## **通用解题框架**：$AB = kA + lB + C$型等式证明 AB=BA
**步骤1**：等式变形，构造因式分解
把给定的等式 $AB = kA + lB + C$ 整理成可以因式分解的形式。
移项：$AB - kA - lB = C$
凑因子：在等式两边加上 $klE$，凑出 $(A - lE)(B - kE)$
$(A - lE)(B - kE) = C + klE$
这样就把等式转化为两个矩阵的乘积等于一个常数矩阵的形式。
**步骤 2**：证明矩阵可逆
如果上一步得到的右边 $C + klE$ 是可逆矩阵（如单位矩阵 E、非零常数乘以 E），则：
$(A - lE)$ 和 $(B - kE)$ 互为逆矩阵，即 $(A - lE)(B - kE) = (B - kE)(A - lE)$
若右边不是单位矩阵，但仍是可逆矩阵，同样能得到 $(A - lE)$ 与 $(B - kE)$ 可交换。
**步骤 3**：展开等式，推导 AB=BA
把步骤2得到的可交换等式 $(A - lE)(B - kE) = (B - kE)(A - lE)$展开：
$AB - kA - lB + klE = BA - lB - kA + klE$
两边消去相同项$-kA - lB + klE$ ，直接得到：
AB = BA

### **例子**
>[!example] 例1（第一问)
>设 $A, B$ 是 3 阶矩阵，$AB = 2A - B$，如果 $\lambda_1, \lambda_2, \lambda_3$ 是 $A$ 的 3 个不同特征值。证明：
(1) $AB = BA$；
(2) 存在可逆矩阵 $P$，使得 $P^{-1}AP$ 与 $P^{-1}BP$ 均为对角矩阵。

**证明：**

(1) ∵ $AB = 2A - B$

$$
\therefore (A + E)(B - 2E) = -2E
$$

$$
\therefore ( B - 2E)(A + E) = (A + E)(B - 2E)
$$

$$
\therefore AB = BA
$$

(2) 设 $P^{-1}AP = \Lambda_1$，$\Lambda_1$ 为对角矩阵  
则 $P^{-1}ABP = P^{-1}BAP$

$$
\therefore P^{-1}APP^{-1}BP = P^{-1}BPP^{-1}AP
$$

设 $P^{-1}BP = \Lambda_2$

$$
\therefore \Lambda_1\Lambda_2 = \Lambda_2\Lambda_1
$$

与对角矩阵可交换的矩阵必为对角矩阵  

证毕

>[!example] 例2（第二问）
设 $n$ 阶方阵 $A, B$ 满足 $AB = A + B$。
（1）证明 $A - E$ 可逆；
（2）证明 $AB = BA$；
（3）证明 $\mathrm{rank}(A) = \mathrm{rank}(B)$；
（4）若矩阵$$B = \begin{bmatrix}
 1 & -3 & 0 \\
 2 &  1 & 0 \\
 0 &  0 & 2
\end{bmatrix}$$ 求矩阵 $A$。


**【解】**

**(1)**  
由 $AB = A + B$ 得 $(A - E)(B - E) = E$，因此 $A - E$ 可逆。  
$$\text{……3 分}$$

**(2)**  
由 $(A - E)(B - E) = E$ 得 $(B - E)(A - E) = E$，因此 $AB = BA$。  
$$\text{……6 分}$$

**(3)**  
由 $AB = A + B$ 得 $A = (A - E)B$，而 $A - E$ 可逆，故  
$$
\mathrm{rank}(A) = \mathrm{rank}(B).
$$
$$\text{……9 分}$$

**(4)**  
由 $AB = A + B$ 得 $A(B - E) = B$，而 $B - E$ 可逆，故  
$$
A = B(B - E)^{-1}.
$$
已知
$$
B = \begin{bmatrix}
1 & -3 & 0 \\
2 &  1 & 0 \\
0 &  0 & 2
\end{bmatrix},
$$
则
$$
B - E = \begin{bmatrix}
0 & -3 & 0 \\
2 &  0 & 0 \\
0 &  0 & 1
\end{bmatrix}.
$$
求逆得
$$
(B - E)^{-1} = \begin{bmatrix}
0 & \frac12 & 0 \\[2pt]
-\frac13 & 0 & 0 \\[2pt]
0 & 0 & 1
\end{bmatrix}.
$$
于是
$$
A = B(B - E)^{-1} = \begin{bmatrix}
1 & -3 & 0 \\
2 &  1 & 0 \\
0 &  0 & 2
\end{bmatrix}
\begin{bmatrix}
0 & \frac12 & 0 \\[2pt]
-\frac13 & 0 & 0 \\[2pt]
0 & 0 & 1
\end{bmatrix}
= \begin{bmatrix}
1 & \frac12 & 0 \\[2pt]
-\frac13 & 1 & 0 \\[2pt]
0 & 0 & 2
\end{bmatrix}.
$$
