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编写小组/试卷/2018-19线性代数期末考试卷.md

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     \underline{\qquad\qquad\qquad\qquad}.
     $$
 
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+13. （10 分）计算 $n$ 阶行列式
+
+    $$
+    D_n = \begin{vmatrix}
+    1 & 2 & 3 & \cdots & n-1 & n \\
+    2 & 1 & 2 & \cdots & n-2 & n-1 \\
+    3 & 2 & 1 & \cdots & n-3 & n-2 \\
+    \vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots & \vdots \\
+    n-1 & n-2 & n-3 & \cdots & 1 & 2 \\
+    n & n-1 & n-2 & \cdots & 2 & 1
+    \end{vmatrix}.
+    $$
+
+
+
+
+
+
+
+14. （10 分）设 
+    $$
+    \alpha_1 = (1,0,-1)^T,\quad \alpha_2 = (2,1,1)^T,\quad \alpha_3 = (1,1,1)^T
+    $$
+    和
+    $$
+    \beta_1 = (0,1,1)^T,\quad \beta_2 = (-1,1,0)^T,\quad \beta_3 = (0,2,1)^T
+    $$
+    是 $\mathbb{R}^3$ 的两组基，求向量
+    $$
+    u = \alpha_1 + 2\alpha_2 - 3\alpha_3
+    $$
+    在基 $\beta_1, \beta_2, \beta_3$ 下的坐标。
+
+
+
+15. （12 分）设 $n$ 阶方阵 $A, B$ 满足 $AB = A + B$。
+
+    （1）证明 $A - E$ 可逆；
+    
+    （2）证明 $AB = BA$；
+    
+    （3）证明 $\mathrm{rank}(A) = \mathrm{rank}(B)$；
+    
+    （4）若矩阵
+    $$
+    B = \begin{bmatrix}
+    1 & -3 & 0 \\
+    2 &  1 & 0 \\
+    0 &  0 & 2
+    \end{bmatrix},
+    $$
+    求矩阵 $A$。