设 $n$ 阶方阵 $A$ 满足  
$$ A^2 - 3A + 2E = O $$  
证明 $A$ 可相似对角化。
$$
\lambda^2 - 3\lambda + 2 = 0
$$

$$
\lambda_1 = 2 \quad \lambda_2 = 1
$$

$$
(A - 2E)(A - E) = 0
$$

$$
\therefore \text{rank}(A - 2E) + \text{rank}(A - E) \leq n
$$

$$
\text{rank}((A - E) - (A - 2E)) = n \leq \text{rank}(A - E)
$$

$$
\therefore \text{rank}(A - 2E) + \text{rank}(A - E) = n
$$
设 A - 2E对应代数重数为 $k$，A - E对应代数重数为 $n-k$

则：

$$
n - \text{rank}(A - 2E) \leq k
$$

$$
n - \text{rank}(A - E) \leq n - k
$$

$$
\therefore \text{rank}(A - 2E) \geq n - k
$$

$$
\text{rank}(A - E) \geq k
$$

$$
\therefore \text{rank}(A - 2E) = n - k
$$
$$\text{rank}(A - E) =  k$$

证毕
设 $A, B$ 是 3 阶矩阵，$AB = 2A - B$，如果 $\lambda_1, \lambda_2, \lambda_3$ 是 $A$ 的 3 个不同特征值。证明：

(1) $AB = BA$；

(2) 存在可逆矩阵 $P$，使得 $P^{-1}AP$ 与 $P^{-1}BP$ 均为对角矩阵。

**证明：**

(1) ∵ $AB = 2A - B$

$$
\therefore (A + E)(B - 2E) = -2E
$$

$$
\therefore ( B - 2E)(A + E) = (A + E)(B - 2E)
$$

$$
\therefore AB = BA
$$

(2) 设 $P^{-1}AP = \Lambda_1$，$\Lambda_1$ 为对角矩阵  
则 $P^{-1}ABP = P^{-1}BAP$

$$
\therefore P^{-1}APP^{-1}BP = P^{-1}BPP^{-1}AP
$$

设 $P^{-1}BP = \Lambda_2$

$$
\therefore \Lambda_1\Lambda_2 = \Lambda_2\Lambda_1
$$

与对角矩阵可交换的矩阵必为对角矩阵  

证毕