From 0a09cda00c32c1d762fe37762f650016a484eb13 Mon Sep 17 00:00:00 2001 From: pkeazo37w Date: Tue, 23 Dec 2025 01:25:40 +0800 Subject: [PATCH] =?UTF-8?q?Update=20=E9=83=A8=E5=88=86=E5=92=8C=E5=88=A4?= =?UTF-8?q?=E5=88=AB=E6=B3=95.md?= MIME-Version: 1.0 Content-Type: text/plain; charset=UTF-8 Content-Transfer-Encoding: 8bit --- Chapter 2 极限/部分和判别法.md | 40 +++++++++----------------- 1 file changed, 14 insertions(+), 26 deletions(-) diff --git a/Chapter 2 极限/部分和判别法.md b/Chapter 2 极限/部分和判别法.md index 8602b82..28daa1b 100644 --- a/Chapter 2 极限/部分和判别法.md +++ b/Chapter 2 极限/部分和判别法.md @@ -29,9 +29,8 @@ ## **例子** -**例1** - -判定级数 $\sum_{n=1}^{\infty}\frac{2}{(2n-1)(2n+1)}$的敛散性，若收敛求其和 +>[!example] **例1** +>判定级数 $\sum_{n=1}^{\infty}\frac{2}{(2n-1)(2n+1)}$的敛散性，若收敛求其和 解析 @@ -49,13 +48,8 @@ 4.  结论：该级数 **收敛**，和为 \( 1 \) -**例2** - -判断级数 - - $\sin \frac{\pi}{6} + \sin \frac{2\pi}{6} + \cdots + \sin \frac{n\pi}{6} + \cdots$ - -的敛散性 +>[!example] **例2** +判断级数$\sin \frac{\pi}{6} + \sin \frac{2\pi}{6} + \cdots + \sin \frac{n\pi}{6} + \cdots$的敛散性 解析： @@ -211,7 +205,7 @@ $S_N = (\sqrt{N+2} - \sqrt{N+1}) - (\sqrt{2} - 1)$ 当 $N \to \infty，\sqrt{N+2} - \sqrt{N+1} \to 0$，所以 -\$lim_{N\to\infty} S_N = 1 - \sqrt{2}$ +$lim_{N\to\infty} S_N = 1 - \sqrt{2}$ \]   @@ -219,9 +213,9 @@ $S_N = (\sqrt{N+2} - \sqrt{N+1}) - (\sqrt{2} - 1)$ 答案：B -**级数运算性质判别法** +# **级数运算性质判别法** -**原理** +## **原理** 1. 线性运算性质的应用 @@ -245,7 +239,7 @@ $S_N = (\sqrt{N+2} - \sqrt{N+1}) - (\sqrt{2} - 1)$ 若正项级数 $\sum u_n$ 收敛，任意重排其项得到的新级数仍收敛，且和不变。 -**适用情况** +## **适用情况** 1. 待判定级数可拆分为两个或多个已知敛散性的级数的线性组合（如 $\sum (u_n\pm v_n)、\sum ku_n）$。 @@ -253,27 +247,22 @@ $S_N = (\sqrt{N+2} - \sqrt{N+1}) - (\sqrt{2} - 1)$ 3. 已知级数多为基础类型（等比级数、$p$-级数、调和级数等），便于直接套用性质。 -**优势** +## **优势** 1. 快捷高效：无需计算极限或构造不等式，直接利用已知结论推导，步骤简洁。 2. 既适用于正项级数，也适用于任意项级数（如交错级数）。 -**劣势** +## **劣势** 1. 依赖性强：必须依赖已知敛散性的“参考级数”，若无法拆分或无合适参考级数，则无法使用。 2. 有局限性：对于 $\sum u_n$ 和 $\sum v_n$ 均发散的情况，$\sum (u_n\pm v_n)$ 的敛散性无法直接判定，性质失效。 -**例子** - -**例1** - -判断级数 - -$\sum_{n=1}^{\infty} (-1)^n \frac{n+2}{n+1} \cdot \frac{1}{\sqrt{n}}$ +## **例子** -的敛散性。 +>[!example] **例1** +>判断级数$\sum_{n=1}^{\infty} (-1)^n \frac{n+2}{n+1} \cdot \frac{1}{\sqrt{n}}$的敛散性。 解析： @@ -325,8 +314,7 @@ $S = \underbrace{\sum_{n=1}^\infty (-1)^n \frac{1}{\sqrt{n}}}_{\text{条件收 因此 $S$ 是 条件收敛的级数 -**例2** - +>[!example] **例2** 讨论级数$\sum_{n=2}^{\infty} \frac{(-1)^n}{\sqrt{n} + (-1)^n}$的敛散性 解析：先对通项有理化变形，再拆分为两个级数的和，结合级数运算性质判断