## 一、单选题（共6小题，每小题3分）
1. 已知 $\begin{vmatrix}a_{11}&a_{12}&a_{13}\\a_{21}&a_{22}&a_{23}\\a_{31}&a_{32}&a_{33}\end{vmatrix}=c$，代数余子式之和 $\sum\limits_{i=1}^3 \sum\limits_{j=1}^3 A_{ij}=3c$，则$\begin{vmatrix}a_{11}+1&a_{12}+1&a_{13}+1\\a_{21}+1&a_{22}+1&a_{23}+1\\a_{31}+1&a_{32}+1&a_{33}+1\end{vmatrix}=$
	A. $4c$
	B. $2c$
	C. $c$
	D. $-2c$
2. 设 $\boldsymbol A\in\mathbb{R}^{m\times n}$，$\boldsymbol B=\mathbb{R}^{n\times m}$，且 $(\boldsymbol{AB})\boldsymbol x=\boldsymbol 0$，则
	A. 当 $n>m$ 时，$(\boldsymbol{AB})\boldsymbol x=\boldsymbol 0$ 仅有零解.
	B. 当 $n>m$ 时，$(\boldsymbol{AB})\boldsymbol x=\boldsymbol 0$ 必有非零解.
	C. 当 $m>n$ 时，$(\boldsymbol{AB})\boldsymbol x=\boldsymbol 0$ 仅有零解.
	D. 当 $m>n$ 时，$(\boldsymbol{AB})\boldsymbol x=\boldsymbol 0$ 必有非零解.
3. 关于 $n$ 维向量组 ${\boldsymbol\alpha_1,\boldsymbol\alpha_2,\cdots,\boldsymbol\alpha_m}$，下列结论正确的是
	A. 若 $m<n$，则向量组 $\boldsymbol{\alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_m}$ 线性无关
	B. 若 $\boldsymbol{\alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_m}$ 线性相关且 $\boldsymbol\alpha_m$ 不能由 ${\boldsymbol\alpha_1,\boldsymbol\alpha_2,\cdots,\boldsymbol\alpha_{m-1}}$ 线性表示，则 ${\boldsymbol\alpha_1,\boldsymbol\alpha_2,\cdots,\boldsymbol\alpha_{m-1}}$ 也一定线性相关
	C. 若 ${\boldsymbol\alpha_1,\boldsymbol\alpha_2,\cdots,\boldsymbol\alpha_m}$ 线性相关，则向量组中任一向量都能由其他向量线性表示
	D. 若向量组 ${\boldsymbol\alpha_1,\boldsymbol\alpha_2,\cdots,\boldsymbol\alpha_m}$ 线性相关，则有 $m>n$
4. 已知五阶非零方阵 $\boldsymbol A$ 满足 $\boldsymbol A^2=\boldsymbol O$，则线性方程组 $\boldsymbol{Ax}=\boldsymbol 0$ 的解空间维数可能是
	A. $1$
	B. $2$
	C. $4$
	D. 以上都不对
5. 设 $\lambda_1 \ne \lambda_2$ 是方阵 $\boldsymbol A$ 的特征值，对应的特征向量分别是 $\boldsymbol\alpha_1,\boldsymbol\alpha_2$，则下列结论错误的是
	A. 向量组 $\boldsymbol\alpha_1,\boldsymbol\alpha_2$ 线性无关
	B. $\lambda_1=0$ 时向量组 $\boldsymbol\alpha_1, \boldsymbol A(\boldsymbol\alpha_1+\boldsymbol\alpha_2)$ 线性无关
	C. $\boldsymbol\alpha_1+\boldsymbol\alpha_2$ 不是 $\boldsymbol A$ 的特征向量
	D. $\lambda_2=0$ 时向量组 $\boldsymbol\alpha_1, \boldsymbol A(\boldsymbol\alpha_1+\boldsymbol\alpha_2)$ 线性无关
6. 已知三阶实对称矩阵 $\boldsymbol A$ 与 $\begin{bmatrix}2&0&0\\0&1&0\\0&0&-3\end{bmatrix}$ 相似，则下列矩阵中，与 $A$ 相似但不合同的是
	A. $\begin{bmatrix}1&1&1\\1&1&1\\1&1&1\end{bmatrix}$
	B. $\begin{bmatrix}-3&0&0\\0&1&0\\0&0&2\end{bmatrix}$
	C. $\begin{bmatrix}-3&1&1\\0&1&1\\0&0&2\end{bmatrix}$
	D. $\begin{bmatrix}1&0&0\\0&-2&0\\0&0&3\end{bmatrix}$
## 二、填空题（共6小题，每小题3分）
1. 设行列式 $D=\begin{vmatrix}1&1&1&1&1\\a&1&1&1&1\\1&b&1&1&1\\1&1&c&1&1\\1&1&1&d&1\end{vmatrix}$，则其所有元素的代数余子式之和的值为\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_.
2. 设矩阵 $\boldsymbol A=\begin{bmatrix}3&2&2\\2&4&0\\2&0&2\end{bmatrix}$，$\boldsymbol A^*$ 为 $\boldsymbol A$ 的伴随矩阵，则 $(\boldsymbol A^*)^*=$\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_.
3. 已知 $\boldsymbol A, \boldsymbol B$ 均为 $n$ 阶正交矩阵，且 $|\boldsymbol A|=-|\boldsymbol B|$， 则 $|\boldsymbol A+\boldsymbol B|$ 的值为\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_.
4. 已知集合 $V=\{\boldsymbol A\in\mathbb{R}^{4\times4}|\boldsymbol A^\mathrm{T}=-\boldsymbol A\}$ 关于矩阵的加法和数乘运算构成线性空间，则 $\mathrm{dim}V$ 等于\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_.
5. 向量空间 $\mathbb{R}^2$ 的基 $(1,1)^\mathrm T, (1,-1)^\mathrm T$ 到基 $(1,0)^\mathrm T,(2,1)^\mathrm T$的过渡矩阵为\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_.
6. 已知实二次型 $x_1^2+3x_2^2+x_3^2+2ax_1x_2+2x_1x_3+2ax_2x_3$ 通过正交变换可化为标准形 $y_1^2+4y_2^2$，则 $a=$\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_.
## 三、计算题（10分）
计算 $n$ 阶行列式 $D_n=\begin{vmatrix}0&1&1&\cdots&1\\2&0&2&\cdots&2\\3&3&0&\cdots&3\\\vdots&\vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\n&n&n&\cdots&0\end{vmatrix}$  .
## 四、证明题（10分）
设 $\boldsymbol A$ 与 $\boldsymbol B$ 均为 $n$ 阶方阵，若 $\boldsymbol A+\boldsymbol B$ 与 $\boldsymbol A-\boldsymbol B$ 都是可逆矩阵，证明 $\begin{bmatrix}\boldsymbol A&\boldsymbol B\\\boldsymbol B&\boldsymbol A\end{bmatrix}$ 是可逆矩阵.
## 五、计算题（共2小题，每小题5分，共10分）
设向量组 $\boldsymbol\alpha_1=\begin{bmatrix}1\\1\\1\\1\end{bmatrix}, \boldsymbol\alpha_2=\begin{bmatrix}1\\3\\-5\\1\end{bmatrix},\boldsymbol\alpha_3=\begin{bmatrix}3\\1\\10\\6\end{bmatrix},\boldsymbol\alpha_4=\begin{bmatrix}3\\7\\-9\\a\end{bmatrix}$，
1. 讨论向量组的线性相关性，
2. 当向量组线性相关是， $\boldsymbol\alpha_2$ 是否可由其余向量线性表示？如能线性表示请写出线性表示形式，若不能线性表示请说明理由.
## 六、计算题（10分）
已知三阶方阵 $\boldsymbol A=\begin{bmatrix}\boldsymbol\alpha_1&\boldsymbol\alpha_2&\boldsymbol\alpha_3\end{bmatrix}$ 有 $3$ 个不同的特征值，其中 $\boldsymbol\alpha_3=2\boldsymbol\alpha_1+\boldsymbol\alpha_2$，若$\boldsymbol\beta=\boldsymbol\alpha_1+3\boldsymbol\alpha_2+4\boldsymbol\alpha_3$，求线性方程组 $\boldsymbol{Ax}=\boldsymbol\beta$ 的通解.
## 七、证明题（12分）
已知 $n$ 阶实对称矩阵 $\boldsymbol A$ 为正定矩阵，$n$ 阶实矩阵 $\boldsymbol B$ 使得 $\boldsymbol A-\boldsymbol B^\mathrm T \boldsymbol A\boldsymbol B$ 也为正定矩阵，证明 $\boldsymbol B$ 的特征值满足关系式 $|\lambda|<1$.
## 八、计算题（12分）
设实二次型 $f(x_1,x_2,x_3)=2x_1^2+2x_2^2+2x_3^2+2x_1x_2-2x_1x_3-2x_2x_3$ 通过正交变换 $\boldsymbol x=\boldsymbol P \boldsymbol y$ 可化为标准形，求所用的正交变换 $\boldsymbol x=\boldsymbol P \boldsymbol y$ 及对应的标准形.