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# 线性代数适应性调研
## 一、选择题，共六道，每题3分，共18分

1. 设 $A$ 为 $n$ 阶对称矩阵，$B$ 为 $n$ 阶反对称矩阵，下列矩阵中为反对称矩阵的是
   (A) $AB - BA$;  
   (B) $AB + BA$;  
   (C) $BAB$;  
   (D) $(AB)^2$.

2.  设 $e_1, e_2$ 和 $\varepsilon_1, \varepsilon_2$ 是线性空间 $\mathbb{R}^2$ 的两组基，并且已知关系式  $\varepsilon_1 = e_1 + 5e_2,\ \varepsilon_2 = e_2,$  则由基  $\varepsilon_1, \varepsilon_2$ 到基 $e_1, e_2$ 到基的过渡矩阵是  
   (A) $\begin{bmatrix}0 & -1 \\ -6 & 0\end{bmatrix}$
   (B) $\begin{bmatrix}-1 & 0 \\5 & -1\end{bmatrix}$
   (C) $\begin{bmatrix}1 & 0 \\-5 & -1\end{bmatrix}$
   (D) $\begin{bmatrix}1 & 0 \\-5 & 1\end{bmatrix}$

3. 设向量组  $\alpha_1 = (0, 0, c_1)^T,\quad  \alpha_2 = (0, 1, c_2)^T,\quad \alpha_3 = (1, -1, c_3)^T,\quad \alpha_4 = (-1, 1, c_4)^T,$  
   其中 $c_1, c_2, c_3, c_4$ 为任意常数，则下列向量组线性相关的是
   (A) $\alpha_1, \alpha_2, \alpha_3$;  
   (B) $\alpha_1, \alpha_2, \alpha_4$;  
   (C) $\alpha_1, \alpha_3, \alpha_4$;  
   (D) $\alpha_2, \alpha_3, \alpha_4$.
   
4. 设 $A, B$ 为 $n$ 阶矩阵，则
   (A) $\text{rank}[A \ AB] = \text{rank} A$;  
   (B) $\text{rank}[A \ BA] = \text{rank} A$;  
   (C) $\text{rank}[A \ B] = \max\{\text{rank} A, \text{rank} B\}$;  
   (D) $\text{rank}[A \ B] = \text{rank}[A^T \ B^T]$.

5. 设 $A$ 可逆，将 $A$ 的第一列加上第二列的 2 倍得到 $B$，则 $A^*$ 与 $B^*$ 满足
   (A) 将 $A^*$ 的第一列加上第二列的 2 倍得到 $B^*$;  
   (B) 将 $A^*$ 的第一行加上第二行的 2 倍得到 $B^*$;  
   (C) 将 $A^*$ 的第二列加上第一列的 $(-2)$ 倍得到 $B^*$;  
   (D) 将 $A^*$ 的第二行加上第一行的 $(-2)$ 倍得到 $B^*$.

6. 已知方程组$\quad\begin{cases}x_1 + 2x_2 + 3x_3 = 0, \\2x_1 + 3x_2 + 5x_3 = 0, \\x_1 + x_2 + ax_3 = 0,\end{cases}$与$\text{(II)} \quad\begin{cases}x_1 + bx_2 + cx_3 = 0, \\2x_1 + b^2x_2 + (c+1)x_3 = 0\end{cases}$同解，则
   (A) $a = 1, b = 0, c = 1$;  
   (B) $a = 1, b = 1, c = 2$;  
   (C) $a = 2, b = 0, c = 1$;  
   (D) $a = 2, b = 1, c = 2$.

## 二、填空题，共六道，每题3分，共18分

7. 已知向量 $\alpha_1 = (1,0,-1,0)^T$，$\alpha_2 = (1,1,-1,-1)^T$，$\alpha_3 = (-1,0,1,1)^T$，则向量 $\alpha_1 + 2\alpha_2$ 与 $2\alpha_1 + \alpha_3$ 的内积$\langle \alpha_1 + 2\alpha_2,\, 2\alpha_1 + \alpha_3 \rangle = \underline{\qquad\qquad}.$

8. 设2阶矩阵A=$\begin{bmatrix}3&-1\\-9&3\end{bmatrix}$，n为正整数，则$A^n=\underline{\qquad\qquad\quad\quad}$。

9. 若向量组$\alpha_1 = (1,0,1)^T,\quad \alpha_2 = (0,1,1)^T,\quad \alpha_3 = (1,3,5)^T$不能由向量组$\beta_1 = (1,1,1)^T,\quad\beta_2 = (1,2,3)^T,\quad\beta_3 = (3,4,a)^T$线性表示，则$a = \underline{\qquad\qquad}.$

10. 设矩阵$A = \begin{bmatrix}1 & a_1 & a_1^2 & a_1^3 \\1 & a_2 & a_2^2 & a_2^3 \\1 & a_3 & a_3^2 & a_3^3 \\1 & a_4 & a_4^2 & a_4^3\end{bmatrix},x = \begin{bmatrix} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \\ x_4 \end{bmatrix},b = \begin{bmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \\ 1 \end{bmatrix},$其中常数 $a_1, a_2, a_3, a_4$ 互不相等，则线性方程组 $Ax = b$ 的解为$\underline{\qquad\qquad\qquad\qquad}.$

11. 矩阵(陈峰华原创题)$$A=\begin{bmatrix}
0 & 0 & 0 & \cdots & 0 & 1 & 1 & \cdots & 1 & 1 & 1 \\
0 & 0 & 0 & \cdots & 0 & 0 & 1 & \cdots & 1 & 1 & 1 \\
0 & 0 & 0 & \cdots & 0 & 0 & 0 & \cdots & 1 & 1 & 1 \\
\vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots & \vdots & \vdots \\
0 & 0 & 0 & \cdots & 0 & 0 & 0 & \cdots & 0 & 1 & 1 \\
0 & 0 & 0 & \cdots & 0 & 0 & 0 & \cdots & 0 & 0 & 1 \\
0 & 0 & 0 & \cdots & 0 & 0 & 0 & \cdots & 0 & 0 & 0 \\
\vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots & \vdots & \vdots \\
0 & 0 & 0 & \cdots & 0 & 0 & 0 & \cdots & 0 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 0 & \cdots & 0 & 0 & 0 & \cdots & 0 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 0 & \cdots & 0 & 0 & 0 & \cdots & 0 & 0 & 0 
\end{bmatrix}_{(mn) \times (mn)}$$其中第一行有$m$个$0$.若$A^k=O$，则 $k$ 的最小值为$\underline{\qquad\qquad\qquad\qquad}.$

12. 设 $A, B$ 均为 $n$ 阶方阵，满足$\text{rank} \begin{bmatrix} A \\ B \end{bmatrix} = \text{rank}B,$ 且方程 $XA = B$ 有解。若 $\operatorname{rank} A = k$，则$\text{rank} \begin{bmatrix} B & O \\ A & E \end{bmatrix} =\underline{\hspace{3cm}}.$

## 三、解答题，共五道，共64分

13. （20 分）计算 下面的两个$n$阶行列式
$$
    K_n = \begin{vmatrix}
    1 & 2 & 3 & \cdots & n-1 & n \\
    2 & 1 & 2 & \cdots & n-2 & n-1 \\
    3 & 2 & 1 & \cdots & n-3 & n-2 \\
    \vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots & \vdots \\
    n-1 & n-2 & n-3 & \cdots & 1 & 2 \\
    n & n-1 & n-2 & \cdots & 2 & 1
    \end{vmatrix}.
    $$
$$
 M_n =\begin{vmatrix}
1+x_1 & 1+x_1^2 & \cdots & 1+x_1^n \\
1+x_2 & 1+x_2^2 & \cdots & 1+x_2^n \\
\vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\
1+x_n & 1+x_n^2 & \cdots & 1+x_n^n
\end{vmatrix}
$$
```text





















```
14. （10 分）设$A=\begin{bmatrix}1 & -1 & 0 & -1 \\ 1 & 1 & 0 & 3 \\ 2 & 1 & 2 & 6\end{bmatrix},B=\begin{bmatrix}1 & 0 & 1 & 2 \\ 1 & -1 & a & a-1 \\ 2 & -3 & 2 & -2\end{bmatrix}$,向量$\alpha=\begin{bmatrix}0\\2\\3\end{bmatrix},\beta=\begin{bmatrix}1\\0\\-1\end{bmatrix}$.
     (1)证明：方程组 $Ax=\alpha$ 的解均为方程组 $Bx=\beta$ 的解；
     (2)若方程组 $Ax=\alpha$ 与方程组 $Bx=\beta$ 不同解，求 $a$ 的值.
```text





















```
15. （10 分）设 $\alpha_1 = (1,0,-1)^T,\quad \alpha_2 = (2,1,1)^T,\quad \alpha_3 = (1,1,1)^T$和$\beta_1 = (0,1,1)^T,\quad \beta_2 = (-1,1,0)^T,\quad \beta_3 = (0,2,1)^T$是 $\mathbb{R}^3$ 的两组基，求向量 $u = \alpha_1 + 2\alpha_2 - 3\alpha_3$在基 $\beta_1, \beta_2, \beta_3$ 下的坐标。
```text





















```
16. （12 分）设 $n$ 阶方阵 $A, B$ 满足 $AB = A + B$。
    （1）证明 $A - E$ 可逆；
    （2）证明 $AB = BA$；
    （3）证明 $\mathrm{rank}(A) = \mathrm{rank}(B)$；
    （4）若矩阵$B = \begin{bmatrix}1 & -3 & 0 \\2 &  1 & 0 \\0 &  0 & 2\end{bmatrix}$，求矩阵 $A$。
```text





















```
17. （12 分）设矩阵$A=\begin{bmatrix}1&2&1&2\\0&1&t&t\\1&t&0&1\end{bmatrix}$，齐次线性方程组 $Ax=0$ 的基础解系中含有两个解向量，求 $Ax=0$ 的通解。
```text





















```