# 2010—2011学年秋季学期《线性代数》考试试卷（A）卷

**考试形式：闭卷**  
**考试时间：150分钟**  
**满分：100分**

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 一、填空题（共6小题，每小题3分，共18分）

1. 设$\alpha_{1},\alpha_{2},\alpha_{3}$是欧氏空间的标准正交基，则向量$2\alpha_{1} - \alpha_{2} + 3\alpha_{3}$的长度为 $\underline{\qquad}$。
2. 设矩阵  
$$
   A = \left[ \begin{array}{ccc}
   2 & 1 & 1 \\
   \frac{1}{3} & \frac{1}{\sqrt{2}} & \frac{1}{3\sqrt{2}} \\
   a & b & \frac{-4}{3\sqrt{2}} \\
   \frac{2}{3} & \frac{-1}{\sqrt{2}} & \frac{1}{3\sqrt{2}}
   \end{array} \right]
$$
   为正交矩阵，则$ab =$$\underline{\qquad}$。
3. 若实二次型  $f(x_{1},x_{2},x_{3}) = x_{1}^{2} + 2\lambda x_{1}x_{2} - 2x_{1}x_{3} + 4x_{2}^{2} + 4x_{2}x_{3} + 4x_{3}^{2}$
   为正定二次型，则$\lambda$的取值范围为 $\underline{\qquad}$。
4. 已知$\alpha_{1},\alpha_{2}$是非齐次线性方程组$A_{2\times 3}x = b$的两个线性无关的解，且$\mathrm{rank}A = 2$。若$\alpha = k\alpha_{1} + l\alpha_{2}$是方程组$Ax = b$的通解，则常数$k,l$须满足关系式 $\underline{\qquad}$。
5. 设$A$为$n$阶实对称矩阵，且$A^{2} + 2A - 3E = 0$，$\lambda = 1$是$A$的一重特征值，则行列式$|A + 2E| =$$\underline{\qquad}$。
6. 设$A$为$n$阶可逆矩阵，且每一行元素之和都等于常数$a\neq 0$，则$A$的逆矩阵的每一行元素之和为$\underline{\qquad}$。

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 二、单选题（共6小题，每小题3分，共18分）

1. 设$A$为$n$阶可逆矩阵，$A$的第二行乘以2为矩阵$B$，则（ ）。
   - (A)$A^{-1}$的第二行乘以2为$B^{-1}$
   - (B)$A^{-1}$的第二列乘以2为$B^{-1}$
   - (C)$A^{-1}$的第二行乘以$\frac{1}{2}$为$B^{-1}$
   - (D)$A^{-1}$的第二列乘以$\frac{1}{2}$为$B^{-1}$

2. 设向量组$\alpha_1,\alpha_2,\alpha_3$线性无关，$\alpha_2,\alpha_3,\alpha_4$线性相关，以下命题中错误的是（ ）。
   - (A)$\alpha_1$不能被$\alpha_2,\alpha_3,\alpha_4$线性表示  
   - (B)$\alpha_2$不能被$\alpha_1,\alpha_3,\alpha_4$线性表示  
   - (C)$\alpha_4$能被$\alpha_1,\alpha_2,\alpha_3$线性表示  
   - (D)$\alpha_1,\alpha_2,\alpha_3,\alpha_4$线性相关

3. 设$A = [a_{ij}]_{n\times n}$，二次型  
$$
   f(x_1,x_2,\dots ,x_n) = \sum_{i=1}^n (a_{i1}x_1 + a_{i2}x_2 + \dots + a_{in}x_n)^2
$$
   的矩阵为（ ）。
   - (A)$A$
   - (B)$A^2$
   - (C)$A^T A$
   - (D)$A A^T$

4. 设$A, B$均为4阶方阵，且$\mathrm{rank}A = 4$，$\mathrm{rank}B = 3$，$A$和$B$的伴随矩阵为$A^*$和$B^*$，则$\mathrm{rank}(A^* B^*)$等于（ ）。
   - (A) 1  
   - (B) 2  
   - (C) 3  
   - (D) 4

5. 已知$\alpha_1,\alpha_2,\alpha_3,\alpha_4$是向量空间$V$的一个基，以下向量组也是$V$的基的是（ ）。
   - (A)$\alpha_1+\alpha_2,\ \alpha_2+\alpha_3,\ \alpha_3+\alpha_4,\ \alpha_4+\alpha_1$
   - (B)$\alpha_1-\alpha_2,\ \alpha_2-\alpha_3,\ \alpha_3-\alpha_4,\ \alpha_4-\alpha_1$
   - (C)$\alpha_1+\alpha_2,\ \alpha_2+\alpha_3,\ \alpha_3+\alpha_4,\ \alpha_4-\alpha_1$
   - (D)$\alpha_1+\alpha_2,\ \alpha_2+\alpha_3,\ \alpha_3-\alpha_4,\ \alpha_4-\alpha_1$

6. 设3阶方阵$A$的三个特征值为$\lambda_1 = 0,\ \lambda_2 = 3,\ \lambda_3 = -6$，对应于$\lambda_1$的特征向量为$x_1 = (1,0,-1)^T$，对应$\lambda_2$的特征向量为$x_2 = (2,1,1)^T$，记向量$x_3 = x_1 + x_2$，则（ ）。
   - (A)$x_3$是对应于特征值$\lambda_1 = 0$的特征向量  
   - (B)$x_3$是对应于特征值$\lambda_2 = 3$的特征向量  
   - (C)$x_3$是对应于特征值$\lambda_3 = -6$的特征向量  
   - (D)$x_3$不是$A$的特征向量

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三、（10分）计算$n$阶行列式

$$
D_n = \begin{vmatrix}
1 + x_1^2 & x_1x_2 & \cdots & x_1x_n \\
x_2x_1 & 1 + x_2^2 & \cdots & x_2x_n \\
\vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\
x_nx_1 & x_nx_2 & \cdots & 1 + x_n^2
\end{vmatrix}
$$

其中$x_i \neq 0, i = 1, 2, \dots , n$。

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四、（10分）设3阶方阵$A,B$满足方程$A^{2}B - A - B = E$，试求矩阵$B$，其中  
$$
A = \begin{bmatrix}
1 & 0 & 1 \\
0 & 2 & 0 \\
-2 & 0 & 1
\end{bmatrix}。
$$

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五、（10分）判定向量组

$$
\alpha_1 = \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \\ 4 \end{pmatrix},\ 
\alpha_2 = \begin{pmatrix} 2 \\ 3 \\ 4 \\ 5 \end{pmatrix},\ 
\alpha_3 = \begin{pmatrix} 3 \\ 4 \\ 5 \\ 6 \end{pmatrix},\ 
\alpha_4 = \begin{pmatrix} 4 \\ 5 \\ 6 \\ 7 \end{pmatrix}
$$

的线性相关性，求其一极大线性无关组，并将其余向量用该极大线性无关组线性表示。

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六、（10分）设线性方程组为

$$
\left\{
\begin{array}{l}
x_{1} - 3x_{2} - x_{3} = 0, \\
x_{1} - 4x_{2} + ax_{3} = b, \\
2x_{1} - x_{2} + 3x_{3} = 5,
\end{array}
\right.
$$

问：$a, b$取何值时，方程组无解、有唯一解、有无穷多解？在有无穷多解时求出其通解。

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七、（12分）已知实二次型

$$
f(x_{1},x_{2},x_{3}) = 2x_{1}x_{2} + 2x_{2}x_{3} + 2x_{3}x_{1},
$$

求正交变换$x = Qy$，将二次型$f(x_{1},x_{2},x_{3})$化为标准形，并写出正交变换$x = Qy$。

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八、（12分）设$A$是$m \times n$实矩阵，$\beta \neq 0$是$m$维实列向量，证明：

(1)$\mathrm{rank}A = \mathrm{rank}(A^{\mathrm{T}}A)$；  
(2) 线性方程组$A^{\mathrm{T}}Ax = A^{\mathrm{T}}\beta$有解。

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**注意：**  
1. 所有答题都须写在此试卷纸密封线右边，写在其它纸上一律无效。  
2. 密封线左边请勿答题，密封线外不得有姓名及相关标记。