## 函数的奇偶性在定积分上的体现
如果 $f(x)$ 是奇函数， $g(x)$ 是偶函数，那么：
$\displaystyle\int_{-a}^a f(x)\mathrm dx=0$，$\displaystyle\int_{-a}^a g(x)\mathrm dx=2\int_0^a g(x)\mathrm dx$
合理运用上面的特性可以有效化简定积分（一般都是用 $\int_{-a}^a f(x)\mathrm dx=0$ 来简化积分），通常来说，在看到积分上下限互为相反数且被积函数较复杂时，可以试图“剥掉奇函数”来简化，用公式写，就是这样：
如果 $f(x)$ 是奇函数，$g(x)$ 是其他函数，那么：
$\displaystyle\int_{-a}^a(f(x)+g(x))\mathrm dx=\int_{-a}^{a}f(x)\mathrm dx+\int_{-a}^{a}g(x)\mathrm dx=\int_{-a}^{a}g(x)\mathrm dx$
>[!example] 例题
>计算定积分 $$\int_{-1}^1\frac{1+x\mathrm e^{-\frac{x^2}{2}}}{1+x^2}\mathrm dx$$

>[!note] 解答
>不难发现，$\displaystyle\frac{x\mathrm e^{-\frac{x^2}{2}}}{1+x^2}$ 是奇函数……
>>[!faq] 这个“不难发现”是怎么发现的？
>>这个靠主动寻找+奇偶函数的乘法性质，同奇偶相乘得偶函数，反之则为奇函数.
>>$1+x^2$ 是偶函数，$\displaystyle\mathrm e^\frac{-x^2}{2}$ 是偶函数，$\displaystyle\frac{\mathrm e^{-\frac{x^2}{2}}}{1+x^2}$ 是偶函数；$x$ 是奇函数，$\displaystyle\frac{x\mathrm e^{-\frac{x^2}{2}}}{1+x^2}$ 是奇函数
>
>因此
>$$\displaystyle\int_{-1}^1\frac{1+x\mathrm e^{-\frac{x^2}{2}}}{1+x^2}\mathrm dx=\int_{-1}^1\frac{1}{1+x^2}\mathrm dx=\arctan x|_{-1}^1=2\arctan1=\frac{\pi}{2}$$

## 三角函数的特殊性

$\displaystyle\int_0^\pi xf(\sin x)\mathrm dx=\frac{\pi}{2}\int_0^\pi f(\sin x)\mathrm dx,$

$\displaystyle\int_0^{\pi/2}f(\sin x)\text dx=\int_0^{\pi/2}f(\cos x)\text dx.$

## 华莱士公式：
$$\int_0^\frac{\pi}{2}\sin^nx\mathrm dx=\int_0^\frac{\pi}{2}\cos^nx\mathrm dx=\begin{cases}\dfrac{\pi}{2}\dfrac{(n-1)!!}{n!!},n=2k,\\\dfrac{(n-1)!!}{n!!},n=2k+1,\end{cases}\qquad k\in\mathbb{N}$$
其中 $m!!=\begin{cases}m(m-2)\cdots(4)(2),\ m\text{是偶数},\\m(m-2)\cdots(3)(1),\ m\text{是奇数}\end{cases}$ 称为双阶乘.