## 解答

其特征多项式为  
$$\begin{aligned}det(A - \lambda E) &= \begin{vmatrix} 2-\lambda & 0 & 0 \\ 0 & 3-\lambda & 2 \\ 0 & 2 & 3-\lambda \end{vmatrix} \\
&= (2-\lambda)\left[(3-\lambda)^2 - 4\right] \\
&= (2-\lambda)(\lambda^2 - 6\lambda + 5)\\&=(2-\lambda)(\lambda-1)(\lambda-5).\end{aligned}$$  
特征值为  $\lambda_1 = 1,\quad \lambda_2 = 2,\quad \lambda_3 = 5.$

- 对于 $\lambda_1 = 1$：解 $(A - E)\mathbf{X} = \mathbf{0}$， $A - E = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 2 & 2 \\ 0 & 2 & 2 \end{bmatrix} \sim \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 0 \end{bmatrix},$ 得基础解系 $\mathbf{x}_1 = (0, -1, 1)^\mathrm{T}$。

- 对于 $\lambda_2 = 2$：解 $(A - 2E)\mathbf{X} = \mathbf{0}$， $A - 2E = \begin{bmatrix} 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 2 \\ 0 & 2 & 1 \end{bmatrix} \sim \begin{bmatrix} 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 \end{bmatrix},$ 得基础解系 $\mathbf{x}_2 = (1, 0, 0)^\mathrm{T}$。

- 对于 $\lambda_3 = 5$：解 $(A - 5E)\mathbf{x} = \mathbf{0}$，  $A - 5E = \begin{bmatrix} -3 & 0 & 0 \\ 0 & -2 & 2 \\ 0 & 2 & -2 \end{bmatrix} \sim \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & -1 \\ 0 & 0 & 0 \end{bmatrix},$ 得基础解系 $\mathbf{x}_3 = (0, 1, 1)^\mathrm{T}$。

 $\|\mathbf{v}_1\| = \sqrt{2}$，单位化得 $\boldsymbol{\eta}_1 = \left(0, -\frac{1}{\sqrt{2}}, \frac{1}{\sqrt{2}}\right)^\mathrm{T}$；
 $\|\mathbf{v}_2\| = 1$，单位化得 $\boldsymbol{\eta}_2 = (1, 0, 0)^\mathrm{T}$；
 $\|\mathbf{v}_3\| = \sqrt{2}$，单位化得 $\boldsymbol{\eta}_3 = \left(0, \frac{1}{\sqrt{2}}, \frac{1}{\sqrt{2}}\right)^\mathrm{T}$。

即可取正交矩阵  $Q = (\boldsymbol{\eta}_1, \boldsymbol{\eta}_2, \boldsymbol{\eta}_3) = \begin{bmatrix} 0 & 1 & 0 \\ -\frac{1}{\sqrt{2}} & 0 & \frac{1}{\sqrt{2}} \\ \frac{1}{\sqrt{2}} & 0 & \frac{1}{\sqrt{2}} \end{bmatrix}.$  
