在研究线性方程组的解的性质（例如维数）时，我们通常要与其系数矩阵本身的性质产生联系：

>[!note] 定理1：
>对于齐次方程组 $\boldsymbol{A}_{m \times n}\boldsymbol{x}=\boldsymbol{0}$，设$\mathrm{rank}\boldsymbol{A}=r$，则
> $$\dim N(\boldsymbol{A})=n-r$$


已知三阶方阵 $A=\begin{bmatrix}\alpha_1&\alpha_2&\alpha_3\end{bmatrix}$ 有三个不同的特征值，其中$\alpha_3=2\alpha_1+\alpha_2$，若 $\beta=\alpha_1+3\alpha_2+4\alpha_3$ ，求线性方程组 $Ax=\beta$ 的通解.
 $\begin{bmatrix}1\\3\\4\end{bmatrix}+k\begin{bmatrix}2\\1\\-1\end{bmatrix}, k\in\mathbb{R}$
>解析：由 $\alpha_3=2\alpha_1+\alpha_2$ 可得 $A$ 的列向量组线性相关， $|A|=0$；又因为 $A$ 的三个特征值各不相同，故 $A$ 有两个不为零的特征值 $\lambda_1,\lambda_2$，且 $A$ 可相似对角化，即 $A=P^{-1}\begin{bmatrix}\lambda_1&&\\&\lambda_2&\\&&0\end{bmatrix}P$，$\mathrm{rank}A=\mathrm{rank}(P^{-1}\begin{bmatrix}\lambda_1&&\\&\lambda_2&\\&&0\end{bmatrix}P)=\mathrm{rank}\begin{bmatrix}\lambda_1&&\\&\lambda_2&\\&&0\end{bmatrix}=2$
>故 $Ax=0$ 的解空间维数是 $1$ （5分）
>$\beta=\alpha_1+3\alpha_2+4\alpha_3$，所以 $(1,3,4)^\mathrm{T}$ 为特解；（5分）
>$\alpha_3=2\alpha_1+\alpha_2$，所以$A\begin{bmatrix}2k\\k\\-k\end{bmatrix}=2\alpha_1+\alpha_2-\alpha_3=0$，所以 $(2,1,-1)^\mathrm{T}$ 为基础解系；（10分）
>解空间维数是 $1$ ，方程的解 $\begin{bmatrix}1\\3\\4\end{bmatrix}+k\begin{bmatrix}2\\1\\-1\end{bmatrix}, k\in\mathbb{R}$ 维数是 $1$，该解完备


 设 
$$
A = \begin{bmatrix} 
1 & -1 & 0 & -1 \\ 
1 & 1 & 0 & 3 \\ 
2 & 1 & 2 & 6 
\end{bmatrix}, \quad 
B = \begin{bmatrix} 
1 & 0 & 1 & 2 \\ 
1 & -1 & a & a-1 \\ 
2 & -3 & 2 & -2 
\end{bmatrix}, 
\quad 
\alpha = \begin{bmatrix} 0 \\ 2 \\ 3 \end{bmatrix}, \quad 
\beta = \begin{bmatrix} 1 \\ 0 \\ -1 \end{bmatrix}
$$

(1) 证明：方程组 $Ax = \alpha$ 的解均为方程组 $Bx = \beta$ 的解；

(2) 若方程组 $Ax = \alpha$ 与方程组 $Bx = \beta$ 不同解，求 $a$ 的值。
4. (10分) 设 
$$
A = \begin{bmatrix} 
1 & -1 & 0 & -1 \\ 
1 & 1 & 0 & 3 \\ 
2 & 1 & 2 & 6 
\end{bmatrix}, \quad 
B = \begin{bmatrix} 
1 & 0 & 1 & 2 \\ 
1 & -1 & a & a-1 \\ 
2 & -3 & 2 & -2 
\end{bmatrix},
$$
向量 
$$
\alpha = \begin{bmatrix} 0 \\ 2 \\ 3 \end{bmatrix}, \quad 
\beta = \begin{bmatrix} 1 \\ 0 \\ -1 \end{bmatrix}.
$$

(1) 证明：方程组 $Ax = \alpha$ 的解均为方程组 $Bx = \beta$ 的解；

(2) 若方程组 $Ax = \alpha$ 与方程组 $Bx = \beta$ 不同解，求 $a$ 的值。

---

**解：**

(1) 由于
$$
\left( \begin{array}{c}
A \quad \alpha \\
B \quad \beta 
\end{array} \right) =
\left( \begin{array}{ccccc}
1 & -1 & 0 & -1 & 0 \\
1 & 1 & 0 & 3 & 2 \\
2 & 1 & 2 & 6 & 3 \\
1 & 0 & 1 & 2 & 1 \\
1 & -1 & a & a-1 & 0 \\
2 & -3 & 2 & -2 & -1 
\end{array} \right)
$$
$$
\rightarrow
\left( \begin{array}{ccccc}
1 & -1 & 0 & -1 & 0 \\
0 & 1 & 0 & 2 & 1 \\
0 & 0 & 2 & 2 & 0 \\
0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 0 & 0 & 0 
\end{array} \right),
$$
故 
$$
R \left( \begin{array}{c}
A \quad \alpha \\
B \quad \beta 
\end{array} \right) = R(A, \alpha),
$$
从而方程组 
$$
\begin{cases}
Ax = \alpha, \\
Bx = \beta
\end{cases}
$$
与 $Ax = \alpha$ 同解，故 $Ax = \alpha$ 的解均为 $Bx = \beta$ 的解。

(2) 由于 $Ax = \alpha$ 的解均为 $Bx = \beta$ 的解，若 $Ax = \alpha$ 与 $Bx = \beta$ 同解，则与题意矛盾，故 $Ax = \alpha$ 的解是 $Bx = \beta$ 解的真子集。于是 $Ax = 0$ 的基础解系中解向量的个数小于 $Bx = 0$ 的基础解系中解向量的个数，即
$$
4 - R(A) < 4 - R(B),
$$
故 $R(A) > R(B)$。又因 $R(A) = 3$，故 $R(B) < 3$，则
$$
\left| \begin{array}{ccc}
1 & 0 & 1 \\
1 & -1 & a \\
2 & -3 & 2 
\end{array} \right| = 0,
$$
解得 $a = 1$。