From 1e9b700e3b79c9a6ce98b0f2365a81001c19ae63 Mon Sep 17 00:00:00 2001 From: =?UTF-8?q?=E7=8E=8B=E8=BD=B2=E6=A5=A0?= Date: Thu, 29 Jan 2026 21:40:14 +0800 Subject: [PATCH] vault backup: 2026-01-29 21:40:14 --- .../讲义/一元积分学（Part 1）.md | 31 ++++++++++--------- 1 file changed, 16 insertions(+), 15 deletions(-) diff --git a/编写小组/讲义/一元积分学（Part 1）.md b/编写小组/讲义/一元积分学（Part 1）.md index c37cba7..e167b40 100644 --- a/编写小组/讲义/一元积分学（Part 1）.md +++ b/编写小组/讲义/一元积分学（Part 1）.md @@ -11,36 +11,37 @@ aliases: 数学是对抽象概念的演绎，有概念我们就得讲定义。所以先上不定积分与定积分的定义。 >[!info] 定义$\qquad$原函数与不定积分 ->对一个定义在区间 $X$ 上的函数 $f(x)$，如果存在一个可导函数 $F(x)$，使得$$F'(x)=f(x),$$则称 $F(x)$ 是 $f(x)$ 的一个原函数。 $f(x)$ 的原函数全体称为其不定积分，记作$$\int f(x)\text dx=F(x)+C,$$其中 $C$ 是常数。 +>对一个定义在区间 $I$ 上的函数 $f(x)$，如果存在一个可导函数 $F(x)$，使得$$F'(x)=f(x),$$则称 $F(x)$ 是 $f(x)$ 的一个原函数。 $f(x)$ 的原函数全体称为其不定积分，记作$$\int f(x)\text dx=F(x)+C,$$其中 $C$ 是常数。 -按照这个定义，$f(x)$ 后面的 $\text dx$ 似乎是不必要的……但显然实际上不是。大家有兴趣可以自己去查资料，我们的时间都比较有限，就不展开了。自己有好奇心去探索才是学习的一个最大动力…… +按照这个定义，$f(x)$ 后面的 $\text dx$ 似乎是不必要的——但显然实际上不是。大家有兴趣可以自己去查资料，我们的时间都比较有限，就不展开了。自己有好奇心去探索才是学习的一个最大动力…… 言归正传，接下来是定积分的定义。 >[!info] 定义$\qquad$定积分 >设 $f(x)$ 在区间 $[a,b]$ 上有定义，取一列数 $x_i(i=0,1,\cdots,n)$，满足 $a=x_0\lt x_1\lt x_2 \lt \cdots\lt x_n=b$，记 $\lambda=\min\limits_{0\leqslant i\lt n}(x_{i+1}-x_i),$ 如果对任意$\xi_i\in[x_i,x_{i+1}],0\leqslant i\lt n$，极限 $\displaystyle\lim_{\lambda\to0}\sum_{i=0}^{n-1}f(\xi_i)(x_{i+1}-x_i)$ 存在，则称函数 $f(x)$ 在区间 $[a,b]$ 上可积，记为$$\int_a^bf(x)\text dx=\lim_{\lambda\to0}\sum_{i=0}^{n-1}f(\xi_i)(x_{i+1}-x_i),$$ >其结果称为定积分。 -
-然后是连接不定积分与定积分桥梁：牛顿-莱布尼兹定理 ->[!info] 牛顿-莱布尼兹定理 ->设 $f(x)$ 在区间 $[a,b]$ 上可积，且其一个原函数 $F(x)$ 在区间 $[a,b]$ 上**连续**，则$$\int_a^bf(x)\text dx=F(b)-F(a).$$ +然后是连接不定积分与定积分桥梁：牛顿-莱布尼兹公式 + +>[!info] 牛顿-莱布尼兹公式 +>设 $f(x)$ 在区间 $[a,b]$ 上可积，且有一个原函数 $F(x)$ ，则$$\int_a^bf(x)\text dx=F(b)-F(a).$$ +使用这个定理是有条件的。因为 $F(x)$ 是 $f(x)$ 的一个原函数，所以它必须可导，从而必须连续。 有了这个定理，我们就可以比较方便地计算定积分了——至少比用定义方便。并且，这也让我们有了求不定积分的动力。所以，接下来是一些常用的基本不定积分公式（更详尽的在最下面）： $\displaystyle\int 0 \, dx =C$ $\displaystyle\int k \, dx = kx + C$ （ $k$ 为常数） $\displaystyle\int x^\mu \, dx = \frac{x^{\mu+1}}{\mu+1} + C$ （ $\mu \neq -1$ ） - $\displaystyle\int \frac{1}{x} \, dx = \ln|x| + C$ +$\displaystyle\int \frac{1}{x} \, dx = \ln|x| + C$ $\displaystyle\int a^x \, dx = \frac{a^x}{\ln a} + C$ （ $a>0,a\neq1$ ） - $\displaystyle\int e^x \, dx = e^x + C$ - $\displaystyle\int \sin x \, dx = -\cos x + C$ - $\displaystyle\int \cos x \, dx = \sin x + C$ - $\displaystyle\int \tan x \, dx = -\ln|\cos x| + C$ - $\displaystyle\int \cot x \, dx = \ln|\sin x| + C$ - $\displaystyle\int \sec x \, dx = \ln|\sec x + \tan x| + C$ - $\displaystyle\int \csc x \, dx = \ln|\csc x - \cot x| + C$ - +$\displaystyle\int e^x \, dx = e^x + C$ +$\displaystyle\int \sin x \, dx = -\cos x + C$ +$\displaystyle\int \cos x \, dx = \sin x + C$ +$\displaystyle\int \tan x \, dx = -\ln|\cos x| + C$ +$\displaystyle\int \cot x \, dx = \ln|\sin x| + C$ +$\displaystyle\int \sec x \, dx = \ln|\sec x + \tan x| + C$ +$\displaystyle\int \csc x \, dx = \ln|\csc x - \cot x| + C$ +（这一列撬棍是不是特别喜感哈哈哈哈） # Section 2 积分方法 ## 预处理 拿到一个积分，最忌讳的是直接被那一团复杂的被积函数吓倒。先尝试着逐步拆解简化这个积分，然后进行求解。