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**内部资料，禁止传播**
**编委会（不分先后，姓氏首字母顺序）：韩魏   刘柯妤   卢吉辚   王轲楠   支宝宁**

# 有理化根式法

## Quick Description

### 原理

通过平方差公式上下同乘有理化，使得 $\infty - \infty$ 或者 $\frac {0}{0}$ 等不定型变得可以处理，从而使极限可以计算

### 适用情况

分式中出现根式减根式，或形式本身为根式减根式，且极限过程导致出现不定型，常见的有 $\infty - \infty$ 和 $\frac {0}{0}$

### 优势和劣势

迅速处理上述问题，但注意一般只能处理含根式问题，若无根式，可能考虑抓大头法

一般 $\infty - \infty$ 经过有理化可以得到 $\frac{1}{\infty+\infty}$ 

而 $\frac {0}{0}$ 需要上下都经过有理化，一般能约掉一个因式，从而使其可以处理

### 例子

> [!example] 例1
> 计算极限 $\lim_{x \to \infty}(\sqrt{x^{2}+1}-\sqrt{x^{2}-1})$
  
  
  
  
  
  

> [!example] 例2
> 计算极限 $\lim_{x \to 4} \frac{\sqrt{2x+1}-3} {\sqrt{x-2}-\sqrt{2}}$

  
  
  
  

  

# 夹逼定理法

## Quick Description

### 原理

被“夹”在中间的函数，会被两边函数的共同极限“逼”出相同的极限

### 适用情况

1.针对形如 $\lim\limits_{n\to\infty}\sum_{k=1}^{n}a_{k}$ 的式子，尤其是每一项 $a_{k}$ 含 $n$ 和 $k$、无法直接求和的情况（或连乘）

2.对于给定的  $m$  个正数  $a_1, a_2, \dots, a_m ，\lim_{n \to \infty} \sqrt[n]{a_1^n + a_2^n + \cdots + a_m^n} = \max\{a_1, a_2, \dots, a_m\}$.

3.有界函数放缩

### 优势和劣势

#### 优势

1. 处理复杂表达式的有效工具，对于形式复杂、不易直接化简的极限（如 $\sqrt[n]{a_1^n + \cdots + a_m^n}$  这类“混合幂和”）

2. 不依赖具体函数形式

3. 特别适合涉及  $n \to \infty$  的离散极限

4. 直观易懂

#### 劣势

1. 需要合适的不等式构造，必须找到恰当的上下界，既要容易求极限，又要在所求极限点处上下界极限相等。有时不容易找到这样的函数。

2. 可能高估或低估范围

3. 对振荡型函数有时不适用

## 例子

### 类型一：

> [!example] 例1
> 求极限
> $$\lim_{n \to \infty} \left( \frac{n+1}{n^2+1} + \frac{n+2}{n^2+2} + \cdots + \frac{n+n}{n^2+n} \right)$$








> [!example] 例2
> 证明：$$\lim_{n\to\infty} \frac{n!}{n^n} = 0$$









### 类型二：

> [!example] 例3
> 设  $f(x) = \lim_{n \to \infty} \sqrt[n]{1 + x^n + \left( \frac{x^2}{2} \right)^n} ， x \geq 0$，问  $f(x)$  是否为连续函数。







> [!example] 例4 
> 证明$\lim_{n\to\infty} \sqrt[n]{3^n + 5^n + 7^n} = 7$








### 类型三：

> [!example] 例5 
> 求函数极限 $\lim\limits_{x\to0}x^2\sin\frac{1}{x}$








> [!example] 例6 
> 证明：$\lim_{n\to\infty} \sqrt[n]{2 + \sin^2 n} = 1$









# 凑重要极限法

## 原理：

两个重要极限
$$(1)\lim\limits_{x \to 0} \tfrac{sinx}{x}=1$$$$(2)\lim\limits_{x \to 0} \tfrac{e^x-1}{x}=1$$

## 适用情况

x是形式的，也就是说，只要是一个趋于0的函数放在上面两个极限中x的位置，极限的结果仍然不变。首先得是一个除法的形式，如果是乘法，就转化成除以另一个函数的倒数，比如

$$\lim\limits_{x \to \infty} x(e^\tfrac{1}{x}-1)=\lim\limits_{x \to \infty } \tfrac{e^\tfrac{1}{x}-1}{\tfrac{1}{x}}=1$$

这就是一个常见的化简思路。

## 例子


> [!example] 计算下列极限：
> (1)$$\lim\limits_{x \to 0} \tfrac {x-sin2x}{x+sin3x}$$
> (2)$$\lim\limits_{x \to 0} (\tfrac{1-x}{1+3x})^{1/x}$$






> [!example] 例2
> 已知$$\lim\limits_{x\to\infty}(\tfrac{x+1}{x+k})^x=\lim\limits_{x\to0}e^{\tfrac{sin4x}{x}}$$则常数k的值为__









# 等价无穷小求极限法

## 4.1 基本原理

在乘积和商的极限运算中，可以将复杂的无穷小量替换为等价的简单无穷小量，简化计算。

## 4.2 常用等价无穷小（$x\to 0$）
| 等价形式 | 条件 |
|---------|------|
| $x \sim \sin x \sim \tan x \sim \arcsin x \sim \arctan x$ | 基础等价 |
| $x \sim e^x-1 \sim \ln(1+x)$ | 指数对数等价 |
| $1-\cos x \sim \frac{1}{2}x^2$ | 三角函数等价 |
| $(1+x)^a-1 \sim ax$ | 幂函数等价 |
| $a^x-1 \sim x\ln a\ (a>0)$ | 指数函数等价 |
| $x - \sin x \sim \frac{1}{6}x^3$ | 高阶等价 |
| $\tan x - x \sim \frac{1}{3}x^3$ | 高阶等价 |

## 4.3 使用原则
1. **乘除运算可直接替换**
2. **加减运算需谨慎**：只有同阶无穷小相加减时，不能随意替换
3. **无穷乘方运算一般也不行**（即乘方上下均有变量时）：一对等价量可以写成差一个无穷小的形式，经过无穷乘方后无法得知其情况
4. **复合函数可整体替换**


> [!example] 例1
> 计算 $\displaystyle \lim_{x\to 0}\frac{\sin mx}{\sin nx}$







> [!example] 例2
> 计算 $$\displaystyle \lim_{x\to 0}(\cos x)^{\frac{1+x}{\sin^2 x}}$$






熟悉常见的极限，灵活运用好极限的四则运算法则和等价无穷小，已经能够解决绝大多数的极限计算题了，无论是简单题还是难题。很多看上去很复杂的所谓难题，无非是在四则运算和等价无穷小之间反复套娃而已，如果可以熟练的分离这些特征，其实不需要泰勒公式等“高级工具”就能快速准确地得出极限值。当然，不是贬低其他的工具，只是说不要学习了所谓的一些高级工具之后，就不重视这些初级的工具和结论。


# 抓大头”求极限法

1、形如

$$\frac{ax^n + bx^{n-1} + \ldots + p}{cx^m + \beta x^{m-1} + \ldots + \xi}$$

的多项式相除：上下同除x的最高次项，再上下各自求极限

2、形如

$$\ln(ae^{an} + \ldots + p)$$

的指对嵌套：先提出e的最高次项，转化为

$$\ln e^{\alpha n} \left( a + \frac{\cdots}{e^{\alpha n}} \right)$$

即

$$\alpha n + \ln \left( a + \frac{\cdots}{e^{\alpha n}} \right)$$


> [!example] 例1
> 计算$$\lim\limits_{x\to0}\frac{\sqrt{1-4x}-cosx}{x}=$$






