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# 极限计算方法

## 一、有理化根式法

### 1.1 基本原理
通过平方差公式上下同乘有理化因式，将 $\infty-\infty$ 或 $\frac{0}{0}$ 等不定型转化为可计算形式。

### 1.2 适用情况
- 分式中出现根式减根式
- 形式本身为根式减根式
- 极限过程导致出现不定型（常见 $\infty-\infty$ 和 $\frac{0}{0}$）

### 1.3 优势与局限
**优势**：能迅速处理含根式的不定型问题。

**局限**：一般只适用于含根式的情况；对于 $\frac{0}{0}$ 型需上下同时有理化，通常能约去零因子。

> **🔍 关键转化形式**
> - 对于 $\infty - \infty$ 型：$\sqrt{A} - \sqrt{B} = \frac{A-B}{\sqrt{A}+\sqrt{B}}$
> - 对于 $\frac{0}{0}$ 型：通常需要分子分母分别有理化

### 1.4 典型例题

#### 例1：$\infty-\infty$ 型
计算极限：$\displaystyle \lim_{x \to \infty}(\sqrt{x^{2}+1}-\sqrt{x^{2}-1})$

**解**：
$$
\begin{aligned}
\lim_{x \to \infty}(\sqrt{x^{2}+1}-\sqrt{x^{2}-1})
&= \lim_{x \to \infty} \frac{(x^{2}+1)-(x^{2}-1)}{\sqrt{x^{2}+1}+\sqrt{x^{2}-1}} \\[0.5em]
&= \lim_{x \to \infty} \frac{2}{\sqrt{x^{2}+1}+\sqrt{x^{2}-1}} \\[0.5em]
&= 0
\end{aligned}
$$

> **💡 分析**：这是典型的$\infty-\infty$型有理化，有理化后分母趋向$\infty$，整体极限为0。

#### 例2：$\frac{0}{0}$ 型
计算极限：$\displaystyle \lim_{x \to 4} \frac{\sqrt{2x+1}-3}{\sqrt{x-2}-\sqrt{2}}$

**解**：
$$
\begin{aligned}
\lim_{x \to 4} \frac{\sqrt{2x+1}-3}{\sqrt{x-2}-\sqrt{2}}
&= \lim_{x \to 4} \frac{(\sqrt{2x+1}-3)(\sqrt{2x+1}+3)(\sqrt{x-2}+\sqrt{2})}{(\sqrt{x-2}-\sqrt{2})(\sqrt{x-2}+\sqrt{2})(\sqrt{2x+1}+3)} \\[0.5em]
&= \lim_{x \to 4} \frac{(2x-8)(\sqrt{x-2}+\sqrt{2})}{(x-4)(\sqrt{2x+1}+3)} \\[0.5em]
&= \lim_{x \to 4} \frac{2(x-4)(\sqrt{x-2}+\sqrt{2})}{(x-4)(\sqrt{2x+1}+3)} \\[0.5em]
&= \lim_{x \to 4} \frac{2(\sqrt{x-2}+\sqrt{2})}{\sqrt{2x+1}+3} \\[0.5em]
&= \frac{2(\sqrt{2}+\sqrt{2})}{3+3} = \frac{4\sqrt{2}}{6} = \frac{2\sqrt{2}}{3}
\end{aligned}
$$

> **📝 解题步骤**：
> 1. 识别为$\frac{0}{0}$型，且分子分母均含根式
> 2. 分子分母分别有理化
> 3. 化简后约去零因子$(x-4)$
> 4. 代入$x=4$计算极限值

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## 二、夹逼定理法（挤压定理）

### 2.1 基本原理
若函数 $f(x)$ 满足 $g(x) \le f(x) \le h(x)$，且 $\lim g(x) = \lim h(x) = L$，则 $\lim f(x) = L$。

### 2.2 适用情况
1. 形如 $\displaystyle \lim_{n\to\infty}\sum_{k=1}^{n}a_k$ 的求和极限（尤其 $a_k$ 含 $n,k$）
2. 幂和根式极限：$\displaystyle \lim_{n \to \infty} \sqrt[n]{a_1^n + a_2^n + \cdots + a_m^n} = \max\{a_1, a_2, \dots, a_m\}$
3. 有界函数乘积型极限
4. 振荡函数与无穷小乘积的极限

### 2.3 优势与劣势
**优势**：
1. 处理复杂表达式的有效工具
2. 不依赖具体函数形式
3. 特别适合涉及 $n \to \infty$ 的离散极限
4. 直观易懂

**劣势**：
1. 需要合适的不等式构造
2. 必须找到恰当的上下界
3. 可能高估或低估范围
4. 对振荡型函数有时不适用

### 2.4 三种常见类型及例题

#### 类型一：求和式极限
**例1**：求 $\displaystyle \lim_{n \to \infty} \left( \frac{n+1}{n^2+1} + \frac{n+2}{n^2+2} + \cdots + \frac{n+n}{n^2+n} \right)$

**解**：
对 $k=1,2,\dots,n$，有 $n^2+1 \le n^2+k \le n^2+n$，故
$$
\frac{n+k}{n^2+n} \le \frac{n+k}{n^2+k} \le \frac{n+k}{n^2+1}
$$

求和得：
$$
\frac{\sum_{k=1}^n (n+k)}{n^2+n} \le S_n \le \frac{\sum_{k=1}^n (n+k)}{n^2+1}
$$

其中 $\displaystyle \sum_{k=1}^n (n+k) = n^2 + \frac{n(n+1)}{2} = \frac{3n^2+n}{2}$

计算上下极限：
$$
\lim_{n\to\infty} \frac{\frac{3n^2+n}{2}}{n^2+n} = \lim_{n\to\infty} \frac{3n^2+n}{2n^2+2n} = \frac{3}{2}
$$
$$
\lim_{n\to\infty} \frac{\frac{3n^2+n}{2}}{n^2+1} = \lim_{n\to\infty} \frac{3n^2+n}{2n^2+2} = \frac{3}{2}
$$

由夹逼定理得：$\displaystyle \lim_{n\to\infty} S_n = \frac{3}{2}$

**例2**：证明 $\displaystyle \lim_{n\to\infty} \frac{n!}{n^n} = 0$

**证明**：
$$
0 < \frac{n!}{n^n} = \frac{1}{n} \cdot \frac{2}{n} \cdots \frac{n}{n} \le \frac{1}{n} \cdot 1 \cdot 1 \cdots 1 = \frac{1}{n}
$$
而 $\displaystyle \lim_{n\to\infty} \frac{1}{n} = 0$，故 $\displaystyle \lim_{n\to\infty} \frac{n!}{n^n} = 0$

> **🔍 技巧**：对于连乘积，常将部分因子放大为1，部分因子保持不变，得到易求极限的上下界。

#### 类型二：幂和根式极限
**重要结论**：若 $a_k > 0$，则
$$\lim_{n\to\infty} \sqrt[n]{a_1^n + a_2^n + \cdots + a_m^n} = \max\{a_1, a_2, \dots, a_m\}$$

**例3**：设 $\displaystyle f(x) = \lim_{n \to \infty} \sqrt[n]{1 + x^n + \left( \frac{x^2}{2} \right)^n},\ x \ge 0$，讨论 $f(x)$ 连续性。

**解**：
比较三项：$a_1=1,\ a_2=x,\ a_3=\frac{x^2}{2}$

1. **当 $0 \le x \le 1$**：
   $x \le 1$，且 $\frac{x^2}{2} \le \frac{1}{2} < 1$，最大值为 $1$

2. **当 $1 < x \le 2$**：
   比较 $x$ 与 $\frac{x^2}{2}$：
   $$x \ge \frac{x^2}{2} \Leftrightarrow 2x \ge x^2 \Leftrightarrow x(2-x) \ge 0 \Leftrightarrow 0 \le x \le 2$$
   在 $(1, 2]$ 内，$x \ge \frac{x^2}{2}$；同时 $x > 1$，所以最大值是 $x$

3. **当 $x > 2$**：
   比较 $x$ 与 $\frac{x^2}{2}$：
   $\frac{x^2}{2} > x \ (x > 2)$，且 $\frac{x^2}{2} > 1$，所以最大值是 $\frac{x^2}{2}$

故
$$
f(x) = \begin{cases}
1, & 0 \le x \le 1 \\
x, & 1 < x \le 2 \\
\frac{x^2}{2}, & x > 2
\end{cases}
$$

**连续性检查**：
- 在 $x=1$ 处：$x \to 1^-$ 时 $f(x)=1$；$x \to 1^+$ 时 $f(x)=x \to 1$，且 $f(1)=1$，连续
- 在 $x=2$ 处：$x \to 2^-$ 时 $f(x)=x \to 2$；$x \to 2^+$ 时 $f(x)=\frac{x^2}{2} \to 2$，且 $f(2)=2$，连续

因此 $f(x)$ 在 $[0,+\infty)$ 上连续。

**例4**：证明 $\displaystyle \lim_{n\to\infty} \sqrt[n]{3^n + 5^n + 7^n} = 7$

**证明**：
$$
7^n < 3^n + 5^n + 7^n \le 3 \cdot 7^n
$$
两边开 $n$ 次方：
$$
7 < \sqrt[n]{3^n + 5^n + 7^n} \le 7 \cdot \sqrt[n]{3}
$$
而 $\displaystyle \lim_{n\to\infty} \sqrt[n]{3} = 1$，由夹逼定理得证。

> **📝 解题模板**：
> 1. 找出最大项 $M = \max\{a_1, a_2, \dots, a_m\}$
> 2. 构造不等式：$M^n < \sum a_i^n \le m \cdot M^n$
> 3. 取$n$次根：$M < \sqrt[n]{\sum a_i^n} \le M \cdot \sqrt[n]{m}$
> 4. 由 $\lim_{n\to\infty} \sqrt[n]{m} = 1$ 得结论

#### 类型三：有界函数乘积型
**例5**：求 $\displaystyle \lim_{x\to0}x^2\sin\frac{1}{x}$

**解**：
由 $-1 \le \sin\frac{1}{x} \le 1$，得
$$
-x^2 \le x^2\sin\frac{1}{x} \le x^2
$$
而 $\displaystyle \lim_{x\to0}(-x^2) = \lim_{x\to0}x^2 = 0$，故原极限为 $0$。

**例6**：证明 $\displaystyle \lim_{n\to\infty} \sqrt[n]{2 + \sin^2 n} = 1$

**证明**：
$$
1 \le 2 + \sin^2 n \le 3 \Rightarrow
1 \le \sqrt[n]{2 + \sin^2 n} \le \sqrt[n]{3}
$$
而 $\displaystyle \lim_{n\to\infty} \sqrt[n]{3} = 1$，故得证。

> **⚠️ 注意事项**：
> 1. 确保上下界函数极限存在且相等
> 2. 不等式方向必须一致
> 3. 对于振荡函数，常利用其有界性

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## 三、凑重要极限法

### 3.1 两个重要极限
1. $\displaystyle \lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} = 1$
2. $\displaystyle \lim_{x \to 0} \frac{e^x-1}{x} = 1$

### 3.2 变形与推广
- $\displaystyle \lim_{\square \to 0} \frac{\sin \square}{\square} = 1$（$\square$代表任何趋于0的表达式）
- $\displaystyle \lim_{\square \to 0} \frac{e^\square-1}{\square} = 1$
- $\displaystyle \lim_{\square \to 0} (1+\square)^{1/\square} = e$

### 3.3 使用技巧
1. **识别结构**：寻找$\frac{\sin(\text{无穷小})}{\text{相同的无穷小}}$或$\frac{e^{\text{无穷小}}-1}{\text{相同的无穷小}}$的形式
2. **变量代换**：令$t = \text{无穷小表达式}$，化为标准形式
3. **恒等变形**：利用对数、指数等恒等式转化

### 3.4 典型例题

**例1**：
(1) $\displaystyle \lim_{x \to 0} \frac{x-\sin 2x}{x+\sin 3x}$

**解**：
$$
\lim_{x\to0}\frac{x-\sin 2x}{x+\sin 3x}
= \lim_{x\to0}\frac{1-2\cdot\frac{\sin 2x}{2x}}{1+3\cdot\frac{\sin 3x}{3x}}
= \frac{1-2\times1}{1+3\times1} = -\frac{1}{4}
$$

(2) $\displaystyle \lim_{x \to 0} \left(\frac{1-x}{1+3x}\right)^{1/x}$

**解**：
令 $t = -\frac{4x}{1+3x}$，则 $x \to 0$ 时 $t \to 0$，且
$$
\frac{1}{x} = -4\cdot\frac{1+3x}{4x} = -4\cdot\frac{1}{t}-3
$$

原式 $= \displaystyle \lim_{t\to 0} (1+t)^{-4/t-3} = \lim_{t\to 0} \left[(1+t)^{1/t}\right]^{-4} \cdot (1+t)^{-3} = e^{-4} \cdot 1 = e^{-4}$

**例2**：已知 $\displaystyle \lim_{x\to\infty}\left(\frac{x+1}{x+k}\right)^x = \lim_{x\to0}e^{\frac{\sin 4x}{x}}$，求 $k$

**解**：
左边 $= \displaystyle \lim_{x\to\infty}\frac{(1+1/x)^x}{(1+k/x)^x} = \frac{e}{e^k} = e^{1-k}$

右边 $= e^{\lim_{x\to0}\frac{\sin 4x}{x}} = e^{4}$

故 $e^{1-k} = e^4 \Rightarrow 1-k = 4 \Rightarrow k = -3$

### 3.5 课后练习与详解

**练习1**：$\displaystyle \lim_{x\to0}\left(\frac{a^x+b^x}{2}\right)^{3/x}\ (a,b>0)$

**解**：
$$
\begin{aligned}
\lim_{x\to0}\left(\frac{a^x+b^x}{2}\right)^{3/x}
&= \lim_{x\to0}\left(1 + \frac{a^x+b^x-2}{2}\right)^{3/x} \\
&= \lim_{x\to0}\left(1 + \frac{(a^x-1)+(b^x-1)}{2}\right)^{3/x} \\
&= \lim_{x\to0}\left(1 + \frac{x\ln a + x\ln b + o(x)}{2}\right)^{3/x} \quad (\text{利用 } a^x-1 \sim x\ln a) \\
&= \lim_{x\to0}\left(1 + \frac{\ln(ab)}{2}x\right)^{3/x} \\
&= e^{\frac{3\ln(ab)}{2}} = (ab)^{3/2}
\end{aligned}
$$

**练习2**：$\displaystyle \lim_{x\to\infty}\frac{3x^2+5}{5x+3}\sin\frac{2}{x}$

**解**：
$$
\begin{aligned}
\lim_{x\to\infty}\frac{3x^2+5}{5x+3}\sin\frac{2}{x}
&= \lim_{x\to\infty}\frac{3x^2+5}{5x+3} \cdot \frac{\sin\frac{2}{x}}{\frac{2}{x}} \cdot \frac{2}{x} \\
&= \lim_{x\to\infty}\frac{3x^2+5}{5x+3} \cdot 1 \cdot \frac{2}{x} \\
&= \lim_{x\to\infty}\frac{6x^2+10}{5x^2+3x} = \frac{6}{5}
\end{aligned}
$$

**练习3**：$\displaystyle \lim_{x\to\pi/4}\frac{\tan x-1}{x-\pi/4}$

**解**：
令 $t = x - \frac{\pi}{4}$，则 $x = t + \frac{\pi}{4},\ t \to 0$

$\tan x = \tan\left(t + \frac{\pi}{4}\right) = \frac{\tan t + 1}{1 - \tan t}$

于是：
$$
\begin{aligned}
\tan x - 1 &= \frac{\tan t + 1}{1 - \tan t} - 1 = \frac{2\tan t}{1 - \tan t} \\
\frac{\tan x-1}{x-\pi/4} &= \frac{2\tan t}{t(1-\tan t)} = 2\cdot\frac{\tan t}{t}\cdot\frac{1}{1-\tan t}
\end{aligned}
$$

当 $t \to 0$ 时：$\frac{\tan t}{t} \to 1$，$1-\tan t \to 1$

故原极限 $= 2 \times 1 \times 1 = 2$

**练习4**：$\displaystyle \lim_{x\to\pi/2}(\sin x)^{\tan x}$

**解**：
令 $t = \frac{\pi}{2} - x$，则 $x = \frac{\pi}{2} - t,\ t \to 0$

$\sin x = \cos t \sim 1 - \frac{t^2}{2}$
$\tan x = \cot t = \frac{\cos t}{\sin t} \sim \frac{1}{t}$

原式 $= \displaystyle \lim_{t\to0} (\cos t)^{\cot t}$

取对数：$\ln(\text{原式}) = \displaystyle \lim_{t\to0} \cot t \cdot \ln(\cos t)$

$$
\cot t \cdot \ln(\cos t) = \frac{\cos t}{\sin t} \cdot \ln(1 - \frac{t^2}{2} + o(t^2)) \sim \frac{1}{t} \cdot (-\frac{t^2}{2}) = -\frac{t}{2} \to 0
$$

故原式 $= e^0 = 1$

> **💡 重要技巧**：
> 1. 幂指函数 $[f(x)]^{g(x)}$ 常取对数：$e^{g(x)\ln f(x)}$
> 2. 利用等价无穷小 $\ln(1+u) \sim u\ (u\to0)$
> 3. 注意代换后的新变量也趋于0，才能使用重要极限

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## 四、等价无穷小代换法

### 4.1 基本原理
在乘积和商的极限运算中，可以将复杂的无穷小量替换为等价的简单无穷小量，简化计算。

### 4.2 常用等价无穷小（$x\to 0$）
| 等价形式 | 条件 |
|---------|------|
| $x \sim \sin x \sim \tan x \sim \arcsin x \sim \arctan x$ | 基础等价 |
| $x \sim e^x-1 \sim \ln(1+x)$ | 指数对数等价 |
| $1-\cos x \sim \frac{1}{2}x^2$ | 三角函数等价 |
| $(1+x)^a-1 \sim ax$ | 幂函数等价 |
| $a^x-1 \sim x\ln a\ (a>0)$ | 指数函数等价 |
| $x - \sin x \sim \frac{1}{6}x^3$ | 高阶等价 |
| $\tan x - x \sim \frac{1}{3}x^3$ | 高阶等价 |

### 4.3 使用原则
1. **乘除运算可直接替换**
2. **加减运算需谨慎**：只有同阶无穷小相加减时，不能随意替换
3. **无穷乘方运算一般也不行**（即乘方上下均有变量时）：一对等价量可以写成差一个无穷小的形式，经过无穷乘方后无法得知其情况
4. **复合函数可整体替换**

### 4.4 典型例题

**例1**：计算 $\displaystyle \lim_{x\to 0}\frac{\sin mx}{\sin nx}$

**解**：
原式 $= \displaystyle \lim_{x\to 0}\frac{mx}{nx} = \frac{m}{n}$

**例2**：计算 $\displaystyle \lim_{x\to 0}(\cos x)^{\frac{1+x}{\sin^2 x}}$

**解**：取对数得
$$
\begin{aligned}
\ln L &= \lim_{x\to 0}\frac{1+x}{\sin^2 x}\ln(\cos x) \\
&= \lim_{x\to 0}\frac{1+x}{x^2} \cdot \ln[1+(\cos x-1)] \\
&= \lim_{x\to 0}\frac{1+x}{x^2} \cdot (\cos x-1) \quad (\text{利用 }\ln(1+u)\sim u) \\
&= \lim_{x\to 0}\frac{1+x}{x^2} \cdot (-\frac{1}{2}x^2) \quad (\text{利用 }1-\cos x\sim\frac{1}{2}x^2) \\
&= -\frac{1}{2}\lim_{x\to 0}(1+x) = -\frac{1}{2}
\end{aligned}
$$
故原式 $= e^{-1/2}$

**例3**：计算 $\displaystyle \lim_{n\to\infty} n^2[\arctan(n+1) - \arctan n]$

**解**：
利用公式 $\arctan a - \arctan b = \arctan\frac{a-b}{1+ab}$：
$$
\begin{aligned}
\text{原式} &= \lim_{n \to \infty} n^2 \arctan\frac{(n+1)-n}{1+(n+1)n} \\
&= \lim_{n \to \infty} n^2 \arctan\frac{1}{n^2+n+1} \\
&= \lim_{n \to \infty} n^2 \cdot \frac{1}{n^2+n+1} \quad (\text{利用 }\arctan u\sim u\ (u\to0)) \\
&= \lim_{n \to \infty} \frac{n^2}{n^2+n+1} = 1
\end{aligned}
$$

### 4.5 注意事项与常见错误

**⚠️ 加减法替换的陷阱**：
已知 $a^x - 1 \sim x\ln a$；$x \sim \sin x$，但
$$
\lim_{x\to 0}\frac{a^x - 1 - x\ln a}{\sin x - x}
$$
不能直接替换为 $\frac{0}{0}$！

**正确解法（泰勒展开）**：
分子：$a^x - 1 - x\ln a = \left(1 + x\ln a + \frac{(x\ln a)^2}{2} + o(x^2)\right) - 1 - x\ln a = \frac{(x\ln a)^2}{2} + o(x^2)$

分母：$\sin x - x = -\frac{x^3}{6} + o(x^3)$

因此：
$$
\frac{a^x - 1 - x\ln a}{\sin x - x} \sim \frac{\frac{(x\ln a)^2}{2}}{-\frac{x^3}{6}} = -3\frac{(\ln a)^2}{x}
$$
当 $x\to 0^+$ 时 $\to -\infty$，$x\to 0^-$ 时 $\to +\infty$，极限不存在。

### 4.6 引入练习详解

计算 $\displaystyle \lim_{x\to0}\frac{\sqrt{1+2\tan x}-\sqrt{1+2\sin x}}{x\ln(1+x)-x^2}$

**解**：
$$
\begin{aligned}
\text{原式} &= \lim_{x\to0}\frac{(\sqrt{1+2\tan x}-\sqrt{1+2\sin x})(\sqrt{1+2\tan x}+\sqrt{1+2\sin x})}{(x\ln(1+x)-x^2)(\sqrt{1+2\tan x}+\sqrt{1+2\sin x})} \\
&= \lim_{x\to0}\frac{2(\tan x - \sin x)}{x[\ln(1+x)-x] \cdot 2} \quad (\text{分母中的}\sqrt{\cdots}+\sqrt{\cdots}\to 2) \\
&= \lim_{x\to0}\frac{\tan x - \sin x}{x[\ln(1+x)-x]} \\
&= \lim_{x\to0}\frac{\sin x(\frac{1}{\cos x}-1)}{x[\ln(1+x)-x]} \\
&= \lim_{x\to0}\frac{\sin x}{x} \cdot \frac{1}{\cos x} \cdot \frac{1-\cos x}{\ln(1+x)-x} \\
&= 1 \cdot 1 \cdot \lim_{x\to0}\frac{\frac{1}{2}x^2}{\ln(1+x)-x}
\end{aligned}
$$

对于 $\displaystyle \lim_{x\to0}\frac{\frac{1}{2}x^2}{\ln(1+x)-x}$：
利用 $\ln(1+x) = x - \frac{x^2}{2} + \frac{x^3}{3} + o(x^3)$
得 $\ln(1+x)-x = -\frac{x^2}{2} + \frac{x^3}{3} + o(x^3) \sim -\frac{x^2}{2}$

因此：
$$
\lim_{x\to0}\frac{\frac{1}{2}x^2}{\ln(1+x)-x} = \lim_{x\to0}\frac{\frac{1}{2}x^2}{-\frac{1}{2}x^2} = -1
$$

故原式 $= -1$，答案为 **C**。

> **📋 等价无穷小使用总结**：
> 1. 熟记常用等价无穷小公式
> 2. 乘除运算放心用，加减运算要小心
> 3. 复杂表达式可先有理化、拆分再使用
> 4. 不确定时可用泰勒展开验证

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## 五、"抓大头"法（主导项法）

### 5.1 基本原理
在极限计算中，忽略低阶项，只保留最高阶项（主导项）。

### 5.2 适用情形
1. **有理分式极限**：分子分母同除以最高次项
2. **指对嵌套式**：提出指数最高次项
3. **多项式与根式混合**：比较各项阶数

### 5.3 常见类型及方法

#### 类型一：有理分式
对于 $\displaystyle \lim_{x\to\infty}\frac{a_nx^n + a_{n-1}x^{n-1} + \cdots + a_0}{b_mx^m + b_{m-1}x^{m-1} + \cdots + b_0}$：
- $n > m$：极限为 $\infty$ 或 $-\infty$（由系数符号决定）
- $n = m$：极限为 $\frac{a_n}{b_m}$
- $n < m$：极限为 $0$

#### 类型二：指数型
对于 $\displaystyle \lim_{n\to\infty}\ln(ae^{\alpha n} + be^{\beta n} + \cdots)$，其中 $\alpha > \beta > \cdots$：
提取 $e^{\alpha n}$：$= \alpha n + \ln(a + be^{(\beta-\alpha)n} + \cdots) \to \alpha n + \ln a$

### 5.4 典型例题

**例1**：计算 $\displaystyle \lim_{x\to0}\frac{\sqrt{1-4x}-\cos x}{x}$

**解**：
使用等价无穷小：
$\sqrt{1-4x} = 1 - 2x - \frac{(4x)^2}{8} + o(x^2) = 1 - 2x - 2x^2 + o(x^2)$
$\cos x = 1 - \frac{x^2}{2} + o(x^2)$

因此：
$$
\sqrt{1-4x} - \cos x = (1 - 2x - 2x^2) - (1 - \frac{x^2}{2}) + o(x^2) = -2x - \frac{3}{2}x^2 + o(x^2)
$$

原式 $= \displaystyle \lim_{x\to0}\frac{-2x - \frac{3}{2}x^2 + o(x^2)}{x} = \lim_{x\to0}(-2 - \frac{3}{2}x + o(x)) = -2$

**例2**：计算 $\displaystyle \lim_{x\to\infty}\frac{3x^3 - 2x^2 + 5}{2x^3 + 7x - 1}$

**解**：
分子分母同除以 $x^3$：
$$
\lim_{x\to\infty}\frac{3 - \frac{2}{x} + \frac{5}{x^3}}{2 + \frac{7}{x^2} - \frac{1}{x^3}} = \frac{3}{2}
$$

**练习**：$\displaystyle \lim_{x \to 0} \frac{\csc x - \cot x}{x}$

**解**：
$$
\csc x - \cot x = \frac{1}{\sin x} - \frac{\cos x}{\sin x} = \frac{1-\cos x}{\sin x} \sim \frac{\frac{1}{2}x^2}{x} = \frac{x}{2}
$$

故原式 $= \displaystyle \lim_{x\to0}\frac{x/2}{x} = \frac{1}{2}$

### 5.5 综合练习

**练习1**：$\displaystyle \lim_{x\to\infty}\frac{\sqrt{4x^2+3x+1} - \sqrt{4x^2-2x+5}}{x}$

**解**：
有理化：
$$
\begin{aligned}
\text{原式} &= \lim_{x\to\infty}\frac{(4x^2+3x+1) - (4x^2-2x+5)}{x(\sqrt{4x^2+3x+1} + \sqrt{4x^2-2x+5})} \\
&= \lim_{x\to\infty}\frac{5x-4}{x(\sqrt{4x^2+3x+1} + \sqrt{4x^2-2x+5})} \\
&= \lim_{x\to\infty}\frac{5 - \frac{4}{x}}{\sqrt{4+\frac{3}{x}+\frac{1}{x^2}} + \sqrt{4-\frac{2}{x}+\frac{5}{x^2}}} \\
&= \frac{5}{\sqrt{4}+\sqrt{4}} = \frac{5}{2+2} = \frac{5}{4}
\end{aligned}
$$

> **💡 "抓大头"的本质**：
> 在 $x\to\infty$ 时，$x^3$ 比 $x^2$ "大得多"；在 $x\to0$ 时，$x^2$ 比 $x$ "小得多"。抓住这些主导项，忽略次要项，是快速求解极限的关键。

---

## 六、方法综合运用与总结

### 6.1 极限计算流程图
```
开始
  ↓
判断极限类型
  ├── 0/0型 → 考虑：有理化、等价无穷小、洛必达
  ├── ∞/∞型 → 考虑：抓大头、洛必达
  ├── ∞-∞型 → 考虑：有理化、通分
  ├── 0·∞型 → 化为0/0或∞/∞
  └── 1^∞, 0^0, ∞^0型 → 取对数化为0/0型
  ↓
选择合适方法
  ↓
计算并验证
```

### 6.2 方法选择指南
| 方法 | 最佳适用场景 | 注意事项 |
|------|------------|----------|
| 有理化根式法 | 含根式的$\infty-\infty$或$0/0$型 | 注意分子分母分别有理化 |
| 夹逼定理法 | 求和、幂和根式、有界函数乘积 | 构造合适的不等式是关键 |
| 凑重要极限法 | 含$\sin x/x$或$(1+1/x)^x$结构 | 灵活使用变量代换 |
| 等价无穷小法 | 乘除运算中的复杂无穷小 | 加减运算中慎用 |
| 抓大头法 | $x\to\infty$的有理分式或指对式 | 明确各项阶数关系 |

### 6.3 常见错误提醒
1. **滥用等价无穷小**：在加减运算中随意替换
2. **忽略定义域**：如$\sqrt{x}$在$x<0$时无定义
3. **错误使用洛必达**：不满足$\frac{0}{0}$或$\frac{\infty}{\infty}$型
4. **夹逼定理使用不当**：上下界极限不相等
5. **重要极限变形错误**：$\lim (1+\frac{1}{x})^x = e$ 仅当$x\to\infty$

### 6.4 终极建议
1. **先化简后计算**：有理化、通分、因式分解等
2. **多方法验证**：用不同方法计算同一极限，验证结果
3. **掌握泰勒展开**：这是极限计算的终极武器
4. **积累常见结论**：如$\lim_{n\to\infty}\sqrt[n]{n}=1$，$\lim_{x\to0}\frac{\tan x - x}{x^3}=\frac{1}{3}$等

> **🚀 提升路径**：
> 1. 熟练掌握本文五种基本方法
> 2. 学习洛必达法则（适用于0/0和∞/∞型）
> 3. 掌握泰勒公式展开（最强大的工具）
> 4. 练习综合题，培养方法选择直觉

**记住**：极限计算的核心思想是 **"化未知为已知，化复杂为简单"**。通过恒等变形、变量代换、等价替换等手段，将陌生的极限转化为熟悉的形式，再利用已知结论求解。