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有兴趣的可以看看这个拓展
内容来源于菲尔金哥尔茨《微积分学教程》
我略微润色了下语言，俄罗斯教材的风格和它的文学作品一样冷……
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# $\S1.$ 有理数域

## 2. 有理数域的序

首先让我们约定：所谓<span style="font-family: KaiTi">相等的数就是同一数的各种不同形式</span>. 换言之，“相等（=）”的概念即指“恒等”. 因此，我们不再列举相等的数的性质.
有理数域的序得自“大于（$\gt$）”的概念 $,$ 与之有关的是第一组性质.
$\qquad\text{I}\;1^\circ\;\text{每一对数}a\text{和}b\text{之间必有下列关系之一}$$$a=b,\;a\gt b,\;a\lt b;$$
$\qquad\text I\;2^\circ\; \text由a\gt b\text及b\gt c\text{推得}a\gt c(\gt\text{的传递性});$
$\qquad\text I\;3^\circ\;\text 若a\gt b,\text{则必能求得一有理数} c,\text 使$$$a\gt c,\quad且\quad c\gt b$$$(稠密性).$
“小于 $(\lt)$ ”的概念作为作为派生的概念而引入. 
## 3. 有理数的加法及减法

第二组性质是关于加法的，及关于求两数之和的运算的. 对于每一对数 $a$ 及 $b$，存在着一个（唯一的）数，被称为 $a$ 及 $b$ 的和（记成 $a+b$）. 这个概念具有以下特征：
$\qquad \text{II}\,1^\circ\quad a+b=b+a(加法的交换性)；$
$\qquad\text{II}\,2^\circ\quad (a+b)+c=a+(b+c)(加法的结合性);$
零是这样一个数，它满足第三条性质：
$\qquad\text{II}\,3^\circ\quad a+0=a;$
$\qquad\text{II}\,4^\circ\quad 对每个数 a 存在着（与它对称的）数 -a, 使 a+(-a)=0.$
在这些性质的基础上，首先解决加法的逆运算即**减法**的问题. 通常称使 $c+b=a$ 的数 $c$ 为数 $a$ 与 $b$ 的**差**，从而我们要考虑这样的数的存在性及唯一性的问题.
设 $c=a+(-b).$ 则有 $$c+b=[a+(-b)]+b=a+[(-b)+b]=a+[b+(-b)]=a+0=a,$$ 因此这个数存在. 若存在另一个数 $c'$ 也是 $a$ 与 $b$ 的差，即有 $c'+b=a.$ 则 $$c=a+(-b)=[c'+b]+(-b)=c'+[b+(-b)]=c'+0=c',$$ 故这个数唯一. 记 $a$ 与 $b$ 的差为 $a-b.$
由差的唯一性可以得出 $0$ 的唯一性，即满足条件 $\text{II}\,3^\circ$ 的元素的唯一性，从而有对称元的唯一性.
最后，在引入联系 $\gt$ 与加号的一个性质.
$\qquad\text{II}\,5^\circ\quad 由\ a\gt b\ 推得\ a+c\gt b+c.$
## 4. 有理数的乘法及除法

第三组性质是关于乘法的\, 即关于求两数之乘积的运算的\. 对于每一对数 $a$ 及 $b$ 存在着唯一的一个数，被称为 $a$ 及 $b$ 的乘积（记为 $a \cdot b$ 或 $ab$）\. 这个概念具有下列性质：
- 1. $ab=ba$ （乘法的交换性）；
- 2. $(ab) c=a (bc)$（乘法的结合性）；
- 3. $a\cdot 1 = a$；
- 4. 对于每一个异于 $0$ 的数 $a$ \, 必有数 $\displaystyle\frac 1 a$（其倒数）使得 $\displaystyle a\cdot\frac 1 a=1$.
关于除法的问题\, 作为乘法的逆运算, 亦可根据乘法的性质来解决, 正如前面根据加法的性质来解决减法的问题一样. 容易证明积的唯一性.

## 5. 阿基米德公理

我们用下列简单而重要的论证, 来结束我们的有理数基本性质. 这一性质是不能由上述性质推得的.
- 1. 不论有理数 $c\gt 0$ 是怎样的数，总有大于 $c$ 的自然数 $n$ 存在着.

# $\S2.$ 无理数的导入 实数域的序
## 6. 无理数的定义

我们用戴德金分割方法来定义无理数. 首先要建立的是有理数域的分划概念. 若将有理数全体分拆为两个非空集合 $A$ 和 $B$，我们把这样的分拆叫做分划，如果满足：
1. 任一有理数，必在且仅在 $A$ 或 $B$ 二集之一中出现；
2. 集 $A$ 内的任意一数 $a$ 均小于集合 $B$ 中的任意一数 $b$.

称集 $A$ 为分划的下组，$B$ 为上组. 该分划记为 $A|B.$ 由此我们容易推得，若 $a\in A$，则对任意有理数 $a'\lt a$ 有 $a'\in A.$；类似地，对任意有理数 $b'\gt b$，有 $b'\in B.$ 

逻辑上，一个分划可能有以下四种情况：
1. $A$ 中有最大数，$B$ 中无最小数；
2. $A$ 中无最大数，$B$ 中有最小数；
3. $A$ 中无最大数，$B$ 中也无最小数；
4. $A$ 中有最大数，$B$ 中也有最小数.

但第四种情况是不可能的。若不然，设 $A$ 中最大数为 $a$，$B$ 中最小数为 $b$，则 $a\lt\dfrac{a+b}{2}\lt b$，所以由定义，$\dfrac{a+b}{2}\in A$ 且 $\dfrac{a+b}{2}\in B$，这同 $A$ 与 $B$ 不相交矛盾. 现举出前三种情况的例子. 

**例 1** 一切满足不等式 $a\leqslant 1$ 的有理数 $a$ 全体定为集合 $A$，一切满足 $b\gt1$ 的有理数 $b$ 全体定为集合 $B$，则 $A$ 中有最大数 $1$，$B$ 中无最小数.

**例 2** 一切满足不等式 $a\lt 1$ 的有理数 $a$ 全体定为集合 $A$，一切满足 $b\geqslant1$ 的有理数 $b$ 全体定为集合 $B$，则 $A$ 无最大数，$B$ 中有最小数 $1$.

**例 3** 取使 $a^2\lt 2$ 的一切正有理数 $a$，数 $0$ 及一切负有理数归入 $A$，使一切 $b^2\gt2$ 的正有理数归入 $B$，证明：分划 $A|B$ 满足第三种情况.

**证** 设 $0\lt a\in A$，现欲找到一个正整数 $n$ 使得 $\left(a+\dfrac{1}{n}\right)\in A$. 由 $A$ 的定义有 $$\left(a+\frac{1}{n}\right)^2\lt2,$$ 于是 $$a^2+\frac{2a}{n}+\frac{1}{n^2}\lt2,$$ 只要 $$a^2+\frac{2a}{n}+\frac{1}{n^2}\lt a^2+\frac{2a}{n}+\frac{1}{n}\lt2,$$ 即 $$n\gt\frac{2a+1}{2-a^2}$$ 即可. 由阿基米德公理知这样的 $n$ 总是存在的. 故 $A$ 中无最大数.
设 $b\in B$，现欲找到一个正整数 $m$ 使得 $\left(b-\dfrac{1}{m}\right)\in B.$ 由 $B$ 的定义有 $$\left(b-\frac{1}{m}\right)^2\gt2,$$ 于是 $$b^2-\frac{2b}{m}+\frac{1}{m^2}\gt2,$$ 只要 $$b^2-\frac{2b}m+\frac1{m^2}\gt b^2-\frac{2b}m\gt 2$$ 即 $$m\gt\frac{2b}{b^2-2}且m\gt\frac{1}{b}$$ 即可. 由阿基米德公理知这样的 $m$ 总是存在的. 故 $B$ 中无最小数. 证毕.

在前两种情况中，我们说这个划分确定了一个有理数；在第三种情况中，我们得到了有理数域的“空隙”，我们称所有满足第三种情况的划分确定了所有的 **无理数**，此时称这个无理数为这组分划的**界数**. 有理数可以写成分数的形式，但无理数一般没有这种简易的、有限的记法，但一般地，我们可以把这个无理数理解为确定它的有理数域中的分划 $A|B$.

一个有理数 $r$ 与一个前两类分划对应，为了保持这种对应的唯一性，我们约定：$r$ 是这个分划上组的最小数。如果我们承认这个约定，就可以用“有理数域上的所有分划所确定的数全体”来定义**实数**；换句话说，实数就是有理数和无理数的总称.
## 7. 实数域的序

我们称两个实数 $\alpha$ 与 $\beta$ 相等，如果确定它们所用的有理数域上的分划 $A|B$ 与 $A'|B'$ 满足：$A=A'$ 且 $B=B'$，实际上只要有 $A=A'$ 就必有 $B=B'$；称 $\alpha \geqslant \beta$ 如果 $A'\subset A$，或 $B\subset B'.$ 小于等于同样作为派生的概念而出现. 如果 $\alpha\geqslant\beta$ 且 $\alpha\neq\beta$, 则称 $\alpha\gt\beta$.
现在证明实数均能满足以下两条性质.
1. 任一对实数 $\alpha$ 与 $\beta$ 之间必有且仅有下列三种关系之一：$$
\alpha=\beta,\ \alpha\gt\beta,\ \beta\gt\alpha.
$$ 若确定 $\alpha$ 的分划 $A|B$ 与确定 $\beta$ 的分划 $A'|B'$ 重合，则 $\alpha=\beta$. 若非如此，则或 $A'$ 是 $A$ 的真子集（从而 $\alpha\gt\beta$），或 $A$ 是 $A'$ 的真子集（从而 $\beta\gt\alpha$）. 
2. 由 $\alpha\gt\beta$ 及 $\beta\gt\gamma$ 推得 $\alpha\gt\gamma$. 设 $\alpha,\beta,\gamma$ 分别由分划 $A|A', B|B', C|C'$ 来确定, 由于 $\alpha\gt\beta$，得 $A$ 真包含 $B$; 又由 $\beta\gt\gamma$, 得 $B$ 真包含 $C$, 故 $A$ 真包含 $C$, 从而 $\alpha\gt\gamma$.

## 8. 辅助命题

现在我们来建立实数域的**稠密性**；更准确地，我们将证明以下论断：

**引理 1** 对于任意两个实数 $\alpha\gt\beta$，它们中间一定有一个有理数 $r.$

**证** 若 $\alpha$ 与 $\beta$ 均为无理数. 设确定 $\alpha$ 和 $\beta$ 的有理数域上的分划分别为 $A|A'$ 和 $B|B'$，则有 $B\subsetneq A,A'\subsetneq B'.$ 取 $r\in A\backslash B$，则 $r\in B'$，由分划的定义及无理数的假设，有 $r\lt\alpha$ 及 $r\gt\beta$.

若 $\alpha$ 和 $\beta$ 中有一个无理数、一个有理数，不妨设 $\alpha$ 为无理数，同样设出两数的分划. 取 $r\in B'\backslash (A'\cup\{\beta\})$，则 $r\in A$，故 $r\lt\alpha$ 且 $r\gt\beta$.
若 $\alpha$ 与 $\beta$ 均为有理数，结论显然成立. 证毕.

**引理 2** 设给定两个实数 $\alpha$ 和 $\beta$. 如果任取一个数 $e\gt0,$ 数 $\alpha$ 及 $\beta$ 都能位于一对有理数 $s,s'$ 之间，即：$$s'\gt\alpha\gt s,\quad s'\gt\beta\gt s,$$ 这对数的差小于 $e$，即：$$s'-s\lt e.$$ 则 $\alpha$ 与 $\beta$ 必相等.

**证** 用反证法. 设 $\alpha\gt\beta,$ 由引理 $1$ ，在 $\alpha$ 和 $\beta$ 之间存在两个有理数 $r$ 与 $r'\gt r$，即：$$\alpha\gt r'\gt r\gt \beta.$$ 于是对任意两有理数 $s$ 与 $s'$，当 $s'\gt\alpha\gt\beta\gt s$ 时，有 $$s'\gt r'\gt r\gt s,$$ 由此 $$s'-s\gt r'-r\gt0,$$ 因此差 $s'-s$ 不能小于数 $e=r'-r,$ 与条件矛盾，故引理成立.
## 9. 用无限小数表示实数

现在我们考虑这样的实数表示方法, 即其分数部分（尾数）是正的, 而同时, 其整数部分可以为正的、负的或者零.
首先假定被考察的实数 $\alpha$ 并非整数, 亦非有限的十进制小数. 现在来求它的十进制小数的近似值. 若 $\alpha$ 被分划 $A|A'$ 确定, 则 $A$ 中必有整数 $M$, 又在 $A'$ 中亦必有整数 $N\gt M$. 在 $M$ 上不断加 $1$, 最终必能得出这样两个相邻的整数 $C_0$ 及 $C_0+1$, 使得$$
C_0\lt\alpha\lt C_0+1.
$$ 其中 $C_0$ 可以为正的、负的或者零.
用数$$
C_0.1;\,C_0.2;\cdots\,,C_0.9
$$ 分割区间 $(C_0, C_0+1)$, 则 $\alpha$ 比（且仅）落在其中一个区间内, 从而我们可以得到两个相差 $\displaystyle\frac 1{10}$ 的数 $c_1$ 及 $c_1+\dfrac 1{10}$, 且有$$
C_0.c_1\lt\alpha\lt C_0.c_1+\frac1{10}.
$$ 这样继续分下去, 在确定数码 $c_1, c_2, \cdots, c_{n-1}$ 后, 我们就用不等式$$
C_0.c_1c_2\cdots c_n\lt\alpha\lt C_0.c_1c_2\cdots c_n+\frac{1}{10^n}\tag{1}
$$ 来确定第 $n$ 位数码 $c_n$.
这样, 在求数 $\alpha$ 的十进制小数的近似值的过程中, 我们求得整数 $C_0$ 及数码 $c_1, c_2,\cdots, c_n, \cdots$ 的无限序列. 由此组成的无限小数, 即记号$$
C_0.c_1c_2\cdots c_n\cdots\tag{2}
$$ 可以看成是实数 $\alpha$ 的一种表示.
在例外的情况中, 即当 $\alpha$ 本身就是整数或有限小数, 亦可以用相似的方法由比 $(1)$ 更普遍的关系式$$
C_0.c_1c_2\cdots c_n\leqslant \alpha\leqslant C_0.c_1c_2\cdots c_n+\frac1{10^n}\tag{1a}
$$ 来确定整数与各位数码. 然而, 到某时, $\alpha$ 会与包含它的区间的某一端重合, 从而使得上述的不等式中有一个等号在接下来的任意多次操作中成立, 这时 $\alpha$ 就有了两种表示, 一种是用零循环, 一种是用 $9$ 循环, 例如$$\begin{aligned}3.826=3.826\ 000\cdots=3.825\ 999\cdots,\\-3.826=\overline{4}.174\ 000\cdots=\overline{4}.173\ 999\cdots.\end{aligned}$$

反之, 若设任给一无限十进制小数 $(2)$; 我们要证明总可以找到一个实数 $\alpha$, 刚好是被这个小数所表示的. 为此, 我们来考察小数 $(2)$ 的一段:$$
C_n = C_0.c_1c_2\cdots c_n,\tag{3}
$$ 把它作为所求数的“亏近似值”, 同样把$$C_n'=C_0.c_1c_1\cdots c_n+\frac1{10^n}\tag4$$ 
作为其“盈近似值”. 不难看出, 每一 $C_n$ 小于每一 $C_m'$. 现在我们用如下方法来确定有理数域的一个分划: 把大于一切 $C_n$ 的有理数 $a'$ 放在上组 $A'$ 内，而把一切余下的数放在 $A$ 组内. 容易验证, 这个分划确定了我们所要求的实数 $\alpha$. 实际上, 若这个分划确定了数 $\alpha$, 则其一切满足 $$C_n\leqslant\alpha\leqslant C_n',$$ 这就证明了这个无限十进制小数所确定的数与这个分划所确定的数相同.
盈近似值和亏近似值之间的差等于 $\dfrac 1{10^n}$, 随着 $n$ 的增大, 这个差可以小于任何有理数 $e\gt 0$. 事实上, 因不超过 $\dfrac 1 e$ 的自然数仅有有限多个, 故不等式 $10^n\leqslant\dfrac 1 e$ 仅对有限多个自然数 $n$ 成立, 从而对于其他的 $n$ 成立 $$\frac1{10^n}\lt e.$$ 故由引理 $2$, 知表达式 $(2)$ 能且只能确定唯一的一个实数.

## 10. 实数域的连续性

现在考察实数域的一个极重要的性质，这种性质使实数域在本质上有别于有理数域. 在考察有理数域的分划的时候，我们已经看到，有理数域上的分划可以产生不属于有理数的数，即无理数，这使得有理数域并不完备. 现在我们把无理数也加入到这个域当中去，形成了实数域，自然需要再考察实数域上的分划. 类似地，把实数域分拆成两个集合 $A$ 和 $B$，称这种分拆为一种分划，如果它满足：
1. 每个实数在且仅在 $A,B$ 两集合中的一个内；
2. 集合 $A$ 中的每个数 $\alpha$ 小于集合 $B$ 中的每个数 $\beta.$

记这个分划为 $A|B$. 那么，实数域是否和有理数域一样，存在一个（或一些）分划，使得其产生的数不属于实数呢？
事实上，下面这个定理保证了实数域上的分划不会产生新的数.

**基本定理（戴德金）** 实数域内任一分划 $A|B$ 必产生一个实数 $\gamma,$ 且这个数或是 $A$ 的最大数，或是 $B$ 的最小数.

这个性质常称为实数域的**完备性**或**连续性**.

**证** 将 $A$ 中一切有理数组成的集合记为 $\mathcal A$，$B$ 中一切有理数的集合记为 $\mathcal B.$ 显然 $\mathcal A|\mathcal B$ 构成有理数域上的一个分划，从而会产生一个实数 $\alpha.$ 显然 $\alpha$ 或属于 $A$ 或属于 $B$. 
若 $\alpha \in A$，可以证明，$\alpha$ 是 $A$ 中的最大数. 实际上，若不然，则存在 $\alpha_0\in A$ 满足 $\alpha_0\gt\alpha.$ 由引理 1，存在有理数 $r$ 满足 $\alpha_0\gt r\gt \alpha.$ 则 $r\in A$，从而 $r\in\mathcal A$，这与有理数域上的分划的定义相违背，故 $\alpha$ 是 $A$ 中的最大数.
若 $\alpha\in B$，类似地，可以证明 $\alpha$ 是 $B$ 中的最小数. 若不然，则存在 $\alpha_1\in B$ 满足 $\alpha_1\lt\alpha$. 由引理 1，存在有理数 $s$ 满足 $\alpha\gt s \gt\alpha_1$，则 $s\in\mathcal B$，这与有理数域上的分划的定义相违背，故 $\alpha$ 是 $B$ 中的最小数.

## 11. 数集的界

我们应用基本定理，在这里建立一些现代分析当中担任重要角色的概念.

设有实数一个无限集, 其中所有元素满足条件 $P$, 集内的任一数记为 $x$, 因此 $x$ 所代表的是集合内一般的数, 诸数 $x$ 所成的集合记为 $\chi=\{x|P(x)\}$. 若条件 $P$ 根据上下文能明显得知, 则这个数集可以记为 $\{x\}$. 在后一种记法中, $x$ 往往是某个表达式, 而该集合即为这个表达式（根据上下文意思）所能取得所有值构成的集合.

若对集合 $\{x|P(x)\}$ 有这样的数 $M$ 存在，使得一切 $x\leqslant M$，则称这个集合**上有界**，$M$ 为其一个**上界**. 类似地，若有这样的数 $m$ ，使得一切 $x\geqslant m$，则称这个集合**下有界**， $m$ 为其一个**下界**.

若数集不上（下）有界，则称“广义的数” $+\infty$（$-\infty$）为它的上（下）界. 对于这两个“广义的数”，有 $$-\infty\lt+\infty\qquad 及 \qquad-\infty\lt\alpha\lt+\infty,$$只要 $\alpha$ 是 “有限的” 实数.

若一个数集上有界，则称其上界中最小的那个为**上确界**；类似地，若一个数集下有界，则称其下界中最大的那个为**下确界**. 自然，上（下）确界的存在性就成了问题，即我们需要知道，对于任意一个上（下）有界的数集，它是否一定有上（下）确界. 下面这个定理保证了确界的存在性.

**确界存在定理** 若集 $\chi=\{x|P(x)\}$ 上（下）有界，则它必有上（下）确界.

**证** 只用证上确界的情况. 考察两种情形：
1. 在集合 $\chi$ 中有最大数 $\overline x$. 那么，$\overline x$ 为 $\chi$ 的一个上界；另一方面，若 $M$ 也为 $\chi$ 的一个上界，由于 $\overline x\in\chi$，有 $\overline x\leqslant M$，故 $\overline x$ 为 $\chi$ 的上确界.
2. 若集合 $\chi$ 中无最大数. 取这样一种分划，其中上组 $B$ 为 $\chi$ 的上界全体，下组 $A$ 为其他所有实数组成的集合. 故 $\chi\subset A.$ 由基本定理，或 $A$ 中有最大数，或 $B$ 中有最小数. 若 $A$ 中有最大数 $\alpha$，则对于所有 $x\in\chi$ 有 $x\leqslant\alpha$，即 $\alpha$ 是 $\chi$ 的一个上界，故 $\alpha\in B$，这与 $A|B$ 是一个分划矛盾，故 $A$ 中无最大数，必有 $B$ 中有最小数，即 $\chi$ 有上确界.

故 $\chi$ 必有上确界.

数集 $\chi$ 的上确界是 $M^*$ 及下确界是 $m^*$ 常用以下符号来表示：$$M^*=\sup \chi=\sup\{x|P(x)\},m^*=\inf\chi=\inf\{x|P(x)\}.$$
关于上下确界, 有两个显然的推论:
1. 若某数集 $\chi$ 中一切数 $x$ 满足不等式 $x\leqslant M$, 则必有 $\sup\chi\leqslant M.$
2. 若某数集 $\chi$ 中一切数 $x$ 满足不等式 $x\geqslant m$, 则必有 $\inf\chi\geqslant m.$

最后, 我们约定: 若数集 $\chi=\{x|P(x)\}$ 没有上界, 则称其上确界为 $+\infty$, 记为 $\sup\chi=+\infty$; 类似地, 若数集 $\chi=\{x|P (x)\}$ 没有下界, 则称其下确界为 $-\infty$, 记为 $\inf\chi=-\infty$.

# $\S3.$ 实数的算术运算
## 12. 实数的和的定义

下面 $\alpha,\beta,\gamma$ 表示实数.
先考察有理数 $a,a'$ 及 $b,b'$，它们满足不等式：$$a\lt\alpha\lt a',b\lt\beta\lt b'.\tag{1}$$ 如果实数 $\gamma$ 位于一切形如 $a+b$ 的和与一切形如 $a'+b'$ 的和之间，即：$$a+b\lt\gamma\lt a'+b'\tag{2}$$ 则称 $\gamma$ 为数 $\alpha$ 及 $\beta$ 的和，记为 $\alpha+\beta.$

现在需要证明这样的 $\gamma$ 的存在性.

考察一切可能的和 $a+b$ 所成的集合 $\{a+b\}.$ 这个集合是有上界的，因为 $a'+b'\gt a+b$，故由确界存在定理，设 $$\gamma=\sup\{a+b\}.$$则 $a+b\leqslant\gamma$. 同时，有 $\gamma\leqslant a'+b'.$ 

两端的等号实际上无法取到, 因为在$(1)$中, 我们总能把 $a,b$ 增大而把 $a',b'$ 减小, 使得条件$(1)$仍然满足, 故 $\gamma$ 存在.

接下来要证明唯一性. 我们应用引理 2, 选取有理数 $a,a',b,b'$ 使 $$0\lt a'-a\lt e,0\lt b'-b\lt e,$$其中 $e$ 为任意小的正有理数. 由此，$$(a'+b')-(a+b)\lt 2e,$$即这个差能任意小, 所以数 $\gamma$ 唯一. 

这样定义出来的加法与有理数域上的加法是相容的.

## 13. 加法的性质

容易证明，实数的加法仍然保持下列性质：
$\qquad\text{II}\,1^\circ\quad\alpha+\beta=\beta+\alpha;$ 
$\qquad\text{II}\,2^\circ\quad(\alpha+\beta)+\gamma=\alpha+(\beta+\gamma);$
$\qquad\text{II}\,3^\circ\quad\alpha+0=\alpha.$
$\text{II}\,1^\circ$ 由实数加法的定义及有理数加法的交换性可以得出; $\text{II}\,2^\circ$ 由定义及有理数加法的结合律可以得出. 下面证明 $\text{II}\,3^\circ.$
考虑任意四个有理数 $a,a',b,b'$ 满足：$$a\lt\alpha\lt a',\quad b\lt0\lt b',$$则显然 $$a+b\lt a\lt \alpha \lt a' \lt a'+b'.$$这样, $\alpha$ 位于 $a+b$ 和 $a'+b'$ 之间; 依据加法的定义, 又有 $\alpha+0$ 也位于 $a+b$ 和 $a'+b'$ 之间. 由和的唯一性, 有 $\alpha=\alpha+0.$ 
现在证明性质 $\text{II}\,4^\circ$, 即对于一个实数 $\alpha$, 存在着（对称于它的）数 $-\alpha$，满足条件 $\alpha+(-\alpha)=0.$
只用证明 $\alpha$ 为无理数的情形即可.
假定 $\alpha$ 由有理数域上的分划 $A|B$ 所确定, 我们用下面这个方法来确定 $-\alpha.$ 我们取一切有理数 $-b$ 组成的集合作为 $-\alpha$ 的下组 $\overline A$, 其中 $b\in B$; 类似地，取一切有理数 $-a$ 组成的集合作为 $-\alpha$ 的上组 $\overline B$, 其中 $a\in A.$ 这样能确定一个实数 $-\alpha$. 下证它满足条件. 
对一切 $a\in A,b\in B$，有 $a\lt\alpha\lt b$，且由于 $-a\in \overline B,-b\in\overline A$，有 $-b\lt-\alpha\lt-a.$ 故 $$a-b\lt\alpha+(-\alpha)\lt b-a.$$又有 $$a-b\lt0\lt b-a,$$由和的唯一性知 $$\alpha+(-\alpha)=0.$$
最后证明性质 $\text{II}\,5^\circ$ 由 $\alpha\gt\beta$ 推得 $\alpha+\gamma\gt\beta+\gamma.$
由引理 1，可以在 $\alpha$ 和 $\beta$ 中间插入两个有理数 $r_1,r_2$ 满足 $\alpha\gt r_1\gt r_2\gt\beta.$ 由引理 2，对于有理数 $e=r_1-r_2$，存在有理数 $c,c'$ 满足 $$c\lt\gamma\lt c',c'-c\lt e=r_1-r_2.$$由此 $$r_1+c\gt r_2+c',$$由和的定义有 $$\alpha+\gamma\gt r_1+c\gt r_2+c'\gt\beta+\gamma.$$
得证.
由以上五条性质，我们可以模仿有理数，建立起实数域上的减法和绝对值的概念.

## 14. 实数的积的定义

现在考虑实数域内的乘法. 先考察正数的乘法. 设 $\alpha$ 和 $\beta$ 为两正数, 类似加法, 我们在此也考察满足不等式 $(1)$ 的一切可能的正有理数, 即正有理数 $a,a'$ 及 $b,b'$ 满足$$
a\lt\alpha\lt a',b\lt\beta\lt b'$$
我们称位于一切形如 $ab$ 的积与一切形如 $a'b'$ 的积之间的实数 $\gamma$, 即满足 $$ab\lt\gamma\lt a'b',\tag{3}$$的实数 $\gamma$ 为 $\alpha$ 与 $\beta$ 的积，记为 $\alpha\beta.$
仍然需要讨论这个积的存在性和唯一性.
取一切可能的积 $ab$ 组成的集合 $\{ab\}$, 它有上界 $a'_0b'_0$, 故有上确界, 记为 $$\gamma=\sup\{ab\},$$故 $ab\leqslant\gamma$, 同时有 $\gamma\leqslant a'b'$, 类似地, 两边的等号总是取不到, 故这样的数存在.
任取正有理数 $e$, 选取正有理数 $a,a'$ 及 $b,b'$ 满足 $$0\lt a'-a\lt e,\quad 0\lt b'-b\lt e,$$显然可以取到 $a'\lt a'_0,\ b'\lt b'_0$，故 $$a'b'-ab=a'(b'-b)+b(a'-a)\lt (a_0'+b_0')e,$$由引理 2, 数 $\gamma$ 唯一.
上述定义与有理数的积是相容的.
最后是对一般实数的积的定义. 首先约定, 不论 $\alpha$ 是怎样的实数, 恒有 $$0\cdot \alpha=\alpha\cdot0=0.$$若两乘数都不是零，根据符号规则，置：
$\alpha\cdot\beta=|\alpha||\beta|$，若 $\alpha$ 和 $\beta$ 同号；
$\alpha\cdot\beta=-|\alpha||\beta|$，若 $\alpha$ 和 $\beta$ 异号.

## 15. 乘法的性质

实数的乘法和有理数的乘法一样，有以下这些性质：
$\qquad\text{III}\,1^\circ\quad\alpha\cdot\beta=\beta\cdot\alpha$；
$\qquad\text{III}\,2^\circ\quad(\alpha\cdot\beta)\gamma=\alpha\cdot(\beta\cdot\gamma)$；
$\qquad\text{III}\,3^\circ\quad\alpha\cdot1=\alpha.$
$\qquad\text{III}\,4^\circ\quad$ 对于任一不为零的实数 $\alpha$，必有（倒）数 $\dfrac{1}{\alpha}$ 存在，满足 $$\alpha\cdot\frac{1}{\alpha}=1.$$
$\qquad\text{III}\,5^\circ\quad(\alpha+\beta)\gamma=\alpha\cdot\gamma+\beta\cdot\gamma.$
$\qquad\text{III}\,6^\circ\quad$ 由 $\alpha\gt\beta$ 及 $\gamma\gt0$ 推得 $\alpha\cdot\gamma\gt\beta\cdot\gamma.$

下面证明 4. 只需对无理数 $\alpha$ 证明, 先设 $\alpha\gt 0$. 若 $\alpha$ 由分划 $A|B$ 确定, 我们依照下面的方法来构造确定 $\dfrac 1\alpha$ 的分划. 

我们把一切负有理数, 零, 及一切 $\dfrac 1 b$ 放入下组 $\tilde A$ 中, 其中 $b\in B$; 把一切 $\dfrac 1 a$ 放入上组 $\tilde B$ 中, 其中 $a\in A$. 这样, $\tilde A|\tilde B$ 构成一个分划, 设其确定的数为 $\beta$.

由上面的构造, 我们有以下不等式成立: $$a\lt\alpha\lt b,\ \frac1b\lt\beta\lt\frac1a,$$则$$\frac ab\lt\alpha\beta\lt\frac ba$$又有$$\frac ab\lt1\lt\frac ba$$故 $\alpha\beta=1$, 记 $\beta=\dfrac1a$. 根据引理 2 容易证明其唯一性.

对于非正数, 仅需注意符号规则即可. 由倒数的定义, 我们还可以定义出实数的除法来.

## 16. 阿基米德公理

阿基米德公理对实数仍然是成立的.
1. 对不论怎样的实数 $\gamma$, 必有大于 $\gamma$ 的自然数 $n$ 存在.

只要在确定 $\gamma$ 的分划的上组中任找一有理数, 再加上有理数的阿基米德公理即可证明这一点.

## 17. 绝对值

首先证明 $|\alpha|\lt\beta$ 相当于 $-\beta\lt\alpha\lt\beta.$ 实际上, 由 $|\alpha|\lt\beta$ 推得 $\alpha\lt\beta$ 及 $-\alpha\lt\beta$ （即 $\alpha\gt-\beta$）同时成立. 反之, 若已给定 $\alpha\lt\beta$ 及 $\alpha\gt-\beta$, 则必同时有 $\alpha\lt\beta$ 及 $-\alpha\lt\beta$; 而在 $\alpha$ 及 $-\alpha$ 中有一个为 $|\alpha|$, 故 $|\alpha|\lt\beta$.
类似地, 有$$|\alpha|\leqslant\beta\ \text{ 等价于 }-\beta\leqslant\alpha\leqslant\beta\tag1$$
再证明不等式$$|\alpha+\beta|\leqslant|\alpha|+|\beta|.\tag2$$将下面两个不等式的三边分别相加$$-|\alpha|\leqslant\alpha\leqslant|\alpha|\ \text{及}\ -|\beta|\leqslant\beta\leqslant|\beta|,$$得$$-(|\alpha|+|\beta|)\leqslant\alpha+\beta\leqslant|\alpha|+|\beta|,$$由不等式$(1)$知不等式$(2)$成立.

利用数学归纳法可以把它推广到任意个加数的情形:$$|\alpha+\beta+\cdots+\gamma|\leqslant|\alpha|+|\beta|+\cdots+|\gamma|.$$

在不等式$(2)$中把 $\beta$ 换成 $-\beta$ 得$$|\alpha-\beta|\leqslant|\alpha|+|\beta|.$$因为 $\alpha=(\alpha+\beta)-\alpha,$ 故 $|\alpha|\leqslant|\alpha+\beta|+|\beta|,$ 或$$|\alpha+\beta|\geqslant|\alpha|-|\beta|.$$同理有$$|\alpha-\beta|\geqslant|\alpha|-|\beta|.$$
因为同时有$$|\beta|-|\alpha|\leqslant|\beta-\alpha|=|\alpha-\beta|,$$所以由不等式$(1)$得$$||\alpha|-|\beta||\leqslant|\alpha-\beta|.$$

# $\S4.$ 实数的其他性质及应用

## 18. 根的存在 以有理数为指数的幂

在得到实数乘法（及除法）的定义之后, 实数的正整数（及负整数）幂的定义也很容易得到了. 接下来要考虑的就是有理数指数幂应当如何定义. 不过在此之前, 我们需要先叙述一下根的存在问题.

我们早已知道, 哪怕是以 $2$ 为其平方的数这种简单的数都无法在有理数域中得到其解, 因而扩充有理数域成为某种必要. 那么, 在现在已经扩充了的实数域中, 我们要更一般地探讨 $n$ 次方根的存在性是如何被构建的.

设 $\alpha$ 是任一实数, $n$ 为自然数. 若实数 $\xi$ 是 $\alpha$ 的 $n$ 次方根, 则有 $$\xi^n=\alpha.$$不妨先假设 $\alpha$ 和 $\xi$ 都是正数, 称 $\xi$ 为 $\alpha$ 的算术 $n$ 次方根. 我们要证明, 这样的 $\xi$ 有且仅有一个. 

若存在一有理数 $r$ 使得 $r^n=\alpha$, 则结论成立. 若不存在, 考虑这样一种分划 $X|Y$, 其中下组 $X$ 包含了一切负有理数、零及其 $n$ 次方小于 $\alpha$ 的所有有理数, 上组 $Y$ 包含了其他的数. 显然两个集合都是非空的.

设 $\xi$ 为分划 $X|Y$ 所确定的实数, 下证 $\xi^n=\alpha.$ 

任取有理数 $x,y$ 满足 $x\lt\xi\lt y$, 则由实数乘法的定义有$$x^n\lt\xi^n\lt y^n.$$而 $x\in X$, $y\in Y$, 故有$$x^n\lt\alpha\lt y^n.$$任意固定某一个 $y_0$ 满足上述条件, 由于 $y-x$ 可以小于任意正有理数 $e$, 故$$y^n-x^n=(y-x)(y^{n-1}+xy^{n-2}+\cdots+x^{n-1})\lt e\cdot ny_0^{n-1}.$$由引理 2, 有 $\xi^n=\alpha$, 记 $\xi=\sqrt[n]\alpha$ 或 $\xi=\alpha^{\frac1n}$.

唯一性由实数乘法的不等式性质容易得到. 

如果 $\xi$ 是 $\alpha^m$ 的 $n$ 次方根, 则 $\xi^n=\alpha^m$ 或 $\xi=(\alpha^m)^\frac1n$, 简记为 $\xi=\alpha^\frac mn$. 这就是有理数幂的定义.

## 19. 以任意实数为指数的幂

现在定义任意（正）实数 $\alpha$ 的 $\beta$ 次幂, 其中 $\beta$ 亦为任意实数. 取有理数 $b, b'$ 满足 $b\lt\beta\lt b'$, 则若 $\alpha\gt1$, 有$$\alpha^b\lt\alpha^{b'}.$$称落于所有 $\alpha^b$ 和 $\alpha^{b'}$ 之间的数 $\gamma$ 为 $\alpha$ 的 $\beta$ 次幂, 记为 $\gamma=\alpha^\beta.$ 

若 $0\lt\alpha\lt1$, 则定义 $\alpha^\beta=\left(\dfrac1\alpha\right)^{-\beta}$. 因此下面只讨论 $\alpha\gt1$ 的情况.

接下来要证明这样的 $\gamma$ 的存在性与唯一性. 集合 $\{\alpha^b\}$ 是有上界的, 因为任意一个 $\alpha^{b'}$ 就是它的上界, 因此, 若取$$\gamma=\sup_{b\lt\beta}\{\alpha^b\}$$对于这样一个数将有$$\alpha^b\leqslant\gamma\leqslant\alpha^{b'}.$$事实上, 上述不等式两边的等号都是取不到的, 因为我们总是可以增大 $b$ 或者减小 $b'$ 而使不等式 $b\lt\beta\lt b'$ 仍然成立. 这样, $\gamma$ 这个数满足上述定义.

下证唯一性. 令 $\gamma=\alpha^\frac1n\gt1$, 则由伯努利不等式得$$\alpha^\frac1n-1=\gamma-1\lt\frac{\gamma^n-1}{n}=\frac{\alpha-1}{n}\tag3.$$对任意正整数 $n$, 我们选取 $b$ 和 $b'$, 使得 $b'-b\lt\dfrac1{n}$, 则有$$\alpha^{b'}-\alpha^b=\alpha^b(\alpha^{b'-b}-1)\lt\alpha^b(\alpha^\frac1{n}-1)\lt\alpha^b\frac{\alpha-1}{n}.$$任取一个固定的 $b_0'$, 有 $b\lt b_0'$, 我们取$$n=\left\lfloor\frac{\alpha^{b'_0}(\alpha-1)}{\varepsilon}\right\rfloor+1,$$其中 $\varepsilon$ 为任意正数, 则有$$\alpha^{b'}-\alpha^b\lt\varepsilon.$$由引理 2 知 $\gamma$ 的唯一性. 容易证明实数的实数次幂也符合关于幂的一些运算性质.