
首先提出一个问题：
导数和微分是一个东西吗
**不是。它们密切相关，但本质不同。**

### 一阶情形

- **导数 (Derivative)**
    - **本质**：一个**函数**（或该函数在某点的值）
    - **含义**：因变量相对于自变量的**变化率**（瞬时斜率）
    - **定义**：$f'(x) = \frac{dy}{dx} = \lim\limits_{\Delta x \to 0} \frac{\Delta y}{\Delta x}$

- **微分 (Differential)**
    - **本质**：一个**表达式**或**量**
    - **含义**：函数改变量的**线性主要部分**
    - **定义**：$dy = f'(x) \, dx$
        - 其中 $dx$ 是自变量的微分（任意微小改变量）
        - $dy$ 是因变量沿切线方向的近似改变量

**一阶关系**：$dy = f'(x) \, dx$

### 二阶情形
#### 二阶导数 
- **本质**：一阶导数的导数，仍是一个**函数**
- **符号**：$f''(x)$, $y''$, $\frac{d^2y}{dx^2}$
- **含义**：函数**变化率的变化率**，描述函数的**凹凸性**
- **定义**：$f''(x) = \frac{d}{dx}[f'(x)]$

#### 二阶微分 
- **本质**：微分的微分，是一个**表达式**
- **符号**：$d^2y$
- 
 我们知道：$f''(x) =\lim\limits_{\Delta x \rightarrow0} \frac{f'(x+\Delta x) - f'(x)}{dx} = \frac{d^2f(x)}{(dx)^2}$ 
现在尝试推导这一公式
由两函数相乘一阶微分公式：$d[f(x).g(x)] = g(x)d[(fx)] + f(x)d[g(x)]$ 
得：
 $f''(x) = \frac{d(\frac{df(x)}{dx})}{dx}$ 
     $= \frac{1}{dx}.\frac{d(df(x))}{dx} + df(x) . \frac{d(\frac{1}{dx})}{dx}$
     $= \frac{d^2f(x)}{(dx)^2} +df(x) . \frac{d(\frac{1}{dx})}{dx}$ 
---
     嘿！您猜怎么着！
     出现了额外的一项，与二阶导数公式不符： $df(x)\frac{d(\frac{1}{dx})}{dx}=-df(x) \frac{1}{d^2x}\frac{d({dx})}{dx}$ 
问题出在 $d(dx)$ 上：
     我们知道，一阶导数的意义是当 $\Delta x$ 趋于无穷小的时候 $\Delta y$ 的变化率
     实际上，在函数曲线上的任何一点处取函数微分， $dx$ 都是相等的
     即 $dx$ 永远是均匀的，求高阶微分时将其视为常数
     所以：$d(dx) = 0$
### $f''(x) =\lim\limits_{\Delta x \rightarrow0} \frac{f'(x+\Delta x) - f'(x)}{dx} = \frac{d^2f(x)}{(dx)^2}= \frac{d^2f(x)}{dx^2}$ 
 
**注意此处的约定写法**：$(dx)^2$ 写作 $dx^2$（注意：这不是 $d(x^2)$）





