> [!info] 定理 函数极限的柯西收敛准则
> 极限 $\lim\limits_{x\to a}f(x)$ 收敛当且仅当对于任意 $\varepsilon\gt0$, 存在 $a$ 的去心领域 $\overset \circ U(a,\delta)$, 对于任意 $x,y\in\overset \circ U(a,\delta)$, 总存在 $\varepsilon\gt0$ 使得 $|f(x)-f(y)|\lt\varepsilon$.

利用极限的定义容易证明.
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> [!info] 定理 反常积分的柯西收敛准则
> 积分 $\displaystyle\int_a^{+\infty}f(x)\mathrm dx$ 收敛当且仅当对于所有的 $A'\gt A\gt a$, 存在正数 $\varepsilon\gt0$ 成立 $$\left|\int_A^{A'}f(x)\mathrm dx\right|\lt\varepsilon.$$

> [!solution] 证明
> 记 $\displaystyle F(x)=\int_a^xf(t)\mathrm dt$, 则积分收敛等价于 $\lim\limits_{x\to+\infty}F(x)$ 收敛. 
> 又由函数极限的柯西收敛准则, $\lim\limits_{x\to+\infty}F(x)$ 收敛等价于对于任意 $A'\gt A\gt a$ 存在 $\varepsilon\gt0$ 使得 $$\displaystyle\left|\int_A^{A'}f(x)\mathrm dx\right|=|F(A')-F(A)|\lt\varepsilon,$$得证.

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> [!info] 定理 狄利克雷判别法
> 若 $\displaystyle F(u)=\int_a^{u}f(x)\mathrm dx$ 在 $[a,+\infty)$ 上有界, 且 $g(x)$ 在 $[a,+\infty)$ 上当 $x\to+\infty$ 时单调趋于 $0$, 则积分 $\displaystyle\int_a^{+\infty}f(x)g(x)\mathrm dx$ 收敛.

> [!solution] 证明
> 不妨设 $g(x)$ 单调递减.
> 设 $F(u)$ 的一个界为 $M$, 则 $|F(u)|\leqslant M.$ 对于 $A'\gt A\gt a$, 由第二积分中值定理得，存在 $\xi\in(A,A')$, 使得$$\int_A^{A'}f(x)g(x)\mathrm dx=g(A)\int_A^\xi f(x)\mathrm dx+g(A')\int_\xi^{A'}f(x)\mathrm dx,$$由牛顿-莱布尼兹公式有$$\int_A^{A'}f(x)g(x)\mathrm dx=g(A)(F(\xi)-F(A))+g(A')(F(A')-F(\xi)),$$故 $$\begin{aligned}\left|\int_A^{A'}f(x)g(x)\mathrm dx\right|&\leqslant |g(A)|(|F(\xi)|+|F(A)|)+|g(A')|(|F(A')|+|F(\xi)|)\\
> &\leqslant2M(|g(A)|+|g(A')|).\end{aligned}$$由于 $\lim\limits_{x\to+\infty}g(x)=0$, 对于任意正数 $\varepsilon\gt0$, 存在 $X\gt a$ 成立 $|g(x)|\lt \dfrac{\varepsilon}{4M+1}.$ 
> 取 $A'\gt A\gt X$, 则有 $$\left|\int_A^{A'}f(x)g(x)\mathrm dx\right|\lt\varepsilon.$$ 有柯西收敛准则知积分 $\displaystyle\int_a^{+\infty}f(x)g(x)\mathrm dx$ 收敛.

