>[!example] 
>求 $\displaystyle I_n=\int\dfrac{\text{d}x}{(x^2+a^2)^n}$. （递推公式）

>[!example] 
>证明 $$\displaystyle I_n=\int\tan^nx\text{d}x=\dfrac{\tan^{n-1}x}{n-1}-I_{n-2}.$$

>[!note] 
>证明： $\displaystyle I_n=\int\tan^{n-2}x(\sec^2x-1)\text{d}x=\int\tan^{n-2}x\text{d}(\tan x)-I_{n-2}=\dfrac{\tan^{n-1}x}{n-1}-I_{n-2}.$

分部积分法：多次使用时，记住每次一定要把<span style='color:orange; font-weight:bold'>同一种</span>函数放到 $\text d$ 里面去. 

抽象函数积分
>[!example] 
>已知 $f(x)$ 的一个原函数是 $\dfrac{\cos x}{x}$, 求 $\displaystyle \int xf'(x)\text dx$.

>[!note]
>$\displaystyle \int xf'(x)\text dx=\int x\text df(x)=xf(x)-\int f(x)\text dx=xf(x)-\dfrac{\cos x}{x},$ 
>$\displaystyle f(x)=\left(\dfrac{\cos x}{x}\right)'=\dfrac{-x\sin x-\cos x}{x^2},$
>于是原式 $\displaystyle=\dfrac{-x\sin x-\cos x}{x}-\frac{\cos x}{x}=\dfrac{-x\sin x-2\cos x}{x}.$

换元加分部
>[!example] 
>求 $\displaystyle I=\int\dfrac{\text e^{\arctan x}}{(1+x^2)^{3/2}}\text dx.$

>[!note] 
>令 $u=\arctan x$, 则 $\text dx=\sec^2u\text du.$ 则 $$\begin{aligned}
>\displaystyle I&=\int \text e^u\cos u\text du\\
>&=\int \text e^u\text d\sin u\\
>&=\int \text e^u\text d\sin u\\
>&=\text e^u\sin u-\int\text e^u\sin u\text du\\
>&=\text e^u\sin u+\int \text e^u\text d\cos u\\
>&=\text e^u\sin u+(\text e^u\cos u-\int\text e^u\cos u\text du)\\
>&=\text e^u\sin u+\text e^u\cos u-I
>\end{aligned},$$于是 $\displaystyle I=\dfrac{1}{2}\text e^u(\sin u+\cos u)=\dfrac{(x+1)\text e^{\arctan x}}{2\sqrt{x^2+1}}+C.$

