$V$ 中的向量之间具有内在联系，例如任意的向量都可以由一组基线性表示，不同基之间也具有基变换的计算公式等。向量之间的联系可以用线性变换来描述，线性变换是线性空间 $V$ 到自身的一种特定映射。

## 1 线性变换

### 1.1 原理

用一个矩阵左乘一个向量，总能变成另一个向量。例如，用矩阵 
$$
A= \begin{bmatrix} 1&2&3\\2&4&5 \end{bmatrix}
$$
去左乘任意 3 维向量都可以得到一个 2 维向量，该过程可以看作是线性空间 $\mathbb{R}^3$ 到 $\mathbb{R}^2$ 的映射。

**定义**  
设 $T$ 为线性空间 $U$ 到 $V$ 的映射，若满足：
1. **可加性**：对任意的 $\boldsymbol{\alpha},\boldsymbol{\beta} \in U$，有 $T(\boldsymbol{\alpha}+\boldsymbol{\beta})=T(\boldsymbol{\alpha})+T(\boldsymbol{\beta})$；
2. **齐次性**：对任意的 $\boldsymbol{\alpha} \in U$，$k \in \mathbb{R}$，有 $T(k\boldsymbol{\alpha})=kT(\boldsymbol{\alpha})$，

则称 $T$ 为 $U$ 到 $V$ 的**线性映射**。

特别地，若 $T$ 是线性空间 $V$ 到 $V$ 的一个线性映射，则称 $T$ 是 $V$ 上的一个**线性变换**。

> **注**：可加性和齐次性可以合并为  
> $$ T(k\boldsymbol{\alpha}+l\boldsymbol{\beta})=kT(\boldsymbol{\alpha})+lT(\boldsymbol{\beta}), $$
> 其中 $k,l \in \mathbb{R}$。

**定理**  
设 $V$ 是线性空间，$T$ 是 $V$ 上的线性变换，则有：
1. $T(\boldsymbol{0})=\boldsymbol{0}$；
2. $T(-\boldsymbol{\alpha})=-T(\boldsymbol{\alpha})$；
3. $T(k_1\boldsymbol{\alpha}_1+k_2\boldsymbol{\alpha}_2+\dots+k_m\boldsymbol{\alpha}_m)=k_1T(\boldsymbol{\alpha}_1)+k_2T(\boldsymbol{\alpha}_2)+\dots+k_mT(\boldsymbol{\alpha}_m)$；
4. 若 $\boldsymbol{\alpha}_1,\boldsymbol{\alpha}_2,\dots,\boldsymbol{\alpha}_m$ 是 $V$ 中的线性相关向量组，则 $T(\boldsymbol{\alpha}_1),T(\boldsymbol{\alpha}_2),\dots,T(\boldsymbol{\alpha}_m)$ 也是 $V$ 中的线性相关向量组。

**证明**  
1. $T(\boldsymbol{0})=T(0\boldsymbol{0})=0T(\boldsymbol{0})=\boldsymbol{0}$。  
2. 由定义显然成立。  
3. 由定义显然成立。  
4. 设存在不全为零的数 $k_1,k_2,\dots,k_m \in \mathbb{F}$，使得  
   $$ k_1\boldsymbol{\alpha}_1+k_2\boldsymbol{\alpha}_2+\dots+k_m\boldsymbol{\alpha}_m=\boldsymbol{0}, $$
   则由（1）得  
   $$ T(k_1\boldsymbol{\alpha}_1+k_2\boldsymbol{\alpha}_2+\dots+k_m\boldsymbol{\alpha}_m)=T(\boldsymbol{0})=\boldsymbol{0}. $$
   再由（3）得  
   $$ k_1T(\boldsymbol{\alpha}_1)+k_2T(\boldsymbol{\alpha}_2)+\dots+k_mT(\boldsymbol{\alpha}_m)=\boldsymbol{0}, $$
   因而 $T(\boldsymbol{\alpha}_1),T(\boldsymbol{\alpha}_2),\dots,T(\boldsymbol{\alpha}_m)$ 线性相关。

### 1.2 例题

>[!example] 例1
设 $V$ 是数域 $\mathbb{F}$ 上的线性空间，$\lambda \in \mathbb{F}$ 是给定的数，$\boldsymbol{\gamma} \in V$ 是给定的向量，定义变换 $T$：$\forall \boldsymbol{\alpha} \in V$，$T(\boldsymbol{\alpha})=\lambda \boldsymbol{\alpha}+\boldsymbol{\gamma}$。  
证明：只有当 $\boldsymbol{\gamma}=\boldsymbol{0}$ 时，$T$ 才是 $V$ 上的线性变换。

**解析**：  
任取 $\boldsymbol{\alpha},\boldsymbol{\beta} \in V$ 和 $k,l \in \mathbb{F}$，当 $\boldsymbol{\gamma}=\boldsymbol{0}$ 时，  
$$
T(k\boldsymbol{\alpha}+l\boldsymbol{\beta})=\lambda(k\boldsymbol{\alpha}+l\boldsymbol{\beta})=k\lambda \boldsymbol{\alpha}+l\lambda \boldsymbol{\beta}=kT(\boldsymbol{\alpha})+lT(\boldsymbol{\beta}).
$$
当 $\boldsymbol{\gamma} \neq \boldsymbol{0}$ 时，  
$$
T(\boldsymbol{\alpha}+\boldsymbol{\beta})=\lambda(\boldsymbol{\alpha}+\boldsymbol{\beta})+\boldsymbol{\gamma} \neq T(\boldsymbol{\alpha})+T(\boldsymbol{\beta})=\lambda(\boldsymbol{\alpha}+\boldsymbol{\beta})+2\boldsymbol{\gamma}.
$$
结论得证。

>[!example] 例2
证明 $P_n[x]=\{a_0+a_1x+\dots+a_nx^n \mid a_i \in \mathbb{R},i=0,1,\dots,n\}$ 上的求导变换 $T=\dfrac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}$ 是线性变换。

**解析**：  
任取 $f(x)=a_0+a_1x+\dots+a_nx^n$，$g(x)=b_0+b_1x+\dots+b_nx^n \in P_n[x]$ 和 $k,l \in \mathbb{R}$，则  
$$
\begin{aligned}
\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}[kf(x)+lg(x)]&=\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\left[k a_0+l b_0+(k a_1+l b_1)x+\dots+(k a_n+l b_n)x^n\right] \\
&=(k a_1+l b_1)+2(k a_2+l b_2)x+\dots+n(k a_n+l b_n)x^{n-1} \\
&=k a_1+2k a_2x+\dots+n k a_nx^{n-1}+l b_1+2l b_2x+\dots+n l b_nx^{n-1} \\
&=k\left(a_1+2a_2x+\dots+n a_nx^{n-1}\right)+l\left(b_1+2b_2x+\dots+n b_nx^{n-1}\right) \\
&=k\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}[f(x)]+l\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}[g(x)].
\end{aligned}
$$
因此 $T=\dfrac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}$ 在 $P_n[x]$ 上是线性变换。

## 2 线性变换的矩阵表示

### 2.1 原理

线性空间一般包含无穷多个向量，因此分析每一个向量在线性变换下的像并不可行。而线性空间中的每个向量都可以写成一组基的线性组合，因此可转而研究线性变换在一组基下的表示。

设 $V$ 是线性空间，$\dim V=n$，$\boldsymbol{\alpha}_1,\boldsymbol{\alpha}_2,\dots,\boldsymbol{\alpha}_n$ 是 $V$ 的一组基，$T$ 是 $V$ 上的线性变换，显然 $T(\boldsymbol{\alpha}_j)\;(j=1,2,\dots,n)$ 可由基 $\boldsymbol{\alpha}_1,\boldsymbol{\alpha}_2,\dots,\boldsymbol{\alpha}_n$ 线性表示，即有  
$$
T(\boldsymbol{\alpha}_j)=k_{1j}\boldsymbol{\alpha}_1+k_{2j}\boldsymbol{\alpha}_2+\dots+k_{nj}\boldsymbol{\alpha}_n\;(j=1,2,\dots,n).
$$
故  
$$
\left[T(\boldsymbol{\alpha}_1)\;T(\boldsymbol{\alpha}_2)\;\dots\;T(\boldsymbol{\alpha}_n)\right]=\left[\boldsymbol{\alpha}_1\;\boldsymbol{\alpha}_2\;\dots\;\boldsymbol{\alpha}_n\right]
\begin{bmatrix}
k_{11}&k_{12}&\dots&k_{1n}\\
k_{21}&k_{22}&\dots&k_{2n}\\
\vdots&\vdots&&\vdots\\
k_{n1}&k_{n2}&\dots&k_{nn}
\end{bmatrix}.
$$
即  
$$
\left[T(\boldsymbol{\alpha}_1)\;T(\boldsymbol{\alpha}_2)\;\dots\;T(\boldsymbol{\alpha}_n)\right]=\left[\boldsymbol{\alpha}_1\;\boldsymbol{\alpha}_2\;\dots\;\boldsymbol{\alpha}_n\right]A.
$$

**定义**  
设 $T$ 是线性空间 $V$ 上的线性变换，$\boldsymbol{\alpha}_1,\boldsymbol{\alpha}_2,\dots,\boldsymbol{\alpha}_n$ 是 $V$ 的一组基，若有 $n$ 阶方阵 $A$，使得  
$$
\left[T(\boldsymbol{\alpha}_1)\;T(\boldsymbol{\alpha}_2)\;\dots\;T(\boldsymbol{\alpha}_n)\right]=\left[\boldsymbol{\alpha}_1\;\boldsymbol{\alpha}_2\;\dots\;\boldsymbol{\alpha}_n\right]A,
$$
则称上式为线性变换 $T$ 在基 $\boldsymbol{\alpha}_1,\boldsymbol{\alpha}_2,\dots,\boldsymbol{\alpha}_n$ 下的**矩阵表示**，$A$ 称为线性变换 $T$ 在基 $\boldsymbol{\alpha}_1,\boldsymbol{\alpha}_2,\dots,\boldsymbol{\alpha}_n$ 下的**矩阵**。

$A$ 的第 $j$ 列就是 $T(\boldsymbol{\alpha}_j)$ 在基 $\boldsymbol{\alpha}_1,\boldsymbol{\alpha}_2,\dots,\boldsymbol{\alpha}_n$ 下的坐标。

**定理**  
设 $n$ 维线性空间 $V$ 的基 $\boldsymbol{\alpha}_1,\boldsymbol{\alpha}_2,\dots,\boldsymbol{\alpha}_n$ 到 $\boldsymbol{\beta}_1,\boldsymbol{\beta}_2,\dots,\boldsymbol{\beta}_n$ 的过渡矩阵为 $C$，$V$ 中的线性变换 $T$ 在两组基下的矩阵分别为 $A$ 和 $B$，则 $B=C^{-1}AC$。

**证明**  
由 $\left[\boldsymbol{\beta}_1\;\boldsymbol{\beta}_2\;\dots\;\boldsymbol{\beta}_n\right]=\left[\boldsymbol{\alpha}_1\;\boldsymbol{\alpha}_2\;\dots\;\boldsymbol{\alpha}_n\right]C$，且  
$$
\left[T(\boldsymbol{\alpha}_1)\;T(\boldsymbol{\alpha}_2)\;\dots\;T(\boldsymbol{\alpha}_n)\right]=\left[\boldsymbol{\alpha}_1\;\boldsymbol{\alpha}_2\;\dots\;\boldsymbol{\alpha}_n\right]A,
$$
$$
\left[T(\boldsymbol{\beta}_1)\;T(\boldsymbol{\beta}_2)\;\dots\;T(\boldsymbol{\beta}_n)\right]=\left[\boldsymbol{\beta}_1\;\boldsymbol{\beta}_2\;\dots\;\boldsymbol{\beta}_n\right]B.
$$
计算得：
$$
\begin{aligned}
\left[T(\boldsymbol{\beta}_1)\;T(\boldsymbol{\beta}_2)\;\dots\;T(\boldsymbol{\beta}_n)\right]&=\left[T(\boldsymbol{\alpha}_1)\;T(\boldsymbol{\alpha}_2)\;\dots\;T(\boldsymbol{\alpha}_n)\right]C \\
&=\left[\boldsymbol{\alpha}_1\;\boldsymbol{\alpha}_2\;\dots\;\boldsymbol{\alpha}_n\right]AC \\
&=\left[\boldsymbol{\beta}_1\;\boldsymbol{\beta}_2\;\dots\;\boldsymbol{\beta}_n\right]C^{-1}AC.
\end{aligned}
$$
所以 $B=C^{-1}AC$。

### 2.2 例题

>[!example] 例3
线性空间 $P_{n-1}[x]$ 有基 $1,x,x^2,\dots,x^{n-1}$。定义 $P_{n-1}[x]$ 上的线性变换 $T$ 如下：对任意的 $f \in P_{n-1}[x]$，  $T(f)=\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}f-f.$
求 $T$ 在基 $1,x,x^2,\dots,x^{n-1}$ 下的矩阵表示。

**解析**：  
按照定义有  
$$
\begin{aligned}
&\left[T(1)\;T(x)\;T(x^2)\;\dots\;T(x^{n-1})\right] \\
&=\left[-1\;1-x\;2x-x^2\;\dots\;(n-1)x^{n-2}-x^{n-1}\right] \\
&=\left[1\;x\;x^2\;\dots\;x^{n-2}\;x^{n-1}\right]
\begin{bmatrix}
-1&1&&&\\
&-1&2&&\\
&&-1&\ddots&\\
&&&\ddots&n-1\\
&&&&-1
\end{bmatrix},
\end{aligned}
$$
所以 $T$ 在基 $1,x,x^2,\dots,x^{n-1}$ 下的矩阵为  
$$
A=
\begin{bmatrix}
-1&1&&&\\
&-1&2&&\\
&&-1&\ddots&\\
&&&\ddots&n-1\\
&&&&-1
\end{bmatrix}.
$$

>[!example] 例4
定义 $\mathbb{R}^3$ 上的线性变换 $T$ 如下：  $$
T\begin{bmatrix}x\\y\\z\end{bmatrix}=
\begin{bmatrix}x+y\\y-z\\z-x\end{bmatrix}.$$
设 $\mathbb{R}^3$ 的两组基  $$
\boldsymbol{e}_1=(1,0,0)^T,\;\boldsymbol{e}_2=(0,1,0)^T,\;\boldsymbol{e}_3=(0,0,1)^T;$$$$
\boldsymbol{v}_1=(1,-1,1)^T,\;\boldsymbol{v}_2=(2,1,1)^T,\;\boldsymbol{v}_3=(-1,3,1)^T.$$
分别求 $T$ 在基 $\boldsymbol{e}_1,\boldsymbol{e}_2,\boldsymbol{e}_3$ 和基 $\boldsymbol{v}_1,\boldsymbol{v}_2,\boldsymbol{v}_3$ 下的矩阵表示。

**解析**：  
设 $T$ 在基 $\boldsymbol{e}_1,\boldsymbol{e}_2,\boldsymbol{e}_3$ 下的矩阵为 $A$，则  
$$
\left[T(\boldsymbol{e}_1)\;T(\boldsymbol{e}_2)\;T(\boldsymbol{e}_3)\right]=\left[\boldsymbol{e}_1\;\boldsymbol{e}_2\;\boldsymbol{e}_3\right]A,
$$
即  
$$
A=
\begin{bmatrix}
1&1&0\\
0&1&-1\\
-1&0&1
\end{bmatrix}.
$$
设 $T$ 在基 $\boldsymbol{v}_1,\boldsymbol{v}_2,\boldsymbol{v}_3$ 下的矩阵为 $B$，则  
$$
\left[T(\boldsymbol{v}_1)\;T(\boldsymbol{v}_2)\;T(\boldsymbol{v}_3)\right]=\left[\boldsymbol{v}_1\;\boldsymbol{v}_2\;\boldsymbol{v}_3\right]B,
$$
即  
$$
\begin{bmatrix}
0&3&2\\
-2&0&2\\
0&-1&2
\end{bmatrix}=
\begin{bmatrix}
1&2&-1\\
-1&1&3\\
1&1&1
\end{bmatrix}B,
$$
所以  
$$
\begin{aligned}
B&=
\begin{bmatrix}
1&2&-1\\
-1&1&3\\
1&1&1
\end{bmatrix}^{-1}
\begin{bmatrix}
0&3&2\\
-2&0&2\\
0&-1&2
\end{bmatrix} \\
&=\frac{1}{8}
\begin{bmatrix}
-2&-3&7\\
4&2&-2\\
-2&1&3
\end{bmatrix}
\begin{bmatrix}
0&3&2\\
-2&0&2\\
0&-1&2
\end{bmatrix}
=
\frac{1}{8}
\begin{bmatrix}
6&-13&4\\
-4&14&8\\
-2&-9&4
\end{bmatrix}.
\end{aligned}
$$

---

## 3 习题

1. 集合 $V=\{\omega=(a_2x^2+a_1x+a_0)e^x \mid a_2,a_1,a_0 \in \mathbb{R}\}$ 对于函数的线性运算构成 3 维线性空间，定义变换 $T(f(x))=\dfrac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}f(x)$，求 $T$ 在基 $x^2e^x, xe^x, e^x$ 下的矩阵。

2. 二阶实对称矩阵的全体  
   $$
   V=\left\{A=\begin{bmatrix}x_1&x_2\\x_2&x_3\end{bmatrix}\;\bigg|\;x_1,x_2,x_3 \in \mathbb{R}\right\}
   $$
   对于矩阵的线性运算构成 3 维线性空间。在 $V$ 中取一组基  
   $$
   A_1=\begin{bmatrix}1&0\\0&0\end{bmatrix},\;
   A_2=\begin{bmatrix}0&1\\1&0\end{bmatrix},\;
   A_3=\begin{bmatrix}0&0\\0&1\end{bmatrix}.
   $$
   在 $V$ 中定义变换  
   $$
   T(A)=\begin{bmatrix}1&0\\1&1\end{bmatrix}A\begin{bmatrix}1&1\\0&1\end{bmatrix},
   $$
   求 $T$ 在基 $A_1,A_2,A_3$ 下的矩阵。

3. 已知 $\mathbb{R}^3$ 中线性变换 $T$ 在基 $\boldsymbol{\alpha}_1,\boldsymbol{\alpha}_2,\boldsymbol{\alpha}_3$ 下的矩阵为  
   $$
   A = \begin{bmatrix} 1&2&-1\\ -1&1&3\\ 1&1&1 \end{bmatrix},
   $$
   求 $T$ 在基 $\boldsymbol{\alpha}_3,\boldsymbol{\alpha}_2,\boldsymbol{\alpha}_1$ 下的矩阵。

4. 已知 $\boldsymbol{\alpha}_1=(1,1,1)^T,\;\boldsymbol{\alpha}_2=(1,1,0)^T,\;\boldsymbol{\alpha}_3=(1,0,0)^T$ 为 $\mathbb{R}^3$ 的一组基，$T$ 为 $\mathbb{R}^3$ 上的线性变换，且  
   $$
   T(\boldsymbol{\alpha}_1)=(1,2,3)^T,\; T(\boldsymbol{\alpha}_2)=(0,1,2)^T,\; T(\boldsymbol{\alpha}_3)=(0,0,1)^T,
   $$
   求 $T$ 在基 $\boldsymbol{\alpha}_1 , \boldsymbol{\alpha}_2 , \boldsymbol{\alpha}_3$ 下的矩阵。

---

## 4 习题解答

### 第1题

取基向量 $e_1 = x^2 e^x$, $e_2 = x e^x$, $e_3 = e^x$。计算导函数：
- $T(e_1) = \frac{d}{dx}(x^2 e^x) = (x^2 + 2x)e^x = 1 \cdot e_1 + 2 \cdot e_2 + 0 \cdot e_3$,
- $T(e_2) = \frac{d}{dx}(x e^x) = (x+1)e^x = 0 \cdot e_1 + 1 \cdot e_2 + 1 \cdot e_3$,
- $T(e_3) = \frac{d}{dx}(e^x) = e^x = 0 \cdot e_1 + 0 \cdot e_2 + 1 \cdot e_3$。

故 $T$ 在基下的矩阵为  
$$
\boxed{\begin{bmatrix}1&0&0\\2&1&0\\0&1&1\end{bmatrix}}.
$$

### 第2题

验证 $T$ 是 $V$ 到 $V$ 的线性变换：对任意 $A=\begin{bmatrix}x_1&x_2\\x_2&x_3\end{bmatrix}\in V$，  
$$
T(A)=\begin{bmatrix}1&0\\1&1\end{bmatrix}A\begin{bmatrix}1&1\\0&1\end{bmatrix}
= \begin{bmatrix}x_1 & x_1+x_2 \\ x_1+x_2 & x_1+2x_2+x_3\end{bmatrix} \in V.
$$

计算基的像：
- $T(A_1)=\begin{bmatrix}1&1\\1&1\end{bmatrix}=1\cdot A_1+1\cdot A_2+1\cdot A_3$，
- $T(A_2)=\begin{bmatrix}0&1\\1&2\end{bmatrix}=0\cdot A_1+1\cdot A_2+2\cdot A_3$，
- $T(A_3)=\begin{bmatrix}0&0\\0&1\end{bmatrix}=0\cdot A_1+0\cdot A_2+1\cdot A_3$。

故 $T$ 在基下的矩阵为  
$$
\boxed{\begin{bmatrix}1&0&0\\1&1&0\\1&2&1\end{bmatrix}}.
$$

### 第3题

设旧基 $\mathcal{B}=(\boldsymbol{\alpha}_1,\boldsymbol{\alpha}_2,\boldsymbol{\alpha}_3)$，新基 $\mathcal{C}=(\boldsymbol{\alpha}_3,\boldsymbol{\alpha}_2,\boldsymbol{\alpha}_1)$。过渡矩阵  
$$
P = \begin{bmatrix}0&0&1\\0&1&0\\1&0&0\end{bmatrix},\quad P^{-1}=P.
$$
$T$ 在基 $\mathcal{C}$ 下的矩阵 $B = P^{-1}AP = PAP$。计算：
$$
AP = \begin{bmatrix}1&2&-1\\-1&1&3\\1&1&1\end{bmatrix}
\begin{bmatrix}0&0&1\\0&1&0\\1&0&0\end{bmatrix}
= \begin{bmatrix}-1&2&1\\3&1&-1\\1&1&1\end{bmatrix},
$$
$$
B = P(AP) = \begin{bmatrix}0&0&1\\0&1&0\\1&0&0\end{bmatrix}
\begin{bmatrix}-1&2&1\\3&1&-1\\1&1&1\end{bmatrix}
= \begin{bmatrix}1&1&1\\3&1&-1\\-1&2&1\end{bmatrix}.
$$
故所求矩阵为  
$$
\boxed{\begin{bmatrix}1&1&1\\3&1&-1\\-1&2&1\end{bmatrix}}.
$$

### 第4题

记基矩阵 $P = [\boldsymbol{\alpha}_1,\boldsymbol{\alpha}_2,\boldsymbol{\alpha}_3] = \begin{bmatrix}1&1&1\\1&1&0\\1&0&0\end{bmatrix}$，  
像矩阵 $B = [T(\boldsymbol{\alpha}_1),T(\boldsymbol{\alpha}_2),T(\boldsymbol{\alpha}_3)] = \begin{bmatrix}1&0&0\\2&1&0\\3&2&1\end{bmatrix}$。  
设 $T$ 在基下的矩阵为 $A$，则 $B = PA$，故 $A = P^{-1}B$。计算  
$$
P^{-1} = \begin{bmatrix}0&0&1\\0&1&-1\\1&-1&0\end{bmatrix},
$$
$$
A = P^{-1}B = \begin{bmatrix}0&0&1\\0&1&-1\\1&-1&0\end{bmatrix}
\begin{bmatrix}1&0&0\\2&1&0\\3&2&1\end{bmatrix}
= \begin{bmatrix}3&2&1\\-1&-1&-1\\-1&-1&0\end{bmatrix}.
$$
验证：$T(\boldsymbol{\alpha}_1) = P \cdot (3,-1,-1)^T = (1,2,3)^T$，正确。  
故所求矩阵为  
$$
\boxed{\begin{bmatrix}3&2&1\\-1&-1&-1\\-1&-1&0\end{bmatrix}}.
$$