1.下列关于矩阵秩的结论中，错误的是 【 】

A. 若矩阵 $A, B, C$ 满足 $A = BC$ 且 $B$ 是列满秩的，则 $A$ 列满秩当且仅当 $C$ 列满秩。

B. 行阶梯形矩阵中 1 的个数等于矩阵的秩。

C. 设 $A, B$ 均为 $n$ 阶方阵，则 $\text{rank}(AB) = \text{rank}B$ 的充要条件是线性方程组 $(AB)x = 0$ 与 $Bx = 0$ 同解。

D. 设 $A$ 为 $n$ 阶方阵，则 $\text{rank}(A^n) = \text{rank}(A^{n+1})$。

# 矩阵秩的结论辨析（选择题解析）
**答案**：$\boldsymbol{B}$

## 选项A：列满秩矩阵的乘积性质
**结论**：正确
**解析**：
设$A = BC$，且$B$ 是列满秩矩阵（$\text{rank}(B) = B的列数$）。
- 列满秩矩阵的核心性质：$B\boldsymbol{y} = \boldsymbol{0} \iff \boldsymbol{y} = \boldsymbol{0}$。
- 因此$A\boldsymbol{x} = BC\boldsymbol{x} = \boldsymbol{0} \iff C\boldsymbol{x} = \boldsymbol{0}$。
- 而$A$ 列满秩$\iff A\boldsymbol{x} = \boldsymbol{0}$ 只有零解；$C$ 列满秩$\iff C\boldsymbol{x} = \boldsymbol{0}$ 只有零解。
- 故$A$ 列满秩$\iff C$ 列满秩。

## 选项B：行阶梯形矩阵的秩
**结论**：错误
**解析**：
行阶梯形矩阵的秩等于**非零行的个数**，而非“1的个数”。
例：
$$
M = \begin{pmatrix} 2 & 0 & 0 \\ 0 & 3 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}
$$
是行阶梯形矩阵，秩为$2$，但矩阵中无“1”，因此“1的个数等于秩”不成立。

## 选项C：$\text{rank}(AB) = \text{rank}(B)$的充要条件
**结论**：正确
**解析**：
设$A,B$ 为$n$ 阶方阵：
- **必要性**：若$\text{rank}(AB) = \text{rank}(B)$，则$AB\boldsymbol{x} = \boldsymbol{0}$ 与$B\boldsymbol{x} = \boldsymbol{0}$ 的解空间维数相等；又$B\boldsymbol{x} = \boldsymbol{0}$ 的解必是$AB\boldsymbol{x} = \boldsymbol{0}$ 的解，故二者同解。
- **充分性**：若$AB\boldsymbol{x} = \boldsymbol{0}$ 与$B\boldsymbol{x} = \boldsymbol{0}$ 同解，则解空间维数相等；由秩-零度定理，$\text{rank}(AB) = n - \dim N(AB) = n - \dim N(B) = \text{rank}(B)$。

## 选项D：$\text{rank}(A^n) = \text{rank}(A^{n+1})$（$A$为$n$阶方阵）
**结论**：正确
**详细推导**：
### 1. 秩的单调性铺垫
对于$n$ 阶方阵$A$，秩序列$\text{rank}(A^k)$ 满足：
$$
\text{rank}(A) \ge \text{rank}(A^2) \ge \dots \ge \text{rank}(A^k) \ge \dots \ge 0
$$
（因$\text{rank}(AB) \le \min(\text{rank}(A),\text{rank}(B))$）

### 2. 证明“必存在$k \le n$使$\text{rank}(A^k) = \text{rank}(A^{k+1})$”
若秩序列一直严格递减，则$\text{rank}(A^{n+1}) \le \text{rank}(A) - n$；
但$A$ 不满秩时$\text{rank}(A) \le n-1$，会推出$\text{rank}(A^{n+1}) \le -1$，与“秩非负”矛盾。
故存在$k \le n$，使$\text{rank}(A^k) = \text{rank}(A^{k+1})$。

### 3. 证明“取等后秩恒不变”
设$N(A^m)$ 为$A^m\boldsymbol{x} = \boldsymbol{0}$ 的解空间：
- 由秩-零度定理，$\dim N(A^k) = n - \text{rank}(A^k) = n - \text{rank}(A^{k+1}) = \dim N(A^{k+1})$；
- 又$N(A^k) \subseteq N(A^{k+1})$，有限维空间中“子空间维数等于原空间维数则子空间相等”，故$N(A^k) = N(A^{k+1})$。

下证$\text{rank}(A^{k+1}) = \text{rank}(A^{k+2})$：
- 任取$\boldsymbol{x} \in N(A^{k+2})$，则$A^{k+2}\boldsymbol{x} = A(A^{k+1}\boldsymbol{x}) = \boldsymbol{0}$，即$A^{k+1}\boldsymbol{x} \in N(A)$；
- 结合$N(A^k) = N(A^{k+1})$，可推出$A^{k+1}\boldsymbol{x} = \boldsymbol{0}$，即$\boldsymbol{x} \in N(A^{k+1})$；
- 故$N(A^{k+2}) \subseteq N(A^{k+1})$，又$N(A^{k+1}) \subseteq N(A^{k+2})$，得$N(A^{k+1}) = N(A^{k+2})$，即$\text{rank}(A^{k+1}) = \text{rank}(A^{k+2})$。

### 4. 结论
因$k \le n$，故$\text{rank}(A^n) = \text{rank}(A^{n+1})$。

