课上我们已经学了线性变换和方阵的关系，即任意一个线性变换都与一个方阵相对应.具体的描述可以写成如下的形式：
>[!note] 定理1：
>设$V$是在数域$\mathbb{P}$上的线性空间，$T$是线性空间$V$上的一个线性变换，若$V$上的一组基为$$\alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_r,$$则$\forall\alpha\in V$,有$$T(\alpha)=[T(\alpha_1),T(\alpha_2),\cdots,T(\alpha_r)]\begin{bmatrix}x_1\\x_2\\\cdots\\x_r\end{bmatrix}=[\alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_r]A\begin{bmatrix}x_1\\x_2\\\cdots\\x_r\end{bmatrix}$$其中$\begin{bmatrix}x_1\\x_2\\\cdots\\x_r\end{bmatrix}$是$\alpha$在这组基下的坐标，方阵$A$称为$T$在这组基下的方阵.

我们考虑较为熟悉的情形，不妨令$\mathbb{P}=\mathbb{R},V=\mathbb{R}^n$，那么我们就可以认为方阵$A$与一个从$\mathbb{R}^n$到$\mathbb{R}^n$的线性映射相对应.自然可以想到：如果考虑线性映射$$\sigma:\mathbb{R}^m\rightarrow\mathbb{R}^n$$我们是否也可以得到一个矩阵呢？而且我们会设想它是一个$m\times n$或者$n\times m$的矩阵.为使表述简单，我们取标准正交基$$\varepsilon_i=\begin{bmatrix}0\\\vdots\\1\\\vdots\\0\end{bmatrix}\in\mathbb{R}^m,其中1在第i行.$$设$$\sigma(\varepsilon_i)=\mathcal{A}_i\in\mathbb{R}^n.$$取$\alpha\in\mathbb{R}^m$,设$\alpha=\begin{bmatrix}a_1 \\a_2\\ \vdots \\a_m\end{bmatrix}=a_1\varepsilon_1+a_2+\varepsilon_2+\cdots+a_m\epsilon_m$,则$$\sigma(\alpha)=\sigma(a_1\varepsilon_1+a_2\varepsilon_2+\cdots+a_m\varepsilon_m)=a_1\sigma(\varepsilon_1)+a_2\sigma(\varepsilon_2)+\cdots+a_m\sigma(\varepsilon_m)$$带入得$$\sigma(\alpha)=a_1\mathcal{A}_1+a_2\mathcal{A}_2+\cdots+a_m\mathcal{A}_m=\begin{bmatrix}\mathcal{A}_1\ \mathcal{A}_2\ \cdots\ \mathcal{A}_m\end{bmatrix}\begin{bmatrix}a_1\\a_2\\\vdots\\a_m\end{bmatrix}$$也就是说，对$\alpha$作用$\sigma$等价于对$\alpha$的坐标左乘一个$n$行$m$列的矩阵$$A=\begin{bmatrix}\mathcal{A}_1\ \mathcal{A}_2\ \cdots\ \mathcal{A}_m\end{bmatrix},$$也就是说，一个线性映射对应一个矩阵.反过来，一个矩阵能否对应一个从$\mathbb{R}^m$到$\mathbb{R}^n$的线性映射呢？
取$A\in\mathbb{R}^{n\times m}$,设$A=[\mathcal{A}_1\ \mathcal{A}_2\ \cdots\ \mathcal{A}_m\ ]$,取线性映射$\sigma:\mathbb{R}^m\to\mathbb{R}^n$，满足$$\sigma(\varepsilon_i)=\mathcal{A_i}$$于是若$\alpha=\begin{bmatrix}a_1\\a_2\\\vdots\\a_m\end{bmatrix}\in\mathbb{R}^m$,有$$\begin{aligned}\sigma(\alpha)&=\sigma(a_1\varepsilon_1+a_2\varepsilon_2+\cdots+a_m\varepsilon_m)\\&=a_1\sigma(\varepsilon_1)+a_2\sigma(\varepsilon_2)+\cdots+a_m\sigma(\varepsilon_m)\\&=a_1\mathcal{A}_1+a_2\mathcal{A}_2+\cdots+a_m\mathcal{A}_m\\&=A\begin{bmatrix}a_1\\a_2\\\vdots\\a_m\end{bmatrix}\\&=A\alpha\end{aligned}$$于是一个矩阵也对应一个线性映射.从而有如下定理：
>[!note] 定理2：
>从$\mathbb{R}^m$到$\mathbb{R}^n$的线性映射全体与$\mathbb{R}^{n\times m}$中的矩阵一一对应.

由于每个线性空间都能由其基与一个向量空间构成同构，我们就能凭借上面这个定理把任意线性空间中的一个线性映射与一个矩阵一一对应起来.