vault backup: 2025-12-29 21:46:40

编写小组/试卷/1231线性代数考试卷（解析版）.md

@@ -427,7 +427,71 @@ $$
 ---
 
 
+**【解】**
 
+**(1)**  
+由 $AB = A + B$ 得 $(A - E)(B - E) = E$，因此 $A - E$ 可逆。  
+$$\text{……3 分}$$
+
+**(2)**  
+由 $(A - E)(B - E) = E$ 得 $(B - E)(A - E) = E$，因此 $AB = BA$。  
+$$\text{……6 分}$$
+
+**(3)**  
+由 $AB = A + B$ 得 $A = (A - E)B$，而 $A - E$ 可逆，故  
+$$
+\mathrm{rank}(A) = \mathrm{rank}(B).
+$$
+$$\text{……9 分}$$
+
+**(4)**  
+由 $AB = A + B$ 得 $A(B - E) = B$，而 $B - E$ 可逆，故  
+$$
+A = B(B - E)^{-1}.
+$$
+已知
+$$
+B = \begin{bmatrix}
+1 & -3 & 0 \\
+2 &  1 & 0 \\
+0 &  0 & 2
+\end{bmatrix},
+$$
+则
+$$
+B - E = \begin{bmatrix}
+0 & -3 & 0 \\
+2 &  0 & 0 \\
+0 &  0 & 1
+\end{bmatrix}.
+$$
+求逆得
+$$
+(B - E)^{-1} = \begin{bmatrix}
+0 & \frac12 & 0 \\[2pt]
+-\frac13 & 0 & 0 \\[2pt]
+0 & 0 & 1
+\end{bmatrix}.
+$$
+于是
+$$
+A = B(B - E)^{-1} = \begin{bmatrix}
+1 & -3 & 0 \\
+2 &  1 & 0 \\
+0 &  0 & 2
+\end{bmatrix}
+\begin{bmatrix}
+0 & \frac12 & 0 \\[2pt]
+-\frac13 & 0 & 0 \\[2pt]
+0 & 0 & 1
+\end{bmatrix}
+= \begin{bmatrix}
+1 & \frac12 & 0 \\[2pt]
+-\frac13 & 1 & 0 \\[2pt]
+0 & 0 & 2
+\end{bmatrix}.
+$$
+$$\text{……12 分}$$
 
 ---