# 国防科技大学2018—2019学年秋季学期《高等数学》（I）考试试卷（A）卷  

**考试形式**：闭卷  
**考试时间**：150分钟  
**满分**：100分  

**注意**：  
1. 所有答题都须写在答题卡指定区域内，写在其它纸上一律无效。  
2. 答题区域内不得有姓名及相关标记。

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## 一、单选题（共5小题，每小题3分，共15分）

1. 设函数$f(x), g(x)$在$[-a, a]$上均具有连续导数，且$f(x)$为奇函数，$g(x)$为偶函数，

则定积分$$\int_{-a}^a [f'(x) + g'(x)] \, dx = ( \quad )$$
(A)$f(a) + g(a)$
(B)$f(a) - g(a)$
(C)$2g(a)$
(D)$2f(a)$

2. 设$y = f(x)$为区间$[0,1]$上单调增加的连续函数，且$f(0) = 0$，$f(1) = 2$，$x = g(y)$为  
$y = f(x)$的反函数。若$\displaystyle\int_{0}^{1} f(x) \, dx = \frac{1}{3}$，则$\displaystyle\int_{0}^{2} g(y) \, dy$的值为（    ）。  

(A)$\frac{1}{3}$
(B)$\frac{2}{3}$
(C)$\frac{4}{3}$
(D)$\frac{5}{3}$

3. 已知函数$\displaystyle f(x), g(x)$在$\displaystyle(-\infty, +\infty)$内可导，且$f'(x) > 0, g'(x) < 0$，则（ ）。

(A)$\displaystyle\int_0^1 f(x) \text{d}x > \int_1^2 f(x) \text{d}x$

(B)$\displaystyle\int_0^1 |f(x)| dx > \int_1^2 |f(x)| dx$

(C)$\displaystyle\int_0^1 f(x)g(x) dx > \int_1^2 f(x)g(x) dx$

(D)$\displaystyle\int_0^1 f[g(x)] dx > \int_1^2 f[g(x)] dx$

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## 二、填空题（共5小题，每小题3分，共15分）

4. 不定积分$\displaystyle\int \frac{1}{x(1+2\ln x)} \, dx =\underline{\qquad}$

5. 定积分$\displaystyle\int_{-1}^{1} \frac{x\left(\cos x + x\right)}{1+x^2} \, dx$的值为$\underline{\qquad}.$

6. 已知$\displaystyle\int f(x) \, dx = \arctan x + C$则 $f'(x) =\underline{\qquad}.$

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## 三、解答题（共8小题，共54分）
7. （6分）计算极限 $\displaystyle\lim_{x\to 0}\frac{x\int_{0}^{x}\sqrt{1 + t^{4}}\mathrm{d}t}{x - \ln(1 + x)}.$

8. （6分）计算不定积分
$$
    \int \frac{2 - \sqrt{2x + 1}}{2 + \sqrt{2x + 1}}\mathrm{d}x
$$

9. （6分）计算定积分  
$$
    \int_{0}^{\frac{\pi}{2}}x\sin x\cos^{3}x\mathrm{d}x
$$

10. （8分）  
    （1）证明：存在$\theta \in (0,1)$使得  
$$
    \ln (1 + x) - \ln \left(1 + \frac{x}{2}\right) = \frac{x}{2 + (1 + \theta)x},\quad x > 0
$$
    （2）证明不等式  
$$
    \left(1 + \frac{1}{n}\right)^{n + 1}< e\left(1 + \frac{1}{2n}\right),\quad n \text{ 为正整数}.
$$