# 2012—2013学年秋季学期《线性代数》考试试卷（A）卷

**考试形式：闭卷**  
**考试时间：150分钟**  
**满分：100分**

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## 一、填空题（共6小题，每小题3分，共18分）

1. 设矩阵$A = [\alpha_{1} \ \alpha_{2} \ \alpha_{3} \ \alpha]$，$B = [\alpha_{1} \ \alpha_{2} \ \alpha_{3} \ \beta]$，其中$\alpha_{1},\alpha_{2},\alpha_{3},\alpha ,\beta$均为4维列向量，且$|A| = |B| = 1$，则$|(A + B)^{\dagger}| =$__________。
2. 设$A$是3阶方阵，且$A$的全部特征值是$1,2,3$，则$|2A^{-1}| =$__________。
3. 已知$A = PQ,\ P = (1,2,1)^\mathrm{T},\ Q = (2, - 1,2)$，则矩阵$A^2$的秩是 __________。
4. 设$A = \begin{bmatrix} -1 & 2 & 2 \\ 2 & -1 & -2 \\ 2 & -2 & -1 \end{bmatrix}$，$E$是3阶单位矩阵，则矩阵$E + 2A - A^2$的全部特征值之和是 __________。
5. 二次型$f(x_{1},x_{2},x_{3}) = 2x_{1}x_{2} + 2x_{1}x_{3} + 2x_{2}x_{3}$在正交变换下的标准形是 __________。
6. 设向量组$\alpha_{1},\alpha_{2},\dots ,\alpha_{s}$线性无关，$\beta_{1} = \alpha_{1} + \alpha_{2},\ \beta_{2} = \alpha_{2} + \alpha_{3},\ \dots ,\ \beta_{s - 1} = \alpha_{s - 1} + \alpha_{s},\ \beta_{s} = \alpha_{s} + \alpha_{s}$，则向量组$\beta_{1},\beta_{2},\dots ,\beta_{s}$线性无关的充要条件是 __________。

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## 二、单选题（共6小题，每小题3分，共18分）

1. 设4阶方阵$A, B$的秩分别是1、4，则矩阵$BAB$的秩是（ ）。
   - (A) 1  
   - (B) 2  
   - (C) 3  
   - (D) 4

2. 设$A$为$m \times n$矩阵，$B$为$n \times m$矩阵，则线性方程组$ABX = 0$（ ）。
   - (A) 当$n < m$时，仅有零解  
   - (B) 当$n < m$时，必有非零解  
   - (C) 当$m < n$时，仅有零解  
   - (D) 当$m < n$时，必有非零解

3.$n$阶方阵$A$有$n$个不同的特征值是$A$与对角阵相似的（ ）。
   - (A) 充分必要条件  
   - (B) 充分但非必要条件  
   - (C) 必要但非充分条件  
   - (D) 既非充分也非必要条件

4. 设$n$为奇数，将$1,2,3,\dots ,n^2$这$n^2$个数排成一个$n$阶行列式，使得该行列式中每行每列元素的和都相等，则该行列式的值可以整除的正整数是（ ）。
   - (A)$n^2$
   - (B)$n^2 + 1$
   - (C)$n^2 + 2$
   - (D)$n^2 + 3$

5. 已知3阶实对称矩阵$A$的特征值为$1,1,-2$，且$\eta_1 = (1,1,-1)^\mathrm{T}$是$A$的对应于$\lambda = -2$的特征向量，则矩阵$A$为（ ）。  
   *注：原试卷此处包含一个矩阵表达式图片，内容为候选矩阵选项，此处保留说明。*

6. 已知4阶矩阵$A$与$B$相似，$A$的全部特征值为$1,2,3,4$，则行列式$|B^{-1} - E|$为（ ）。
   - (A) 1  
   - (B) 2  
   - (C) 3  
   - (D) 0

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## 三、（10分）计算$n$阶行列式的值

$$
D_n = 
\begin{vmatrix}
1 & 1 & 1 & \cdots & 1 \\
a_1 & a_2 & a_3 & \cdots & a_n \\
a_1^2 & a_2^2 & a_3^2 & \cdots & a_n^2 \\
\vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\
a_1^{n-1} & a_2^{n-1} & a_3^{n-1} & \cdots & a_n^{n-1}
\end{vmatrix}
$$

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## 四、（10分）设$A,B$是3阶方阵，$E$是3阶单位矩阵，且满足$AB + E = A^2 + B$。如果  
$$
A = \begin{bmatrix}
1 & 0 & 1 \\
0 & 2 & 0 \\
-1 & 0 & 1
\end{bmatrix},
$$
求矩阵$B$。

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## 五、（10分）设有非齐次线性方程组

$$
\begin{cases}
x_1 + x_2 + kx_3 = 4, \\
-x_1 + kx_2 + x_3 = k^2, \\
x_1 - x_2 + 2x_3 = -4.
\end{cases}
$$

试讨论当参数$k$取何值时，  
（1）该线性方程组无解；  
（2）该线性方程组有无穷多解，并求出其通解表达式。

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## 六、（10分）设$A$与$B$相似，且  
$$
A = \begin{bmatrix}
2 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 1 \\
0 & 1 & x
\end{bmatrix},\quad
B = \begin{bmatrix}
2 & 0 & 0 \\
0 & y & 0 \\
0 & 0 & -1
\end{bmatrix}.
$$
求$x,y$的值，并计算$A^{100}$。

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## 七、（12分）设$A$为实对称矩阵，$\lambda_{1}, \lambda_{n}$分别为$A$的最小和最大特征值。

（1）证明对任意$\mathbf{x} = (x_{1}, x_{2}, \dots , x_{n})^{\mathrm{T}} \in \mathbb{R}^{n}$，均有  
$$
\lambda_{1} \mathbf{x}^{\mathrm{T}} \mathbf{x} \leq \mathbf{x}^{\mathrm{T}} \mathbf{A} \mathbf{x} \leq \lambda_{n} \mathbf{x}^{\mathrm{T}} \mathbf{x};
$$
（2）若$|A| < 0$，则存在$\mathbf{x}_{0} \in \mathbb{R}^{n}$，使得$\mathbf{x}_{0}^{\mathrm{T}} \mathbf{A} \mathbf{x}_{0} < 0$。

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## 八、（12分）

（1）设$\alpha_{1},\alpha_{2},\beta_{1},\beta_{2}$均是三维列向量，且$\alpha_{1},\alpha_{2}$线性无关，$\beta_{1},\beta_{2}$线性无关，证明存在非零向量$\xi$，使得$\xi$既可由$\alpha_{1},\alpha_{2}$线性表出，又可由$\beta_{1},\beta_{2}$线性表出。  

（2）当  
$$
\alpha_1 = \begin{bmatrix} 1 \\ 3 \\ 4 \end{bmatrix},\ 
\alpha_2 = \begin{bmatrix} 2 \\ 5 \\ 5 \end{bmatrix};\quad
\beta_1 = \begin{bmatrix} 2 \\ 3 \\ -1 \end{bmatrix},\ 
\beta_2 = \begin{bmatrix} -3 \\ -4 \\ 3 \end{bmatrix}
$$
时，求所有既可由$\alpha_{1},\alpha_{2}$线性表示，又可由$\beta_{1},\beta_{2}$线性表示的向量。

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**注意：**  
1. 所有答题都须写在此试卷纸密封线右边，写在其它纸上一律无效。  
2. 密封线左边请勿答题，密封线外不得有姓名及相关标记。