diff --git a/编写小组/试卷/2025秋期中考前押题卷.md b/编写小组/试卷/2025秋期中考前押题卷.md new file mode 100644 index 0000000..56826e6 --- /dev/null +++ b/编写小组/试卷/2025秋期中考前押题卷.md @@ -0,0 +1,72 @@ +时量：60分钟 ____ +**内部资料，禁止传播** +**编委会（不分先后，姓氏首字母顺序）：程奕铭 韩魏 刘柯妤 卢吉辚 王轲楠 支宝宁 郑哲航** + +1.设周期函数 $f(x)$ 在 $(-\infty,+\infty)$ 内可导，**周期为$4$**，又 $\lim\limits_{x\to0}\dfrac{f(1)-f(1-x)}{2x}=-1$，则曲线 $y=f(x)$ 在点 $(5,f(5))$ 处切线的斜率为（ ）。 +（A）$\dfrac{1}{2}$　　　（B）$0$　　　（C）$-1$　　　（D）$-2$ + + + +2.设 $f(x) = \dfrac{2 + e^{\frac{1}{x}}}{1 + e^{\frac{1}{x}}} + \dfrac{\sin x}{|x|}$，则 $x = 0$ 是 $f(x)$ 的（ ）。 + +(A) 可去间断点 +(B) 跳跃间断点 +(C) 无穷间断点 +(D) 振荡间断点 + + + +3.（多选）下列级数中收敛的有______。 + +A $\sin \frac{\pi}{2} + \sin \frac{\pi}{2^2} + \sin \frac{\pi}{2^3} + \cdots$ + +B $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{5^n} \cdot \frac{3n^3+2n^2}{4n^3+1}$ + +C $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{(a+n-1)(a+n)(a+n+1)} \quad (a > 0)$ + +D $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n\sqrt[n]{n}}$ + +E $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n} \arctan \frac{n}{n+1}$ + +F $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{\sqrt{n+\sqrt{n}}}{n^2+1}$ + + + +4.设 $y=y(x)$ 由方程 $x^y + 2x^2 - y = 1$ 确定，求 $dy|_{x=1}$______。 + + + + +5.$\lim_{n \to \infty} \left( \frac{1}{n^2 + \sin 1} + \frac{2}{n^2 + 2\sin 2} + \cdots + \frac{n}{n^2 + n \sin n} \right)$=______。 + + + + +6.计算 $\lim_{x \to \infty} \left( \tan^2 \frac{2}{x} + \cos \frac{1}{x} \right)^{x^2}$______。 + + + +7.求曲线 $y = \ln(1+e^x) + \frac{2+x}{2-x} \arctan \frac{x}{2}$ 的渐近线方程。 + + +8.设 $a > 0, \sigma > 0$，定义 $a_1 = \dfrac{1}{2} \left( a + \dfrac{\sigma}{a} \right)$，$a_{n+1} = \dfrac{1}{2} \left( a_n + \dfrac{\sigma}{a_n} \right)$，$n = 1, 2, \ldots$ +证明：数列 ${a_n}$ 收敛，且极限为 $\sqrt{\sigma}$。 + + + + +9.一飞机在离地面$2 km$的高度，以$200 km/h$的速度水平飞行到某目标上空，以便进行航空摄影。试求飞机飞至该目标正上方时，摄影机转动的角速率。 + + + + +10.若函数 $f(x)$ 在 $(a,b)$ 内连续，任取 $x_i \in (a,b)$ $(i=1,2,\cdots,n)$ 使 +x1≤x2≤⋯≤xn +证明：存在 $\xi \in [x_1,x_n]$，使得 +$$f(\xi) = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^n f(x_i)$$ + + + + + +$\begin{pmatrix} 1+x_1 & 1+x_1^2 & ... &1+x_1^n \\ 1+x_2 & 1+x_2^2 & ... &1+x_2^n \\ ... \\ 1+x_n & 1+x_n^2 & ... &1+x_n^n \end{pmatrix}$ diff --git a/编写小组/试卷/2025秋期中考前押题卷解析版.md b/编写小组/试卷/2025秋期中考前押题卷解析版.md new file mode 100644 index 0000000..0e7160f --- /dev/null +++ b/编写小组/试卷/2025秋期中考前押题卷解析版.md @@ -0,0 +1,256 @@ +时量：60分钟 ____ +内部资料，禁止传播 +编委会（不分先后，姓氏首字母顺序）：程奕铭 韩魏 刘柯妤 卢吉辚 王轲楠 支宝宁 郑哲航 + + +1.设周期函数 $f(x)$ 在 $(-\infty,+\infty)$ 内可导，**周期为$4$**，又 $\lim\limits_{x\to0}\dfrac{f(1)-f(1-x)}{2x}=-1$，则曲线 $y=f(x)$ 在点 $(5,f(5))$ 处切线的斜率为[　]。 +（A）$\dfrac{1}{2}$　　　（B）$0$　　　（C）$-1$　　　（D）$-2$ + +**解析：** +由极限表达式变形：令 $h=-x$，则当 $x\to0$ 时 $h\to0$，于是 + +$$\begin{aligned} +\lim_{x \to 0} \frac{f(1) - f(1 - x)}{2x} &= \lim_{h \to 0} \frac{f(1) - f(1 + h)}{-2h} \\ &= \lim_{h \to 0} \frac{f(1 + h) - f(1)}{2h} \\ &= \frac{1}{2} \lim_{h \to 0} \frac{f(1 + h) - f(1)}{h} \\ &= \frac{1}{2} f'(1). +\end{aligned}$$ + +已知该极限值为 $-1$，故 $\dfrac{1}{2}f'(1) = -1$，解得 $f'(1) = -2$。 +由于 $f(x)$ 是周期函数且周期为$4$，则有$$f(x)=f(x+4),$$两边对$x$求导得：$$f'(x)=f'(x+4),$$于是$$f'(5)=f'(1)=-2$$ +因此，曲线在点 $(5,f(5))$ 处的切线斜率为 $-2$，选项（D）正确。 + +**答案：** (D) + +--- + + + +2.设 $f(x) = \dfrac{2 + e^{\frac{1}{x}}}{1 + e^{\frac{1}{x}}} + \dfrac{\sin x}{|x|}$，则 $x = 0$ 是 $f(x)$ 的（ ）。 + +(A) 可去间断点 +(B) 跳跃间断点 +(C) 无穷间断点 +(D) 振荡间断点 + +**解析：** +分析函数在 $x=0$ 处的左右极限。 + +1. **第一部分**：$\dfrac{2 + e^{\frac{1}{x}}}{1 + e^{\frac{1}{x}}}$ + + - 当 $x \to 0^+$ 时，$\frac{1}{x} \to +\infty$，$e^{\frac{1}{x}} \to +\infty$，所以 + + $$ +\lim\limits_{x\to0^+}\frac{2 + e^{\frac{1}{x}}}{1 + e^{\frac{1}{x}}} = \lim\limits_{x\to0^+}\frac{\frac{2}{e^{\frac{1}{x}}} + 1}{\frac{1}{e^{\frac{1}{x}}} + 1} = \frac{0 + 1}{0 + 1} = 1. +$$ + - 当 $x \to 0^-$ 时，$\frac{1}{x} \to -\infty$，$e^{\frac{1}{x}} \to 0$，所以 + + $$ +\frac{2 + e^{\frac{1}{x}}}{1 + e^{\frac{1}{x}}} \rightarrow \frac{2 + 0}{1 + 0} = 2\ \ (x\to0^-). +$$ +1. **第二部分**：$\dfrac{\sin x}{|x|}$ + + - 当 $x \to 0^+$ 时，$|x| = x$，$\dfrac{\sin x}{|x|} = \dfrac{\sin x}{x} \to 1$。 + + - 当 $x \to 0^-$ 时，$|x| = -x$，$\dfrac{\sin x}{|x|} = \dfrac{\sin x}{-x} \to -1$。 + +2. **整体极限**： + + - 右极限：$\lim\limits_{x \to 0^+} f(x) = 1 + 1 = 2$。 + + - 左极限：$\lim\limits_{x \to 0^-} f(x) = 2 + (-1) = 1$。 + + +由于左右极限存在但不相等，故 $x=0$ 处为**跳跃间断点**。 + +**答案：** (B) + +--- +3.（多选）下列级数中收敛的有______。 + +A $\sin \frac{\pi}{2} + \sin \frac{\pi}{2^2} + \sin \frac{\pi}{2^3} + \cdots$ + +B $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{5^n} \cdot \frac{3n^3+2n^2}{4n^3+1}$ + +C $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{(a+n-1)(a+n)(a+n+1)} \quad (a > 0)$ + +D $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n\sqrt[n]{n}}$ + +E $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n} \arctan \frac{n}{n+1}$ + +F $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{\sqrt{n+\sqrt{n}}}{n^2+1}$ + +**解析：** + +- **A**：由于 $0 < \sin \frac{\pi}{2^n} \leq \frac{\pi}{2^n}$，且几何级数 $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{\pi}{2^n}$ 收敛，故由比较判别法知原级数收敛。 + +- **B**：由于 $\lim\limits_{n \to \infty} \left( \frac{1}{5^n} \cdot \frac{3n^3 + 2n^2}{4n^3 + 1} \right) / \left( \frac{1}{5^n} \right) = \lim\limits_{n \to \infty} \frac{3n^3 + 2n^2}{4n^3 + 1} = \frac{3}{4}$，又几何级数 $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{5^n}$ 收敛，故由极限形式的比较判别法知原级数收敛。 + +- **C**：由于 $\lim\limits_{n \to \infty} \left( \frac{1}{(a+n-1)(a+n)(a+n+1)} \right) / \left( \frac{1}{n^3} \right) = 1$，而 $p$ 级数 $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^3}$ 收敛（$p=3>1$），故原级数收敛。也可直接放缩：$\frac{1}{(a+n-1)(a+n)(a+n+1)} \leq \frac{1}{(a+n-1)^3} < \frac{1}{(n-1)^3}$（当 $n>1$），由比较判别法知收敛。 + +- **D**：由于 $\lim\limits_{n \to \infty} \frac{1}{n\sqrt[n]{n}} / \frac{1}{n} = \lim\limits_{n \to \infty} \frac{1}{\sqrt[n]{n}} = 1$，而调和级数 $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n}$ 发散，故原级数发散。 + +- **E**：由于 $\lim\limits_{n \to \infty} \left( \frac{1}{n} \cdot \arctan \frac{n}{n+1} \right) / \frac{1}{n} = \lim\limits_{n \to \infty} \arctan \frac{n}{n+1} = \arctan 1 = \frac{\pi}{4}$，而调和级数 $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n}$ 发散，故原级数发散。 + +- **F**：由于 $\lim\limits_{n \to \infty} \frac{\sqrt{n+\sqrt{n}}}{n^2+1} / \frac{1}{n^{3/2}} = \lim\limits_{n \to \infty} \sqrt{1 + \frac{1}{\sqrt{n}}} / \left( 1 + \frac{1}{n^2} \right) = 1$，而 $p$ 级数 $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^{3/2}}$ 收敛（$p=3/2>1$），故原级数收敛。 + + +**答案：** ABCF + + + +4.设 $y=y(x)$ 由方程 $x^y + 2x^2 - y = 1$ 确定，求 $dy|_{x=1}$。 + +**解析：** + +1. 先求 $x=1$ 时的 $y$ 值：代入方程：$1^y + 2 \times 1^2 - y = 1 \implies 1 + 2 - y = 1 \implies y = 2$。 + +2. 隐函数求导：由原式得$$x^y=1+y-2x^2,$$取对数得$$y\ln x=\ln(1+y-2x^2)$$两边对$x$求导得$$y'\ln x+\frac{y}{x}=\frac{y'-4x}{1+y-2x^2}$$把$x=1,y=2$带入得$$2=\frac{y'-4}{1+2-2},y'=6$$于是$$dy|_{x=1}=6dx$$ +**答案：** $dy|_{x=1} = 6dx$ + + + +5.求 $\lim\limits_{n \to \infty} \left( \frac{1}{n^2 + \sin 1} + \frac{2}{n^2 + 2\sin 2} + \cdots + \frac{n}{n^2 + n \sin n} \right)$。 + +**解析：** +用夹逼准则： + +- 下界：$S_n \geq \sum_{k=1}^n \frac{k}{n^2 + n} = \frac{\frac{1}{2}n(n+1)}{n^2+n}=\frac{1}{2}$； + +- 上界：$S_n \leq \sum_{k=1}^n \frac{k}{n^2 - n} = \frac{n(n+1)}{2(n^2-n)} \to \frac{1}{2}$（$n \to \infty$）。 + 故极限为 $\frac{1}{2}$。 + + +**答案：** $\frac{1}{2}$ + + +6.计算 $\lim\limits_{x \to \infty} \left( \tan^2 \frac{2}{x} + \cos \frac{1}{x} \right)^{x^2}$。 + +**解析：** $$\begin{aligned} +\lim\limits_{x \to \infty} \left( \tan^2 \frac{2}{x} + \cos \frac{1}{x} \right)^{x^2} +&=\lim\limits_{x\to\infty}(1+\tan^2\frac{2}{x}+\cos \frac{1}{x}-1)^{\frac{1}{\tan^2\frac{2}{x}+\cos \frac{1}{x}-1}\cdot x^2\cdot(\tan^2\frac{2}{x}+\cos \frac{1}{x}-1)} +\\\\&=e^{\lim\limits_{x\to\infty}\frac{\tan^2\frac{2}{x}+\cos \frac{1}{x}-1}{\frac{1}{x^2}}} +\\\\&\overset{t=\frac{1}{x}}{=}e^{\lim\limits_{t\to0}\frac{\tan^2(2t)+\cos t-1}{t^2}} +\\\\&=e^{\lim\limits_{t\to0}\frac{4t^2}{t^2}-\frac{\frac{1}{2}t^2}{t^2}}(四则运算和等价无穷小) +\\\\&=e^{\frac{7}{2}} +\end{aligned}$$ + +**答案：** $e^{\frac{7}{2}}$ + +--- + + +7.求曲线 $y = \ln(1+e^x) + \frac{2+x}{2-x} \arctan \frac{x}{2}$ 的渐近线方程。 + +**解析：** +渐近线分垂直、水平、斜渐近线分析： + +1. **垂直渐近线**： + 分母 $2-x=0 \implies x=2$，计算 $\lim\limits_{x \to 2} y = \infty$，故垂直渐近线为 $x=2$。 + +2. **水平渐近线**（$x \to -\infty$）： + 当 $x \to -\infty$ 时，$\ln(1+e^x) \to 0$，$\frac{2+x}{2-x} \to -1$，$\arctan \frac{x}{2} \to -\frac{\pi}{2}$， + 所以 $\lim\limits_{x \to -\infty} y = (-1) \times (-\frac{\pi}{2}) = \frac{\pi}{2}$，水平渐近线为 $y = \frac{\pi}{2}$。 + +3. **斜渐近线**（$x \to +\infty$）： + + - 斜率 $k = \lim\limits_{x \to +\infty} \frac{y}{x} = \lim\limits_{x \to +\infty} \frac{\ln(1+e^x)}{x} + \lim\limits_{x \to +\infty} \frac{\frac{2+x}{2-x} \arctan \frac{x}{2}}{x}$。 + 由于 $\ln(1+e^x) =\ln e^x(1+e^{-x}) x + \ln(1+e^{-x})$，所以 $\frac{\ln(1+e^x)}{x} = 1 + \frac{\ln(1+e^{-x})}{x} \to 1$； + 又 $\frac{2+x}{2-x} \to -1$，$\frac{\arctan \frac{x}{2}}{x} \to 0$，所以第二项趋于0，因此 $k = 1$。 + + - 截距 $b = \lim\limits_{x \to +\infty} (y - x) = \lim\limits_{x \to +\infty} \left[ \ln(1+e^x) - x + \frac{2+x}{2-x} \arctan \frac{x}{2} \right]$。 + 由于 $\ln(1+e^x) - x = \ln(1+e^{-x}) \to 0$，且 $\frac{2+x}{2-x} \to -1$，$\arctan \frac{x}{2} \to \frac{\pi}{2}$，所以 $b = -\frac{\pi}{2}$。 + 故斜渐近线为 $y = x - \frac{\pi}{2}$。 + + +**答案：** +渐近线为：$x=2$，$y=\frac{\pi}{2}$，$y=x-\frac{\pi}{2}$。 + + +--- + + +8.设 $a > 0, \sigma > 0$，定义 $a_1 = \dfrac{1}{2} \left( a + \dfrac{\sigma}{a} \right)$，$a_{n+1} = \dfrac{1}{2} \left( a_n + \dfrac{\sigma}{a_n} \right)$，$n = 1, 2, \ldots$ +证明：数列 ${a_n}$ 收敛，且极限为 $\sqrt{\sigma}$。 + +**解析：** +**第一步：证明数列有下界。** +由算术-几何平均不等式，对任意正数 $x$，有 + +$$ +\frac{1}{2} \left( x + \frac{\sigma}{x} \right) \geq \sqrt{x \cdot \frac{\sigma}{x}} = \sqrt{\sigma}. +$$ + +因此，对 $n \geq 1$，有 $a_n \geq \sqrt{\sigma}$，即数列有下界 $\sqrt{\sigma}$。 + +**第二步：证明数列单调性。** +考虑差值： +考虑数列的递推式：$a_{n+1} = \frac{1}{2} \left( a_n + \frac{\sigma}{a_n} \right)$，则 +$$ +a_{n+1} - a_n = \frac{1}{2} \left( a_n + \frac{\sigma}{a_n} \right) - a_n = \frac{1}{2} \left( \frac{\sigma}{a_n} - a_n \right) = \frac{\sigma - a_n^2}{2a_n}. +$$ + +由于 $a_n > 0$，差值的符号由 $\sigma - a_n^2$ 决定。 + +- 若 $a_n > \sqrt{\sigma}$，则 $a_{n+1} - a_n < 0$，数列单调递减； + +- 若 $a_n < \sqrt{\sigma}$，则 $a_{n+1} - a_n > 0$，数列单调递增； + +- 若 $a_n = \sqrt{\sigma}$，则 $a_{n+1} = a_n$，数列为常数列。 + + +易证 $a_1 \geq \sqrt{\sigma}$，等号仅当 $a = \sqrt{\sigma}$ 时成立。 +若 $a = \sqrt{\sigma}$，则数列恒为 $\sqrt{\sigma}$，极限为$\sqrt{\sigma}$。 +若 $a > \sqrt{\sigma}$，则 $a_1 > \sqrt{\sigma}$，由归纳法所有 $a_n > \sqrt{\sigma}$，且数列单调递减。 +若 $0 < a < \sqrt{\sigma}$，则 $a_1 > \sqrt{\sigma}$（因为 $a_1 = \frac{1}{2}(a + \sigma/a) \geq \sqrt{\sigma}$ 且等号不成立），此时从 $n=1$ 起 $a_n > \sqrt{\sigma}$，且 $a_2 < a_1$（因 $a_1 > \sqrt{\sigma}$），之后单调递减。 + +因此，无论哪种情况，数列从某项起单调且有界（下界 $\sqrt{\sigma}$，上界为 $a_1$ ），故数列收敛。 + +**第三步：求极限。** +设 $\lim\limits_{n \to \infty} a_n = L$，则 $L \geq \sqrt{\sigma} > 0$。在递推式两边取极限： +$$ +L = \frac{1}{2} \left( L + \frac{\sigma}{L} \right). +$$ +整理得 $2L = L + \frac{\sigma}{L}$，即 $L = \frac{\sigma}{L}$，从而 $L^2 = \sigma$，故 $L = \sqrt{\sigma}$（正根）。 + +因此，数列 ${a_n}$ 收敛，且极限为 $\sqrt{\sigma}$。 + + +--- + + +9.一飞机在离地面$2 km$的高度，以$200 km/h$的速度水平飞行到某目标上空，以便进行航空摄影。试求飞机飞至该目标正上方时，摄影机转动的角速率。 + +**解析：** +几何关系：$\tan \theta = \frac{x}{2}$（$x$ 为水平距离，$\theta$ 为竖直与摄影机连线的夹角）。 + +求导：$\sec^2 \theta \cdot \frac{d\theta}{dt} = \frac{1}{2} \cdot \frac{dx}{dt}$。 + +代入 $x=0$（正上方）：$\theta = 0 \implies \cos \theta = 1$，$\frac{dx}{dt} = -200$ km/h，得 +$$ +\frac{d\theta}{dt} = \frac{1}{2} \times (-200) = -100 \text{ rad/h}. +$$ +角速率为 $100$ $rad/h$（速率取绝对值）。 + +**答案：** $100$ $rad/h$。 + + +--- + + +10.若函数 $f(x)$ 在 $(a,b)$ 内连续，任取 $x_i \in (a,b)$ $(i=1,2,\cdots,n)$ 使 $$x_1≤x_2≤⋯≤x_n$$ +证明：存在 $\xi \in [x_1,x_n]$，使得 +$$f(\xi) = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^n f(x_i)$$ + +**解析：** + +由于 $f(x)$ 在 $(a,b)$ 内连续，而 $[x_1, x_n] \subset (a,b)$，所以 $f(x)$ 在闭区间 $[x_1, x_n]$ 上连续。根据闭区间上连续函数的最值定理，$f(x)$ 在 $[x_1, x_n]$ 上能取到最大值 $M$ 和最小值 $m$。 + +对于任意 $x_i \in [x_1, x_n]$，有 $m \leq f(x_i) \leq M$，因此 +$m≤$$\frac{1}{n} \sum_{i=1}^n f(x_i$)$≤M.$ +对于任意 $x_i \in [x_1, x_n]$，有 $m \leq f(x_i) \leq M$，因此可将所有不等式加起来， +从而得到 $m≤$$\frac{1}{n} \sum_{i=1}^n f(x_i$)$≤M.$ + +由连续函数的介值定理，存在 $\xi \in [x_1, x_n]$，使得 +$$f(\xi) = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^n f(x_i)$$ +证毕。 + +--- +