From 5ad3e693d39034b1f186a596d7c51b8bf408d016 Mon Sep 17 00:00:00 2001
From: idealist999 <2974730459@qq.com>
Date: Sun, 11 Jan 2026 23:32:15 +0800
Subject: [PATCH 1/5] vault backup: 2026-01-11 23:32:15

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 素材/秩的不等式.md | 63 +++++++++++++++++++++++++++++++++++++++
 1 file changed, 63 insertions(+)
 create mode 100644 素材/秩的不等式.md

diff --git a/素材/秩的不等式.md b/素材/秩的不等式.md
new file mode 100644
index 0000000..fd57403
--- /dev/null
+++ b/素材/秩的不等式.md
@@ -0,0 +1,63 @@
+# 一般式
+
+## 1. 和的秩不超过秩的和
+
+设 $A, B$ 为同型矩阵，则  
+$$ \operatorname{rank}(A+B) \leq \operatorname{rank} A + \operatorname{rank} B $$
+
+## 2. 积的秩不超过任何因子的秩
+
+设 $A_{m \times n}, B_{n \times k}$，则  
+$$ \operatorname{rank}(AB) \leq \min\{\operatorname{rank} A, \operatorname{rank} B\} $$
+
+## 3. 重要不等式
+
+设 $A_{m \times n}, B_{n \times k}$，则  
+$$ \operatorname{rank}(AB) \geq \operatorname{rank} A + \operatorname{rank} B - n $$ 
+特别地，当 $AB = 0$ 时，有 $\operatorname{rank} A + \operatorname{rank} B \leq n$。 
+
+# 分块式
+
+设 $A_{n \times n}$， $B_{n \times n}$，则
+
+$$(1)\ rank  
+
+\begin{bmatrix}
+A \\
+B
+\end{bmatrix} \geq \text{rank } A, \quad \text{rank } 
+\begin{bmatrix}
+A \\
+B
+\end{bmatrix} \geq \text{rank } B
+$$
+
+$$(2)\ rank  
+\begin{bmatrix}
+A & 0 \\
+0 & B
+\end{bmatrix} = \text{rank } A + \text{rank } B
+$$
+
+$$(3)\ rank  
+\begin{bmatrix}
+A & E_n \\
+0 & B
+\end{bmatrix} \geq \text{rank } A + \text{rank } B
+$$
+
+$$(4)\ rank  
+\begin{bmatrix}
+A & 0 \\
+0 & B
+\end{bmatrix} = \text{rank } 
+\begin{bmatrix}
+A & B \\
+0 & B
+\end{bmatrix} = \text{rank } 
+\begin{bmatrix}
+A + B & B \\
+B & B
+\end{bmatrix} \geq \text{rank } (A + B)
+$$
+

From 8e763b04a4f372af32ba354c0e4fa755861573a4 Mon Sep 17 00:00:00 2001
From: idealist999 <2974730459@qq.com>
Date: Sun, 11 Jan 2026 23:34:45 +0800
Subject: [PATCH 2/5] vault backup: 2026-01-11 23:34:45

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 素材/线性方程组同解.md | 2 +-
 1 file changed, 1 insertion(+), 1 deletion(-)

diff --git a/素材/线性方程组同解.md b/素材/线性方程组同解.md
index 3211c95..1df3763 100644
--- a/素材/线性方程组同解.md
+++ b/素材/线性方程组同解.md
@@ -16,7 +16,7 @@ $N(A)\subset N(B)$可以得到什么呢？
 非齐次的时候同理.
 
 注意：由此，我们还能得到一些别的结论
-例如：$A$ 和 $B$ 等价，并不能得到两方程同解，因为等价的初等变换可能包括初等列变换，而列变换可能改变两方程的解
+例如：$A$ 和 $B$ 等价（可以通过初等变换得到），并不能得到两方程同解，因为等价的初等变换可能包括初等列变换，而列变换可能改变两方程的解
 
 >[!example] 例1
 >6. 已知方程组$\quad\begin{cases}x_1 + 2x_2 + 3x_3 = 0, \\2x_1 + 3x_2 + 5x_3 = 0, \\x_1 + x_2 + ax_3 = 0,\end{cases}$   与$\quad\begin{cases}x_1 + bx_2 + cx_3 = 0, \\2x_1 + b^2x_2 + (c+1)x_3 = 0\end{cases}$同解，则

From 243f301475ba04fbe971fd1e7388b0ca25e294a8 Mon Sep 17 00:00:00 2001
From: pjokerx <1433560268@qq.com>
Date: Sun, 11 Jan 2026 23:39:07 +0800
Subject: [PATCH 3/5] vault backup: 2026-01-11 23:39:07

---
 线性方程组的系数矩阵与解关系.md | 5 ++++-
 1 file changed, 4 insertions(+), 1 deletion(-)

diff --git a/线性方程组的系数矩阵与解关系.md b/线性方程组的系数矩阵与解关系.md
index 1d721b7..91568da 100644
--- a/线性方程组的系数矩阵与解关系.md
+++ b/线性方程组的系数矩阵与解关系.md
@@ -1,5 +1,8 @@
 在研究线性方程组的解的性质（例如维数）时，我们通常要与其系数矩阵本身的性质产生联系：
 >[!note] 定理1：
 >对于齐次方程组 $\boldsymbol{A}_{m \times n}\boldsymbol{x}=\boldsymbol{0}$，设$rank\boldsymbol{A}=r$，则
-> $\qquad\qquad\qquad dimN(\boldsymbol{A})=n-r$
+> $$\dim N(\boldsymbol{A})=n-r$$
+>例一：
+>设 $A=$
+
 

From 4cf0b6d9b9224e8a55134d8067fee533f2c28978 Mon Sep 17 00:00:00 2001
From: =?UTF-8?q?=E7=8E=8B=E8=BD=B2=E6=A5=A0?= <wkn339224@qq.com>
Date: Sun, 11 Jan 2026 23:42:55 +0800
Subject: [PATCH 4/5] vault backup: 2026-01-11 23:42:55

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 线性方程组的系数矩阵与解关系.md | 7 ++++---
 1 file changed, 4 insertions(+), 3 deletions(-)

diff --git a/线性方程组的系数矩阵与解关系.md b/线性方程组的系数矩阵与解关系.md
index 91568da..3e40a9a 100644
--- a/线性方程组的系数矩阵与解关系.md
+++ b/线性方程组的系数矩阵与解关系.md
@@ -1,8 +1,9 @@
 在研究线性方程组的解的性质（例如维数）时，我们通常要与其系数矩阵本身的性质产生联系：
 >[!note] 定理1：
->对于齐次方程组 $\boldsymbol{A}_{m \times n}\boldsymbol{x}=\boldsymbol{0}$，设$rank\boldsymbol{A}=r$，则
+>对于齐次方程组 $\boldsymbol{A}_{m \times n}\boldsymbol{x}=\boldsymbol{0}$，设$\mathrm{rank}\boldsymbol{A}=r$，则
 > $$\dim N(\boldsymbol{A})=n-r$$
->例一：
->设 $A=$
+
+>[!example] 例一：
+设 $A=$
 
 

From a2d6bb97ff546f3443620a6dc1d94dadbd734c3c Mon Sep 17 00:00:00 2001
From: =?UTF-8?q?=E7=8E=8B=E8=BD=B2=E6=A5=A0?= <wkn339224@qq.com>
Date: Sun, 11 Jan 2026 23:46:17 +0800
Subject: [PATCH 5/5] vault backup: 2026-01-11 23:46:17

---
 素材/秩的不等式.md | 8 ++++----
 1 file changed, 4 insertions(+), 4 deletions(-)

diff --git a/素材/秩的不等式.md b/素材/秩的不等式.md
index fd57403..3d28b8c 100644
--- a/素材/秩的不等式.md
+++ b/素材/秩的不等式.md
@@ -20,7 +20,7 @@ $$ \operatorname{rank}(AB) \geq \operatorname{rank} A + \operatorname{rank} B -
 
 设 $A_{n \times n}$， $B_{n \times n}$，则
 
-$$(1)\ rank  
+$$(1)\ \mathrm{rank}  
 
 \begin{bmatrix}
 A \\
@@ -32,21 +32,21 @@ B
 \end{bmatrix} \geq \text{rank } B
 $$
 
-$$(2)\ rank  
+$$(2)\ \mathrm{rank}  
 \begin{bmatrix}
 A & 0 \\
 0 & B
 \end{bmatrix} = \text{rank } A + \text{rank } B
 $$
 
-$$(3)\ rank  
+$$(3)\ \mathrm{rank}  
 \begin{bmatrix}
 A & E_n \\
 0 & B
 \end{bmatrix} \geq \text{rank } A + \text{rank } B
 $$
 
-$$(4)\ rank  
+$$(4)\ \mathrm{rank}  
 \begin{bmatrix}
 A & 0 \\
 0 & B