>[!example] 例一
>设$\boldsymbol{A}=\begin{bmatrix}-1 & 2 & 2 \\ 2&-1&-2\\2&-2&-1\end{bmatrix}$,$\boldsymbol E$是3阶单位矩阵，则矩阵$\boldsymbol{E}+2\boldsymbol{A}-\boldsymbol{A}^2$全部特征值之和是____

>[!note] 解析
>易知$\boldsymbol A$的特征值为$\lambda =1,1,-5$,令$\boldsymbol B=\boldsymbol{E}+2\boldsymbol{A}-\boldsymbol{A}^2,$
>$\xi为矩阵A的一个特征向量,\boldsymbol B\xi=(1+2\lambda-\lambda^2)\xi,$
>$则有\boldsymbol B 的特征值\lambda'=(1+2\lambda-\lambda^2)=2,2,-34,则答案为2+2-34=-30$

>[!example] 例二
>n阶方阵$\boldsymbol A$有n个不同的特征值是$\boldsymbol A$与对角阵相似的 $\qquad\qquad\qquad$【$\qquad$】
>A.充分必要条件$\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad$B.充分不必要条件
>C.必要不充分条件$\qquad\qquad\qquad\qquad\quad$D.既不充分也不必要条件

>[!note] 解析
>设 A 是一个 n×n 的方阵：
>1. 若 A 有 n 个不同的特征值，则每个特征值至少有一个对应的特征向量；
>2. 不同特征值对应的特征向量一定是线性无关的；
>3. 所以当 A 有 n 个不同特征值时，A 一定有 n 个线性无关的特征向量；
>4. 根据矩阵可对角化的充要条件，A 可以与对角阵相似；
>另一方面，
>5. 如果 A 可以与对角阵相似，即 A 有 n 个线性无关的特征向量；
>6. 这些特征向量可能来自重复的特征值；
>7. 举例来说，矩阵
>$$\boldsymbol{A}=\begin{bmatrix}-2 & 1 & 1 \\ 0&2&0\\4&1&3\end{bmatrix}$$
>相似于对角阵
>$$\boldsymbol{D}=\begin{bmatrix}-1 & 0 & 0 \\ 0&2&0\\0&0&2\end{bmatrix}$$
>它只有两个不同的特征值 −1 和 2，但仍能对角化；
 所以，“有 n 个不同特征值”不是必要条件。
 综上，n 阶方阵 A 有 n 个不同特征值是其可对角化的**充分不必要条件**。