这是一个链接了方程组解空间与方程组系数秩的公式

>[!note] 秩零化度定理：
>对于齐次方程组 ${A}_{m \times n}\boldsymbol{x}=\boldsymbol{0}$，设$\mathrm{rank}{A}=r$，则
> $$\dim N({A})=n-r$$


>[!example] 例1
>已知三阶方阵 $A=\begin{bmatrix}\alpha_1&\alpha_2&\alpha_3\end{bmatrix}$ 有三个不同的特征值，其中$\alpha_3=2\alpha_1+\alpha_2$，若 $\beta=\alpha_1+3\alpha_2+4\alpha_3$ ，求线性方程组 $A\boldsymbol{x}=\beta$ 的通解.

**答案：**
 $$\begin{bmatrix}1\\3\\4\end{bmatrix}+k\begin{bmatrix}2\\1\\-1\end{bmatrix}, k\in\mathbb{R}$$
**分析：** 在求解非齐次方程组通解的题目中，若是题目给出了特解与齐次方程组的解，那么大概率来说这个齐次方程组的解就可以拓展为齐次方程组通解（根据问题导向，不然写不出来了），那么如何由齐次方程组的解拓展为齐次方程组通解呢，那就要根据题目具体的条件进行分析了，这就要用到我们的解零度化定理来求齐次方程组解空间的维数
**解析：** 由 $\alpha_3=2\alpha_1+\alpha_2$ 可得 $A$ 的列向量组线性相关， $|A|=0$；又因为 $A$ 的三个特征值各不相同，故 $A$ 有两个不为零的特征值 $\lambda_1,\lambda_2$，且 $A$ 可相似对角化，即 $A=P^{-1}\begin{bmatrix}\lambda_1&&\\&\lambda_2&\\&&0\end{bmatrix}P$，$\mathrm{rank}A=\mathrm{rank}(P^{-1}\begin{bmatrix}\lambda_1&&\\&\lambda_2&\\&&0\end{bmatrix}P)=\mathrm{rank}\begin{bmatrix}\lambda_1&&\\&\lambda_2&\\&&0\end{bmatrix}=2$
故 $Ax=0$ 的解空间维数是 $1$ （5分）
$\beta=\alpha_1+3\alpha_2+4\alpha_3$，所以 $(1,3,4)^\mathrm{T}$ 为特解；（5分）
$\alpha_3=2\alpha_1+\alpha_2$，所以$A\begin{bmatrix}2k\\k\\-k\end{bmatrix}=2\alpha_1+\alpha_2-\alpha_3=0$，所以 $(2,1,-1)^\mathrm{T}$ 为基础解系；（10分）
解空间维数是 $1$ ，方程的解 $\begin{bmatrix}1\\3\\4\end{bmatrix}+k\begin{bmatrix}2\\1\\-1\end{bmatrix}, k\in\mathbb{R}$ 维数是 $1$，该解完备


 >[!example] 例2
 >设 $$A = \begin{bmatrix} 
1 & -1 & 0 & -1 \\ 
1 & 1 & 0 & 3 \\ 
2 & 1 & 2 & 6 
\end{bmatrix}, \quad 
B = \begin{bmatrix} 
1 & 0 & 1 & 2 \\ 
1 & -1 & a & a-1 \\ 
2 & -3 & 2 & -2 
\end{bmatrix}, 
\quad 
\alpha = \begin{bmatrix} 0 \\ 2 \\ 3 \end{bmatrix}, \quad 
\beta = \begin{bmatrix} 1 \\ 0 \\ -1 \end{bmatrix}$$
(1) 证明：方程组 $Ax = \alpha$ 的解均为方程组 $Bx = \beta$ 的解；
$\quad$
(2) 若方程组 $A\boldsymbol{x} = \alpha$ 与方程组 $B\boldsymbol{x} = \beta$ 不同解，求 $a$ 的值。

**解：**
(1) 由于
$$
\begin{bmatrix}
A \quad \alpha \\
B \quad \beta 
\end{bmatrix} =
\begin{bmatrix}
1 & -1 & 0 & -1 & 0 \\
1 & 1 & 0 & 3 & 2 \\
2 & 1 & 2 & 6 & 3 \\
1 & 0 & 1 & 2 & 1 \\
1 & -1 & a & a-1 & 0 \\
2 & -3 & 2 & -2 & -1 
\end{bmatrix}
\rightarrow
\begin{bmatrix}
1 & -1 & 0 & -1 & 0 \\
0 & 1 & 0 & 2 & 1 \\
0 & 0 & 2 & 2 & 0 \\
0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 0 & 0 & 0 
\end{bmatrix},
$$
故 
$$
\mathrm{rank} \begin{bmatrix}A&\alpha\\B&\beta\end{bmatrix} = \mathrm{rank}[A\ \alpha],
$$
从而方程组 
$$
\begin{cases}
A\boldsymbol{x} = \alpha \\
B\boldsymbol{x} = \beta
\end{cases}
$$
与 $A\boldsymbol{x} = \alpha$ 同解，故 $A\boldsymbol{x} = \alpha$ 的解均为 $B\boldsymbol{x} = \beta$ 的解。

(2) 分析：不同解，却要可以求出$a$的具体值，说明这是一个与秩相关的题，而与解相关的秩的问题我们就可以考虑解零度化定理
由于 $A\boldsymbol{x} = \alpha$ 的解均为 $Bx = \beta$ 的解，若 $A\boldsymbol{x} = \alpha$ 与 $B\boldsymbol{x} = \beta$ 同解，则与题意矛盾，故 $Ax = \alpha$ 的解是 $Bx = \beta$ 解的真子集。于是 $Ax = 0$ 的基础解系中解向量的个数小于 $B\boldsymbol{x} = 0$ 的基础解系中解向量的个数，即
$$
4 - r(A) < 4 - r(B),
$$
故 $r(A) > r(B)$。又因 $r(A) = 3$，故 $r(B) < 3$，则
$$
\left| \begin{array}{ccc}
1 & 0 & 1 \\
1 & -1 & a \\
2 & -3 & 2 
\end{array} \right| = 0,
$$
解得 $a = 1$。