## **柯西中值定理**

### **原理**

设函数 $f(x)$ 和 $g(x)$ 满足以下条件：
1. 在闭区间 $[a, b]$ 上连续；
2. 在开区间 $(a, b)$ 内可导；
3. 对任意 $x \in (a, b)$，有 $g'(x) \neq 0$；
则在 $(a, b)$ 内至少存在一点 $\xi$，使得：

$$
\frac{f(b) - f(a)}{g(b) - g(a)} = \frac{f'(\xi)}{g'(\xi)}
$$

柯西中值定理的几何意义为：由参数方程 $(g(t), f(t))$ 表示的曲线，在两点间的割线斜率等于曲线上某点切线的斜率。

它与拉格朗日中值定理的关系为：当 $g(x) = x$ 时，柯西中值定理退化为拉格朗日中值定理。它是处理两个函数之间微分中值关系的通用形式。

### **适用条件**

柯西中值定理的核心适用题型是**证明形如 $\frac{f(b)-f(a)}{g(b)-g(a)} = \frac{f'(\xi)}{g'(\xi)}$ 的等式成立**，以及处理**涉及两个中值点 $\xi, \eta$ 的问题**。

常见应用方向包括：
1. 直接证明存在性等式；
2. 通过函数配对，将目标等式转化为柯西中值定理的标准形式；
3. 处理“双中值问题”，常与拉格朗日中值定理结合使用。

### **例题**

>[!example] 例1  
设 $f(x)$ 在 $[a, b]$ 上连续，在 $(a, b)$ 内可导，且 $a>0$。证明存在 $\xi \in (a, b)$，使得：
$$\frac{f(b)-f(a)}{b-a} = \xi f'(\xi) \cdot \frac{\ln(b/a)}{b-a}$$

**解析**：  
将等式变形为：
$$
\frac{f(b)-f(a)}{\ln b - \ln a} = \xi f'(\xi)
$$
取 $g(x) = \ln x$，则 $g'(x) = \frac{1}{x} \neq 0$ 在 $(a, b)$ 内成立。  
对 $f(x)$ 与 $g(x)$ 应用柯西中值定理，存在 $\xi \in (a, b)$ 使得：
$$
\frac{f(b)-f(a)}{\ln b - \ln a} = \frac{f'(\xi)}{1/\xi} = \xi f'(\xi)
$$
整理即得所求。

---

>[!example] 例2  
设 $f(x)$ 在 $[a, b]$ 上连续，在 $(a, b)$ 内可导，证明存在不同的 $\xi, \eta \in (a, b)$，使得：
$$f'(\xi) = \frac{a+b}{2\eta} f'(\eta)$$

**解析**：  
1. 对 $f(x)$ 与 $g(x) = \frac{x^2}{2}$ 应用柯西中值定理，存在 $\eta \in (a, b)$ 使得：
   $$
   \frac{f(b)-f(a)}{(b^2 - a^2)/2} = \frac{f'(\eta)}{\eta}
   $$
   整理得：
   $$
   f(b)-f(a) = \frac{b^2 - a^2}{2\eta} f'(\eta)
   $$

2. 对 $f(x)$ 应用拉格朗日中值定理，存在 $\xi \in (a, b)$ 使得：
   $$
   f(b)-f(a) = (b-a) f'(\xi)
   $$

3. 联立两式，消去 $f(b)-f(a)$ 得：
   $$
   (b-a) f'(\xi) = \frac{(b-a)(a+b)}{2\eta} f'(\eta)
   $$
   由于 $b-a \neq 0$，约去后即得：
   $$
   f'(\xi) = \frac{a+b}{2\eta} f'(\eta)
   $$

---

>[!example] 例3  
设 $0 < a < b$，证明存在 $\xi \in (a, b)$，使得：
$$f(b)-f(a) = \frac{3\xi^2}{a^2+ab+b^2} f'(\xi)(b-a)$$

**解析**：  
将等式变形为：
$$
\frac{f(b)-f(a)}{b^3 - a^3} = \frac{f'(\xi)}{3\xi^2}
$$
取 $g(x) = x^3$，则 $g'(x) = 3x^2 \neq 0$ 在 $(a, b)$ 内成立。  
由柯西中值定理，存在 $\xi \in (a, b)$ 使得：
$$
\frac{f(b)-f(a)}{b^3 - a^3} = \frac{f'(\xi)}{3\xi^2}
$$
整理后即得所求。




## **辅助函数的构造方法**

### **原理**

在证明与导数相关的等式或不等式时，常通过构造辅助函数，将原问题转化为对某个函数应用中值定理（如罗尔定理、拉格朗日定理等）。构造辅助函数的核心思想是：**将待证等式视为某个函数求导后的结果**。

### **常见构造类型**

#### 1. 乘积型与商型
若结论形如：
$$
f'(\xi)g(\xi) + f(\xi)g'(\xi) = 0
$$
可构造辅助函数：
$$
F(x) = f(x)g(x)
$$
若结论形如：
$$
f'(\xi)g(\xi) - f(\xi)g'(\xi) = 0
$$
可构造辅助函数：
$$
F(x) = \frac{f(x)}{g(x)} \quad (g(x) \neq 0)
$$

#### 2. 含幂函数因子
若结论形如：
$$
n f(\xi) + \xi f'(\xi) = 0
$$
可构造辅助函数：
$$
F(x) = x^n f(x)
$$

#### 3. 一阶线性微分结构
若结论形如：
$$
f'(\xi) + P(\xi)f(\xi) = 0
$$
可构造积分因子：
$$
\mu(x) = e^{\int P(x)\mathrm{d}x}
$$
并设辅助函数：
$$
F(x) = \mu(x) f(x)
$$

#### 4. 对数型
若结论形如：
$$
\frac{f'(\xi)}{f(\xi)} = k
$$
可构造辅助函数：
$$
F(x) = \ln|f(x)| - kx
$$

#### 5. 常数变易法
若结论形如：
$$
f'(\xi) = \lambda f(\xi)
$$
可构造辅助函数：
$$
F(x) = e^{-\lambda x} f(x)
$$

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### **例题**

>[!example] 例1  
设 $f(x)$ 在 $[0, 1]$ 上连续，在 $(0, 1)$ 内可导，且 $f(0)=0$，$f(1)=1$。  
证明：存在 $\xi \in (0, 1)$ 使得$f'(\xi) = 2\xi f(\xi)$

**解析**：  
将结论改写为：
$$
f'(\xi) - 2\xi f(\xi) = 0
$$
属于一阶线性微分结构，其中 $P(x) = -2x$。  
积分因子为：
$$
\mu(x) = e^{\int (-2x)\mathrm{d}x} = e^{-x^2}
$$
构造辅助函数：
$$
F(x) = e^{-x^2} f(x)
$$
则 $F(0) = 0$，$F(1) = e^{-1}$。  
需进一步寻找另一个点 $c$ 使 $F(c)=0$，才可应用罗尔定理。通常需结合题目其他条件（如积分中值定理、零点定理等）找出该点。

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>[!example] 例2  
设 $f(x)$ 在 $[a, b]$ 上三阶可导，且 $f(a) = f'(a) = f(b) = 0$。  
证明：存在 $\xi \in (a, b)$ 使得：$f'''(\xi) + k f''(\xi) = 0$

**解析**：  
结论可写为：
$$
\bigl[ e^{kx} f''(x) \bigr]' \big|_{x=\xi} = 0
$$
因此构造辅助函数：
$$
H(x) = e^{kx} f''(x)
$$
由条件可推知存在 $\eta_1, \eta_2 \in (a, b)$ 使 $f''(\eta_1) = f''(\eta_2) = 0$，从而 $H(\eta_1)=H(\eta_2)=0$。  
对 $H(x)$ 应用罗尔定理即得证。

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>[!example] 例3  
设 $f(x)$ 在 $[0, 1]$ 上可导，且$f(1) = 2\int_0^{1/2} e^{1-x} f(x) dx$
证明：存在 $\xi \in (0, 1)$ 使得：$f'(\xi) = (1-\xi) f(\xi)$

**解析**：  
结论化为：
$$
f'(\xi) - (1-\xi) f(\xi) = 0
$$
积分因子为：
$$
\mu(x) = e^{\int (x-1) \mathrm{d}x} = e^{\frac{x^2}{2} - x}
$$
构造辅助函数：
$$
F(x) = e^{\frac{x^2}{2} - x} f(x)
$$
利用题设积分条件与积分中值定理，可找到 $\eta \in (0, \frac{1}{2})$ 使 $F(\eta) = F(1)$，再对 $F(x)$ 应用罗尔定理即证。

