**两个重要极限：** $$\lim_{x\to0}\frac{\sin x}{x}=1\qquad\lim_{x\to\infty}\left(1+\frac{1}{x}\right)^x=\text e.$$

<br>

**数列极限重要结论**：
1. $\displaystyle\lim_{n\to\infty}a_n=0\Leftrightarrow\lim_{n\to\infty}|a_n|=0$（注意：只有极限为 $0$ 的时候才等价）
2. $\displaystyle\lim_{n\to\infty}a_n=a\Rightarrow\lim_{n\to\infty}\frac{a_1+a_2+\cdots+a_n}{n}=a$（注意：反过来不成立）
3. $a>0,\displaystyle\lim_{n\to\infty}\sqrt[n]{a}=1$
4. $\displaystyle\lim_{n\to\infty}\sqrt[n]n=1$
5. $|q|\lt1,\displaystyle\lim_{n\to\infty}|q|^n=0$

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**常用等价无穷小**
1. $\displaystyle 1-\cos x\sim\frac{1}{2}x^2$
2. $\displaystyle \tan x\sim x$
3. $\displaystyle \tan x-\sin x\sim\frac{1}{2}x^3$
4. $\displaystyle\ln(1+x)\sim x$

### **常用麦克劳林公式表**
（感谢 deepseek 老师倾囊相助）

麦克劳林公式是泰勒公式在 $x_0 = 0$ 处的特殊情况，即 $\displaystyle f(x) = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{f^{(n)}(0)}{n!} x^n$

1. 指数函数
$$
e^x = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{x^n}{n!} = 1 + x + \frac{x^2}{2!} + \frac{x^3}{3!} + \cdots + \frac{x^n}{n!} + o(x^n)
$$

2. 正弦函数
$$
\sin x = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^n}{(2n+1)!} x^{2n+1} = x - \frac{x^3}{3!} + \frac{x^5}{5!} - \cdots + \frac{(-1)^n}{(2n+1)!} x^{2n+1} + o(x^{2n+2})
$$

3. 余弦函数
$$
\cos x = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^n}{(2n)!} x^{2n} = 1 - \frac{x^2}{2!} + \frac{x^4}{4!} - \cdots + \frac{(-1)^n}{(2n)!} x^{2n} + o(x^{2n+1})
$$

4. 正切函数 (前几项)
$$
\tan x = x + \frac{x^3}{3} + \frac{2x^5}{15} + \cdots + o(x^{2n+1})
$$

5. 反正切函数
$$
\arctan x = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^n}{2n+1} x^{2n+1} = x - \frac{x^3}{3} + \frac{x^5}{5} - \cdots + \frac{(-1)^n}{2n+1} x^{2n+1} + o(x^{2n+2})
$$

6. 反正弦函数
$$
\arcsin x = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(2n)!}{4^n (n!)^2 (2n+1)} x^{2n+1} = x + \frac{1}{6} x^3 +  \cdots + o(x^{2n+2})
$$

7. 对数函数 ($1+x$)
$$
\ln(1+x) = \sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^{n-1}}{n} x^n = x - \frac{x^2}{2} + \frac{x^3}{3} - \cdots + \frac{(-1)^{n-1}}{n} x^n + o(x^n)
$$

8. 对数函数 ($1-x$)
$$
\ln(1-x) = -\sum_{n=1}^{\infty} \frac{x^n}{n} = -x - \frac{x^2}{2} - \frac{x^3}{3} - \cdots - \frac{x^n}{n} + o(x^n)
$$

9. 二项式展开 (广义)
$$
(1+x)^\alpha = 1 + \alpha x + \frac{\alpha(\alpha-1)}{2!} x^2 + \cdots + \frac{\alpha(\alpha-1)\cdots(\alpha-n+1)}{n!} x^n + o(x^n)
$$

10. 平方根函数
$$
\sqrt{1+x} = 1 + \frac{x}{2} - \frac{x^2}{8} +\cdots + o(x^n)
$$

11. 倒数平方根
$$
\frac{1}{\sqrt{1+x}} = 1 - \frac{x}{2} + \frac{3x^2}{8} - \cdots + o(x^n)
$$

12. $\dfrac{1}{1-x}$
$$
\frac{1}{1-x} = \sum_{n=0}^{\infty} x^n = 1 + x + x^2 + x^3 + \cdots + x^n + o(x^n)
$$

13. $\dfrac{1}{1+x}$
$$
\frac{1}{1+x} = \sum_{n=0}^{\infty} (-1)^n x^n = 1 - x + x^2 - x^3 + \cdots + (-1)^n x^n + o(x^n)
$$

14. $\dfrac{1}{1+x^2}$
$$
\frac{1}{1+x^2} = \sum_{n=0}^{\infty} (-1)^n x^{2n} = 1 - x^2 + x^4 - x^6 + \cdots + (-1)^n x^{2n} + o(x^{2n+1})
$$

这14个公式大家必须至少有点印象，而且不要求多，到2次就够用了。反三角函数的那几个作为拓展，不过应该不会考这么难。
大家记忆也要有一定的方法，我给大家举几个例子：
1. 最后三个其实只要记住第13个就行了，而这个其实是第9个的特殊情况
2.  $\ln x$ ，大家可以记住 $\displaystyle\ln 2=1-\frac{1}{2}+\frac{1}{3}-\cdots$，就能记住 $\ln x$ 的系数了
3. 正弦和正切都与 $x$ 是等价无穷小，所以第一项都是 $x$，但正切比 $x$ 要大，所以是 $+\dfrac{1}{3}x^3$，正弦要小，所以是 $-\dfrac{1}{6}$

大家也可以有自己的记忆方式，总之目的就是要记得又快又准。
