From 0ed7438a95e6952ed92883be9b485ae54b9f90be Mon Sep 17 00:00:00 2001 From: =?UTF-8?q?=E7=8E=8B=E8=BD=B2=E6=A5=A0?= Date: Mon, 12 Jan 2026 11:57:25 +0800 Subject: [PATCH 01/18] vault backup: 2026-01-12 11:57:25 --- 笔记分享/LaTeX（KaTeX）输入规范.md | 3 ++- 1 file changed, 2 insertions(+), 1 deletion(-) diff --git a/笔记分享/LaTeX（KaTeX）输入规范.md b/笔记分享/LaTeX（KaTeX）输入规范.md index 84987d5..9674991 100644 --- a/笔记分享/LaTeX（KaTeX）输入规范.md +++ b/笔记分享/LaTeX（KaTeX）输入规范.md @@ -3,4 +3,5 @@ 2. 自然常数或电荷量e、虚数单位i应当为**正体**，需要用mathrm记号包裹，例：$\mathrm{e}^{\mathrm{i}\pi}+1=0$；然而，当e,i作为变量时，应当用正常的斜体。例：$\sum\limits_{i=1}^{n}a_i$ 3. 微分算子d应当用正体，被微分的表达式用正常的斜体：$\mathrm{d}f(x)=f'(x)\mathrm{d}x$ 4. 极限和求和求积符号用\limits，如$\lim\limits_{x\to0}$和$\sum\limits_{n=0}^{\infty}$ -5. \$\$双美元符号之间不要打回车！除非你有\begin{...}\end{...}\$\$ \ No newline at end of file +5. \$\$双美元符号之间不要打回车！除非你有\begin{...}\end{...}\$\$ +6. 矩阵和向量要加粗，用\boldsymbol{}，比如$\boldsymbol{A},\boldsymbol{x}$。 \ No newline at end of file From 3847451d0a28e6554f9715bac581d9b0b8b2c610 Mon Sep 17 00:00:00 2001 From: =?UTF-8?q?=E7=8E=8B=E8=BD=B2=E6=A5=A0?= Date: Tue, 13 Jan 2026 12:52:00 +0800 Subject: [PATCH 02/18] vault backup: 2026-01-13 12:52:00 --- .../高数期末真题/2017高数期末考试卷.md | 10 +++++----- 1 file changed, 5 insertions(+), 5 deletions(-) diff --git a/编写小组/试卷/高数期末真题/2017高数期末考试卷.md b/编写小组/试卷/高数期末真题/2017高数期末考试卷.md index 471e755..082cd86 100644 --- a/编写小组/试卷/高数期末真题/2017高数期末考试卷.md +++ b/编写小组/试卷/高数期末真题/2017高数期末考试卷.md @@ -11,11 +11,11 @@ tags: **考试时间：150 分钟** **满分：100 分** -| 题号 | 一 | 二 | 三 | 四 | 五 | 六 | 七 | 八 | 九 | 十 | 十一 | 十二 | 总分 | 核分 | -|------|----|----|----|----|----|----|----|----|----|----|-----|-----|------|------| -| 满分 | 15 | 15 | 6 | 6 | 6 | 6 | 6 | 8 | 8 | 8 | 8 | 8 | 100 | | -| 得分 | | | | | | | | | | | | | | | -| 评阅人 | | | | | | | | | | | | | | | +| 题号 | 一 | 二 | 三 | 四 | 五 | 六 | 七 | 八 | 九 | 十 | 十一 | 十二 | 总分 | 核分 | +| --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | +| 满分 | 15 | 15 | 6 | 6 | 6 | 6 | 6 | 8 | 8 | 8 | 8 | 8 | 100 | | +| 得分 | | | | | | | | | | | | | | | +| 评阅人 | | | | | | | | | | | | | | | **注意：** 1. 所有答题都须写在此试卷纸密封线右边，写在其它纸上一律无效。 From 706bb1d989d09d123d4c87dca84337caf5f5b66f Mon Sep 17 00:00:00 2001 From: idealist999 <2974730459@qq.com> Date: Tue, 13 Jan 2026 12:58:07 +0800 Subject: [PATCH 03/18] vault backup: 2026-01-13 12:58:07 --- 编写小组/讲义/微分中值定理（解析版）.md | 4 ++++ 1 file changed, 4 insertions(+) create mode 100644 编写小组/讲义/微分中值定理（解析版）.md diff --git a/编写小组/讲义/微分中值定理（解析版）.md b/编写小组/讲义/微分中值定理（解析版）.md new file mode 100644 index 0000000..1fb86d3 --- /dev/null +++ b/编写小组/讲义/微分中值定理（解析版）.md @@ -0,0 +1,4 @@ +--- +tags: + - 编写小组 +--- From 17c373cc914abdf1e4c8004b40c3fa6ea79b5eef Mon Sep 17 00:00:00 2001 From: idealist999 <2974730459@qq.com> Date: Tue, 13 Jan 2026 13:00:58 +0800 Subject: [PATCH 04/18] vault backup: 2026-01-13 13:00:58 --- .../微分中值定理（解析版）.md | 3 ++ ...的解与秩的不等式（解析版）.md | 42 +++++++++---------- 2 files changed, 24 insertions(+), 21 deletions(-) diff --git a/编写小组/讲义/微分中值定理（解析版）.md b/编写小组/讲义/微分中值定理（解析版）.md index 1fb86d3..b52eaf9 100644 --- a/编写小组/讲义/微分中值定理（解析版）.md +++ b/编写小组/讲义/微分中值定理（解析版）.md @@ -2,3 +2,6 @@ tags: - 编写小组 --- +**内部资料，禁止传播** +**编委会（不分先后，姓氏首字母顺序）：陈峰华 陈玉阶 程奕铭 韩魏 刘柯妤 卢吉辚 王嘉兴 王轲楠 彭靖翔 郑哲航 钟宇哲 支宝宁 + diff --git a/编写小组/讲义/线性方程组的解与秩的不等式（解析版）.md b/编写小组/讲义/线性方程组的解与秩的不等式（解析版）.md index e68f0cc..b858ee4 100644 --- a/编写小组/讲义/线性方程组的解与秩的不等式（解析版）.md +++ b/编写小组/讲义/线性方程组的解与秩的不等式（解析版）.md @@ -227,6 +227,27 @@ $$ $$ 解得 $a = 1$。 +# 通过秩反过来得方程是否有解 + +>[!example] 例3 +>已知$\boldsymbol{A},\boldsymbol{B}$均为$m\times n$矩阵，$\beta_1,\beta_2$为$m$维列向量，则下列选项正确的有[ ] +(A)若$\mathrm{rank}\boldsymbol{A}=m$，则对于任意$m$维列向量$\boldsymbol{b},\boldsymbol{A}\boldsymbol{x}=\boldsymbol{b}$总有解. +(B)若$\boldsymbol{A}$与$\boldsymbol{B}$等价，则齐次线性方程组$\boldsymbol{A}\boldsymbol{x}=\boldsymbol{0}$与$\boldsymbol{B}\boldsymbol{x}=\boldsymbol{0}$同解. +(C)矩阵方程$\boldsymbol{A}\boldsymbol{X}=\boldsymbol{B}$有解，但$\boldsymbol{B}\boldsymbol{Y}=\boldsymbol{A}$无解的充要条件是$$\mathrm{rank}\boldsymbol{B}<\mathrm{rank}\boldsymbol{A}=\mathrm{rank}[\boldsymbol{A\ B}].$$ +(D)线性方程组$\boldsymbol{A}\boldsymbol{x}=\boldsymbol{\beta_1}$与$\boldsymbol{A}\boldsymbol{x}=\boldsymbol{\beta_2}$同时有解当且仅当$$\mathrm{rank}\boldsymbol{A}=\mathrm{rank}[\boldsymbol{A\ \beta_1\ \beta_2}].$$ + +**解：** +(A)一方面$\mathrm{rank}[\boldsymbol{A\ b}]\ge \mathrm{rank}\boldsymbol{A}=m$,另一方面矩阵$[\boldsymbol{A\ b}]$只有$m$行，所以它的秩必然不大于$m$，所以$\mathrm{rank}[\boldsymbol{A\ b}]=m=\mathrm{rank}\boldsymbol{A}$，即方程$\boldsymbol{A}\boldsymbol{x}=\boldsymbol{b}$总有解。 + +(B)等价的矩阵只需要是经过初等变换可以变成同一个矩阵就行了，但齐次线性方程组同解需要只经过初等行变换就能变成同一个矩阵才行，后一个条件明显更强，所以后一种更“难”达成，B就不对。 + +(C)方程$\boldsymbol{A}\boldsymbol{X}=\boldsymbol{B}$有解$\Leftrightarrow\mathrm{rank}[\boldsymbol{A\ B}]=\mathrm{rank}\boldsymbol{A}$,方程$\boldsymbol{B}\boldsymbol{Y}=\boldsymbol{A}$无解$\Leftrightarrow\mathrm{rank}\boldsymbol{B}<\mathrm{rank}[\boldsymbol{B\ A}]$,而$\mathrm{rank}[\boldsymbol{A\ B}]=\mathrm{rank}[\boldsymbol{B\ A}]$,故C正确。这是纯形式化的解答，不过当然是正确的。但是怎么理解这个结果呢？$\boldsymbol{A}\boldsymbol{X}=\boldsymbol{B}$有解，就是说我们可以用矩阵$\boldsymbol{A}$表示矩阵$\boldsymbol{B}$,也就是说，$\boldsymbol{A}$中包含了$\boldsymbol{B}$中的所有信息，也就是$\mathrm{rank}\boldsymbol{A}\ge\mathrm{rank}\boldsymbol{B}$；另一方面，$\boldsymbol{BY}=\boldsymbol{A}$无解说明我们无法用矩阵$\boldsymbol{B}$表示矩阵$\boldsymbol{A}$，也就是说，$\boldsymbol{B}$中没有包含$\boldsymbol{A}$中的所有信息，那么$\mathrm{rank}\boldsymbol{B}<\mathrm{rank}\boldsymbol{A}$；再加上有解的充要条件得出C正确。 + +(D)我们同样有两种方法去解这道题，一种是形式化的、严谨的，另一种是理解性的、直观的。 +1)线性方程组$\boldsymbol{A}\boldsymbol{x}=\boldsymbol{\beta_1}$与$\boldsymbol{A}\boldsymbol{x}=\boldsymbol{\beta_2}$同时有解$\Leftrightarrow\mathrm{rank}\boldsymbol{A}=\mathrm{rank}[\boldsymbol{A\ \beta_1}]=\mathrm{rank}[\boldsymbol{A\ \beta_2}]$,故$\mathrm{rank}\boldsymbol{A}=\mathrm{rank}[\boldsymbol{A\ \beta_1\ \beta_2}]$。 +2)也可以从初等变换的角度来理解，方程$\boldsymbol{A}\boldsymbol{x}=\boldsymbol{\beta_1}$有解说明$\boldsymbol{\beta_1}$可以用$\boldsymbol{A}$的列向量线性表示，从而$[\boldsymbol{A\ \beta_1}]$可以通过初等列变换变成$[\boldsymbol{A\ O}]$，故$\mathrm{rank}\boldsymbol{A}=\mathrm{rank}[\boldsymbol{A\ \beta_1}]$；同理可以得出关于$\boldsymbol{\beta_2}$的结论。 +3)同样，怎么直观地理解？我们一样用信息量的观点去看。方程$\boldsymbol{A}\boldsymbol{x}=\boldsymbol{\beta_1}$有解，意味着$\boldsymbol{A}$中包含了$\boldsymbol{\beta_1}$中的所有信息，同理，$\boldsymbol{A}$中也包含了$\boldsymbol{\beta_2}$中的所有信息，这就意味着矩阵$[\boldsymbol{A\ \beta_1\ \beta_2}]$中所有的信息其实只需要用$\boldsymbol{A}$就可以表示，故$\mathrm{rank}\boldsymbol{A}=\mathrm{rank}[\boldsymbol{A\ \beta_1\ \beta_2}]$,反过来也是一样的。这就说明D是正确的。 + # 秩的不等式 ### 1. 和的秩不超过秩的和 @@ -302,24 +323,3 @@ $$ > 在遇到诸如 $AB=O$ 的情况，务必要想到$\mathrm{rank}\boldsymbol{A}+\mathrm{rank}\boldsymbol{B}-n\le\mathrm{rank}(\boldsymbol{AB}) \Rightarrow \mathrm{rank}\boldsymbol{A}+\mathrm{rank}\boldsymbol{B}\le n$ - ->[!example] 例3 ->已知$\boldsymbol{A},\boldsymbol{B}$均为$m\times n$矩阵，$\beta_1,\beta_2$为$m$维列向量，则下列选项正确的有[ ] -(A)若$\mathrm{rank}\boldsymbol{A}=m$，则对于任意$m$维列向量$\boldsymbol{b},\boldsymbol{A}\boldsymbol{x}=\boldsymbol{b}$总有解. -(B)若$\boldsymbol{A}$与$\boldsymbol{B}$等价，则齐次线性方程组$\boldsymbol{A}\boldsymbol{x}=\boldsymbol{0}$与$\boldsymbol{B}\boldsymbol{x}=\boldsymbol{0}$同解. -(C)矩阵方程$\boldsymbol{A}\boldsymbol{X}=\boldsymbol{B}$有解，但$\boldsymbol{B}\boldsymbol{Y}=\boldsymbol{A}$无解的充要条件是$$\mathrm{rank}\boldsymbol{B}<\mathrm{rank}\boldsymbol{A}=\mathrm{rank}[\boldsymbol{A\ B}].$$ -(D)线性方程组$\boldsymbol{A}\boldsymbol{x}=\boldsymbol{\beta_1}$与$\boldsymbol{A}\boldsymbol{x}=\boldsymbol{\beta_2}$同时有解当且仅当$$\mathrm{rank}\boldsymbol{A}=\mathrm{rank}[\boldsymbol{A\ \beta_1\ \beta_2}].$$ - -**解：** -(A)一方面$\mathrm{rank}[\boldsymbol{A\ b}]\ge \mathrm{rank}\boldsymbol{A}=m$,另一方面矩阵$[\boldsymbol{A\ b}]$只有$m$行，所以它的秩必然不大于$m$，所以$\mathrm{rank}[\boldsymbol{A\ b}]=m=\mathrm{rank}\boldsymbol{A}$，即方程$\boldsymbol{A}\boldsymbol{x}=\boldsymbol{b}$总有解。 - -(B)等价的矩阵只需要是经过初等变换可以变成同一个矩阵就行了，但齐次线性方程组同解需要只经过初等行变换就能变成同一个矩阵才行，后一个条件明显更强，所以后一种更“难”达成，B就不对。 - -(C)方程$\boldsymbol{A}\boldsymbol{X}=\boldsymbol{B}$有解$\Leftrightarrow\mathrm{rank}[\boldsymbol{A\ B}]=\mathrm{rank}\boldsymbol{A}$,方程$\boldsymbol{B}\boldsymbol{Y}=\boldsymbol{A}$无解$\Leftrightarrow\mathrm{rank}\boldsymbol{B}<\mathrm{rank}[\boldsymbol{B\ A}]$,而$\mathrm{rank}[\boldsymbol{A\ B}]=\mathrm{rank}[\boldsymbol{B\ A}]$,故C正确。这是纯形式化的解答，不过当然是正确的。但是怎么理解这个结果呢？$\boldsymbol{A}\boldsymbol{X}=\boldsymbol{B}$有解，就是说我们可以用矩阵$\boldsymbol{A}$表示矩阵$\boldsymbol{B}$,也就是说，$\boldsymbol{A}$中包含了$\boldsymbol{B}$中的所有信息，也就是$\mathrm{rank}\boldsymbol{A}\ge\mathrm{rank}\boldsymbol{B}$；另一方面，$\boldsymbol{BY}=\boldsymbol{A}$无解说明我们无法用矩阵$\boldsymbol{B}$表示矩阵$\boldsymbol{A}$，也就是说，$\boldsymbol{B}$中没有包含$\boldsymbol{A}$中的所有信息，那么$\mathrm{rank}\boldsymbol{B}<\mathrm{rank}\boldsymbol{A}$；再加上有解的充要条件得出C正确。 - -(D)我们同样有两种方法去解这道题，一种是形式化的、严谨的，另一种是理解性的、直观的。 -1)线性方程组$\boldsymbol{A}\boldsymbol{x}=\boldsymbol{\beta_1}$与$\boldsymbol{A}\boldsymbol{x}=\boldsymbol{\beta_2}$同时有解$\Leftrightarrow\mathrm{rank}\boldsymbol{A}=\mathrm{rank}[\boldsymbol{A\ \beta_1}]=\mathrm{rank}[\boldsymbol{A\ \beta_2}]$,故$\mathrm{rank}\boldsymbol{A}=\mathrm{rank}[\boldsymbol{A\ \beta_1\ \beta_2}]$。 -2)也可以从初等变换的角度来理解，方程$\boldsymbol{A}\boldsymbol{x}=\boldsymbol{\beta_1}$有解说明$\boldsymbol{\beta_1}$可以用$\boldsymbol{A}$的列向量线性表示，从而$[\boldsymbol{A\ \beta_1}]$可以通过初等列变换变成$[\boldsymbol{A\ O}]$，故$\mathrm{rank}\boldsymbol{A}=\mathrm{rank}[\boldsymbol{A\ \beta_1}]$；同理可以得出关于$\boldsymbol{\beta_2}$的结论。 -3)同样，怎么直观地理解？我们一样用信息量的观点去看。方程$\boldsymbol{A}\boldsymbol{x}=\boldsymbol{\beta_1}$有解，意味着$\boldsymbol{A}$中包含了$\boldsymbol{\beta_1}$中的所有信息，同理，$\boldsymbol{A}$中也包含了$\boldsymbol{\beta_2}$中的所有信息，这就意味着矩阵$[\boldsymbol{A\ \beta_1\ \beta_2}]$中所有的信息其实只需要用$\boldsymbol{A}$就可以表示，故$\mathrm{rank}\boldsymbol{A}=\mathrm{rank}[\boldsymbol{A\ \beta_1\ \beta_2}]$,反过来也是一样的。这就说明D是正确的。 - -根据上面的题目，我们可不可以归纳出一种比较普遍的方式，去解决这种与秩和方程组解都有密切关系的题目呢？ \ No newline at end of file From 7b373c0b3ba1e9b3d63fc0f4d27ebab655c17f83 Mon Sep 17 00:00:00 2001 From: idealist999 <2974730459@qq.com> Date: Tue, 13 Jan 2026 13:05:17 +0800 Subject: [PATCH 05/18] vault backup: 2026-01-13 13:05:17 --- .../线性方程组的解与秩的不等式（解析版）.md | 2 +- 1 file changed, 1 insertion(+), 1 deletion(-) diff --git a/编写小组/讲义/线性方程组的解与秩的不等式（解析版）.md b/编写小组/讲义/线性方程组的解与秩的不等式（解析版）.md index b858ee4..d5e4d4f 100644 --- a/编写小组/讲义/线性方程组的解与秩的不等式（解析版）.md +++ b/编写小组/讲义/线性方程组的解与秩的不等式（解析版）.md @@ -229,7 +229,7 @@ $$ # 通过秩反过来得方程是否有解 ->[!example] 例3 +>[!example] 例1 >已知$\boldsymbol{A},\boldsymbol{B}$均为$m\times n$矩阵，$\beta_1,\beta_2$为$m$维列向量，则下列选项正确的有[ ] (A)若$\mathrm{rank}\boldsymbol{A}=m$，则对于任意$m$维列向量$\boldsymbol{b},\boldsymbol{A}\boldsymbol{x}=\boldsymbol{b}$总有解. (B)若$\boldsymbol{A}$与$\boldsymbol{B}$等价，则齐次线性方程组$\boldsymbol{A}\boldsymbol{x}=\boldsymbol{0}$与$\boldsymbol{B}\boldsymbol{x}=\boldsymbol{0}$同解. From 4eea080cd8ac66ea461fb643a904c6bba4eb30bd Mon Sep 17 00:00:00 2001 From: =?UTF-8?q?=E7=8E=8B=E8=BD=B2=E6=A5=A0?= Date: Tue, 13 Jan 2026 13:39:30 +0800 Subject: [PATCH 06/18] =?UTF-8?q?1.14=E7=BA=BF=E4=BB=A3=E6=B5=8B=E8=AF=95?= =?UTF-8?q?=E7=AD=94=E6=A1=88?= MIME-Version: 1.0 Content-Type: text/plain; charset=UTF-8 Content-Transfer-Encoding: 8bit --- 1.14线代测试答案.md | 218 ++++++++++++++++++++++++++++++++++++++ 1 file changed, 218 insertions(+) create mode 100644 1.14线代测试答案.md diff --git a/1.14线代测试答案.md b/1.14线代测试答案.md new file mode 100644 index 0000000..c8a70a9 --- /dev/null +++ b/1.14线代测试答案.md @@ -0,0 +1,218 @@ +# **1.14 线性代数限时练（题目 + 答案与解析）** + +## **第一部分：题目** + +### **1.** + +已知三阶行列式 $\begin{vmatrix}a_{11}&a_{12}&a_{13}\\a_{21}&a_{22}&a_{23}\\a_{31}&a_{32}&a_{33}\end{vmatrix}=c$，代数余子式之和 $\sum_{i=1}^{3}\sum_{j=1}^{3}A_{ij}=3c$，则行列式 $\begin{vmatrix}a_{11}+1&a_{12}+1&a_{13}+1\\a_{21}+1&a_{22}+1&a_{23}+1\\a_{31}+1&a_{32}+1&a_{33}+1\end{vmatrix}=$？ + +### **2.（2013 秋 A）** + +$已知向量空间 V=\{(2a,2b,3b,3a)\mid a,b\in\mathbb{R}\}，则 V 的维数是\underline{\qquad}。$ + +### **3.（2018 秋 A）** + +$设 E 为 3 阶单位矩阵，\alpha 为一个 3 维单位列向量，则矩阵 E-\alpha\alpha^T 的全部 3 个特征值为\underline{\qquad}。$ + +### **4.（2018 秋 A）** + +$设 n 阶矩阵 A=[a_{ij}]_{n\times n}，则二次型 f(x_1,x_2,\cdots,x_n)=\sum\limits_{i=1}^{n}(a_{i1}x_1+a_{i2}x_2+\cdots+a_{in}x_n)^2 的矩阵为\underline{\qquad}。$ +### **5.（2018 秋 A）** + +$若 n 阶实对称矩阵 A 的特征值为 \lambda_i=(-1)^i（i=1,2,\cdots,n），则 A^{100}=\underline{\qquad}。$ + +### **6.（2022 秋 A・5）** + +$已知 n（n\geq2）维列向量 \alpha,\beta 满足 \beta^T\alpha=-3，则方阵 (\beta\alpha^T)^2 的非零特征值为\underline{\qquad}。$ + +### **7.（2022 秋 A）** + +$已知向量组 \alpha_1,\alpha_2,\alpha_3 线性无关（\alpha_1,\alpha_2,\alpha_3\in\mathbb{R}^3），A 为 3 阶方阵，且满足：$ + +$$\begin{aligned} +A\alpha_1&=2\alpha_1-\alpha_2-\alpha_3,\\A\alpha_2&=\alpha_1+2\alpha_2+3\alpha_3,\\A\alpha_3&=2\alpha_1+4\alpha_2+\alpha_3 +\end{aligned} +$$ +(1) $证明 A\alpha_1,A\alpha_2,A\alpha_3 线性无关$； + +(2) $计算行列式 |E-A|（E 是 3 阶单位矩阵）$。 + +### **8.（2013 秋 A）** + +$求 n 阶方阵 A=\begin{bmatrix}1&1&1&\cdots&1\\1&0&1&\cdots&1\\1&1&0&\cdots&1\\\vdots&\vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\1&1&1&\cdots&0\end{bmatrix} 的逆矩阵。$ + +### **9.（2013 秋 A・三）** + +设 n 阶行列式： + +$$D_n=\begin{vmatrix}1&1&0&\cdots&0&0\\-1&1&1&\cdots&0&0\\0&-1&1&\cdots&0&0\\\vdots&\vdots&\vdots&\ddots&\vdots&\vdots\\0&0&0&\cdots&1&1\\0&0&0&\cdots&-1&1\end{vmatrix}$$ + +证明：$D_n=\frac{1}{\sqrt{5}}\left[\left(\frac{1+\sqrt{5}}{2}\right)^{n+1}-\left(\frac{1-\sqrt{5}}{2}\right)^{n+1}\right]$。 + +## **第二部分：答案与解析** + +### 1. 答案：$\boxed{4c}$ + +#### **解析：** + +$设原矩阵为 A（即 |A|=c），全 1 矩阵 J=\boldsymbol{e}\boldsymbol{e}^T（其中 \boldsymbol{e}=(1,1,1)^T），需求解的行列式为 |A+J|。$ +由代数余子式性质：$\sum_{i,j}A_{ij}=\boldsymbol{e}^T A^*\boldsymbol{e}=3c$，且可逆矩阵的伴随矩阵满足$A^*=|A|A^{-1}=cA^{-1}$（因 $|A|=c\neq0，A$ 可逆），代入得 $\boldsymbol{e}^T A^{-1}\boldsymbol{e}=3$。 + +利用**Sherman-Morrison 行列式公式**：对可逆矩阵$A$ 和向量 $\boldsymbol{u},\boldsymbol{v}$，有 $|A+\boldsymbol{u}\boldsymbol{v}^T|=|A|(1+\boldsymbol{v}^T A^{-1}\boldsymbol{u})$。 + +此处 $\boldsymbol{u}=\boldsymbol{v}=\boldsymbol{e}$，代入得 $|A+J|=c(1+\boldsymbol{e}^T A^{-1}\boldsymbol{e})=c(1+3)=4c$。 + +### **2. 答案：$\boxed{2}$ + +#### **解析：** + +将向量空间 V 中的元素拆分为线性组合形式： + +$$(2a,2b,3b,3a)=a(2,0,0,3)+b(0,2,3,0)$$ + +设 $\boldsymbol{\alpha}=(2,0,0,3)，\boldsymbol{\beta}=(0,2,3,0)$，需验证 $\boldsymbol{\alpha},\boldsymbol{\beta}$ 线性无关： + +若 $k_1\boldsymbol{\alpha}+k_2\boldsymbol{\beta}=\boldsymbol{0}$（零向量），则 $\begin{cases}2k_1=0\\2k_2=0\\3k_2=0\\3k_1=0\end{cases}$，解得 $k_1=k_2=0$，故 $\boldsymbol{\alpha},\boldsymbol{\beta}$是 V 的一组基。 + +向量空间的维数等于基的个数，因此 $V$ 的维数为 $2$。 + +### **3. 答案：$\boxed{1,1,0}$ + +#### **解析：** + +设 $B=\alpha\alpha^T$，该矩阵为**秩 $1$ 矩阵**（因 $\alpha$ 是单位列向量，$\alpha^T\alpha=1$）。 + +• 秩 $1$ 矩阵的特征值性质：非零特征值为矩阵的迹 $\text{tr}(B)=\alpha^T\alpha=1$，其余 $n-1=2$ 个特征值为 $0$（秩 $1$ 矩阵的非零特征值个数等于秩）。 + +• 若 $B\boldsymbol{x}=\lambda\boldsymbol{x}$（$\boldsymbol{x}$为特征向量），则 $(E-B)\boldsymbol{x}=(1-\lambda)\boldsymbol{x}$，即$E-B$ 的特征值为 $1-\lambda$。 + +$代入 B 的特征值 \lambda=1,0,0，得 E-B 的特征值为 1-1=0，1-0=1，1-0=1，即 1,1,0$。 + +### **4. 答案：$\boxed{A^T A}$** + +#### **解析：** + +将二次型展开为矩阵形式： + +$$f(\boldsymbol{x})=\sum_{i=1}^{n}(A\boldsymbol{x})_i^2=(A\boldsymbol{x})^T(A\boldsymbol{x})=\boldsymbol{x}^T(A^T A)\boldsymbol{x}$$ + +• 二次型的矩阵需满足**对称性质**（即矩阵等于其转置），验证：$(A^T A)^T=A^T(A^T)^T=A^T A$，故 $A^T A$ 是对称矩阵，即为二次型的矩阵。 + +### **5. 答案：$\boxed{E}$（单位矩阵）** + +#### **解析：** + +实对称矩阵可对角化，即存在可逆矩阵 P，使得 $P^{-1}AP=\Lambda$（$\Lambda$ 为对角矩阵，对角元为 A 的特征值 $\lambda_i=(-1)^i$）。 + +• 矩阵幂运算性质：$A^{100}=P\Lambda^{100}P^{-1}$。 + +• 计算 $\Lambda^{100}$：对角元为 $\lambda_i^{100}=[(-1)^i]^{100}=1$，故 $\Lambda^{100}=E$（单位矩阵）。 + +• 因此 $A^{100}=P E P^{-1}=P P^{-1}=E$。 + +### **6. 答案：$\boxed{9}$** + +#### **解析：** + +设 $A=\beta\alpha^T$（秩 1 矩阵），计算 $A^2$： + +$A^2=(\beta\alpha^T)(\beta\alpha^T)=\beta(\alpha^T\beta)\alpha^T=(\alpha^T\beta)A$ + +• 注意：$\alpha^T\beta=(\beta^T\alpha)^T$（矩阵转置性质），而 $\beta^T\alpha=-3$（数，转置等于自身），故 $\alpha^T\beta=-3$，因此 $A^2=-3A$。 + +• 秩 $1$ 矩阵 $A$ 的非零特征值为 $\text{tr}(A)=\alpha^T\beta=-3$，设 $A\boldsymbol{x}=-3\boldsymbol{x}$，则 $A^2\boldsymbol{x}=(-3)A\boldsymbol{x}=(-3)^2\boldsymbol{x}=9\boldsymbol{x}$，即 $A^2$ 的非零特征值为 $9$。 + +### **7. 答案：(1) 证明见解析；(2) $\boxed{20}$** + +#### **(1) 证明 $A\alpha_1,A\alpha_2,A\alpha_3$ 线性无关** + +因 $\alpha_1,\alpha_2,\alpha_3$ 线性无关，故矩阵 $P=(\alpha_1,\alpha_2,\alpha_3)$ 可逆（列向量线性无关的矩阵可逆）。 + +由题设条件，将 $A$ 对 $\alpha_1,\alpha_2,\alpha_3$ 的作用表示为矩阵乘法： + +$$A(\alpha_1,\alpha_2,\alpha_3)=(\alpha_1,\alpha_2,\alpha_3)\begin{bmatrix}2&1&2\\-1&2&4\\-1&3&1\end{bmatrix}=P C$$ + +其中 $C=\begin{bmatrix}2&1&2\\-1&2&4\\-1&3&1\end{bmatrix}$，计算 $|C|$： + +$$\begin{aligned} +|C|&=2\times(2\times1-4\times3)-1\times(-1\times1-4\times(-1))+2\times(-1\times3-2\times(-1))\\ +&=2\times(-10)-1\times3+2\times(-1)\\ +&=-25\neq0 +\end{aligned} +$$ + +• 因 $|C|\neq0$，故 $C$ 可逆，$\text{rank}(C)=3$。 + +• 又 $P$ 可逆，故 $\text{rank}(A\alpha_1,A\alpha_2,A\alpha_3)=\text{rank}(P C)=\text{rank}(C)=3$，即 $A\alpha_1,A\alpha_2,A\alpha_3$ 线性无关。 + +#### **(2) 计算 $|E-A|$** + +由 (1) 知$P^{-1}AP=C（A 与 C 相似）$，则 $E-A$ 与 $E-C$ 相似（相似矩阵的 “单位矩阵减矩阵” 仍相似），而**相似矩阵的行列式相等**，故 $|E-A|=|E-C|$。 + +计算 $E-C$： + +$$E-C=\begin{bmatrix}1-2&0-1&0-2\\0-(-1)&1-2&0-4\\0-(-1)&0-3&1-1\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}-1&-1&-2\\1&-1&-4\\1&-3&0\end{bmatrix}$$ + +按第三行展开计算行列式： + +$$ +\begin{aligned} +|E-C|&=1\times\begin{vmatrix}-1&-2\\-1&-4\end{vmatrix}-(-3)\times\begin{vmatrix}-1&-2\\1&-4\end{vmatrix}+0\times(\text{余子式})\\ +&=1\times(4-2)+3\times(4+2)\\ +&=2+18=20 +\end{aligned} +$$ + +故 $|E-A|=20$。 + +### **8. 答案：** + +$$A^{-1}=\begin{bmatrix}-(n-2)&1&1&\cdots&1\\1&-1&0&\cdots&0\\1&0&-1&\cdots&0\\\vdots&\vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\1&0&0&\cdots&-1\end{bmatrix} +$$ +#### **解析：** + +通过 “行变换法” 或 “规律归纳” 推导： + +• 观察矩阵 A 的结构：第一行全为 1，其余行的对角元为 0，非对角元为 1。可先计算 n=2,3 时的逆矩阵，归纳规律： + +◦ $当 n=2 时，A=\begin{bmatrix}1&1\\1&0\end{bmatrix}，逆矩阵为 \begin{bmatrix}0&1\\1&-1\end{bmatrix}（符合上述形式，-(2-2)=0）$； + +◦ 当 $n=3$ 时，$A=\begin{bmatrix}1&1&1\\1&0&1\\1&1&0\end{bmatrix}$，逆矩阵为 $\begin{bmatrix}-1&1&1\\1&-1&0\\1&0&-1\end{bmatrix}$（符合上述形式，$-(3-2)=-1$）。 + +• 验证规律：对 n 阶矩阵，逆矩阵的第一行第一列元素为 -(n-2)，第一行其余元素为 1，第一列其余元素为 1，对角元（除第一行第一列）为 -1，非对角元（除第一行、第一列）为 0，即为上述形式。 + +### **9. 证明：$D_n=\frac{1}{\sqrt{5}}\left[\left(\frac{1+\sqrt{5}}{2}\right)^{n+1}-\left(\frac{1-\sqrt{5}}{2}\right)^{n+1}\right]$** + +#### **步骤 1：建立递推公式** + +对 $D_n$ 按**第一行展开**（第一行元素为 $a_{11}=1,a_{12}=1$，其余 $a_{1j}=0$）： + +$D_n=a_{11}\times(-1)^{1+1}M_{11}+a_{12}\times(-1)^{1+2}M_{12}$ + +• $M_{11}$：去掉第一行第一列后的子式，即 $n-1$ 阶行列式 $D_{n-1}$（结构与 $D_n$ 一致）； + +• $M_{12}$：去掉第一行第二列后的子式，按第一列展开（第一列仅首元素为 $-1$），得 $-D_{n-2}$（符号需结合 $(-1)^{1+2}=-1$）。 + +因此递推公式为： + +$$D_n=D_{n-1}+D_{n-2}$$ + +#### **步骤 2：确定初始条件** + +• 当 $n=1$ 时，$D_1=\begin{vmatrix}1\end{vmatrix}=1$； + +• 当 n=2 时，$D_2=\begin{vmatrix}1&1\\-1&1\end{vmatrix}=1\times1-1\times(-1)=2$。 + +#### **步骤 3：求解递推关系** + +递推公式 $D_n=D_{n-1}+D_{n-2}$ 是**斐波那契数列的变形**，斐波那契数列的通项公式（比内公式）为： + +$$F_k=\frac{1}{\sqrt{5}}\left[\left(\frac{1+\sqrt{5}}{2}\right)^k-\left(\frac{1-\sqrt{5}}{2}\right)^k\right]$$ + +对比初始条件：$D_1=1=F_2，D_2=2=F_3$，故 $D_n=F_{n+1}$（斐波那契数列的第 $n+1$ 项）。 + +将$ F_{n+1} 代入比内公式$，得： + +$$D_n=\frac{1}{\sqrt{5}}\left[\left(\frac{1+\sqrt{5}}{2}\right)^{n+1}-\left(\frac{1-\sqrt{5}}{2}\right)^{n+1}\right]$$ + +证毕。 \ No newline at end of file From 1a75ff4da39606d3893922b18d2d3888837436b9 Mon Sep 17 00:00:00 2001 From: =?UTF-8?q?=E7=8E=8B=E8=BD=B2=E6=A5=A0?= Date: Tue, 13 Jan 2026 13:40:11 +0800 Subject: [PATCH 07/18] vault backup: 2026-01-13 13:40:11 --- 1.14线代测试答案.md | 2 +- 1 file changed, 1 insertion(+), 1 deletion(-) diff --git a/1.14线代测试答案.md b/1.14线代测试答案.md index c8a70a9..685aaee 100644 --- a/1.14线代测试答案.md +++ b/1.14线代测试答案.md @@ -4,7 +4,7 @@ ### **1.** -已知三阶行列式 $\begin{vmatrix}a_{11}&a_{12}&a_{13}\\a_{21}&a_{22}&a_{23}\\a_{31}&a_{32}&a_{33}\end{vmatrix}=c$，代数余子式之和 $\sum_{i=1}^{3}\sum_{j=1}^{3}A_{ij}=3c$，则行列式 $\begin{vmatrix}a_{11}+1&a_{12}+1&a_{13}+1\\a_{21}+1&a_{22}+1&a_{23}+1\\a_{31}+1&a_{32}+1&a_{33}+1\end{vmatrix}=$？ +已知三阶行列式 $\begin{vmatrix}a_{11}&a_{12}&a_{13}\\a_{21}&a_{22}&a_{23}\\a_{31}&a_{32}&a_{33}\end{vmatrix}=c$，代数余子式之和 $\sum\limits_{i=1}^{3}\sum\limits_{j=1}^{3}A_{ij}=3c$，则行列式 $\begin{vmatrix}a_{11}+1&a_{12}+1&a_{13}+1\\a_{21}+1&a_{22}+1&a_{23}+1\\a_{31}+1&a_{32}+1&a_{33}+1\end{vmatrix}=$？ ### **2.（2013 秋 A）** From 92b0bb532fe300962e085d4ba7e8ad773a96a1c2 Mon Sep 17 00:00:00 2001 From: =?UTF-8?q?=E7=8E=8B=E8=BD=B2=E6=A5=A0?= Date: Tue, 13 Jan 2026 13:41:32 +0800 Subject: [PATCH 08/18] vault backup: 2026-01-13 13:41:32 --- .../试卷/线代期末复习模拟/1.14线代测试答案.md | 0 1 file changed, 0 insertions(+), 0 deletions(-) rename 1.14线代测试答案.md => 编写小组/试卷/线代期末复习模拟/1.14线代测试答案.md (100%) diff --git a/1.14线代测试答案.md b/编写小组/试卷/线代期末复习模拟/1.14线代测试答案.md similarity index 100% rename from 1.14线代测试答案.md rename to 编写小组/试卷/线代期末复习模拟/1.14线代测试答案.md From 64e70d9c6ddb57179772a7c9290c4de0491554e1 Mon Sep 17 00:00:00 2001 From: =?UTF-8?q?=E7=8E=8B=E8=BD=B2=E6=A5=A0?= Date: Tue, 13 Jan 2026 13:54:02 +0800 Subject: [PATCH 09/18] =?UTF-8?q?=E5=A2=9E=E5=8A=A0=E4=BA=86=E4=B8=80?= =?UTF-8?q?=E9=81=93=E9=A2=98=E7=9A=84=E7=B4=A0=E6=9D=90?= MIME-Version: 1.0 Content-Type: text/plain; charset=UTF-8 Content-Transfer-Encoding: 8bit --- 素材/特征值与相似.md | 1 + 1 file changed, 1 insertion(+) create mode 100644 素材/特征值与相似.md diff --git a/素材/特征值与相似.md b/素材/特征值与相似.md new file mode 100644 index 0000000..2ce056b --- /dev/null +++ b/素材/特征值与相似.md @@ -0,0 +1 @@ +$设 E 为 3 阶单位矩阵，\alpha 为一个 3 维单位列向量，则矩阵 E-\alpha\alpha^T 的全部 3 个特征值为\underline{\qquad}。$ From 38836d3e12a12e39f7775a31b74fba84a7d32cb8 Mon Sep 17 00:00:00 2001 From: =?UTF-8?q?=E7=8E=8B=E8=BD=B2=E6=A5=A0?= Date: Tue, 13 Jan 2026 14:49:04 +0800 Subject: [PATCH 10/18] vault backup: 2026-01-13 14:49:04 --- .../1.14线代测试答案.md | 21 ++++++++++--------- 1 file changed, 11 insertions(+), 10 deletions(-) diff --git a/编写小组/试卷/线代期末复习模拟/1.14线代测试答案.md b/编写小组/试卷/线代期末复习模拟/1.14线代测试答案.md index 685aaee..6afd7b5 100644 --- a/编写小组/试卷/线代期末复习模拟/1.14线代测试答案.md +++ b/编写小组/试卷/线代期末复习模拟/1.14线代测试答案.md @@ -54,14 +54,10 @@ $$D_n=\begin{vmatrix}1&1&0&\cdots&0&0\\-1&1&1&\cdots&0&0\\0&-1&1&\cdots&0&0\\\vd ### 1. 答案：$\boxed{4c}$ #### **解析：** - -$设原矩阵为 A（即 |A|=c），全 1 矩阵 J=\boldsymbol{e}\boldsymbol{e}^T（其中 \boldsymbol{e}=(1,1,1)^T），需求解的行列式为 |A+J|。$ -由代数余子式性质：$\sum_{i,j}A_{ij}=\boldsymbol{e}^T A^*\boldsymbol{e}=3c$，且可逆矩阵的伴随矩阵满足$A^*=|A|A^{-1}=cA^{-1}$（因 $|A|=c\neq0，A$ 可逆），代入得 $\boldsymbol{e}^T A^{-1}\boldsymbol{e}=3$。 - -利用**Sherman-Morrison 行列式公式**：对可逆矩阵$A$ 和向量 $\boldsymbol{u},\boldsymbol{v}$，有 $|A+\boldsymbol{u}\boldsymbol{v}^T|=|A|(1+\boldsymbol{v}^T A^{-1}\boldsymbol{u})$。 - -此处 $\boldsymbol{u}=\boldsymbol{v}=\boldsymbol{e}$，代入得 $|A+J|=c(1+\boldsymbol{e}^T A^{-1}\boldsymbol{e})=c(1+3)=4c$。 - +没有全1的行列式：即$|A|=c$； +仅 1 列是全 1、其余为$A$中某一列的行列式：共 3 个，分别对应第 1、2、3 列拆分为全 1 列。此类行列式按全 1 列展开，值为该列的代数余子式之和，即$\sum\limits_{i=1}^3A_{i1},\sum\limits_{i=1}^3A_{i3},\sum\limits_{i=1}^3A_{i2}$ ，总和为$\sum\limits_{i,j=1}^3A_{ij}=3c$; +含两列及以上全1的行列式：等于0 +综上原式$=4c$. ### **2. 答案：$\boxed{2}$ #### **解析：** @@ -92,9 +88,14 @@ $代入 B 的特征值 \lambda=1,0,0，得 E-B 的特征值为 1-1=0，1-0=1，1 #### **解析：** -将二次型展开为矩阵形式： +记$A_i$为$A$中把除了第$i$列之外全部都换成$0$的矩阵，则将二次型展开为矩阵形式： -$$f(\boldsymbol{x})=\sum_{i=1}^{n}(A\boldsymbol{x})_i^2=(A\boldsymbol{x})^T(A\boldsymbol{x})=\boldsymbol{x}^T(A^T A)\boldsymbol{x}$$ +$$\begin{aligned} +f(\boldsymbol{x})&=\sum_{i=1}^{n}()^2\\ +&=\sum\limits_{i=1}^n((A_i\boldsymbol{x})^TA_i\boldsymbol{x})\\ +&=\boldsymbol{x}^T\sum\limits_{i=i}^{n}A_i^T\sum\limits_{i=1}^nA_i\boldsymbol{x}\\ +&=\boldsymbol{x}^T(A^T A)\boldsymbol{x} +\end{aligned}$$ • 二次型的矩阵需满足**对称性质**（即矩阵等于其转置），验证：$(A^T A)^T=A^T(A^T)^T=A^T A$，故 $A^T A$ 是对称矩阵，即为二次型的矩阵。 From 79f732d0f54f5e803e494730d490244dccfb10ff Mon Sep 17 00:00:00 2001 From: =?UTF-8?q?=E9=83=91=E5=93=B2=E8=88=AA?= Date: Tue, 13 Jan 2026 15:25:23 +0800 Subject: [PATCH 11/18] =?UTF-8?q?=E4=BF=AE=E6=94=B9=E4=BA=86=E6=96=87?= =?UTF-8?q?=E4=BB=B6=EF=BC=9A?= MIME-Version: 1.0 Content-Type: text/plain; charset=UTF-8 Content-Transfer-Encoding: 8bit --- 素材/微分中值定理.md | 218 +++++++++++++++++++++++++++++++++++ 1 file changed, 218 insertions(+) create mode 100644 素材/微分中值定理.md diff --git a/素材/微分中值定理.md b/素材/微分中值定理.md new file mode 100644 index 0000000..6304f45 --- /dev/null +++ b/素材/微分中值定理.md @@ -0,0 +1,218 @@ + +### 例1 +设 $f(x)$ 在 $[a, b]$ 上连续，在 $(a, b)$ 内可导，且 $0 < a < b$，试证存在 $\xi, \eta \in (a, b)$，使得 +$$ +f'(\xi) = \frac{a + b}{2\eta} f'(\eta). +$$ + +**解析**： +本题结论中含有两个不同的中值 $\xi$ 和 $\eta$，且涉及两个不同的函数形式。可考虑分别对 $f(x)$ 和 $g(x)=x^2$ 在 $[a,b]$ 上应用柯西中值定理： +由柯西中值定理，存在 $\eta \in (a,b)$，使得 +$$ +\frac{f(b)-f(a)}{b^2-a^2} = \frac{f'(\eta)}{2\eta} +$$ +整理得 +$$ +\frac{f(b)-f(a)}{b-a} = \frac{a+b}{2\eta} f'(\eta) +$$ +再对 $f(x)$ 在 $[a,b]$ 上应用拉格朗日中值定理，存在 $\xi \in (a,b)$，使得 +$$ +\frac{f(b)-f(a)}{b-a} = f'(\xi) +$$ +比较两式即得结论。 + +--- + +### 例2 +设函数 $f(x)$ 在 $[0,3]$ 上连续，在 $(0,3)$ 内可导，且 $f(0) + f(1) + f(2) = 3$，$f(3) = 1$，试证必存在 $\xi \in (0, 3)$，使 $f'(\xi) = 0$。 + +**解析**： +由介值定理，$f(x)$ 在 $[0,2]$ 上的平均值为 $\frac{f(0)+f(1)+f(2)}{3} = 1$，又 $f(3)=1$，由连续函数介值定理，存在 $c \in [0,2]$，使得 $f(c)=1$，则在 $[c,3]$ 上，$f(c)=f(3)=1$，由罗尔定理存在 $\xi \in (c,3) \subset (0,3)$，使 $f'(\xi)=0$。 + +--- + +### 例3 +设 $f(x)$ 在区间 $[0,1]$ 上连续，在 $(0,1)$ 内可导，且 $f(0) = f(1) = 0$，$f(1/2) = 1$，试证： +1. 存在 $\eta \in (1/2, 1)$，使得 $f(\eta) = \eta$； +2. 对任意实数 $\lambda$，必存在 $\xi \in (0, \eta)$，使得 $f'(\xi) - \lambda [f(\xi) - \xi] = 1$。 + +**解析**： +(1) 令 $g(x)=f(x)-x$，则 $g(1/2)=1-1/2=1/2>0$，$g(1)=0-1=-1<0$，由零点定理，存在 $\eta \in (1/2,1)$，使 $g(\eta)=0$，即 $f(\eta)=\eta$。 +(2) 令 $h(x)=e^{-\lambda x}[f(x)-x]$，则 $h(0)=0$，$h(\eta)=0$，由罗尔定理，存在 $\xi \in (0,\eta)$，使 $h'(\xi)=0$，即 +$$ +e^{-\lambda \xi}[f'(\xi)-1] - \lambda e^{-\lambda \xi}[f(\xi)-\xi] = 0 +$$ +整理得 $f'(\xi) - \lambda [f(\xi) - \xi] = 1$。 + +--- + +## 5.2 微分中值定理及其应用 + +### 例1 +设函数 $f(x)$ 在 $(-1,1)$ 内可微，且 +$$ +f(0) = 0, \quad |f'(x)| \leq 1, +$$ +证明：在 $(-1,1)$ 内，$|f(x)| < 1$。 + +**解析**： +对任意 $x \in (-1,1)$，由拉格朗日中值定理，存在 $\xi$ 介于 $0$ 与 $x$ 之间，使得 +$$ +f(x) - f(0) = f'(\xi)(x-0) +$$ +即 $f(x) = f'(\xi) x$。由于 $|f'(\xi)| \leq 1$，$|x| < 1$，故 $|f(x)| = |f'(\xi)| \cdot |x| < 1$。 + +--- + +### 例2 +设 $a_i \in \mathbb{R} (i = 0,1,2,\cdots,n)$，且满足 +$$ +a_0 + \frac{a_1}{2} + \frac{a_2}{3} + \cdots + \frac{a_n}{n+1} = 0， +$$ +证明：方程 $a_0 + a_1x + a_2x^2 + \cdots + a_nx^n = 0$ 在 $(0,1)$ 内至少有一个实根。 + +**解析**： +构造辅助函数 +$$ +F(x) = a_0x + \frac{a_1}{2}x^2 + \frac{a_2}{3}x^3 + \cdots + \frac{a_n}{n+1}x^{n+1} +$$ +则 $F(0)=0$，且由条件 $F(1)=0$。由罗尔定理，存在 $\xi \in (0,1)$，使 $F'(\xi)=0$，即 +$$ +a_0 + a_1\xi + a_2\xi^2 + \cdots + a_n\xi^n = 0 +$$ + +--- + +### 例3 +设函数 $f(x)$ 在 $[a,b]$ 上可导，且 +$$ +f(a) = f(b) = 0，\quad f'_+(a)f'_-(b) > 0， +$$ +试证明 $f'(x) = 0$ 在 $(a,b)$ 内至少有两个根。 + +**解析**： +由导数极限定理及 $f'_+(a)f'_-(b) > 0$，知在 $a$ 右侧和 $b$ 左侧，$f(x)$ 的符号相同，不妨设 $f'_+(a)>0$，$f'_-(b)>0$。则在 $a$ 右侧附近 $f(x)>0$，在 $b$ 左侧附近 $f(x)>0$。由于 $f(a)=f(b)=0$，由极值点的费马定理，$f(x)$ 在 $(a,b)$ 内至少有一个极大值点，该点处导数为零。又因为 $f(x)$ 在 $[a,b]$ 上连续，在 $(a,b)$ 内可导，且 $f(a)=f(b)$，由罗尔定理至少存在一点 $c \in (a,b)$ 使 $f'(c)=0$。结合极大值点处的导数零点，可知至少有两个导数为零的点。 + +--- + +### 例4 +设 $f(x)$ 在 $[a, b]$ 上连续，在 $(a, b)$ 内二阶可导，又若 $f(x)$ 的图形与联结 $A(a, f(a))$，$B(b, f(b))$ 两点的弦交于点 $C(c, f(c))$ ($a \leq c \leq b$)，证明在 $(a, b)$ 内至少存在一点 $\xi$，使得 $f''(\xi) = 0$。 + +**解析**： +弦 $AB$ 的方程为 +$$ +y = f(a) + \frac{f(b)-f(a)}{b-a}(x-a) +$$ +由条件，$f(c) = f(a) + \frac{f(b)-f(a)}{b-a}(c-a)$。分别对 $f(x)$ 在 $[a,c]$ 和 $[c,b]$ 上应用拉格朗日中值定理，存在 $\xi_1 \in (a,c)$，$\xi_2 \in (c,b)$，使得 +$$ +f'(\xi_1) = \frac{f(c)-f(a)}{c-a} = \frac{f(b)-f(a)}{b-a} +$$ +$$ +f'(\xi_2) = \frac{f(b)-f(c)}{b-c} = \frac{f(b)-f(a)}{b-a} +$$ +故 $f'(\xi_1)=f'(\xi_2)$。再对 $f'(x)$ 在 $[\xi_1,\xi_2]$ 上应用罗尔定理，存在 $\xi \in (\xi_1,\xi_2) \subset (a,b)$，使 $f''(\xi)=0$。 + +--- + +### 例5（柯西中值定理例） +试证至少存在一点 $\xi \in (1, e)$，使 $\sin 1 = \cos \ln \xi$。 + +**解析**： +考虑函数 $f(x)=\sin(\ln x)$，$g(x)=\ln x$，在 $[1,e]$ 上应用柯西中值定理： +存在 $\xi \in (1,e)$，使得 +$$ +\frac{f(e)-f(1)}{g(e)-g(1)} = \frac{f'(\xi)}{g'(\xi)} +$$ +计算得 $f(e)=\sin 1$，$f(1)=0$，$g(e)=1$，$g(1)=0$，$f'(x)=\frac{\cos(\ln x)}{x}$，$g'(x)=\frac{1}{x}$，代入得 +$$ +\frac{\sin 1 - 0}{1-0} = \frac{\cos(\ln \xi)/\xi}{1/\xi} = \cos(\ln \xi) +$$ +即 $\sin 1 = \cos(\ln \xi)$。 + +--- + +## 练习 + +### Ex3 +设 $f(x)$ 在 $(a, b)$ 内可导，且 $f'(x) \neq 1$。试证明 $f(x)$ 在 $(a, b)$ 内至多只有一个不动点，即方程 $f(x) = x$ 在 $(a, b)$ 内至多只有一个实根。 + +**解析**： +反证法。假设存在两个不动点 $x_1 < x_2$，即 $f(x_1)=x_1$，$f(x_2)=x_2$。由拉格朗日中值定理，存在 $\xi \in (x_1,x_2)$，使得 +$$ +f'(\xi) = \frac{f(x_2)-f(x_1)}{x_2-x_1} = \frac{x_2-x_1}{x_2-x_1} = 1 +$$ +与 $f'(x) \neq 1$ 矛盾。故至多只有一个不动点。 + +--- + +### Ex4 +设 $f(x)$ 在 $[0, 1]$ 上具有二阶导数，且满足 +$$ +f(0) = 0, \, f(1) = 1, \, f\left(\frac{1}{2}\right) > \frac{1}{4} +$$ +证明： +1. 至少存在一点 $\xi \in (0, 1)$，使得 $f''(\xi) < 2$； +2. 若对一切 $x \in (0, 1)$，有 $f''(x) \neq 2$，则当 $x \in (0, 1)$ 时，恒有 $f(x) > x^2$。 + +**解析**： +(1) 考虑函数 $g(x)=f(x)-x^2$，则 $g(0)=0$，$g(1)=0$，$g(1/2)=f(1/2)-1/4>0$。由极值点的费马定理，$g(x)$ 在 $(0,1)$ 内存在极大值点 $\eta$，且 $g'(\eta)=0$，$g''(\eta) \leq 0$。即 $f'(\eta)=2\eta$，$f''(\eta) \leq 2$。若 $f''(\eta) < 2$，则取 $\xi=\eta$ 即可；若 $f''(\eta)=2$，则考虑在 $\eta$ 两侧应用拉格朗日中值定理，可找到另一个点 $\xi$ 使得 $f''(\xi)<2$。 +(2) 用反证法。假设存在 $x_0 \in (0,1)$ 使 $f(x_0) \leq x_0^2$，结合 $f(0)=0$，$f(1)=1$ 和 $f(1/2)>1/4$，利用连续性及中值定理可推出存在 $\xi$ 使 $f''(\xi)=2$，矛盾。 + +--- + +### Ex5 +若 $f(x)$ 可导，试证在其两个零点间一定有 $f(x) + f'(x)$ 的零点。 + +**解析**： +设 $a0$)，得 $nf(\xi) + \xi f'(\xi) = 0$。 + +--- + +### Ex7 +设 $f''(x) < 0$，$f(0) = 0$，证明对任意 $x_1 > 0, x_2 > 0$ 有 +$$ +f(x_1 + x_2) < f(x_1) + f(x_2) +$$ + +**解析**： +不妨设 $0 < x_1 < x_2$。由拉格朗日中值定理： +$$ +f(x_1+x_2)-f(x_2) = f'(\xi_1)x_1, \quad \xi_1 \in (x_2, x_1+x_2) +$$ +$$ +f(x_1)-f(0) = f'(\xi_2)x_1, \quad \xi_2 \in (0, x_1) +$$ +于是 +$$ +f(x_1+x_2)-f(x_2)-f(x_1) = [f'(\xi_1)-f'(\xi_2)]x_1 +$$ +对 $f'(x)$ 在 $[\xi_2,\xi_1]$ 上应用中值定理，存在 $\xi \in (\xi_2,\xi_1)$，使 +$$ +f'(\xi_1)-f'(\xi_2) = f''(\xi)(\xi_1-\xi_2) < 0 +$$ +故 $f(x_1+x_2)-f(x_2)-f(x_1) < 0$，即 $f(x_1+x_2) < f(x_1)+f(x_2)$。 + +--- + +## 解题方法总结 +1. **含一个中值的等式或根的存在**：多用罗尔定理，可用原函数法找辅助函数。 +2. **结论涉及含中值的两个不同函数**：可考虑用柯西中值定理。 +3. **结论中含两个或两个以上的中值**：必须多次应用中值定理。 +4. **已知条件中含高阶导数**：多考虑用泰勒公式，有时也可考虑对导数用中值定理。 +5. **结论为不等式**：要注意适当放大或缩小的技巧。 \ No newline at end of file From 18c628a6f5a980b32a013c6c1a08e9ed0a9d644b Mon Sep 17 00:00:00 2001 From: unknown <18951088369@163.com> Date: Tue, 13 Jan 2026 15:32:55 +0800 Subject: [PATCH 12/18] vault backup: 2026-01-13 15:32:55 --- .../试卷/线代期末复习模拟/1.14线代测试答案.md | 2 +- 1 file changed, 1 insertion(+), 1 deletion(-) diff --git a/编写小组/试卷/线代期末复习模拟/1.14线代测试答案.md b/编写小组/试卷/线代期末复习模拟/1.14线代测试答案.md index 6afd7b5..d9519dd 100644 --- a/编写小组/试卷/线代期末复习模拟/1.14线代测试答案.md +++ b/编写小组/试卷/线代期末复习模拟/1.14线代测试答案.md @@ -212,7 +212,7 @@ $$F_k=\frac{1}{\sqrt{5}}\left[\left(\frac{1+\sqrt{5}}{2}\right)^k-\left(\frac{1- 对比初始条件：$D_1=1=F_2，D_2=2=F_3$，故 $D_n=F_{n+1}$（斐波那契数列的第 $n+1$ 项）。 -将$ F_{n+1} 代入比内公式$，得： +将$F_{n+1}$代入比内公式，得： $$D_n=\frac{1}{\sqrt{5}}\left[\left(\frac{1+\sqrt{5}}{2}\right)^{n+1}-\left(\frac{1-\sqrt{5}}{2}\right)^{n+1}\right]$$ From 393b740fa0e694538356521cbc4d238058d2be19 Mon Sep 17 00:00:00 2001 From: =?UTF-8?q?=E7=8E=8B=E8=BD=B2=E6=A5=A0?= Date: Tue, 13 Jan 2026 15:42:38 +0800 Subject: [PATCH 13/18] vault backup: 2026-01-13 15:42:38 --- .../试卷/线代期末复习模拟/1.14线代测试答案.md | 2 +- 1 file changed, 1 insertion(+), 1 deletion(-) diff --git a/编写小组/试卷/线代期末复习模拟/1.14线代测试答案.md b/编写小组/试卷/线代期末复习模拟/1.14线代测试答案.md index 6afd7b5..ac44c30 100644 --- a/编写小组/试卷/线代期末复习模拟/1.14线代测试答案.md +++ b/编写小组/试卷/线代期末复习模拟/1.14线代测试答案.md @@ -212,7 +212,7 @@ $$F_k=\frac{1}{\sqrt{5}}\left[\left(\frac{1+\sqrt{5}}{2}\right)^k-\left(\frac{1- 对比初始条件：$D_1=1=F_2，D_2=2=F_3$，故 $D_n=F_{n+1}$（斐波那契数列的第 $n+1$ 项）。 -将$ F_{n+1} 代入比内公式$，得： +将$F_{n+1} 代入比内公式$，得： $$D_n=\frac{1}{\sqrt{5}}\left[\left(\frac{1+\sqrt{5}}{2}\right)^{n+1}-\left(\frac{1-\sqrt{5}}{2}\right)^{n+1}\right]$$ From 95f6b4a8ba248266f33d88e2935e0be8a5fa1951 Mon Sep 17 00:00:00 2001 From: =?UTF-8?q?=E7=8E=8B=E8=BD=B2=E6=A5=A0?= Date: Tue, 13 Jan 2026 16:50:30 +0800 Subject: [PATCH 14/18] vault backup: 2026-01-13 16:50:30 --- .../1.14线代测试答案.md | 52 ++++++++++--------- 1 file changed, 28 insertions(+), 24 deletions(-) diff --git a/编写小组/试卷/线代期末复习模拟/1.14线代测试答案.md b/编写小组/试卷/线代期末复习模拟/1.14线代测试答案.md index d9519dd..189ee67 100644 --- a/编写小组/试卷/线代期末复习模拟/1.14线代测试答案.md +++ b/编写小组/试卷/线代期末复习模拟/1.14线代测试答案.md @@ -4,7 +4,7 @@ ### **1.** -已知三阶行列式 $\begin{vmatrix}a_{11}&a_{12}&a_{13}\\a_{21}&a_{22}&a_{23}\\a_{31}&a_{32}&a_{33}\end{vmatrix}=c$，代数余子式之和 $\sum\limits_{i=1}^{3}\sum\limits_{j=1}^{3}A_{ij}=3c$，则行列式 $\begin{vmatrix}a_{11}+1&a_{12}+1&a_{13}+1\\a_{21}+1&a_{22}+1&a_{23}+1\\a_{31}+1&a_{32}+1&a_{33}+1\end{vmatrix}=$？ +已知三阶行列式 $\begin{vmatrix}a_{11}&a_{12}&a_{13}\\a_{21}&a_{22}&a_{23}\\a_{31}&a_{32}&a_{33}\end{vmatrix}=c$，代数余子式之和 $\sum_{i=1}^{3}\sum_{j=1}^{3}A_{ij}=3c$，则行列式 $\begin{vmatrix}a_{11}+1&a_{12}+1&a_{13}+1\\a_{21}+1&a_{22}+1&a_{23}+1\\a_{31}+1&a_{32}+1&a_{33}+1\end{vmatrix}=$？ ### **2.（2013 秋 A）** @@ -54,10 +54,14 @@ $$D_n=\begin{vmatrix}1&1&0&\cdots&0&0\\-1&1&1&\cdots&0&0\\0&-1&1&\cdots&0&0\\\vd ### 1. 答案：$\boxed{4c}$ #### **解析：** -没有全1的行列式：即$|A|=c$； -仅 1 列是全 1、其余为$A$中某一列的行列式：共 3 个，分别对应第 1、2、3 列拆分为全 1 列。此类行列式按全 1 列展开，值为该列的代数余子式之和，即$\sum\limits_{i=1}^3A_{i1},\sum\limits_{i=1}^3A_{i3},\sum\limits_{i=1}^3A_{i2}$ ，总和为$\sum\limits_{i,j=1}^3A_{ij}=3c$; -含两列及以上全1的行列式：等于0 -综上原式$=4c$. + +$设原矩阵为 A（即 |A|=c），全 1 矩阵 J=\boldsymbol{e}\boldsymbol{e}^T（其中 \boldsymbol{e}=(1,1,1)^T），需求解的行列式为 |A+J|。$ +由代数余子式性质：$\sum_{i,j}A_{ij}=\boldsymbol{e}^T A^*\boldsymbol{e}=3c$，且可逆矩阵的伴随矩阵满足$A^*=|A|A^{-1}=cA^{-1}$（因 $|A|=c\neq0，A$ 可逆），代入得 $\boldsymbol{e}^T A^{-1}\boldsymbol{e}=3$。 + +利用**Sherman-Morrison 行列式公式**：对可逆矩阵$A$ 和向量 $\boldsymbol{u},\boldsymbol{v}$，有 $|A+\boldsymbol{u}\boldsymbol{v}^T|=|A|(1+\boldsymbol{v}^T A^{-1}\boldsymbol{u})$。 + +此处 $\boldsymbol{u}=\boldsymbol{v}=\boldsymbol{e}$，代入得 $|A+J|=c(1+\boldsymbol{e}^T A^{-1}\boldsymbol{e})=c(1+3)=4c$。 + ### **2. 答案：$\boxed{2}$ #### **解析：** @@ -88,14 +92,16 @@ $代入 B 的特征值 \lambda=1,0,0，得 E-B 的特征值为 1-1=0，1-0=1，1 #### **解析：** -记$A_i$为$A$中把除了第$i$列之外全部都换成$0$的矩阵，则将二次型展开为矩阵形式： +记$A_i$为$A$中除了第$i$行全都改为$0$的矩阵，$\boldsymbol{x}=\begin{bmatrix}x_1&x_2&\cdots&x_n\end{bmatrix}^T$。那么$$A_i\boldsymbol{x}=\begin{bmatrix}0 & 0 & \cdots & 0\\\vdots & \vdots & &\vdots\\a_{i1} & a_{i2} & \cdots &a_{in}\\\vdots & \vdots & &\vdots\\0 & 0 & \cdots & 0\end{bmatrix}\begin{bmatrix}x_1\\x_2\\\vdots\\x_n\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}0\\0\\\vdots\\\sum\limits_{j=1}^{n}a_{ij}x_j\\\vdots\\0\end{bmatrix}$$则$$(a_{i1}x_1+a_{i2}x_2+\cdots+a_{in}x_n)^2=(\sum\limits_{j=1}^{n}a_{ij}x_j)^2=(A_i\boldsymbol{x})^TA_i\boldsymbol{x}=\boldsymbol{x}^TA_i^TA_i\boldsymbol{x}$$将二次型用上式展开得： $$\begin{aligned} -f(\boldsymbol{x})&=\sum_{i=1}^{n}()^2\\ -&=\sum\limits_{i=1}^n((A_i\boldsymbol{x})^TA_i\boldsymbol{x})\\ -&=\boldsymbol{x}^T\sum\limits_{i=i}^{n}A_i^T\sum\limits_{i=1}^nA_i\boldsymbol{x}\\ +f(\boldsymbol{x})&=\sum_{i=1}^{n}(\boldsymbol{x}^TA_i^TA_i\boldsymbol{x})\\ +&=\boldsymbol{x}^T(\sum\limits_{i=1}^nA_i^TA_i)\boldsymbol{x}\\ +&=\boldsymbol{x}^T(\sum\limits_{i=1}^nA_i^T\sum\limits_{i=1}^nA_i)\boldsymbol{x}\\ &=\boldsymbol{x}^T(A^T A)\boldsymbol{x} \end{aligned}$$ +其中因为$A_i^TA_j=\boldsymbol{0},$如果$i\neq j$，所以 +$$\sum\limits_{i=1}^nA_i^T\sum\limits_{i=1}^nA_i=\sum\limits_{i=1}^nA_i^TA_i$$ • 二次型的矩阵需满足**对称性质**（即矩阵等于其转置），验证：$(A^T A)^T=A^T(A^T)^T=A^T A$，故 $A^T A$ 是对称矩阵，即为二次型的矩阵。 @@ -184,7 +190,7 @@ $$ ### **9. 证明：$D_n=\frac{1}{\sqrt{5}}\left[\left(\frac{1+\sqrt{5}}{2}\right)^{n+1}-\left(\frac{1-\sqrt{5}}{2}\right)^{n+1}\right]$** -#### **步骤 1：建立递推公式** + **步骤 1：建立递推公式** 对 $D_n$ 按**第一行展开**（第一行元素为 $a_{11}=1,a_{12}=1$，其余 $a_{1j}=0$）： @@ -198,22 +204,20 @@ $D_n=a_{11}\times(-1)^{1+1}M_{11}+a_{12}\times(-1)^{1+2}M_{12}$ $$D_n=D_{n-1}+D_{n-2}$$ -#### **步骤 2：确定初始条件** + **步骤 2：确定初始条件** • 当 $n=1$ 时，$D_1=\begin{vmatrix}1\end{vmatrix}=1$； • 当 n=2 时，$D_2=\begin{vmatrix}1&1\\-1&1\end{vmatrix}=1\times1-1\times(-1)=2$。 +容易证明$n=1,n=2$时满足要证的式子 -#### **步骤 3：求解递推关系** - -递推公式 $D_n=D_{n-1}+D_{n-2}$ 是**斐波那契数列的变形**，斐波那契数列的通项公式（比内公式）为： - -$$F_k=\frac{1}{\sqrt{5}}\left[\left(\frac{1+\sqrt{5}}{2}\right)^k-\left(\frac{1-\sqrt{5}}{2}\right)^k\right]$$ - -对比初始条件：$D_1=1=F_2，D_2=2=F_3$，故 $D_n=F_{n+1}$（斐波那契数列的第 $n+1$ 项）。 - -将$F_{n+1}$代入比内公式，得： - -$$D_n=\frac{1}{\sqrt{5}}\left[\left(\frac{1+\sqrt{5}}{2}\right)^{n+1}-\left(\frac{1-\sqrt{5}}{2}\right)^{n+1}\right]$$ - -证毕。 \ No newline at end of file +**步骤3：运用数学归纳法** +假设当$n\le k$时，有$D_n=\frac{1}{\sqrt{5}}\left[\left(\frac{1+\sqrt{5}}{2}\right)^{n+1}-\left(\frac{1-\sqrt{5}}{2}\right)^{n+1}\right]$。当$n=k+1$时，有$$ +\begin{aligned} +D_{k+1}&=D_k+D_{k-1}\\ +&=\frac{1}{\sqrt{5}}((\frac{1+\sqrt{5}}{2})^{k+1}-(\frac{1-\sqrt{5}}{2})^{k+1}+(\frac{1+\sqrt{5}}{2})^k-(\frac{1-\sqrt{5}}{2})^k)\\ +&=\frac{1}{\sqrt{5}}((\frac{1+\sqrt{5}}{2})^{k}(\frac{3+\sqrt{5}}{2})-(\frac{1-\sqrt{5}}{2})^{k}(\frac{1-\sqrt{5}}{2}))\\ +&=\frac{1}{\sqrt{5}}((\frac{1+\sqrt{5}}{2})^{k}(\frac{1+\sqrt{5}}{2})^2-(\frac{1-\sqrt{5}}{2})^{k}(\frac{1-\sqrt{5}}{2})^2)\\ +&=\frac{1}{\sqrt{5}}((\frac{1+\sqrt{5}}{2})^{k+2}-(\frac{1-\sqrt{5}}{2})^{k+2}) +\end{aligned} +$$满足条件，故由数学归纳法知，$\forall{n}\in\mathbb{N}_+,D_n=\frac{1}{\sqrt{5}}\left[\left(\frac{1+\sqrt{5}}{2}\right)^{n+1}-\left(\frac{1-\sqrt{5}}{2}\right)^{n+1}\right]$. \ No newline at end of file From 5887a7b71bf828fe5f32d85338d6e9b475c91ba9 Mon Sep 17 00:00:00 2001 From: =?UTF-8?q?=E7=8E=8B=E8=BD=B2=E6=A5=A0?= Date: Tue, 13 Jan 2026 17:12:22 +0800 Subject: [PATCH 15/18] =?UTF-8?q?=E5=A2=9E=E5=8A=A0=E4=BA=86=E6=9C=89?= =?UTF-8?q?=E5=85=B3=E7=89=B9=E5=BE=81=E5=80=BC=E7=9A=84=E7=B4=A0=E6=9D=90?= MIME-Version: 1.0 Content-Type: text/plain; charset=UTF-8 Content-Transfer-Encoding: 8bit --- 素材/特征值.md | 31 +++++++++++++++++++++++++++++++ 1 file changed, 31 insertions(+) create mode 100644 素材/特征值.md diff --git a/素材/特征值.md b/素材/特征值.md new file mode 100644 index 0000000..35ccf38 --- /dev/null +++ b/素材/特征值.md @@ -0,0 +1,31 @@ +>[!note] 定理 +>秩为$1$的矩阵$A\in\mathbb{R}^{n\times n}$的特征值有如下特征：（1）$0$为其特征值，且代数重数和几何重数均为$n-1$；（2）它的另一个特征值为$\mathrm{tr}(A)$. + +**证明：** +根据迹的定义，只需要证明（1）。 +因为$r(A)=1[!example] 例1 +>设 $E$ 为 $3$ 阶单位矩阵，$\alpha$ 为一个 $3$ 维单位列向量，则矩阵 $E-\alpha\alpha^T$ 的全部 $3$ 个特征值为$\underline{\qquad}$。 + +**解：** +设 $B=\alpha\alpha^T$，该矩阵为**秩 $1$ 矩阵**（因 $\alpha$ 是单位列向量，$\alpha^T\alpha=1$）。 + +• 秩 $1$ 矩阵的特征值性质：非零特征值为矩阵的迹 $\text{tr}(B)=\alpha^T\alpha=1$，其余 $n-1=2$ 个特征值为 $0$（秩 $1$ 矩阵的非零特征值个数等于秩）。 + +• 若 $B\boldsymbol{x}=\lambda\boldsymbol{x}$（$\boldsymbol{x}$为特征向量），则 $(E-B)\boldsymbol{x}=(1-\lambda)\boldsymbol{x}$，即$E-B$ 的特征值为 $1-\lambda$。 + +$代入 B 的特征值 \lambda=1,0,0，得 E-B 的特征值为 1-1=0，1-0=1，1-0=1，即 1,1,0$。 + +>[!example] 例2 +>已知 $n(n\geq2)$维列向量 $\alpha,\beta$ 满足 $\beta^T\alpha=-3$，则方阵 $(\beta\alpha^T)^2$ 的非零特征值为$\underline{\qquad}$。 + +**解：** +设 $A=\beta\alpha^T$（秩 1 矩阵），计算 $A^2$： + +$A^2=(\beta\alpha^T)(\beta\alpha^T)=\beta(\alpha^T\beta)\alpha^T=(\alpha^T\beta)A$ + +• 注意：$\alpha^T\beta=(\beta^T\alpha)^T$（矩阵转置性质），而 $\beta^T\alpha=-3$（数，转置等于自身），故 $\alpha^T\beta=-3$，因此 $A^2=-3A$。 + +• 秩 $1$ 矩阵 $A$ 的非零特征值为 $\text{tr}(A)=\alpha^T\beta=-3$，设 $A\boldsymbol{x}=-3\boldsymbol{x}$，则 $A^2\boldsymbol{x}=(-3)A\boldsymbol{x}=(-3)^2\boldsymbol{x}=9\boldsymbol{x}$，即 $A^2$ 的非零特征值为 $9$。 \ No newline at end of file From 2a5fc288a9b92c753100b9bf963519b4a208dc47 Mon Sep 17 00:00:00 2001 From: =?UTF-8?q?=E7=8E=8B=E8=BD=B2=E6=A5=A0?= Date: Tue, 13 Jan 2026 17:15:12 +0800 Subject: [PATCH 16/18] =?UTF-8?q?=E4=BF=AE=E6=94=B9=E4=BA=86=E5=90=8D?= =?UTF-8?q?=E5=AD=97=E4=B8=AD=E7=9A=84=E6=97=A5=E6=9C=9F?= MIME-Version: 1.0 Content-Type: text/plain; charset=UTF-8 Content-Transfer-Encoding: 8bit --- .../1.13线代测试答案.md | 223 ++++++++++++++++++ .../1.13线代限时练.md | 66 ++++++ 2 files changed, 289 insertions(+) create mode 100644 编写小组/试卷/线代期末复习模拟/1.13线代测试答案.md create mode 100644 编写小组/试卷/线代期末复习模拟/1.13线代限时练.md diff --git a/编写小组/试卷/线代期末复习模拟/1.13线代测试答案.md b/编写小组/试卷/线代期末复习模拟/1.13线代测试答案.md new file mode 100644 index 0000000..4f0ed9d --- /dev/null +++ b/编写小组/试卷/线代期末复习模拟/1.13线代测试答案.md @@ -0,0 +1,223 @@ +# **1.13 线性代数限时练（题目 + 答案与解析）** + +## **第一部分：题目** + +### **1.** + +已知三阶行列式 $\begin{vmatrix}a_{11}&a_{12}&a_{13}\\a_{21}&a_{22}&a_{23}\\a_{31}&a_{32}&a_{33}\end{vmatrix}=c$，代数余子式之和 $\sum_{i=1}^{3}\sum_{j=1}^{3}A_{ij}=3c$，则行列式 $\begin{vmatrix}a_{11}+1&a_{12}+1&a_{13}+1\\a_{21}+1&a_{22}+1&a_{23}+1\\a_{31}+1&a_{32}+1&a_{33}+1\end{vmatrix}=$？ + +### **2.（2013 秋 A）** + +$已知向量空间 V=\{(2a,2b,3b,3a)\mid a,b\in\mathbb{R}\}，则 V 的维数是\underline{\qquad}。$ + +### **3.（2018 秋 A）** + +$设 E 为 3 阶单位矩阵，\alpha 为一个 3 维单位列向量，则矩阵 E-\alpha\alpha^T 的全部 3 个特征值为\underline{\qquad}。$ + +### **4.（2018 秋 A）** + +$设 n 阶矩阵 A=[a_{ij}]_{n\times n}，则二次型 f(x_1,x_2,\cdots,x_n)=\sum\limits_{i=1}^{n}(a_{i1}x_1+a_{i2}x_2+\cdots+a_{in}x_n)^2 的矩阵为\underline{\qquad}。$ +### **5.（2018 秋 A）** + +$若 n 阶实对称矩阵 A 的特征值为 \lambda_i=(-1)^i（i=1,2,\cdots,n），则 A^{100}=\underline{\qquad}。$ + +### **6.（2022 秋 A・5）** + +$已知 n（n\geq2）维列向量 \alpha,\beta 满足 \beta^T\alpha=-3，则方阵 (\beta\alpha^T)^2 的非零特征值为\underline{\qquad}。$ + +### **7.（2022 秋 A）** + +$已知向量组 \alpha_1,\alpha_2,\alpha_3 线性无关（\alpha_1,\alpha_2,\alpha_3\in\mathbb{R}^3），A 为 3 阶方阵，且满足：$ + +$$\begin{aligned} +A\alpha_1&=2\alpha_1-\alpha_2-\alpha_3,\\A\alpha_2&=\alpha_1+2\alpha_2+3\alpha_3,\\A\alpha_3&=2\alpha_1+4\alpha_2+\alpha_3 +\end{aligned} +$$ +(1) $证明 A\alpha_1,A\alpha_2,A\alpha_3 线性无关$； + +(2) $计算行列式 |E-A|（E 是 3 阶单位矩阵）$。 + +### **8.（2013 秋 A）** + +$求 n 阶方阵 A=\begin{bmatrix}1&1&1&\cdots&1\\1&0&1&\cdots&1\\1&1&0&\cdots&1\\\vdots&\vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\1&1&1&\cdots&0\end{bmatrix} 的逆矩阵。$ + +### **9.（2013 秋 A・三）** + +设 n 阶行列式： + +$$D_n=\begin{vmatrix}1&1&0&\cdots&0&0\\-1&1&1&\cdots&0&0\\0&-1&1&\cdots&0&0\\\vdots&\vdots&\vdots&\ddots&\vdots&\vdots\\0&0&0&\cdots&1&1\\0&0&0&\cdots&-1&1\end{vmatrix}$$ + +证明：$D_n=\frac{1}{\sqrt{5}}\left[\left(\frac{1+\sqrt{5}}{2}\right)^{n+1}-\left(\frac{1-\sqrt{5}}{2}\right)^{n+1}\right]$。 + +## **第二部分：答案与解析** + +### 1. 答案：$\boxed{4c}$ + +#### **解析：** + +$设原矩阵为 A（即 |A|=c），全 1 矩阵 J=\boldsymbol{e}\boldsymbol{e}^T（其中 \boldsymbol{e}=(1,1,1)^T），需求解的行列式为 |A+J|。$ +由代数余子式性质：$\sum_{i,j}A_{ij}=\boldsymbol{e}^T A^*\boldsymbol{e}=3c$，且可逆矩阵的伴随矩阵满足$A^*=|A|A^{-1}=cA^{-1}$（因 $|A|=c\neq0，A$ 可逆），代入得 $\boldsymbol{e}^T A^{-1}\boldsymbol{e}=3$。 + +利用**Sherman-Morrison 行列式公式**：对可逆矩阵$A$ 和向量 $\boldsymbol{u},\boldsymbol{v}$，有 $|A+\boldsymbol{u}\boldsymbol{v}^T|=|A|(1+\boldsymbol{v}^T A^{-1}\boldsymbol{u})$。 + +此处 $\boldsymbol{u}=\boldsymbol{v}=\boldsymbol{e}$，代入得 $|A+J|=c(1+\boldsymbol{e}^T A^{-1}\boldsymbol{e})=c(1+3)=4c$。 + +### **2. 答案：$\boxed{2}$ + +#### **解析：** + +将向量空间 V 中的元素拆分为线性组合形式： + +$$(2a,2b,3b,3a)=a(2,0,0,3)+b(0,2,3,0)$$ + +设 $\boldsymbol{\alpha}=(2,0,0,3)，\boldsymbol{\beta}=(0,2,3,0)$，需验证 $\boldsymbol{\alpha},\boldsymbol{\beta}$ 线性无关： + +若 $k_1\boldsymbol{\alpha}+k_2\boldsymbol{\beta}=\boldsymbol{0}$（零向量），则 $\begin{cases}2k_1=0\\2k_2=0\\3k_2=0\\3k_1=0\end{cases}$，解得 $k_1=k_2=0$，故 $\boldsymbol{\alpha},\boldsymbol{\beta}$是 V 的一组基。 + +向量空间的维数等于基的个数，因此 $V$ 的维数为 $2$。 + +### **3. 答案：$\boxed{1,1,0}$ + +#### **解析：** + +设 $B=\alpha\alpha^T$，该矩阵为**秩 $1$ 矩阵**（因 $\alpha$ 是单位列向量，$\alpha^T\alpha=1$）。 + +• 秩 $1$ 矩阵的特征值性质：非零特征值为矩阵的迹 $\text{tr}(B)=\alpha^T\alpha=1$，其余 $n-1=2$ 个特征值为 $0$（秩 $1$ 矩阵的非零特征值个数等于秩）。 + +• 若 $B\boldsymbol{x}=\lambda\boldsymbol{x}$（$\boldsymbol{x}$为特征向量），则 $(E-B)\boldsymbol{x}=(1-\lambda)\boldsymbol{x}$，即$E-B$ 的特征值为 $1-\lambda$。 + +$代入 B 的特征值 \lambda=1,0,0，得 E-B 的特征值为 1-1=0，1-0=1，1-0=1，即 1,1,0$。 + +### **4. 答案：$\boxed{A^T A}$** + +#### **解析：** + +记$A_i$为$A$中除了第$i$行全都改为$0$的矩阵，$\boldsymbol{x}=\begin{bmatrix}x_1&x_2&\cdots&x_n\end{bmatrix}^T$。那么$$A_i\boldsymbol{x}=\begin{bmatrix}0 & 0 & \cdots & 0\\\vdots & \vdots & &\vdots\\a_{i1} & a_{i2} & \cdots &a_{in}\\\vdots & \vdots & &\vdots\\0 & 0 & \cdots & 0\end{bmatrix}\begin{bmatrix}x_1\\x_2\\\vdots\\x_n\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}0\\0\\\vdots\\\sum\limits_{j=1}^{n}a_{ij}x_j\\\vdots\\0\end{bmatrix}$$则$$(a_{i1}x_1+a_{i2}x_2+\cdots+a_{in}x_n)^2=(\sum\limits_{j=1}^{n}a_{ij}x_j)^2=(A_i\boldsymbol{x})^TA_i\boldsymbol{x}=\boldsymbol{x}^TA_i^TA_i\boldsymbol{x}$$将二次型用上式展开得： + +$$\begin{aligned} +f(\boldsymbol{x})&=\sum_{i=1}^{n}(\boldsymbol{x}^TA_i^TA_i\boldsymbol{x})\\ +&=\boldsymbol{x}^T(\sum\limits_{i=1}^nA_i^TA_i)\boldsymbol{x}\\ +&=\boldsymbol{x}^T(\sum\limits_{i=1}^nA_i^T\sum\limits_{i=1}^nA_i)\boldsymbol{x}\\ +&=\boldsymbol{x}^T(A^T A)\boldsymbol{x} +\end{aligned}$$ +其中因为$A_i^TA_j=\boldsymbol{0},$如果$i\neq j$，所以 +$$\sum\limits_{i=1}^nA_i^T\sum\limits_{i=1}^nA_i=\sum\limits_{i=1}^nA_i^TA_i$$ + +• 二次型的矩阵需满足**对称性质**（即矩阵等于其转置），验证：$(A^T A)^T=A^T(A^T)^T=A^T A$，故 $A^T A$ 是对称矩阵，即为二次型的矩阵。 + +### **5. 答案：$\boxed{E}$（单位矩阵）** + +#### **解析：** + +实对称矩阵可对角化，即存在可逆矩阵 P，使得 $P^{-1}AP=\Lambda$（$\Lambda$ 为对角矩阵，对角元为 A 的特征值 $\lambda_i=(-1)^i$）。 + +• 矩阵幂运算性质：$A^{100}=P\Lambda^{100}P^{-1}$。 + +• 计算 $\Lambda^{100}$：对角元为 $\lambda_i^{100}=[(-1)^i]^{100}=1$，故 $\Lambda^{100}=E$（单位矩阵）。 + +• 因此 $A^{100}=P E P^{-1}=P P^{-1}=E$。 + +### **6. 答案：$\boxed{9}$** + +#### **解析：** + +设 $A=\beta\alpha^T$（秩 1 矩阵），计算 $A^2$： + +$A^2=(\beta\alpha^T)(\beta\alpha^T)=\beta(\alpha^T\beta)\alpha^T=(\alpha^T\beta)A$ + +• 注意：$\alpha^T\beta=(\beta^T\alpha)^T$（矩阵转置性质），而 $\beta^T\alpha=-3$（数，转置等于自身），故 $\alpha^T\beta=-3$，因此 $A^2=-3A$。 + +• 秩 $1$ 矩阵 $A$ 的非零特征值为 $\text{tr}(A)=\alpha^T\beta=-3$，设 $A\boldsymbol{x}=-3\boldsymbol{x}$，则 $A^2\boldsymbol{x}=(-3)A\boldsymbol{x}=(-3)^2\boldsymbol{x}=9\boldsymbol{x}$，即 $A^2$ 的非零特征值为 $9$。 + +### **7. 答案：(1) 证明见解析；(2) $\boxed{20}$** + +#### **(1) 证明 $A\alpha_1,A\alpha_2,A\alpha_3$ 线性无关** + +因 $\alpha_1,\alpha_2,\alpha_3$ 线性无关，故矩阵 $P=(\alpha_1,\alpha_2,\alpha_3)$ 可逆（列向量线性无关的矩阵可逆）。 + +由题设条件，将 $A$ 对 $\alpha_1,\alpha_2,\alpha_3$ 的作用表示为矩阵乘法： + +$$A(\alpha_1,\alpha_2,\alpha_3)=(\alpha_1,\alpha_2,\alpha_3)\begin{bmatrix}2&1&2\\-1&2&4\\-1&3&1\end{bmatrix}=P C$$ + +其中 $C=\begin{bmatrix}2&1&2\\-1&2&4\\-1&3&1\end{bmatrix}$，计算 $|C|$： + +$$\begin{aligned} +|C|&=2\times(2\times1-4\times3)-1\times(-1\times1-4\times(-1))+2\times(-1\times3-2\times(-1))\\ +&=2\times(-10)-1\times3+2\times(-1)\\ +&=-25\neq0 +\end{aligned} +$$ + +• 因 $|C|\neq0$，故 $C$ 可逆，$\text{rank}(C)=3$。 + +• 又 $P$ 可逆，故 $\text{rank}(A\alpha_1,A\alpha_2,A\alpha_3)=\text{rank}(P C)=\text{rank}(C)=3$，即 $A\alpha_1,A\alpha_2,A\alpha_3$ 线性无关。 + +#### **(2) 计算 $|E-A|$** + +由 (1) 知$P^{-1}AP=C（A 与 C 相似）$，则 $E-A$ 与 $E-C$ 相似（相似矩阵的 “单位矩阵减矩阵” 仍相似），而**相似矩阵的行列式相等**，故 $|E-A|=|E-C|$。 + +计算 $E-C$： + +$$E-C=\begin{bmatrix}1-2&0-1&0-2\\0-(-1)&1-2&0-4\\0-(-1)&0-3&1-1\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}-1&-1&-2\\1&-1&-4\\1&-3&0\end{bmatrix}$$ + +按第三行展开计算行列式： + +$$ +\begin{aligned} +|E-C|&=1\times\begin{vmatrix}-1&-2\\-1&-4\end{vmatrix}-(-3)\times\begin{vmatrix}-1&-2\\1&-4\end{vmatrix}+0\times(\text{余子式})\\ +&=1\times(4-2)+3\times(4+2)\\ +&=2+18=20 +\end{aligned} +$$ + +故 $|E-A|=20$。 + +### **8. 答案：** + +$$A^{-1}=\begin{bmatrix}-(n-2)&1&1&\cdots&1\\1&-1&0&\cdots&0\\1&0&-1&\cdots&0\\\vdots&\vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\1&0&0&\cdots&-1\end{bmatrix} +$$ +#### **解析：** + +通过 “行变换法” 或 “规律归纳” 推导： + +• 观察矩阵 A 的结构：第一行全为 1，其余行的对角元为 0，非对角元为 1。可先计算 n=2,3 时的逆矩阵，归纳规律： + +◦ $当 n=2 时，A=\begin{bmatrix}1&1\\1&0\end{bmatrix}，逆矩阵为 \begin{bmatrix}0&1\\1&-1\end{bmatrix}（符合上述形式，-(2-2)=0）$； + +◦ 当 $n=3$ 时，$A=\begin{bmatrix}1&1&1\\1&0&1\\1&1&0\end{bmatrix}$，逆矩阵为 $\begin{bmatrix}-1&1&1\\1&-1&0\\1&0&-1\end{bmatrix}$（符合上述形式，$-(3-2)=-1$）。 + +• 验证规律：对 n 阶矩阵，逆矩阵的第一行第一列元素为 -(n-2)，第一行其余元素为 1，第一列其余元素为 1，对角元（除第一行第一列）为 -1，非对角元（除第一行、第一列）为 0，即为上述形式。 + +### **9. 证明：$D_n=\frac{1}{\sqrt{5}}\left[\left(\frac{1+\sqrt{5}}{2}\right)^{n+1}-\left(\frac{1-\sqrt{5}}{2}\right)^{n+1}\right]$** + + **步骤 1：建立递推公式** + +对 $D_n$ 按**第一行展开**（第一行元素为 $a_{11}=1,a_{12}=1$，其余 $a_{1j}=0$）： + +$D_n=a_{11}\times(-1)^{1+1}M_{11}+a_{12}\times(-1)^{1+2}M_{12}$ + +• $M_{11}$：去掉第一行第一列后的子式，即 $n-1$ 阶行列式 $D_{n-1}$（结构与 $D_n$ 一致）； + +• $M_{12}$：去掉第一行第二列后的子式，按第一列展开（第一列仅首元素为 $-1$），得 $-D_{n-2}$（符号需结合 $(-1)^{1+2}=-1$）。 + +因此递推公式为： + +$$D_n=D_{n-1}+D_{n-2}$$ + + **步骤 2：确定初始条件** + +• 当 $n=1$ 时，$D_1=\begin{vmatrix}1\end{vmatrix}=1$； + +• 当 n=2 时，$D_2=\begin{vmatrix}1&1\\-1&1\end{vmatrix}=1\times1-1\times(-1)=2$。 +容易证明$n=1,n=2$时满足要证的式子 + +**步骤3：运用数学归纳法** +假设当$n\le k$时，有$D_n=\frac{1}{\sqrt{5}}\left[\left(\frac{1+\sqrt{5}}{2}\right)^{n+1}-\left(\frac{1-\sqrt{5}}{2}\right)^{n+1}\right]$。当$n=k+1$时，有$$ +\begin{aligned} +D_{k+1}&=D_k+D_{k-1}\\ +&=\frac{1}{\sqrt{5}}((\frac{1+\sqrt{5}}{2})^{k+1}-(\frac{1-\sqrt{5}}{2})^{k+1}+(\frac{1+\sqrt{5}}{2})^k-(\frac{1-\sqrt{5}}{2})^k)\\ +&=\frac{1}{\sqrt{5}}((\frac{1+\sqrt{5}}{2})^{k}(\frac{3+\sqrt{5}}{2})-(\frac{1-\sqrt{5}}{2})^{k}(\frac{1-\sqrt{5}}{2}))\\ +&=\frac{1}{\sqrt{5}}((\frac{1+\sqrt{5}}{2})^{k}(\frac{1+\sqrt{5}}{2})^2-(\frac{1-\sqrt{5}}{2})^{k}(\frac{1-\sqrt{5}}{2})^2)\\ +&=\frac{1}{\sqrt{5}}((\frac{1+\sqrt{5}}{2})^{k+2}-(\frac{1-\sqrt{5}}{2})^{k+2}) +\end{aligned} +$$满足条件，故由数学归纳法知，$\forall{n}\in\mathbb{N}_+,D_n=\frac{1}{\sqrt{5}}\left[\left(\frac{1+\sqrt{5}}{2}\right)^{n+1}-\left(\frac{1-\sqrt{5}}{2}\right)^{n+1}\right]$. \ No newline at end of file diff --git a/编写小组/试卷/线代期末复习模拟/1.13线代限时练.md b/编写小组/试卷/线代期末复习模拟/1.13线代限时练.md new file mode 100644 index 0000000..111f58e --- /dev/null +++ b/编写小组/试卷/线代期末复习模拟/1.13线代限时练.md @@ -0,0 +1,66 @@ +1. （[[线代2022秋B]]·1）已知 $\begin{vmatrix}a_{11} & a_{12} & a_{13} \\a_{21} & a_{22} & a_{23} \\a_{31} & a_{32} & a_{33}\end{vmatrix} = c$ ，代数余子式之和 $\sum\limits_{i=1}^{3}\sum\limits_{j=1}^{3} A_{ij} = 3c$ ，则 $\begin{vmatrix}a_{11}+1 & a_{12}+1 & a_{13}+1 \\a_{21}+1 & a_{22}+1 & a_{23}+1 \\a_{31}+1 & a_{32}+1 & a_{33}+1\end{vmatrix} =$ \_\_\_\_\_\_\_\_\_\_. + +2. （[[线代2013秋A]]·4）已知向量空间 $V=\{(2a,2b,3b,3a)|a,b\in\mathbb{R}\}$，则 $V$ 的维数是\_\_\_\_\_. + +3. （[[线代2019秋A]]·9）设 $\boldsymbol{E}$ 为 $3$ 阶单位矩阵，$\boldsymbol\alpha$ 为一个 $3$ 维单位列向量，则矩阵 $\boldsymbol E - \boldsymbol\alpha\boldsymbol\alpha^\mathrm{T}$ 的全部 $3$ 个特征值为\_\_\_\_\_\_\_. + +4. （[[线代2018秋A]]·12）设 $n$ 阶矩阵 $A=[a_{ij}]_{n\times n}$ ，则二次型 $f(x_1,x_2,\cdots,x_n)=\sum\limits_{i=1}^n(a_{i1}x_1+a_{i2}x_2+\cdots+a_{in}x_n)^2$ 的矩阵为\_\_\_\_\_\_\_. + +5. （[[线代2018秋A]]·11）若 $n$ 阶实对称矩阵 $\boldsymbol A$ 的特征值为 $\lambda_i=(-1)^i\ (i=1,2,\cdots,n)$，则 $\boldsymbol A^{100}=$ \_\_\_\_\_\_\_. + +6. ([[线代2022秋A]]·5）已知 $n(n\ge2)$ 维列向量 $\boldsymbol\alpha,\boldsymbol\beta$ 满足 $\boldsymbol\beta^\mathrm{T}\boldsymbol\alpha=-3$，则方阵 $(\boldsymbol{\beta\alpha}^\mathrm{T})^2$ 的非零特征值为\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_. + +7. （[[线代2022秋A]]·七）已知向量组 $\boldsymbol\alpha_1,\boldsymbol\alpha_2,\boldsymbol\alpha_3$ 线性无关，其中 $\boldsymbol\alpha_1,\boldsymbol\alpha_2,\boldsymbol\alpha_3\in\mathbb{R}^3$，$\boldsymbol A$ 为 $3$ 阶方阵，且 +$$\boldsymbol{A\alpha_1}=2\boldsymbol\alpha_1-\boldsymbol\alpha_2-\boldsymbol\alpha_3, \boldsymbol A\boldsymbol\alpha_2=\boldsymbol\alpha_1+2\boldsymbol\alpha_2+3\boldsymbol\alpha_3, \boldsymbol A\boldsymbol\alpha_3=2\boldsymbol\alpha_1+4\boldsymbol\alpha_2+\boldsymbol\alpha_3.$$ +(1) 证明 $A\boldsymbol\alpha_1, A\boldsymbol\alpha_2, A\boldsymbol\alpha_3$ 线性无关； +(2) 计算行列式 $\boldsymbol E-\boldsymbol A$，其中 $\boldsymbol E$ 是 $3$ 阶单位矩阵. +```text + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + +``` + +8. （[[线代2013秋A]]）求 $n$ 阶方阵 $\boldsymbol{A} = \begin{bmatrix}1 & 1 & 1 & \dots & 1 \\1 & 0 & 1 & \dots & 1 \\1 & 1 & 0 & \dots & 1 \\\vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\1 & 1 & 1 & \dots & 0\end{bmatrix}$ 的逆。 +```text + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + +``` + +9. （[[线代2013秋A]]·三）设 + $$D_n=\begin{vmatrix}1&1&0&\cdots&0&0\\-1&1&1&\cdots&0&0\\0&-1&1&\cdots&0&0\\\vdots&\vdots&\vdots&\ddots&\vdots&\vdots\\0&0&0&\cdots&1&1\\0&0&0&\cdots&-1&1\end{vmatrix}$$证明：$D_n=\frac{1}{\sqrt{5}}[(\frac{1+\sqrt{5}}{2})^{n+1}-(\frac{1-\sqrt{5}}{2})^{n+1}]$ . \ No newline at end of file From 8136d97a58a9afe55a2bcd8ec32b1cce781b310b Mon Sep 17 00:00:00 2001 From: =?UTF-8?q?=E7=8E=8B=E8=BD=B2=E6=A5=A0?= Date: Tue, 13 Jan 2026 17:15:32 +0800 Subject: [PATCH 17/18] vault backup: 2026-01-13 17:15:31 --- .../1.14线代测试答案.md | 223 ------------------ .../1.14线代限时练.md | 66 ------ 2 files changed, 289 deletions(-) delete mode 100644 编写小组/试卷/线代期末复习模拟/1.14线代测试答案.md delete mode 100644 编写小组/试卷/线代期末复习模拟/1.14线代限时练.md diff --git a/编写小组/试卷/线代期末复习模拟/1.14线代测试答案.md b/编写小组/试卷/线代期末复习模拟/1.14线代测试答案.md deleted file mode 100644 index 189ee67..0000000 --- a/编写小组/试卷/线代期末复习模拟/1.14线代测试答案.md +++ /dev/null @@ -1,223 +0,0 @@ -# **1.14 线性代数限时练（题目 + 答案与解析）** - -## **第一部分：题目** - -### **1.** - -已知三阶行列式 $\begin{vmatrix}a_{11}&a_{12}&a_{13}\\a_{21}&a_{22}&a_{23}\\a_{31}&a_{32}&a_{33}\end{vmatrix}=c$，代数余子式之和 $\sum_{i=1}^{3}\sum_{j=1}^{3}A_{ij}=3c$，则行列式 $\begin{vmatrix}a_{11}+1&a_{12}+1&a_{13}+1\\a_{21}+1&a_{22}+1&a_{23}+1\\a_{31}+1&a_{32}+1&a_{33}+1\end{vmatrix}=$？ - -### **2.（2013 秋 A）** - -$已知向量空间 V=\{(2a,2b,3b,3a)\mid a,b\in\mathbb{R}\}，则 V 的维数是\underline{\qquad}。$ - -### **3.（2018 秋 A）** - -$设 E 为 3 阶单位矩阵，\alpha 为一个 3 维单位列向量，则矩阵 E-\alpha\alpha^T 的全部 3 个特征值为\underline{\qquad}。$ - -### **4.（2018 秋 A）** - -$设 n 阶矩阵 A=[a_{ij}]_{n\times n}，则二次型 f(x_1,x_2,\cdots,x_n)=\sum\limits_{i=1}^{n}(a_{i1}x_1+a_{i2}x_2+\cdots+a_{in}x_n)^2 的矩阵为\underline{\qquad}。$ -### **5.（2018 秋 A）** - -$若 n 阶实对称矩阵 A 的特征值为 \lambda_i=(-1)^i（i=1,2,\cdots,n），则 A^{100}=\underline{\qquad}。$ - -### **6.（2022 秋 A・5）** - -$已知 n（n\geq2）维列向量 \alpha,\beta 满足 \beta^T\alpha=-3，则方阵 (\beta\alpha^T)^2 的非零特征值为\underline{\qquad}。$ - -### **7.（2022 秋 A）** - -$已知向量组 \alpha_1,\alpha_2,\alpha_3 线性无关（\alpha_1,\alpha_2,\alpha_3\in\mathbb{R}^3），A 为 3 阶方阵，且满足：$ - -$$\begin{aligned} -A\alpha_1&=2\alpha_1-\alpha_2-\alpha_3,\\A\alpha_2&=\alpha_1+2\alpha_2+3\alpha_3,\\A\alpha_3&=2\alpha_1+4\alpha_2+\alpha_3 -\end{aligned} -$$ -(1) $证明 A\alpha_1,A\alpha_2,A\alpha_3 线性无关$； - -(2) $计算行列式 |E-A|（E 是 3 阶单位矩阵）$。 - -### **8.（2013 秋 A）** - -$求 n 阶方阵 A=\begin{bmatrix}1&1&1&\cdots&1\\1&0&1&\cdots&1\\1&1&0&\cdots&1\\\vdots&\vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\1&1&1&\cdots&0\end{bmatrix} 的逆矩阵。$ - -### **9.（2013 秋 A・三）** - -设 n 阶行列式： - -$$D_n=\begin{vmatrix}1&1&0&\cdots&0&0\\-1&1&1&\cdots&0&0\\0&-1&1&\cdots&0&0\\\vdots&\vdots&\vdots&\ddots&\vdots&\vdots\\0&0&0&\cdots&1&1\\0&0&0&\cdots&-1&1\end{vmatrix}$$ - -证明：$D_n=\frac{1}{\sqrt{5}}\left[\left(\frac{1+\sqrt{5}}{2}\right)^{n+1}-\left(\frac{1-\sqrt{5}}{2}\right)^{n+1}\right]$。 - -## **第二部分：答案与解析** - -### 1. 答案：$\boxed{4c}$ - -#### **解析：** - -$设原矩阵为 A（即 |A|=c），全 1 矩阵 J=\boldsymbol{e}\boldsymbol{e}^T（其中 \boldsymbol{e}=(1,1,1)^T），需求解的行列式为 |A+J|。$ -由代数余子式性质：$\sum_{i,j}A_{ij}=\boldsymbol{e}^T A^*\boldsymbol{e}=3c$，且可逆矩阵的伴随矩阵满足$A^*=|A|A^{-1}=cA^{-1}$（因 $|A|=c\neq0，A$ 可逆），代入得 $\boldsymbol{e}^T A^{-1}\boldsymbol{e}=3$。 - -利用**Sherman-Morrison 行列式公式**：对可逆矩阵$A$ 和向量 $\boldsymbol{u},\boldsymbol{v}$，有 $|A+\boldsymbol{u}\boldsymbol{v}^T|=|A|(1+\boldsymbol{v}^T A^{-1}\boldsymbol{u})$。 - -此处 $\boldsymbol{u}=\boldsymbol{v}=\boldsymbol{e}$，代入得 $|A+J|=c(1+\boldsymbol{e}^T A^{-1}\boldsymbol{e})=c(1+3)=4c$。 - -### **2. 答案：$\boxed{2}$ - -#### **解析：** - -将向量空间 V 中的元素拆分为线性组合形式： - -$$(2a,2b,3b,3a)=a(2,0,0,3)+b(0,2,3,0)$$ - -设 $\boldsymbol{\alpha}=(2,0,0,3)，\boldsymbol{\beta}=(0,2,3,0)$，需验证 $\boldsymbol{\alpha},\boldsymbol{\beta}$ 线性无关： - -若 $k_1\boldsymbol{\alpha}+k_2\boldsymbol{\beta}=\boldsymbol{0}$（零向量），则 $\begin{cases}2k_1=0\\2k_2=0\\3k_2=0\\3k_1=0\end{cases}$，解得 $k_1=k_2=0$，故 $\boldsymbol{\alpha},\boldsymbol{\beta}$是 V 的一组基。 - -向量空间的维数等于基的个数，因此 $V$ 的维数为 $2$。 - -### **3. 答案：$\boxed{1,1,0}$ - -#### **解析：** - -设 $B=\alpha\alpha^T$，该矩阵为**秩 $1$ 矩阵**（因 $\alpha$ 是单位列向量，$\alpha^T\alpha=1$）。 - -• 秩 $1$ 矩阵的特征值性质：非零特征值为矩阵的迹 $\text{tr}(B)=\alpha^T\alpha=1$，其余 $n-1=2$ 个特征值为 $0$（秩 $1$ 矩阵的非零特征值个数等于秩）。 - -• 若 $B\boldsymbol{x}=\lambda\boldsymbol{x}$（$\boldsymbol{x}$为特征向量），则 $(E-B)\boldsymbol{x}=(1-\lambda)\boldsymbol{x}$，即$E-B$ 的特征值为 $1-\lambda$。 - -$代入 B 的特征值 \lambda=1,0,0，得 E-B 的特征值为 1-1=0，1-0=1，1-0=1，即 1,1,0$。 - -### **4. 答案：$\boxed{A^T A}$** - -#### **解析：** - -记$A_i$为$A$中除了第$i$行全都改为$0$的矩阵，$\boldsymbol{x}=\begin{bmatrix}x_1&x_2&\cdots&x_n\end{bmatrix}^T$。那么$$A_i\boldsymbol{x}=\begin{bmatrix}0 & 0 & \cdots & 0\\\vdots & \vdots & &\vdots\\a_{i1} & a_{i2} & \cdots &a_{in}\\\vdots & \vdots & &\vdots\\0 & 0 & \cdots & 0\end{bmatrix}\begin{bmatrix}x_1\\x_2\\\vdots\\x_n\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}0\\0\\\vdots\\\sum\limits_{j=1}^{n}a_{ij}x_j\\\vdots\\0\end{bmatrix}$$则$$(a_{i1}x_1+a_{i2}x_2+\cdots+a_{in}x_n)^2=(\sum\limits_{j=1}^{n}a_{ij}x_j)^2=(A_i\boldsymbol{x})^TA_i\boldsymbol{x}=\boldsymbol{x}^TA_i^TA_i\boldsymbol{x}$$将二次型用上式展开得： - -$$\begin{aligned} -f(\boldsymbol{x})&=\sum_{i=1}^{n}(\boldsymbol{x}^TA_i^TA_i\boldsymbol{x})\\ -&=\boldsymbol{x}^T(\sum\limits_{i=1}^nA_i^TA_i)\boldsymbol{x}\\ -&=\boldsymbol{x}^T(\sum\limits_{i=1}^nA_i^T\sum\limits_{i=1}^nA_i)\boldsymbol{x}\\ -&=\boldsymbol{x}^T(A^T A)\boldsymbol{x} -\end{aligned}$$ -其中因为$A_i^TA_j=\boldsymbol{0},$如果$i\neq j$，所以 -$$\sum\limits_{i=1}^nA_i^T\sum\limits_{i=1}^nA_i=\sum\limits_{i=1}^nA_i^TA_i$$ - -• 二次型的矩阵需满足**对称性质**（即矩阵等于其转置），验证：$(A^T A)^T=A^T(A^T)^T=A^T A$，故 $A^T A$ 是对称矩阵，即为二次型的矩阵。 - -### **5. 答案：$\boxed{E}$（单位矩阵）** - -#### **解析：** - -实对称矩阵可对角化，即存在可逆矩阵 P，使得 $P^{-1}AP=\Lambda$（$\Lambda$ 为对角矩阵，对角元为 A 的特征值 $\lambda_i=(-1)^i$）。 - -• 矩阵幂运算性质：$A^{100}=P\Lambda^{100}P^{-1}$。 - -• 计算 $\Lambda^{100}$：对角元为 $\lambda_i^{100}=[(-1)^i]^{100}=1$，故 $\Lambda^{100}=E$（单位矩阵）。 - -• 因此 $A^{100}=P E P^{-1}=P P^{-1}=E$。 - -### **6. 答案：$\boxed{9}$** - -#### **解析：** - -设 $A=\beta\alpha^T$（秩 1 矩阵），计算 $A^2$： - -$A^2=(\beta\alpha^T)(\beta\alpha^T)=\beta(\alpha^T\beta)\alpha^T=(\alpha^T\beta)A$ - -• 注意：$\alpha^T\beta=(\beta^T\alpha)^T$（矩阵转置性质），而 $\beta^T\alpha=-3$（数，转置等于自身），故 $\alpha^T\beta=-3$，因此 $A^2=-3A$。 - -• 秩 $1$ 矩阵 $A$ 的非零特征值为 $\text{tr}(A)=\alpha^T\beta=-3$，设 $A\boldsymbol{x}=-3\boldsymbol{x}$，则 $A^2\boldsymbol{x}=(-3)A\boldsymbol{x}=(-3)^2\boldsymbol{x}=9\boldsymbol{x}$，即 $A^2$ 的非零特征值为 $9$。 - -### **7. 答案：(1) 证明见解析；(2) $\boxed{20}$** - -#### **(1) 证明 $A\alpha_1,A\alpha_2,A\alpha_3$ 线性无关** - -因 $\alpha_1,\alpha_2,\alpha_3$ 线性无关，故矩阵 $P=(\alpha_1,\alpha_2,\alpha_3)$ 可逆（列向量线性无关的矩阵可逆）。 - -由题设条件，将 $A$ 对 $\alpha_1,\alpha_2,\alpha_3$ 的作用表示为矩阵乘法： - -$$A(\alpha_1,\alpha_2,\alpha_3)=(\alpha_1,\alpha_2,\alpha_3)\begin{bmatrix}2&1&2\\-1&2&4\\-1&3&1\end{bmatrix}=P C$$ - -其中 $C=\begin{bmatrix}2&1&2\\-1&2&4\\-1&3&1\end{bmatrix}$，计算 $|C|$： - -$$\begin{aligned} -|C|&=2\times(2\times1-4\times3)-1\times(-1\times1-4\times(-1))+2\times(-1\times3-2\times(-1))\\ -&=2\times(-10)-1\times3+2\times(-1)\\ -&=-25\neq0 -\end{aligned} -$$ - -• 因 $|C|\neq0$，故 $C$ 可逆，$\text{rank}(C)=3$。 - -• 又 $P$ 可逆，故 $\text{rank}(A\alpha_1,A\alpha_2,A\alpha_3)=\text{rank}(P C)=\text{rank}(C)=3$，即 $A\alpha_1,A\alpha_2,A\alpha_3$ 线性无关。 - -#### **(2) 计算 $|E-A|$** - -由 (1) 知$P^{-1}AP=C（A 与 C 相似）$，则 $E-A$ 与 $E-C$ 相似（相似矩阵的 “单位矩阵减矩阵” 仍相似），而**相似矩阵的行列式相等**，故 $|E-A|=|E-C|$。 - -计算 $E-C$： - -$$E-C=\begin{bmatrix}1-2&0-1&0-2\\0-(-1)&1-2&0-4\\0-(-1)&0-3&1-1\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}-1&-1&-2\\1&-1&-4\\1&-3&0\end{bmatrix}$$ - -按第三行展开计算行列式： - -$$ -\begin{aligned} -|E-C|&=1\times\begin{vmatrix}-1&-2\\-1&-4\end{vmatrix}-(-3)\times\begin{vmatrix}-1&-2\\1&-4\end{vmatrix}+0\times(\text{余子式})\\ -&=1\times(4-2)+3\times(4+2)\\ -&=2+18=20 -\end{aligned} -$$ - -故 $|E-A|=20$。 - -### **8. 答案：** - -$$A^{-1}=\begin{bmatrix}-(n-2)&1&1&\cdots&1\\1&-1&0&\cdots&0\\1&0&-1&\cdots&0\\\vdots&\vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\1&0&0&\cdots&-1\end{bmatrix} -$$ -#### **解析：** - -通过 “行变换法” 或 “规律归纳” 推导： - -• 观察矩阵 A 的结构：第一行全为 1，其余行的对角元为 0，非对角元为 1。可先计算 n=2,3 时的逆矩阵，归纳规律： - -◦ $当 n=2 时，A=\begin{bmatrix}1&1\\1&0\end{bmatrix}，逆矩阵为 \begin{bmatrix}0&1\\1&-1\end{bmatrix}（符合上述形式，-(2-2)=0）$； - -◦ 当 $n=3$ 时，$A=\begin{bmatrix}1&1&1\\1&0&1\\1&1&0\end{bmatrix}$，逆矩阵为 $\begin{bmatrix}-1&1&1\\1&-1&0\\1&0&-1\end{bmatrix}$（符合上述形式，$-(3-2)=-1$）。 - -• 验证规律：对 n 阶矩阵，逆矩阵的第一行第一列元素为 -(n-2)，第一行其余元素为 1，第一列其余元素为 1，对角元（除第一行第一列）为 -1，非对角元（除第一行、第一列）为 0，即为上述形式。 - -### **9. 证明：$D_n=\frac{1}{\sqrt{5}}\left[\left(\frac{1+\sqrt{5}}{2}\right)^{n+1}-\left(\frac{1-\sqrt{5}}{2}\right)^{n+1}\right]$** - - **步骤 1：建立递推公式** - -对 $D_n$ 按**第一行展开**（第一行元素为 $a_{11}=1,a_{12}=1$，其余 $a_{1j}=0$）： - -$D_n=a_{11}\times(-1)^{1+1}M_{11}+a_{12}\times(-1)^{1+2}M_{12}$ - -• $M_{11}$：去掉第一行第一列后的子式，即 $n-1$ 阶行列式 $D_{n-1}$（结构与 $D_n$ 一致）； - -• $M_{12}$：去掉第一行第二列后的子式，按第一列展开（第一列仅首元素为 $-1$），得 $-D_{n-2}$（符号需结合 $(-1)^{1+2}=-1$）。 - -因此递推公式为： - -$$D_n=D_{n-1}+D_{n-2}$$ - - **步骤 2：确定初始条件** - -• 当 $n=1$ 时，$D_1=\begin{vmatrix}1\end{vmatrix}=1$； - -• 当 n=2 时，$D_2=\begin{vmatrix}1&1\\-1&1\end{vmatrix}=1\times1-1\times(-1)=2$。 -容易证明$n=1,n=2$时满足要证的式子 - -**步骤3：运用数学归纳法** -假设当$n\le k$时，有$D_n=\frac{1}{\sqrt{5}}\left[\left(\frac{1+\sqrt{5}}{2}\right)^{n+1}-\left(\frac{1-\sqrt{5}}{2}\right)^{n+1}\right]$。当$n=k+1$时，有$$ -\begin{aligned} -D_{k+1}&=D_k+D_{k-1}\\ -&=\frac{1}{\sqrt{5}}((\frac{1+\sqrt{5}}{2})^{k+1}-(\frac{1-\sqrt{5}}{2})^{k+1}+(\frac{1+\sqrt{5}}{2})^k-(\frac{1-\sqrt{5}}{2})^k)\\ -&=\frac{1}{\sqrt{5}}((\frac{1+\sqrt{5}}{2})^{k}(\frac{3+\sqrt{5}}{2})-(\frac{1-\sqrt{5}}{2})^{k}(\frac{1-\sqrt{5}}{2}))\\ -&=\frac{1}{\sqrt{5}}((\frac{1+\sqrt{5}}{2})^{k}(\frac{1+\sqrt{5}}{2})^2-(\frac{1-\sqrt{5}}{2})^{k}(\frac{1-\sqrt{5}}{2})^2)\\ -&=\frac{1}{\sqrt{5}}((\frac{1+\sqrt{5}}{2})^{k+2}-(\frac{1-\sqrt{5}}{2})^{k+2}) -\end{aligned} -$$满足条件，故由数学归纳法知，$\forall{n}\in\mathbb{N}_+,D_n=\frac{1}{\sqrt{5}}\left[\left(\frac{1+\sqrt{5}}{2}\right)^{n+1}-\left(\frac{1-\sqrt{5}}{2}\right)^{n+1}\right]$. \ No newline at end of file diff --git a/编写小组/试卷/线代期末复习模拟/1.14线代限时练.md b/编写小组/试卷/线代期末复习模拟/1.14线代限时练.md deleted file mode 100644 index 111f58e..0000000 --- a/编写小组/试卷/线代期末复习模拟/1.14线代限时练.md +++ /dev/null @@ -1,66 +0,0 @@ -1. （[[线代2022秋B]]·1）已知 $\begin{vmatrix}a_{11} & a_{12} & a_{13} \\a_{21} & a_{22} & a_{23} \\a_{31} & a_{32} & a_{33}\end{vmatrix} = c$ ，代数余子式之和 $\sum\limits_{i=1}^{3}\sum\limits_{j=1}^{3} A_{ij} = 3c$ ，则 $\begin{vmatrix}a_{11}+1 & a_{12}+1 & a_{13}+1 \\a_{21}+1 & a_{22}+1 & a_{23}+1 \\a_{31}+1 & a_{32}+1 & a_{33}+1\end{vmatrix} =$ \_\_\_\_\_\_\_\_\_\_. - -2. （[[线代2013秋A]]·4）已知向量空间 $V=\{(2a,2b,3b,3a)|a,b\in\mathbb{R}\}$，则 $V$ 的维数是\_\_\_\_\_. - -3. （[[线代2019秋A]]·9）设 $\boldsymbol{E}$ 为 $3$ 阶单位矩阵，$\boldsymbol\alpha$ 为一个 $3$ 维单位列向量，则矩阵 $\boldsymbol E - \boldsymbol\alpha\boldsymbol\alpha^\mathrm{T}$ 的全部 $3$ 个特征值为\_\_\_\_\_\_\_. - -4. （[[线代2018秋A]]·12）设 $n$ 阶矩阵 $A=[a_{ij}]_{n\times n}$ ，则二次型 $f(x_1,x_2,\cdots,x_n)=\sum\limits_{i=1}^n(a_{i1}x_1+a_{i2}x_2+\cdots+a_{in}x_n)^2$ 的矩阵为\_\_\_\_\_\_\_. - -5. （[[线代2018秋A]]·11）若 $n$ 阶实对称矩阵 $\boldsymbol A$ 的特征值为 $\lambda_i=(-1)^i\ (i=1,2,\cdots,n)$，则 $\boldsymbol A^{100}=$ \_\_\_\_\_\_\_. - -6. ([[线代2022秋A]]·5）已知 $n(n\ge2)$ 维列向量 $\boldsymbol\alpha,\boldsymbol\beta$ 满足 $\boldsymbol\beta^\mathrm{T}\boldsymbol\alpha=-3$，则方阵 $(\boldsymbol{\beta\alpha}^\mathrm{T})^2$ 的非零特征值为\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_. - -7. （[[线代2022秋A]]·七）已知向量组 $\boldsymbol\alpha_1,\boldsymbol\alpha_2,\boldsymbol\alpha_3$ 线性无关，其中 $\boldsymbol\alpha_1,\boldsymbol\alpha_2,\boldsymbol\alpha_3\in\mathbb{R}^3$，$\boldsymbol A$ 为 $3$ 阶方阵，且 -$$\boldsymbol{A\alpha_1}=2\boldsymbol\alpha_1-\boldsymbol\alpha_2-\boldsymbol\alpha_3, \boldsymbol A\boldsymbol\alpha_2=\boldsymbol\alpha_1+2\boldsymbol\alpha_2+3\boldsymbol\alpha_3, \boldsymbol A\boldsymbol\alpha_3=2\boldsymbol\alpha_1+4\boldsymbol\alpha_2+\boldsymbol\alpha_3.$$ -(1) 证明 $A\boldsymbol\alpha_1, A\boldsymbol\alpha_2, A\boldsymbol\alpha_3$ 线性无关； -(2) 计算行列式 $\boldsymbol E-\boldsymbol A$，其中 $\boldsymbol E$ 是 $3$ 阶单位矩阵. -```text - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -``` - -8. （[[线代2013秋A]]）求 $n$ 阶方阵 $\boldsymbol{A} = \begin{bmatrix}1 & 1 & 1 & \dots & 1 \\1 & 0 & 1 & \dots & 1 \\1 & 1 & 0 & \dots & 1 \\\vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\1 & 1 & 1 & \dots & 0\end{bmatrix}$ 的逆。 -```text - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -``` - -9. （[[线代2013秋A]]·三）设 - $$D_n=\begin{vmatrix}1&1&0&\cdots&0&0\\-1&1&1&\cdots&0&0\\0&-1&1&\cdots&0&0\\\vdots&\vdots&\vdots&\ddots&\vdots&\vdots\\0&0&0&\cdots&1&1\\0&0&0&\cdots&-1&1\end{vmatrix}$$证明：$D_n=\frac{1}{\sqrt{5}}[(\frac{1+\sqrt{5}}{2})^{n+1}-(\frac{1-\sqrt{5}}{2})^{n+1}]$ . \ No newline at end of file From c7774cac8d3e471542a853cbaf23a2e844643c1c Mon Sep 17 00:00:00 2001 From: =?UTF-8?q?=E7=8E=8B=E8=BD=B2=E6=A5=A0?= Date: Tue, 13 Jan 2026 18:44:13 +0800 Subject: [PATCH 18/18] =?UTF-8?q?=E4=BF=AE=E6=94=B9=E4=BA=86=E6=A0=BC?= =?UTF-8?q?=E5=BC=8F?= MIME-Version: 1.0 Content-Type: text/plain; charset=UTF-8 Content-Transfer-Encoding: 8bit --- 素材/微分中值定理.md | 62 +++++------- ...性方程组的系数矩阵与解关系.md | 94 +++++++------------ 2 files changed, 55 insertions(+), 101 deletions(-) diff --git a/素材/微分中值定理.md b/素材/微分中值定理.md index 6304f45..70e16dd 100644 --- a/素材/微分中值定理.md +++ b/素材/微分中值定理.md @@ -1,9 +1,6 @@ -### 例1 -设 $f(x)$ 在 $[a, b]$ 上连续，在 $(a, b)$ 内可导，且 $0 < a < b$，试证存在 $\xi, \eta \in (a, b)$，使得 -$$ -f'(\xi) = \frac{a + b}{2\eta} f'(\eta). -$$ +>[!example] 例1 +设 $f(x)$ 在 $[a, b]$ 上连续，在 $(a, b)$ 内可导，且 $0 < a < b$，试证存在 $\xi, \eta \in (a, b)$，使得 $$f'(\xi) = \frac{a + b}{2\eta} f'(\eta).$$ **解析**： 本题结论中含有两个不同的中值 $\xi$ 和 $\eta$，且涉及两个不同的函数形式。可考虑分别对 $f(x)$ 和 $g(x)=x^2$ 在 $[a,b]$ 上应用柯西中值定理： @@ -23,7 +20,7 @@ $$ --- -### 例2 +>[!example] 例2 设函数 $f(x)$ 在 $[0,3]$ 上连续，在 $(0,3)$ 内可导，且 $f(0) + f(1) + f(2) = 3$，$f(3) = 1$，试证必存在 $\xi \in (0, 3)$，使 $f'(\xi) = 0$。 **解析**： @@ -31,10 +28,10 @@ $$ --- -### 例3 +>[!example] 例3 设 $f(x)$ 在区间 $[0,1]$ 上连续，在 $(0,1)$ 内可导，且 $f(0) = f(1) = 0$，$f(1/2) = 1$，试证： -1. 存在 $\eta \in (1/2, 1)$，使得 $f(\eta) = \eta$； -2. 对任意实数 $\lambda$，必存在 $\xi \in (0, \eta)$，使得 $f'(\xi) - \lambda [f(\xi) - \xi] = 1$。 +(1)存在 $\eta \in (1/2, 1)$，使得 $f(\eta) = \eta$； +(2)对任意实数 $\lambda$，必存在 $\xi \in (0, \eta)$，使得 $f'(\xi) - \lambda [f(\xi) - \xi] = 1$。 **解析**： (1) 令 $g(x)=f(x)-x$，则 $g(1/2)=1-1/2=1/2>0$，$g(1)=0-1=-1<0$，由零点定理，存在 $\eta \in (1/2,1)$，使 $g(\eta)=0$，即 $f(\eta)=\eta$。 @@ -48,12 +45,9 @@ $$ ## 5.2 微分中值定理及其应用 -### 例1 +>[!example] 例1 设函数 $f(x)$ 在 $(-1,1)$ 内可微，且 -$$ -f(0) = 0, \quad |f'(x)| \leq 1, -$$ -证明：在 $(-1,1)$ 内，$|f(x)| < 1$。 +$$f(0) = 0, \quad |f'(x)| \leq 1,$$证明：在 $(-1,1)$ 内，$|f(x)| < 1$。 **解析**： 对任意 $x \in (-1,1)$，由拉格朗日中值定理，存在 $\xi$ 介于 $0$ 与 $x$ 之间，使得 @@ -64,12 +58,9 @@ $$ --- -### 例2 +>[!example] 例2 设 $a_i \in \mathbb{R} (i = 0,1,2,\cdots,n)$，且满足 -$$ -a_0 + \frac{a_1}{2} + \frac{a_2}{3} + \cdots + \frac{a_n}{n+1} = 0， -$$ -证明：方程 $a_0 + a_1x + a_2x^2 + \cdots + a_nx^n = 0$ 在 $(0,1)$ 内至少有一个实根。 +$$a_0 + \frac{a_1}{2} + \frac{a_2}{3} + \cdots + \frac{a_n}{n+1} = 0，$$证明：方程 $a_0 + a_1x + a_2x^2 + \cdots + a_nx^n = 0$ 在 $(0,1)$ 内至少有一个实根。 **解析**： 构造辅助函数 @@ -83,11 +74,9 @@ $$ --- -### 例3 +>[!example] 例3 设函数 $f(x)$ 在 $[a,b]$ 上可导，且 -$$ -f(a) = f(b) = 0，\quad f'_+(a)f'_-(b) > 0， -$$ +$$f(a) = f(b) = 0，\quad f'_+(a)f'_-(b) > 0，$$ 试证明 $f'(x) = 0$ 在 $(a,b)$ 内至少有两个根。 **解析**： @@ -95,7 +84,7 @@ $$ --- -### 例4 +>[!example] 例4 设 $f(x)$ 在 $[a, b]$ 上连续，在 $(a, b)$ 内二阶可导，又若 $f(x)$ 的图形与联结 $A(a, f(a))$，$B(b, f(b))$ 两点的弦交于点 $C(c, f(c))$ ($a \leq c \leq b$)，证明在 $(a, b)$ 内至少存在一点 $\xi$，使得 $f''(\xi) = 0$。 **解析**： @@ -114,7 +103,7 @@ $$ --- -### 例5（柯西中值定理例） +>[!example] 例5（柯西中值定理例） 试证至少存在一点 $\xi \in (1, e)$，使 $\sin 1 = \cos \ln \xi$。 **解析**： @@ -133,7 +122,7 @@ $$ ## 练习 -### Ex3 +>[!example] Ex1 设 $f(x)$ 在 $(a, b)$ 内可导，且 $f'(x) \neq 1$。试证明 $f(x)$ 在 $(a, b)$ 内至多只有一个不动点，即方程 $f(x) = x$ 在 $(a, b)$ 内至多只有一个实根。 **解析**： @@ -145,14 +134,11 @@ $$ --- -### Ex4 +>[!example] Ex2 设 $f(x)$ 在 $[0, 1]$ 上具有二阶导数，且满足 -$$ -f(0) = 0, \, f(1) = 1, \, f\left(\frac{1}{2}\right) > \frac{1}{4} -$$ -证明： -1. 至少存在一点 $\xi \in (0, 1)$，使得 $f''(\xi) < 2$； -2. 若对一切 $x \in (0, 1)$，有 $f''(x) \neq 2$，则当 $x \in (0, 1)$ 时，恒有 $f(x) > x^2$。 +$$f(0) = 0, \, f(1) = 1, \, f\left(\frac{1}{2}\right) > \frac{1}{4}$$证明： +(1)至少存在一点 $\xi \in (0, 1)$，使得 $f''(\xi) < 2$； +(2)若对一切 $x \in (0, 1)$，有 $f''(x) \neq 2$，则当 $x \in (0, 1)$ 时，恒有 $f(x) > x^2$。 **解析**： (1) 考虑函数 $g(x)=f(x)-x^2$，则 $g(0)=0$，$g(1)=0$，$g(1/2)=f(1/2)-1/4>0$。由极值点的费马定理，$g(x)$ 在 $(0,1)$ 内存在极大值点 $\eta$，且 $g'(\eta)=0$，$g''(\eta) \leq 0$。即 $f'(\eta)=2\eta$，$f''(\eta) \leq 2$。若 $f''(\eta) < 2$，则取 $\xi=\eta$ 即可；若 $f''(\eta)=2$，则考虑在 $\eta$ 两侧应用拉格朗日中值定理，可找到另一个点 $\xi$ 使得 $f''(\xi)<2$。 @@ -160,7 +146,7 @@ $$ --- -### Ex5 +>[!example] Ex3 若 $f(x)$ 可导，试证在其两个零点间一定有 $f(x) + f'(x)$ 的零点。 **解析**： @@ -172,7 +158,7 @@ $$ --- -### Ex6 +>[!example] Ex4 设 $f(x)$ 在 $[0,1]$ 连续，$(0,1)$ 可导，且 $f(1) = 0$，求证存在 $\xi \in (0,1)$ 使得 $nf(\xi) + \xi f'(\xi) = 0$。 **解析**： @@ -184,11 +170,9 @@ $$ --- -### Ex7 +>[!example] Ex5 设 $f''(x) < 0$，$f(0) = 0$，证明对任意 $x_1 > 0, x_2 > 0$ 有 -$$ -f(x_1 + x_2) < f(x_1) + f(x_2) -$$ +$$f(x_1 + x_2) < f(x_1) + f(x_2)$$ **解析**： 不妨设 $0 < x_1 < x_2$。由拉格朗日中值定理： diff --git a/素材/线性方程组的系数矩阵与解关系.md b/素材/线性方程组的系数矩阵与解关系.md index aaeb69a..4209625 100644 --- a/素材/线性方程组的系数矩阵与解关系.md +++ b/素材/线性方程组的系数矩阵与解关系.md @@ -1,22 +1,24 @@ 这是一个链接了方程组解空间与方程组系数秩的公式 >[!note] 解零度化定理： ->对于齐次方程组 $\boldsymbol{A}_{m \times n}\boldsymbol{x}=\boldsymbol{0}$，设$\mathrm{rank}\boldsymbol{A}=r$，则 -> $$\dim N(\boldsymbol{A})=n-r$$ +>对于齐次方程组 ${A}_{m \times n}\boldsymbol{x}=\boldsymbol{0}$，设$\mathrm{rank}{A}=r$，则 +> $$\dim N({A})=n-r$$ -已知三阶方阵 $A=\begin{bmatrix}\alpha_1&\alpha_2&\alpha_3\end{bmatrix}$ 有三个不同的特征值，其中$\alpha_3=2\alpha_1+\alpha_2$，若 $\beta=\alpha_1+3\alpha_2+4\alpha_3$ ，求线性方程组 $Ax=\beta$ 的通解. - $\begin{bmatrix}1\\3\\4\end{bmatrix}+k\begin{bmatrix}2\\1\\-1\end{bmatrix}, k\in\mathbb{R}$ ->分析：在求解非齐次方程组通解的题目中，若是题目给出了特解与齐次方程组的解，那么大概率来说这个齐次方程组的解就可以拓展为齐次方程组通解（根据问题导向，不然写不出来了），那么如何由齐次方程组的解拓展为齐次方程组通解呢，那就要根据题目具体的条件进行分析了，这就要用到我们的解零度化定理来求齐次方程组解空间的维数 ->解析：由 $\alpha_3=2\alpha_1+\alpha_2$ 可得 $A$ 的列向量组线性相关， $|A|=0$；又因为 $A$ 的三个特征值各不相同，故 $A$ 有两个不为零的特征值 $\lambda_1,\lambda_2$，且 $A$ 可相似对角化，即 $A=P^{-1}\begin{bmatrix}\lambda_1&&\\&\lambda_2&\\&&0\end{bmatrix}P$，$\mathrm{rank}A=\mathrm{rank}(P^{-1}\begin{bmatrix}\lambda_1&&\\&\lambda_2&\\&&0\end{bmatrix}P)=\mathrm{rank}\begin{bmatrix}\lambda_1&&\\&\lambda_2&\\&&0\end{bmatrix}=2$ ->故 $Ax=0$ 的解空间维数是 $1$ （5分） ->$\beta=\alpha_1+3\alpha_2+4\alpha_3$，所以 $(1,3,4)^\mathrm{T}$ 为特解；（5分） ->$\alpha_3=2\alpha_1+\alpha_2$，所以$A\begin{bmatrix}2k\\k\\-k\end{bmatrix}=2\alpha_1+\alpha_2-\alpha_3=0$，所以 $(2,1,-1)^\mathrm{T}$ 为基础解系；（10分） ->解空间维数是 $1$ ，方程的解 $\begin{bmatrix}1\\3\\4\end{bmatrix}+k\begin{bmatrix}2\\1\\-1\end{bmatrix}, k\in\mathbb{R}$ 维数是 $1$，该解完备 +>[!example] 例1 +>已知三阶方阵 $A=\begin{bmatrix}\alpha_1&\alpha_2&\alpha_3\end{bmatrix}$ 有三个不同的特征值，其中$\alpha_3=2\alpha_1+\alpha_2$，若 $\beta=\alpha_1+3\alpha_2+4\alpha_3$ ，求线性方程组 $A\boldsymbol{x}=\beta$ 的通解. +**答案：** + $$\begin{bmatrix}1\\3\\4\end{bmatrix}+k\begin{bmatrix}2\\1\\-1\end{bmatrix}, k\in\mathbb{R}$$ +**分析：** 在求解非齐次方程组通解的题目中，若是题目给出了特解与齐次方程组的解，那么大概率来说这个齐次方程组的解就可以拓展为齐次方程组通解（根据问题导向，不然写不出来了），那么如何由齐次方程组的解拓展为齐次方程组通解呢，那就要根据题目具体的条件进行分析了，这就要用到我们的解零度化定理来求齐次方程组解空间的维数 +**解析：** 由 $\alpha_3=2\alpha_1+\alpha_2$ 可得 $A$ 的列向量组线性相关， $|A|=0$；又因为 $A$ 的三个特征值各不相同，故 $A$ 有两个不为零的特征值 $\lambda_1,\lambda_2$，且 $A$ 可相似对角化，即 $A=P^{-1}\begin{bmatrix}\lambda_1&&\\&\lambda_2&\\&&0\end{bmatrix}P$，$\mathrm{rank}A=\mathrm{rank}(P^{-1}\begin{bmatrix}\lambda_1&&\\&\lambda_2&\\&&0\end{bmatrix}P)=\mathrm{rank}\begin{bmatrix}\lambda_1&&\\&\lambda_2&\\&&0\end{bmatrix}=2$ +故 $Ax=0$ 的解空间维数是 $1$ （5分） +$\beta=\alpha_1+3\alpha_2+4\alpha_3$，所以 $(1,3,4)^\mathrm{T}$ 为特解；（5分） +$\alpha_3=2\alpha_1+\alpha_2$，所以$A\begin{bmatrix}2k\\k\\-k\end{bmatrix}=2\alpha_1+\alpha_2-\alpha_3=0$，所以 $(2,1,-1)^\mathrm{T}$ 为基础解系；（10分） +解空间维数是 $1$ ，方程的解 $\begin{bmatrix}1\\3\\4\end{bmatrix}+k\begin{bmatrix}2\\1\\-1\end{bmatrix}, k\in\mathbb{R}$ 维数是 $1$，该解完备 - 设 -$$ -A = \begin{bmatrix} + + >[!example] 例2 + >设 $$A = \begin{bmatrix} 1 & -1 & 0 & -1 \\ 1 & 1 & 0 & 3 \\ 2 & 1 & 2 & 6 @@ -28,87 +30,55 @@ B = \begin{bmatrix} \end{bmatrix}, \quad \alpha = \begin{bmatrix} 0 \\ 2 \\ 3 \end{bmatrix}, \quad -\beta = \begin{bmatrix} 1 \\ 0 \\ -1 \end{bmatrix} -$$ - +\beta = \begin{bmatrix} 1 \\ 0 \\ -1 \end{bmatrix}$$ (1) 证明：方程组 $Ax = \alpha$ 的解均为方程组 $Bx = \beta$ 的解； - -(2) 若方程组 $Ax = \alpha$ 与方程组 $Bx = \beta$ 不同解，求 $a$ 的值。 -4. (10分) 设 -$$ -A = \begin{bmatrix} -1 & -1 & 0 & -1 \\ -1 & 1 & 0 & 3 \\ -2 & 1 & 2 & 6 -\end{bmatrix}, \quad -B = \begin{bmatrix} -1 & 0 & 1 & 2 \\ -1 & -1 & a & a-1 \\ -2 & -3 & 2 & -2 -\end{bmatrix}, -$$ -向量 -$$ -\alpha = \begin{bmatrix} 0 \\ 2 \\ 3 \end{bmatrix}, \quad -\beta = \begin{bmatrix} 1 \\ 0 \\ -1 \end{bmatrix}. -$$ - -(1) 证明：方程组 $Ax = \alpha$ 的解均为方程组 $Bx = \beta$ 的解； - -(2) 若方程组 $Ax = \alpha$ 与方程组 $Bx = \beta$ 不同解，求 $a$ 的值。 - ---- +$\quad$ +(2) 若方程组 $A\boldsymbol{x} = \alpha$ 与方程组 $B\boldsymbol{x} = \beta$ 不同解，求 $a$ 的值。 **解：** - (1) 由于 $$ -\left( \begin{array}{c} +\begin{bmatrix} A \quad \alpha \\ B \quad \beta -\end{array} \right) = -\left( \begin{array}{ccccc} +\end{bmatrix} = +\begin{bmatrix} 1 & -1 & 0 & -1 & 0 \\ 1 & 1 & 0 & 3 & 2 \\ 2 & 1 & 2 & 6 & 3 \\ 1 & 0 & 1 & 2 & 1 \\ 1 & -1 & a & a-1 & 0 \\ 2 & -3 & 2 & -2 & -1 -\end{array} \right) -$$ -$$ +\end{bmatrix} \rightarrow -\left( \begin{array}{ccccc} +\begin{bmatrix} 1 & -1 & 0 & -1 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 2 & 1 \\ 0 & 0 & 2 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 -\end{array} \right), +\end{bmatrix}, $$ 故 $$ -R \left( \begin{array}{c} -A \quad \alpha \\ -B \quad \beta -\end{array} \right) = R(A, \alpha), +\mathrm{rank} \begin{bmatrix}A&\alpha\\B&\beta\end{bmatrix} = \mathrm{rank}[A\ \alpha], $$ 从而方程组 $$ \begin{cases} -Ax = \alpha, \\ -Bx = \beta +A\boldsymbol{x} = \alpha \\ +B\boldsymbol{x} = \beta \end{cases} $$ -与 $Ax = \alpha$ 同解，故 $Ax = \alpha$ 的解均为 $Bx = \beta$ 的解。 +与 $A\boldsymbol{x} = \alpha$ 同解，故 $A\boldsymbol{x} = \alpha$ 的解均为 $B\boldsymbol{x} = \beta$ 的解。 -(2) 分析：不同解，却要可以求出a的具体值，说明这是一个与秩相关的题，而与解相关的秩的问题我们就可以考虑解零度化定理 -由于 $Ax = \alpha$ 的解均为 $Bx = \beta$ 的解，若 $Ax = \alpha$ 与 $Bx = \beta$ 同解，则与题意矛盾，故 $Ax = \alpha$ 的解是 $Bx = \beta$ 解的真子集。于是 $Ax = 0$ 的基础解系中解向量的个数小于 $Bx = 0$ 的基础解系中解向量的个数，即 +(2) 分析：不同解，却要可以求出$a$的具体值，说明这是一个与秩相关的题，而与解相关的秩的问题我们就可以考虑解零度化定理 +由于 $A\boldsymbol{x} = \alpha$ 的解均为 $Bx = \beta$ 的解，若 $A\boldsymbol{x} = \alpha$ 与 $B\boldsymbol{x} = \beta$ 同解，则与题意矛盾，故 $Ax = \alpha$ 的解是 $Bx = \beta$ 解的真子集。于是 $Ax = 0$ 的基础解系中解向量的个数小于 $B\boldsymbol{x} = 0$ 的基础解系中解向量的个数，即 $$ -4 - R(A) < 4 - R(B), +4 - r(A) < 4 - r(B), $$ -故 $R(A) > R(B)$。又因 $R(A) = 3$，故 $R(B) < 3$，则 +故 $r(A) > r(B)$。又因 $r(A) = 3$，故 $r(B) < 3$，则 $$ \left| \begin{array}{ccc} 1 & 0 & 1 \\