试卷

期中考前押题卷.md

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+时量：60分钟    ____
+**内部资料，禁止传播**
+**编委会（不分先后，姓氏首字母顺序）：程奕铭   韩魏   刘柯妤   卢吉辚   王轲楠   支宝宁  郑哲航**
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+1.设周期函数 $f(x)$ 在 $(-\infty,+\infty)$ 内可导，又 $\lim\limits_{x\to0}\dfrac{f(1)-f(1-x)}{2x}=-1$，则曲线 $y=f(x)$ 在点 $(5,f(5))$ 处切线的斜率为（ ）。  
+（A）$\dfrac{1}{2}$　　　（B）$0$　　　（C）$-1$　　　（D）$-2$
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+2.设 $f(x) = \dfrac{2 + e^{\frac{1}{x}}}{1 + e^{\frac{1}{x}}} + \dfrac{\sin x}{|x|}$，则 $x = 0$ 是 $f(x)$ 的（ ）。
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+(A) 可去间断点  
+(B) 跳跃间断点  
+(C) 无穷间断点  
+(D) 振荡间断点
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+3.（多选）下列级数中收敛的有______。
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+A $\sin \frac{\pi}{2} + \sin \frac{\pi}{2^2} + \sin \frac{\pi}{2^3} + \cdots$
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+B $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{5^n} \cdot \frac{3n^3+2n^2}{4n^3+1}$
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+C $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{(a+n-1)(a+n)(a+n+1)} \quad (a > 0)$
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+D $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n\sqrt[n]{n}}$
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+E $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n} \arctan \frac{n}{n+1}$
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+F $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{\sqrt{n+\sqrt{n}}}{n^2+1}$
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+4.设 $y=y(x)$ 由方程 $x^y + 2x^2 - y = 1$ 确定，求 $dy|_{x=1}$______。
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+5. $\lim_{n \to \infty} \left( \frac{1}{n^2 + \sin 1} + \frac{2}{n^2 + 2\sin 2} + \cdots + \frac{n}{n^2 + n \sin n} \right)$=______。
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+6.计算 $\lim_{x \to \infty} \left( \tan^2 \frac{2}{x} + \cos \frac{1}{x} \right)^{x^2}$______。
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+7.求曲线 $y = \ln(1+e^x) + \frac{2+x}{2-x} \arctan \frac{x}{2}$ 的渐近线方程。
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+8.设 $a > 0, \sigma > 0$，定义 $a_1 = \dfrac{1}{2} \left( a + \dfrac{\sigma}{a} \right)$，$a_{n+1} = \dfrac{1}{2} \left( a_n + \dfrac{\sigma}{a_n} \right)$，$n = 1, 2, \ldots$  
+证明：数列 ${a_n}$ 收敛，且极限为 $\sqrt{\sigma}$。
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+9.一飞机在离地面$2 km$的高度，以$200 km/h$的速度水平飞行到某目标上空，以便进行航空摄影。试求飞机飞至该目标正上方时，摄影机转动的角速率。
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+10.若函数 $f(x)$ 在 $(a,b)$ 内连续，任取 $x_i \in (a,b)$ $(i=1,2,\cdots,n)$ 使  
+x1≤x2≤⋯≤xn
+证明：存在 $\xi \in [x_1,x_n]$，使得  
+$$f(\xi) = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^n f(x_i)$$