diff --git a/笔记分享/LaTeX（KaTeX）特殊输入.md b/笔记分享/LaTeX（KaTeX）特殊输入.md new file mode 100644 index 0000000..413f04d --- /dev/null +++ b/笔记分享/LaTeX（KaTeX）特殊输入.md @@ -0,0 +1,24 @@ + +矩阵打印方式 + +$\begin{pmatrix} 1+x_1 & 1+x_1^2 & ... &1+x_1^n \\ 1+x_2 & 1+x_2^2 & ... &1+x_2^n \\ ... \\ 1+x_n & 1+x_n^2 & ... &1+x_n^n \end{pmatrix}$ + +然而，我们教材上是使用的方括号矩阵，要将pmatrix换成bmatrix： + +$\begin{bmatrix} 1+x_1 & 1+x_1^2 & ... &1+x_1^n \\ 1+x_2 & 1+x_2^2 & ... &1+x_2^n \\ ... \\ 1+x_n & 1+x_n^2 & ... &1+x_n^n \end{bmatrix}$ + +行列式的输入方法如下：(vmatrix) + +$\begin{vmatrix} 1+x_1 & 1+x_1^2 & ... &1+x_1^n \\ 1+x_2 & 1+x_2^2 & ... &1+x_2^n \\ ... \\ 1+x_n & 1+x_n^2 & ... &1+x_n^n \end{vmatrix}$ + +求和、求积的上下记号可以使用limits套： + +$\sum\limits_{i=2}^{n}a_i, \prod\limits_{i=1}^{n}a_i$ + +积分符号的上下标，按照原本的上下标来处理： + +$\int_1^5 x\mathrm{d}x$ + +积分符号的上下记号，用limits套： + +$\int\limits_{L}(x+y)\mathrm{d}s$ \ No newline at end of file diff --git a/笔记分享/LaTeX（KaTeX）输入规范.md b/笔记分享/LaTeX（KaTeX）输入规范.md new file mode 100644 index 0000000..e9538a1 --- /dev/null +++ b/笔记分享/LaTeX（KaTeX）输入规范.md @@ -0,0 +1,4 @@ +通常的，记号严格按照教材中的规范。 +1. 矩阵使用bmatrix +2. 自然常数或电荷量e、虚数单位i应当为**正体**，需要用mathrm记号包裹，例：$\mathrm{e}^{\mathrm{i}\pi}+1=0$；然而，当e,i作为变量时，应当用正常的斜体。例：$\sum\limits_{i=1}^{n}a_i$ +3. 微分算子d应当用正体，被微分的表达式用正常的斜体：$\mathrm{d}f(x)=f'(x)\mathrm{d}x$ \ No newline at end of file diff --git a/笔记分享/矩阵打印方式.md b/笔记分享/矩阵打印方式.md deleted file mode 100644 index 819e44e..0000000 --- a/笔记分享/矩阵打印方式.md +++ /dev/null @@ -1,4 +0,0 @@ - - - -$\begin{pmatrix} 1+x_1 & 1+x_1^2 & ... &1+x_1^n \\ 1+x_2 & 1+x_2^2 & ... &1+x_2^n \\ ... \\ 1+x_n & 1+x_n^2 & ... &1+x_n^n \end{pmatrix}$ \ No newline at end of file diff --git a/素材/洛必达法则-注意事项.md b/素材/洛必达法则-注意事项.md new file mode 100644 index 0000000..c037805 --- /dev/null +++ b/素材/洛必达法则-注意事项.md @@ -0,0 +1,15 @@ +--- +tags: + - 素材 +--- +1. 使用时需要在等号上方写明是用的什么类型的洛必达，$\frac{0}{0}$？$\frac{\infty}{\infty}$？ + 例如：$\lim\limits_{x\to\infty}\frac{\mathrm{e}^{2x}+1}{\mathrm{e}^{2x}-1} \overset{\frac{\infty}{\infty}}{=}\lim\limits_{x\to\infty}\frac{2\mathrm{e}^{2x}}{2\mathrm{e}^{2x}}=1$ + +2. 先化简，再使用洛必达 + 适当使用洛必达，不要一直用洛必达，有时用等价无穷小化简更方便$$\lim_{x \to 0} \frac{e^x-e^{-x}-2x}{\tan^{3}x}$$先利用等价无穷小，将 $\tan^{3}x$ 转化为 $x^3$ ，然后再使用洛必达 + +3. 在满足定理的某些情况下洛必达法则不能解决计算问题 + 下面的例子就会导致反复变为倒数$$\lim_{x \to +\infty} \frac{\sqrt{1+x^2}}{x}$$ + +4. 必须要求分子分母的导数极限都存在 + 例如$$\lim_{x \to +\infty} \frac{x+\sin x}{x}$$正确的办法是先分子分母同时除以 $x$ \ No newline at end of file diff --git a/编写小组/试卷/图片/期中试卷-18.png b/编写小组/试卷/图片/期中试卷-18.png new file mode 100644 index 0000000..388210c Binary files /dev/null and b/编写小组/试卷/图片/期中试卷-18.png differ diff --git a/编写小组/试卷/期中试卷.md b/编写小组/试卷/期中试卷.md new file mode 100644 index 0000000..ffed476 --- /dev/null +++ b/编写小组/试卷/期中试卷.md @@ -0,0 +1,46 @@ +#官方试卷 +时量：120分钟 满分：100分 +#### 一、单选题（共5小题，每小题3分，共15分） +1. 若$\lim\limits_{n\rightarrow\infty}a_n=4$，则当$n$充分大时，恒有 + A. $|a_n|\le 1$ + B. $|a_n|>2$ + C. $|a_n|<2$ + D. $|a_n|>4$ +2. 已知$g(x)=\frac{1}{x^2}$，复合函数$y=f(g(x))$对$x$的导数为$-\frac{1}{2x}$，则$f'(\frac{1}{2})$的值为 + A. $1$ + B. $2$ + C. $\frac{\sqrt 2}{4}$ + D. $\frac{1}{2}$ +3. 设$f(x)$可导且$f'(x_0)=\frac{1}{3}$，则当$\Delta x \rightarrow 0$时，$f(x)$在$x_0$处的微分$\text{d}y$是$\Delta x$的 + A. 同阶无穷小 + B. 低阶无穷小 + C. 等价无穷小 + D. 高阶无穷小 +4. 设数列通项为$x_n=\begin{cases}\frac{n^2-\sqrt{n}}{n},n=2k, \\ \frac{1}{n},n=2k+1 \end{cases}(k\in \mathbb{N}^+)$，则当$n\rightarrow\infty$时，$x_n$是 + A. 无穷大量 + B. 无穷小量 + C. 有界变量 + D. 无界变量 +5. 下列四个级数，**发散**的是 + A. $\sum\limits_{n=1}^{\infty}{(a^{\frac{1}{n}}+a^{-\frac{1}{n}}-2)}(a>0)$ + B. $\sum\limits_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^{2n\sin{\frac{1}{n}}}}$ + C. $\sum\limits_{n=1}^{\infty}{(\frac{\cos{n!}}{n^2+1}+\frac{1}{\sqrt{n+12}})}$ + D. $\sum\limits_{n=1}^{\infty}\frac{[\sqrt{2}+(-1)^n]^n}{3^n}$ +#### 二、填空题（共5小题，每小题3分，共15分） +6. 函数$f(x)=\frac{\mathrm{e}^\frac{1}{x-1} \ln{|1+x|}}{(\mathrm{e}^x-1)(x-2)}$的第二类间断点的个数为____. +7. 设函数$y=x-\frac{1}{\sqrt{2}}\arctan{(\sqrt{2}\tan x)}$，则$\text{d}y|_{x=\frac{\pi}{4}}=$\_\_\_\_\_. +8. 已知级数$\sum\limits_{n=2}^{\infty}{(-1)^n\frac{1}{n^a}\ln\frac{n+1}{n-1}}$条件收敛，则常数$a$的取值范围是_____. +9. 已知函数$f(x)$在$x=1$处可导，且$f(1)=0,f'(1)=2$，则$\lim\limits_{x\rightarrow 0}{\frac{f(e^{x^2})}{\sin^2 x}}$=\_\_\_\_\_\_. +10. 曲线$y=\frac{1}{2}x^2$与曲线$y=c\ln x$相切，则常数$c$的值为\_\_\_\_\_\_. +#### 三、解答与证明题（11~19小题，共70分） +11. （6分）求极限$\lim\limits_{x\rightarrow 0}(\cos 2x + x\arcsin x)^\frac{1}{x^2}$. +12. （6分）求极限$\lim\limits_{n\rightarrow\infty}\sqrt[n+2]{2\sin^2 n+\cos^2 n}$. +13. （6分）已知函数$f(x)=\begin{cases}\sin 2x+1, x\le 0\\a^{2x}+b, x>0 \end{cases}$在$x=0$处可导，求常数$a,b$的值. +14. （6分）设$y=y(x)$是由方程$y=x\mathrm{e}^y=1$所确定的函数，求曲线$y=y(x)$在$x=0$对应点处的切线方程. +15. （8分）设函数$y=f(x)$的极坐标式为$\rho=\mathrm{e}^\theta$，求$\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}|_{\theta=\frac{\pi}{2}}$，$\frac{\mathrm{d}^2 y}{\mathrm{d}x^2}|_{\theta=\frac{\pi}{2}}$. +16. （8分）设$f(x)$在$(-\infty,+\infty)$内是以$2T$为周期的连续函数，证明对任一实数$x_0$，方程$f(x)=f(x+T)$在区间$[x_0-\frac{T}{2},x_0+\frac{T}{2}]$上至少有一个根. +17. （10分）求曲线$y=\frac{x^2-3x+2}{x-1}+2\ln|x-2|,(x>0)$的所有渐近线方程. +18. （10分）百米跑道上正在举行百米赛跑，摄影师站在50米处为4号跑道夺冠种子选手A录像，摄像头始终对准选手A，摄影师距离4号跑道5米，若选手A以10m/s的速度从摄影师正前方经过，问此时摄影镜头的角速度是多少？ ![[期中试卷-18.png]] +19. （10分）设$a_1=3,a_{n+1}=\frac{a_n}{2}+\frac{1}{n},n=1,2,\dots,$ + (1) 证明$\lim\limits_{n\rightarrow\infty}a_n$存在，并求其极限值；（5分） + (2) 证明：对于任意实数$p$，级数$\sum\limits_{n=1}{\infty}{n^p(\frac{a_n}{a_{n+1}}-1)}$收敛. （5分） \ No newline at end of file diff --git a/编写小组/试卷/期中试卷解析.md b/编写小组/试卷/期中试卷解析.md new file mode 100644 index 0000000..4874412 --- /dev/null +++ b/编写小组/试卷/期中试卷解析.md @@ -0,0 +1,62 @@ +#官方试卷 +#民间答案 +#### 一、单选题（共5小题，每小题3分，共15分） +1. 若$\lim\limits_{n\rightarrow\infty}a_n=4$，则当$n$充分大时，恒有 + A. $|a_n|\le 1$ + B. $|a_n|>2$ + C. $|a_n|<2$ + D. $|a_n|>4$ +> **答案：B** +> 解析：保号性 +> 若$\lim\limits_{n\rightarrow\infty}a_n=4$，按照定义，$\forall \epsilon >0,\exists N, n>N\text{时},|a_n-4|<\epsilon$， +> 取$\epsilon=2$，则$|a_n-4|<\epsilon$，则$2**答案：D** +>解析：复合函数求导法则 +>$y'=f'(g(x))g'(x)=\frac{-2}{x^3}f'(\frac{1}{x^2})=-\frac{1}{2x}\Rightarrow f'(\frac{1}{x^2})=\frac{x^2}{4}$，即$f'(\frac{1}{x})=\frac{x}{4}(x> 0)$ +>代入$x=2$得：$f'(\frac{1}{2})=\frac{1}{2}$ +3. 设$f(x)$可导且$f'(x_0)=\frac{1}{3}$，则当$\Delta x \rightarrow 0$时，$f(x)$在$x_0$处的微分$\text{d}y$是$\Delta x$的 + A. 同阶无穷小 + B. 低阶无穷小 + C. 等价无穷小 + D. 高阶无穷小 +> **答案：A** +> 解析：同阶无穷小；微分的定义 +> $\Delta x \rightarrow 0$时，$\Delta x \sim \mathrm{d}x$，又$\mathrm{d}y|_{x=x_0}=\frac{1}{3}\mathrm{d}x$，故$\mathrm{d}y$与$\Delta{x}$是同阶不等价的无穷小 +4. 设数列通项为$x_n=\begin{cases}\frac{n^2-\sqrt{n}}{n},n=2k, \\ \frac{1}{n},n=2k+1 \end{cases}(k\in \mathbb{N}^+)$，则当$n\rightarrow\infty$时，$x_n$是 + A. 无穷大量 + B. 无穷小量 + C. 有界变量 + D. 无界变量 +>**答案：D** +>解析：易错点10-无穷大与无界的辨析 +>$\lim\limits_{k\to\infty}a_{2k}=+\infty$，因此$a_n$无界；然而，$\lim\limits_{k\to\infty}a_{2k+1}=0$，因此$a_n(n\to\infty)$不是无穷大 +5. 下列四个级数，**发散**的是 + A. $\sum\limits_{n=1}^{\infty}{(a^{\frac{1}{n}}+a^{-\frac{1}{n}}-2)}(a>0)$ + B. $\sum\limits_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^{2n\sin{\frac{1}{n}}}}$ + C. $\sum\limits_{n=1}^{\infty}{(\frac{\cos{n!}}{n^2+1}+\frac{1}{\sqrt{n+12}})}$ + D. $\sum\limits_{n=1}^{\infty}\frac{[\sqrt{2}+(-1)^n]^n}{3^n}$ +>**答案：C** +> +#### 二、填空题（共5小题，每小题3分，共15分） +6. 函数$f(x)=\frac{\mathrm{e}^\frac{1}{x-1} \ln{|1+x|}}{(\mathrm{e}^x-1)(x-2)}$的第二类间断点的个数为____. +7. 设函数$y=x-\frac{1}{\sqrt{2}}\arctan{(\sqrt{2}\tan x)}$，则$\text{d}y|_{x=\frac{\pi}{4}}=$\_\_\_\_\_. +8. 已知级数$\sum\limits_{n=2}^{\infty}{(-1)^n\frac{1}{n^a}\ln\frac{n+1}{n-1}}$条件收敛，则常数$a$的取值范围是_____. +9. 已知函数$f(x)$在$x=1$处可导，且$f(1)=0,f'(1)=2$，则$\lim\limits_{x\rightarrow 0}{\frac{f(e^{x^2})}{\sin^2 x}}$=\_\_\_\_\_\_. +10. 曲线$y=\frac{1}{2}x^2$与曲线$y=c\ln x$相切，则常数$c$的值为\_\_\_\_\_\_. +#### 三、解答与证明题（11~19小题，共70分） +11. （6分）求极限$\lim\limits_{x\rightarrow 0}(\cos 2x + x\arcsin x)^\frac{1}{x^2}$. +12. （6分）求极限$\lim\limits_{n\rightarrow\infty}\sqrt[n+2]{2\sin^2 n+\cos^2 n}$. +13. （6分）已知函数$f(x)=\begin{cases}\sin 2x+1, x\le 0\\a^{2x}+b, x>0 \end{cases}$在$x=0$处可导，求常数$a,b$的值. +14. （6分）设$y=y(x)$是由方程$y=x\mathrm{e}^y=1$所确定的函数，求曲线$y=y(x)$在$x=0$对应点处的切线方程. +15. （8分）设函数$y=f(x)$的极坐标式为$\rho=\mathrm{e}^\theta$，求$\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}|_{\theta=\frac{\pi}{2}}$，$\frac{\mathrm{d}^2 y}{\mathrm{d}x^2}|_{\theta=\frac{\pi}{2}}$. +16. （8分）设$f(x)$在$(-\infty,+\infty)$内是以$2T$为周期的连续函数，证明对任一实数$x_0$，方程$f(x)=f(x+T)$在区间$[x_0-\frac{T}{2},x_0+\frac{T}{2}]$上至少有一个根. +17. （10分）求曲线$y=\frac{x^2-3x+2}{x-1}+2\ln|x-2|,(x>0)$的所有渐近线方程. +18. （10分）百米跑道上正在举行百米赛跑，摄影师站在50米处为4号跑道夺冠种子选手A录像，摄像头始终对准选手A，摄影师距离4号跑道5米，若选手A以10m/s的速度从摄影师正前方经过，问此时摄影镜头的角速度是多少？ ![[期中试卷-18.png]] +19. （10分）设$a_1=3,a_{n+1}=\frac{a_n}{2}+\frac{1}{n},n=1,2,\dots,$ + (1) 证明$\lim\limits_{n\rightarrow\infty}a_n$存在，并求其极限值；（5分） + (2) 证明：对于任意实数$p$，级数$\sum\limits_{n=1}{\infty}{n^p(\frac{a_n}{a_{n+1}}-1)}$收敛. （5分） \ No newline at end of file