>[!info] 定义
>一阶齐次线性微分方程是指这样形式的微分方程：$$\frac{\mathrm dy}{\mathrm dx}=\varphi\left(\frac yx\right)\qquad\text{或}\qquad\frac{\mathrm dx}{\mathrm dy}=\varphi\left(\frac xy\right).$$

实际上，函数 $\varphi$ 可能不是以这样明确的形式给我们的. 更一般地，齐次微分方程可以这样给出：$$\frac{\mathrm dy}{\mathrm dx}=f(x,y),$$我们需要“观察”出 $f(x,y)$ 的性质，并判断它是否能被转化为 $\varphi\left(\dfrac yx\right)$. 而这种性质称为**伸缩不变性**：对于任意实数 $t$，有 $f(x,y)=f(tx,ty)$. 换句话说，如果函数 $f(x,y)$ 满足伸缩不变性，则它可以转化为 $\varphi\left(\dfrac yx\right)$. 
解决了如何判断一个方程是否为齐次微分方程的问题，接下来我们一般地推导这类微分方程的解法。

以 $\dfrac{\mathrm dy}{\mathrm dx}=\varphi\left(\dfrac yx\right)$ 为例，令 $u=\dfrac yx$，则 $y=ux, \mathrm dy = u\mathrm dx + x \mathrm du$. 故方程变为$$u+x\frac{\mathrm du}{\mathrm dx}=\varphi(u)\implies\frac{\mathrm du}{\varphi(u)-u}=\frac{\mathrm dx}{x}\implies\ln|x|=\int\frac{\mathrm du}{\varphi(u)-u}.$$ 故只需要算出不定积分 $\displaystyle \int\frac{\mathrm du}{\varphi(u)-u}$ 即可……吗？

不对，还有可能 $\varphi(u)=u$. 如果这样，那么就有$$\dfrac{\mathrm dy}{\mathrm dx}=\varphi\left(\dfrac yx\right)=\frac yx\implies y=Cx,$$其中 $C$ 为常数. 这是一种特殊情况，也得考虑到.

接下来做几道练习题.

>[!example] 例题1
>求解方程$$\frac{\mathrm dy}{\mathrm dx}=\frac{2x-5y+3}{2x+4y-6}.$$

>[!tip] 提示
>这是一个齐次方程吗？可以验证：并不是. 但它可以转化为齐次方程：因为右边分式上下都是一个直线方程，我们可以通过平移变化使它们经过原点，从而称为齐次方程.

>[!solution] 解
>令 $x=X+h, y=Y+k$，则原方程可以化为 $$\frac{\mathrm dY}{\mathrm dX}=\frac{2X-5Y+(2h-5k+3)}{2X+4Y+(2h+4k-6)}.$$
>为了使等式右边称为齐次式，令 $$\begin{cases}2h-5k+3=0\\2h+4k-6=0\end{cases},$$解得 $h=k=1.$ 则原方程可以转化为 $$\frac{\mathrm dY}{\mathrm dX}=\frac{2-5\frac{Y}{X}}{2+4\frac{Y}{X}}.$$令 $z=\dfrac YX$, 则 $\displaystyle X\frac{\mathrm dz}{\mathrm dX}=\frac{2-7z-4z^2}{2+4z}\implies\frac{2+4z}{2-7z-4z^2}\mathrm dz=\frac{\mathrm dX}{X}，$ 积分得 $$(z+2)^2(4z-1)=\frac C{X^3}.$$带入 $z=\dfrac YX$ 得 $$(Y+2X)^2(4Y-X)=C$$即$$(y+2x-3)^2(4y-x-3)=C.$$

>[!summary] 题后总结
>有时候需要做变换之后，$f(x,y)$ 才成为齐次的，从而可以用齐次方程的方法求解.

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TODO: 应当再补充一些习题
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%%以下内容由AI生成，未检查%%

一阶线性微分方程具有如下标准形式：

$$
\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x} + P(x)y = Q(x)
$$

其中 $P(x)$、$Q(x)$ 是已知函数。当 $Q(x) \equiv 0$ 时，称为**齐次线性方程**；当 $Q(x) \not\equiv 0$ 时，称为**非齐次线性方程**。

**解法的核心思想：常数变易法**

常数变易法分为两步：先解对应的齐次方程，再将齐次解中的任意常数变为函数，代入非齐次方程求解。

对应的齐次方程为：

$$
\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x} + P(x)y = 0
$$

这是一个变量可分离方程，解为：
$$
y_h = C e^{-\int P(x)\,\mathrm{d}x}
$$
其中 $C$ 为任意常数。

设非齐次方程的解具有形式 $\displaystyle y = u(x) e^{-\int P(x)\,\mathrm{d}x}$，其中 $u(x)$ 是待定函数。将 $y$ 代入原方程：

首先计算导数：

$$
\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x} = u'(x) e^{-\int P\,\mathrm{d}x} + u(x) \cdot \left(-P(x)\right) e^{-\int P\,\mathrm{d}x}
$$

代入 $\displaystyle\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x} + P(x)y$：

$$
\left[ u' e^{-\int P\,\mathrm{d}x} - P u e^{-\int P\,\mathrm{d}x} \right] + P u e^{-\int P\,\mathrm{d}x} = u' e^{-\int P\,\mathrm{d}x}
$$

右边为 $Q(x)$，因此：

$$
u' e^{-\int P\,\mathrm{d}x} = Q(x) \quad \Rightarrow \quad u'(x) = Q(x) e^{\int P(x)\,\mathrm{d}x}
$$

积分得：

$$
u(x) = \int Q(x) e^{\int P(x)\,\mathrm{d}x}\,\mathrm{d}x + C
$$

从而非齐次方程的通解为：

$$
y = e^{-\int P\,\mathrm{d}x} \left( \int Q e^{\int P\,\mathrm{d}x}\,\mathrm{d}x + C \right)
$$

**解题步骤**
1. 将方程化为标准形式 $\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x} + P(x)y = Q(x)$。
2. 写出齐次解 $y_h = C e^{-\int P(x)\,\mathrm{d}x}$。
3. 设 $y = u(x) e^{-\int P(x)\,\mathrm{d}x}$，代入原方程，得到 $u'(x) = Q(x) e^{\int P(x)\,\mathrm{d}x}$。
4. 积分求出 $u(x)$，代回得通解。
5. 若有初始条件，代入确定常数 $C$。

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>[!emample] **例1** 
>求方程 $\displaystyle\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x} + 2xy = e^{-x^2}$ 的通解。

>[!solution] **解**
这里 $P(x)=2x$，$Q(x)=e^{-x^2}$。
齐次方程 $\displaystyle\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x} + 2xy = 0$ 的解为 $y_h = C e^{-x^2}$。
设 $y = u(x) e^{-x^2}$，则 $y' = u' e^{-x^2} - 2x u e^{-x^2}$。代入原方程：
$$u' e^{-x^2} - 2x u e^{-x^2} + 2x u e^{-x^2} = e^{-x^2} \quad \Rightarrow \quad u' e^{-x^2} = e^{-x^2}$$
所以 $u' = 1$，积分得 $u = x + C$。故通解为 $y = (x + C)e^{-x^2}$。

<br>

>[!emample] 例2
求解微分方程 $\displaystyle\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x} + y = e^{-x}$。

>[!solution] 解
**标准形式**：$P(x)=1$，$Q(x)=e^{-x}$。
**齐次解**：$y_h = C e^{-x}$。
**常数变易**：设 $y = u(x) e^{-x}$，则 $y' = u' e^{-x} - u e^{-x}$。
代入原方程：
$$u' e^{-x} - u e^{-x} + u e^{-x} = e^{-x} \quad \Rightarrow \quad u' e^{-x} = e^{-x} \quad \Rightarrow \quad u' = 1$$
积分得 $u = x + C$。
**通解**：$y = (x + C) e^{-x}$。

>[!summary] 题后总结
常数变易法通过将齐次解中的常数 $C$ 替换为函数 $u(x)$，代入后消去了与齐次方程对应的项，从而简化出 $u'(x)$ 的方程。本题中 $u'$ 直接可积，过程简洁。

<br>
>[!example] 例3
求解微分方程 $\displaystyle\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x} - \frac{2}{x}y = x^2 \sin x$，其中 $x>0$。

>[!solution] 解
**标准形式**：$\displaystyle P(x)=-\frac{2}{x}$，$Q(x)=x^2\sin x$。
**齐次解**：$\displaystyle\int P\,\mathrm{d}x = -2\ln x$，$y_h = C e^{2\ln x} = C x^2$。
**常数变易**：设 $y = u(x) x^2$，则 $y' = u' x^2 + 2u x$。
代入原方程：
$$u' x^2 + 2u x - \frac{2}{x}(u x^2) = x^2\sin x \quad \Rightarrow \quad u' x^2 + 2u x - 2u x = x^2\sin x$$
即 $u' x^2 = x^2\sin x$，故 $u' = \sin x$，积分得 $u = -\cos x + C$。
**通解**：$y = x^2(C - \cos x)$。

>[!summary] 题后总结
本题中 $P(x)$ 导致齐次解为幂函数 $x^2$，代入后 $2u x$ 项恰好抵消，得到 $u'$ 的简单方程。注意 $x>0$ 保证了表达式的有效性。


>[!example] 例4
求解初值问题 $\displaystyle\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x} + y\tan x = \sin 2x$，$y(0)=1$。

>[!solution] 解
**标准形式**：$P(x)=\tan x$，$Q(x)=\sin 2x$。
**齐次解**：$\displaystyle\int \tan x\,\mathrm{d}x = -\ln|\cos x|$，故 $\displaystyle y_h = C e^{\ln|\cos x|} = C\cos x$（取 $\cos x>0$ 的区间）。
**常数变易**：设 $y = u(x)\cos x$，则 $y' = u'\cos x - u\sin x$。
代入原方程：
$$u'\cos x - u\sin x + (u\cos x)\tan x = \sin 2x$$
注意 $u\cos x \cdot \tan x = u\sin x$，所以 $-u\sin x + u\sin x$ 抵消，得到：
$$u'\cos x = \sin 2x = 2\sin x\cos x$$
两边除以 $\cos x$（在区间内 $\cos x \neq 0$）：$u' = 2\sin x$，积分得 $u = -2\cos x + C$。
故通解为 $y = \cos x(-2\cos x + C) = -2\cos^2 x + C\cos x$。
代入初值 $y(0)=1$：$1 = -2\cdot 1 + C\cdot 1 \Rightarrow C=3$。
**特解**：$y = -2\cos^2 x + 3\cos x$。

>[!summary] 题后总结
使用常数变易法时，关键一步是代入后利用 $\tan x$ 的乘积抵消掉包含 $u$ 的项。本题中初值条件用于确定常数，最终特解形式与积分因子法相同。


>[!example] 例5
求解微分方程 $\displaystyle\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x} + \frac{2x}{1+x^2}y = \frac{1}{(1+x^2)^2}$。

>[!solution] 解
**标准形式**：$\displaystyle P(x)=\frac{2x}{1+x^2}$，$\displaystyle Q(x)=\frac{1}{(1+x^2)^2}$。
**齐次解**：$\displaystyle\int P\,\mathrm{d}x = \ln(1+x^2)$，故 $\displaystyle y_h = C e^{-\ln(1+x^2)} = \frac{C}{1+x^2}$。
**常数变易**：设 $\displaystyle y = \frac{u(x)}{1+x^2}$，则 $\displaystyle y' = \frac{u'(1+x^2) - u\cdot 2x}{(1+x^2)^2}$。
代入原方程：
$$\frac{u'(1+x^2) - 2xu}{(1+x^2)^2} + \frac{2x}{1+x^2}\cdot\frac{u}{1+x^2} = \frac{1}{(1+x^2)^2}$$
第二项 $\frac{2x}{1+x^2}\cdot\frac{u}{1+x^2} = \frac{2xu}{(1+x^2)^2}$，与第一项中的 $-\frac{2xu}{(1+x^2)^2}$ 抵消，得到：$$\frac{u'(1+x^2)}{(1+x^2)^2} = \frac{1}{(1+x^2)^2} \quad \Rightarrow \quad u' = \frac{1}{1+x^2}$$
积分得 $u = \arctan x + C$。
**通解**：$\displaystyle y = \frac{\arctan x + C}{1+x^2}$。

>[!summary] 题后总结
常数变易法将解的形式设为齐次解乘以 $u(x)$，代入后利用 $P(x)$ 与齐次解导数的关系，自动消去含 $u$ 的项，剩下 $u'$ 乘以齐次解的表达式等于 $Q(x)$，从而得到 $u'$ 的方程。本题中抵消后 $u'$ 的积分结果为 $\arctan x$。


>[!example] 例6
求解微分方程 $\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x} + \frac{1}{x}y = \frac{\ln x}{x}$，其中 $x>0$。

>[!solution] 解
**标准形式**：$P(x)=\frac{1}{x}$，$Q(x)=\frac{\ln x}{x}$。
**齐次解**：$\int P\,\mathrm{d}x = \ln x$，故 $y_h = C e^{-\ln x} = \frac{C}{x}$。
**常数变易**：设 $y = \frac{u(x)}{x}$，则 $y' = \frac{u' x - u}{x^2}$。
代入原方程：$$\frac{u' x - u}{x^2} + \frac{1}{x}\cdot\frac{u}{x} = \frac{\ln x}{x}$$
即 $\displaystyle\frac{u' x - u}{x^2} + \frac{u}{x^2} = \frac{\ln x}{x}$，左边化简得 $\displaystyle\frac{u' x}{x^2} = \frac{u'}{x}$，所以：$$\frac{u'}{x} = \frac{\ln x}{x} \quad \Rightarrow \quad u' = \ln x$$
积分得 $\displaystyle u = \int \ln x\,\mathrm{d}x = x\ln x - x + C$。
**通解**：$\displaystyle y = \frac{x\ln x - x + C}{x} = \ln x - 1 + \frac{C}{x}$。

>[!summary] 题后总结
本题中 $P(x)=\frac{1}{x}$ 导致齐次解为 $\frac{C}{x}$，代入后 $u$ 的项抵消，剩下 $u'$ 的方程，积分 $\ln x$ 需用分部积分。通解结构为齐次解加上一个特解 $\ln x - 1$。

