# 一般式

## 1. 和的秩不超过秩的和

设 $A, B$ 为同型矩阵，则  
$$ \operatorname{rank}(A+B) \leq \operatorname{rank} A + \operatorname{rank} B $$

## 2. 积的秩不超过任何因子的秩

设 $A_{m \times n}, B_{n \times k}$，则  
$$ \operatorname{rank}(AB) \leq \min\{\operatorname{rank} A, \operatorname{rank} B\} $$

## 3. 重要不等式

设 $A_{m \times n}, B_{n \times k}$，则  
$$ \operatorname{rank}(AB) \geq \operatorname{rank} A + \operatorname{rank} B - n $$ 
特别地，当 $AB = 0$ 时，有 $\operatorname{rank} A + \operatorname{rank} B \leq n$。 

# 分块式

设 $A_{n \times n}$， $B_{n \times n}$，则

$$(1)\ \mathrm{rank}  

\begin{bmatrix}
A \\
B
\end{bmatrix} \geq \text{rank } A, \quad \text{rank } 
\begin{bmatrix}
A \\
B
\end{bmatrix} \geq \text{rank } B
$$

$$(2)\ \mathrm{rank}  
\begin{bmatrix}
A & 0 \\
0 & B
\end{bmatrix} = \text{rank } A + \text{rank } B
$$

$$(3)\ \mathrm{rank}  
\begin{bmatrix}
A & E_n \\
0 & B
\end{bmatrix} \geq \text{rank } A + \text{rank } B
$$

$$(4)\ \mathrm{rank}  
\begin{bmatrix}
A & 0 \\
0 & B
\end{bmatrix} = \text{rank } 
\begin{bmatrix}
A & B \\
0 & B
\end{bmatrix} = \text{rank } 
\begin{bmatrix}
A + B & B \\
B & B
\end{bmatrix} \geq \text{rank } (A + B)
$$

