquad\qquad}.$

（[[1231线性代数考试卷]]）设 $A, B$ 均为 $n$ 阶方阵，满足$\text{rank} \begin{bmatrix} A \\ B \end{bmatrix} = \text{rank}B,$ 且方程 $XA = B$ 有解。若 $\operatorname{rank} A = k$，则$\text{rank} \begin{bmatrix} B & O \\ A & E \end{bmatrix} =\underline{\hspace{3cm}}.$

（[[1231线性代数考试卷]]）设$A=\begin{bmatrix}1 & -1 & 0 & -1 \\ 1 & 1 & 0 & 3 \\ 2 & 1 & 2 & 6\end{bmatrix},B=\begin{bmatrix}1 & 0 & 1 & 2 \\ 1 & -1 & a & a-1 \\ 2 & -3 & 2 & -2\end{bmatrix}$,向量$\alpha=\begin{bmatrix}0\\2\\3\end{bmatrix},\beta=\begin{bmatrix}1\\0\\-1\end{bmatrix}$.
     (1)证明：方程组 $Ax=\alpha$ 的解均为方程组 $Bx=\beta$ 的解；
     (2)若方程组 $Ax=\alpha$ 与方程组 $Bx=\beta$ 不同解，求 $a$ 的值.
     
 （[[1231线性代数考试卷]]）设矩阵$A=\begin{bmatrix}1&2&1&2\\0&1&t&t\\1&t&0&1\end{bmatrix}$，齐次线性方程组 $Ax=0$ 的基础解系中含有两个解向量，求 $Ax=0$ 的通解。