证明相似，可以不用直接考虑定义式，可以考虑证明 $AP=PB$，
已知向量组 $\boldsymbol\alpha_1,\boldsymbol\alpha_2,\boldsymbol\alpha_3$ 线性无关，其中 $\boldsymbol\alpha_1,\boldsymbol\alpha_2,\boldsymbol\alpha_3\in\mathbb{R}^3$，$\boldsymbol A$ 为 $3$ 阶方阵，且
$$\boldsymbol{A\alpha_1}=2\boldsymbol\alpha_1-\boldsymbol\alpha_2-\boldsymbol\alpha_3, \boldsymbol A\boldsymbol\alpha_2=\boldsymbol\alpha_1+2\boldsymbol\alpha_2+3\boldsymbol\alpha_3, \boldsymbol A\boldsymbol\alpha_3=2\boldsymbol\alpha_1+4\boldsymbol\alpha_2+\boldsymbol\alpha_3.$$
(1) 证明 $A\boldsymbol\alpha_1, A\boldsymbol\alpha_2, A\boldsymbol\alpha_3$ 线性无关；
(2) 计算行列式 $\boldsymbol E-\boldsymbol A$，其中 $\boldsymbol E$ 是 $3$ 阶单位矩阵.
#### **(1) 证明 $A\alpha_1,A\alpha_2,A\alpha_3$ 线性无关**

因 $\alpha_1,\alpha_2,\alpha_3$ 线性无关，故矩阵 $P=(\alpha_1,\alpha_2,\alpha_3)$ 可逆（列向量线性无关的矩阵可逆）。

由题设条件，将 $A$ 对 $\alpha_1,\alpha_2,\alpha_3$ 的作用表示为矩阵乘法：

$$A(\alpha_1,\alpha_2,\alpha_3)=(\alpha_1,\alpha_2,\alpha_3)\begin{bmatrix}2&1&2\\-1&2&4\\-1&3&1\end{bmatrix}=P C$$

其中 $C=\begin{bmatrix}2&1&2\\-1&2&4\\-1&3&1\end{bmatrix}$，计算 $|C|$：

$$\begin{aligned}
|C|&=2\times(2\times1-4\times3)-1\times(-1\times1-4\times(-1))+2\times(-1\times3-2\times(-1))\\
&=2\times(-10)-1\times3+2\times(-1)\\
&=-25\neq0
\end{aligned}
$$

• 因 $|C|\neq0$，故 $C$ 可逆，$\text{rank}(C)=3$。

• 又 $P$ 可逆，故 $\text{rank}(A\alpha_1,A\alpha_2,A\alpha_3)=\text{rank}(P C)=\text{rank}(C)=3$，即 $A\alpha_1,A\alpha_2,A\alpha_3$ 线性无关。

#### **(2) 计算 $|E-A|$**

由 (1) 知$P^{-1}AP=C（A 与 C 相似）$，则 $E-A$ 与 $E-C$ 相似（相似矩阵的 “单位矩阵减矩阵” 仍相似），而**相似矩阵的行列式相等**，故 $|E-A|=|E-C|$。

计算 $E-C$：

$$E-C=\begin{bmatrix}1-2&0-1&0-2\\0-(-1)&1-2&0-4\\0-(-1)&0-3&1-1\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}-1&-1&-2\\1&-1&-4\\1&-3&0\end{bmatrix}$$

按第三行展开计算行列式：

$$
\begin{aligned}
|E-C|&=1\times\begin{vmatrix}-1&-2\\-1&-4\end{vmatrix}-(-3)\times\begin{vmatrix}-1&-2\\1&-4\end{vmatrix}+0\times(\text{余子式})\\
&=1\times(4-2)+3\times(4+2)\\
&=2+18=20
\end{aligned}
$$

故 $|E-A|=20$。

**题目：**
设 $A$ 是 3 阶方阵，$\alpha$ 为 3 维列向量，$P = (\alpha, A\alpha, A^2\alpha)$ 为可逆矩阵，$B = P^{-1}AP$，且  
$$A^3\alpha + 2A^2\alpha = 3A\alpha,$$  
则 $|A + E| = \underline{\qquad}$.

**解：**
由条件 $A^3\alpha + 2A^2\alpha = 3A\alpha$ 可得 $A^3\alpha = 3A\alpha - 2A^2\alpha$。  
由于 $P = (\alpha, A\alpha, A^2\alpha)$ 可逆，以 $\alpha, A\alpha, A^2\alpha$ 为基，线性变换 $A$ 对应的矩阵为  
$$
B = P^{-1}AP = \begin{pmatrix}
0 & 0 & 0 \\
1 & 0 & 3 \\
0 & 1 & -2
\end{pmatrix}.
$$  
因为 $A$ 与 $B$ 相似，所以  
$$
|A+E| = |B+E| = \begin{vmatrix}
1 & 0 & 0 \\
1 & 1 & 3 \\
0 & 1 & -1
\end{vmatrix} = -4.
$$  
故答案为 $-4$。
由题设条件，$A$ 为 3 阶方阵，$\alpha$ 为 3 维列向量，且 $P = (\alpha, A\alpha, A^2\alpha)$ 可逆。给定 $A^3\alpha + 2A^2\alpha = 3A\alpha$，可得 $A^3\alpha = 3A\alpha - 2A^2\alpha$。以 $\alpha, A\alpha, A^2\alpha$ 为基，线性变换 $A$ 对应的矩阵为  
$$
B = P^{-1}AP = \begin{pmatrix}
0 & 0 & 0 \\
1 & 0 & 3 \\
0 & 1 & -2
\end{pmatrix}.
$$  
由于相似矩阵行列式相等，有  
$$
|A+E| = |B+E| = \begin{vmatrix}
1 & 0 & 0 \\
1 & 1 & 3 \\
0 & 1 & -1
\end{vmatrix} = -4.
$$  
故答案为 $-4$。

$$
|A + E| = -4.
$$

