## **罗尔定理**
### **原理**
若函数 f(x) 满足以下三个条件：
在闭区间 $[a,b]$ 上连续；
在开区间 $(a,b)$ 内可导；
区间端点函数值相等，即 $f(a)=f(b)$；
则在 $(a,b)$ 内至少存在一点 $\xi$，使得 $f'(\xi)=0$。
罗尔定理的几何意义为：满足条件的函数曲线在区间内至少有一条水平切线。
它是拉格朗日中值定理（$f(b)-f(a)=f'(\xi)(b-a)$）当 $f(a)=f(b)$ 时的特例。

### **适用条件**
罗尔定理的核心适用题型是证明导函数方程 $f'(\xi)=0$ 在区间 $(a,b)$ 内有根以及衍生的相关证明题。
具体可分为以下几类：
1.直接证明 $f'(\xi)$=0 存在根
题目给出函数 f(x) 在 $[a,b]$ 上的连续性、$(a,b)$ 内的可导性，且满足 $f(a)=f(b)$，直接应用罗尔定理证明存在 $\xi\in(a,b)$ 使得 $f'(\xi)=0$。
2.构造辅助函数证明导函数相关方程有根
对于形如 $f'(\xi)+g(\xi)f(\xi)=0$、$f''(\xi)=0$ 等方程，需构造满足罗尔定理条件的辅助函数 $F(x)$，通过 $F(a)=F(b)$ 推导 $F'(\xi)=0$，进而等价转化为目标方程。
3.结合多次罗尔定理证明高阶导数零点存在
若函数 f(x) 有 n+1 个点的函数值相等，可多次应用罗尔定理，证明其 n 阶导数 $f^{(n)}(\xi)=0$ 在对应区间内有根。
4.证明函数恒为常数（反证法结合罗尔定理）
若 $f'(x)\equiv0$ 在区间内成立，可通过反证法假设存在两点函数值不等，结合罗尔定理推出矛盾，进而证明函数为常数。

罗尔定理针对于一个函数，不同于柯西中值定理针对于两个函数

### **例题**
>[!example] 例1
设 $f(x)$ 在 $[0,1]$ 连续，$(0,1)$ 可导，且 $f(1) = 0$，求证存在 $\xi \in (0,1)$ 使得 $nf(\xi) + \xi f'(\xi) = 0$。

**解析**：
设辅助函数 $\varphi(x) = x^n f(x)$，则 $\varphi(0)=0$，$\varphi(1)=0$。由罗尔定理，存在 $\xi \in (0,1)$，使得 $\varphi'(\xi)=0$即
$$
n\xi^{n-1} f(\xi) + \xi^n f'(\xi) = 0
$$
两边除以 $\xi^{n-1}$ ($\xi>0$)，得 $nf(\xi) + \xi f'(\xi) = 0$。



>[!example] 例2
设函数 $f(x)$ 在 $[a,b]$ 上可导，且
$$f(a) = f(b) = 0，\quad f'_+(a)f'_-(b) > 0，$$
试证明 $f'(x) = 0$ 在 $(a,b)$ 内至少有两个根。


**解析**：
由导数极限定理及 $f'_+(a)f'_-(b) > 0$，知在 $a$ 右侧和 $b$ 左侧，$f(x)$ 的符号相同，不妨设 $f'_+(a)>0$，$f'_-(b)>0$。则在 $a$ 右侧附近 $f(x)>0$，在 $b$ 左侧附近 $f(x)>0$。由于 $f(a)=f(b)=0$，由极值点的费马定理，$f(x)$ 在 $(a,b)$ 内至少有一个极大值点，该点处导数为零。又因为 $f(x)$ 在 $[a,b]$ 上连续，在 $(a,b)$ 内可导，且 $f(a)=f(b)$，由罗尔定理至少存在一点 $c \in (a,b)$ 使 $f'(c)=0$。结合极大值点处的导数零点，可知至少有两个导数为零的点。



>[!example] 例3
设 $f(x)$ 在 $[0, 1]$ 上具有二阶导数，且满足
$$f(0) = 0, \, f(1) = 1, \, f\left(\frac{1}{2}\right) > \frac{1}{4}$$证明：  
(1)至少存在一点 $\xi \in (0, 1)$，使得 $f''(\xi) < 2$；  
(2)若对一切 $x \in (0, 1)$，有 $f''(x) \neq 2$，则当 $x \in (0, 1)$ 时，恒有 $f(x) > x^2$。

**解析**：
(1) 考虑函数 $g(x)=f(x)-x^2$，则 $g(0)=0$，$g(1)=0$，$g(1/2)=f(1/2)-1/4>0$。由极值点的费马定理及罗尔定理，$g(x)$ 在 $(0,1)$ 内存在极大值点 $\eta$，且 $g'(\eta)=0$，$g''(\eta) \leq 0$。即 $f'(\eta)=2\eta$，$f''(\eta) \leq 2$。若 $f''(\eta) < 2$，则取 $\xi=\eta$ 即可；若 $f''(\eta)=2$，则考虑在 $\eta$ 两侧应用拉格朗日中值定理，可找到另一个点 $\xi$ 使得 $f''(\xi)<2$。  
(2) 用反证法。假设存在 $x_0 \in (0,1)$ 使 $f(x_0) \leq x_0^2$，结合 $f(0)=0$，$f(1)=1$ 和 $f(1/2)>1/4$，利用连续性及中值定理可推出存在 $\xi$ 使 $f''(\xi)=2$，矛盾。

## **拉格朗日中值定理**
### **原理**
若函数 f(x) 满足两个条件:
在闭区间 $[a,b]$ 上连续；
在开区间 $(a,b)$ 内可导；
则在 $(a,b)$ 内至少存在一点 $\xi$，使得
$f(b)-f(a)=f'(\xi)(b-a)$
也可写成等价形式 $f'(\xi)=\dfrac{f(b)-f(a)}{b-a}$。
是罗尔定理的推广，同时也是柯西中值定理的特例。其几何意义为：满足条件的函数曲线在区间 (a,b) 内，至少存在一点的切线与连接端点 (a,f(a)) 和 (b,f(b)) 的弦平行。

### **适用条件**
拉格朗日中值定理的核心适用题型是建立函数增量与导数的关联，进行不等式的证明，这是最常见的题型。通过对目标函数在指定区间上应用拉格朗日中值定理，得到 $f(b)-f(a)=f'(\xi)(b-a)$，再利用导数 $f'(\xi)$ 的取值范围（有界性、正负性）放大或缩小式子，推导不等式。

### **例题**

>[!example] 例1
设函数 $f(x)$ 在 $(-1,1)$ 内可微，且  
$$f(0) = 0, \quad |f'(x)| \leq 1,$$证明：在 $(-1,1)$ 内，$|f(x)| < 1$。

**解析**：
对任意 $x \in (-1,1)$，由拉格朗日中值定理，存在 $\xi$ 介于 $0$ 与 $x$ 之间，使得
$$
f(x) - f(0) = f'(\xi)(x-0)
$$
即 $f(x) = f'(\xi) x$。由于 $|f'(\xi)| \leq 1$，$|x| < 1$，故 $|f(x)| = |f'(\xi)| \cdot |x| < 1$。


>[!example] 例2
设 $f''(x) < 0$，$f(0) = 0$，证明对任意 $x_1 > 0, x_2 > 0$ 有
$$f(x_1 + x_2) < f(x_1) + f(x_2)$$

**解析**：
不妨设 $0 < x_1 < x_2$。由拉格朗日中值定理：
$$
f(x_1+x_2)-f(x_2) = f'(\xi_1)x_1, \quad \xi_1 \in (x_2, x_1+x_2)
$$
$$
f(x_1)-f(0) = f'(\xi_2)x_1, \quad \xi_2 \in (0, x_1)
$$
于是
$$
f(x_1+x_2)-f(x_2)-f(x_1) = [f'(\xi_1)-f'(\xi_2)]x_1
$$
对 $f'(x)$ 在 $[\xi_2,\xi_1]$ 上应用拉格朗日中值定理，存在 $\xi \in (\xi_2,\xi_1)$，使
$$
f'(\xi_1)-f'(\xi_2) = f''(\xi)(\xi_1-\xi_2) < 0
$$
故 $f(x_1+x_2)-f(x_2)-f(x_1) < 0$，即 $f(x_1+x_2) < f(x_1)+f(x_2)$。


>[!example] 例3
 设 $f(x)$ 在 $(-\infty, +\infty)$ 内二阶可导，且 $f''(x) \neq 0$。
（1）证明：对于任何非零实数 $x$，存在唯一的 $\theta(x)$ ($0<\theta(x)<1$)，使得
   $$f(x) = f(0) + x f'(x\theta(x));$$
   （2）求
   $$\lim_{x \to 0} \theta(x).$$

解：
1. 证： 对于任何非零实数 $x$，由中值定理，存在 $\theta(x)$ $(0<\theta(x)<1)$，使得

$$
f(x)=f(0)+x f'(x\theta(x)).
$$

如果这样的 $\theta(x)$ 不唯一，则存在 $\theta_{1}(x)$ 与 $\theta_{2}(x)$ $(\theta_{1}(x)<\theta_{2}(x))$，使得 $f'(x\theta_{1}(x))=f'(x\theta_{2}(x))$，由罗尔定理，存在一点 $\xi$，使得 $f''(\xi)=0$，这与 $f''(x)\neq 0$ 矛盾。所以 $\theta(x)$ 是唯一的。

2. 解 注意到 $f''(0)=\lim_{x\rightarrow 0} \frac{f'(x\theta(x))-f'(0)}{x\theta(x)}$，又知

$$
\begin{aligned}
\lim_{x\rightarrow 0} \frac{f'(x\theta(x))-f'(0)}{x} 
&= \lim_{x\rightarrow 0} \frac{\frac{f(x)-f(0)}{x}-f'(0)}{x} \\
&= \lim_{x\rightarrow 0} \frac{f(x)-f(0)-x f'(0)}{x^{2}} \\
&= \lim_{x\rightarrow 0} \frac{f'(x)-f'(0)}{2x} \\
&= \frac{f''(0)}{2},
\end{aligned}
$$

所以 $\lim_{x\rightarrow 0} \theta(x)=\frac{1}{2}$。