diff --git a/编写小组/讲义/12-25 易错点5-6 (HW).md b/编写小组/讲义/12-25 易错点5-6 (HW).md
new file mode 100644
index 0000000..29e0b57
--- /dev/null
+++ b/编写小组/讲义/12-25 易错点5-6 (HW).md	
@@ -0,0 +1,115 @@
+5.错用p级数的性质，如指数上其实是关于n的函数 却使用p级数的性质判断
+6.利用比值/根值判别法判断出$\sum |a_n|$发散$\Rightarrow$$\sum a_n$发散
+
+---
+## Vol. 5:误用p级数
+**机械地套用p级数结论，而忽视了其应用前提：指数 `p` 必须是与 `n` 无关的常数。**
+
+>例题1：
+>$$判定\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^{1 + \frac{1}{n}}}的敛散性$$
+#### ❌ 经典错误思路
+1.  形式像 `1/n^p`
+2.  "指数"是 `1 + 1/n`
+3.  因为 `1/n > 0`，所以 `p = 1 + 1/n > 1` 恒成立，误判为收敛
+#### ✅ 正确分析与解法
+**错误原因**：`pₙ = 1 + 1/n` 不是常数，其极限为1。
+使用比值审敛法与调和级数 `∑ 1/n` 比较：
+$$\lim_{n \to \infty} \frac{ \frac{1}{n^{1 + \frac{1}{n}}} }{ \frac{1}{n} } = \lim_{n \to \infty} \frac{1}{n^{1/n}} = 1$$
+可知两级数敛散性相同，且调和级数发散 ⇒ 原级数**发散**。
+
+---
+
+> 例题2：
+>$$判定\sum_{n=2}^{\infty} \frac{1}{n \cdot \ln n}的敛散性$$
+
+
+#### ❌ 经典错误思路
+无法直接套用p级数，因多了一个 `ln n` 因子。错误地认为 `1/(n ln n) < 1/n`，认为原级数收敛
+
+#### ✅ 正确分析与解法(超纲，仅供拓展)
+**正确解法**（积分判别法）：
+$$
+\int_{2}^{\infty} \frac{dx}{x \ln x} = \int_{\ln 2}^{\infty} \frac{du}{u} = \infty
+$$
+该积分发散 ⇒ 原级数**发散**。
+
+---
+
+
+## Vol. 6: 条件收敛、绝对收敛、发散
+**仅当利用比值/根值判别法判断出$\sum |a_n|$发散时$\Rightarrow$$\sum a_n$发散
+
+#### 基本定义
+给定一个实数（或复数）项级数 $\sum a_n$，其中 $a_n \in \mathbb{R}$ 或 $\mathbb{C}$。
+1.  **绝对值级数**：$\sum |a_n|$，即每一项取绝对值后的新级数
+2.  **绝对收敛**：如果 $\sum |a_n|$ 收敛，则称 $\sum a_n$ **绝对收敛**
+3.  **条件收敛**：如果 $\sum a_n$ 收敛但 $\sum |a_n|$ 发散，则称 $\sum a_n$ **条件收敛**
+
+#### 正确分析：
+仅有$\sum |a_n|$ 收敛 ⇒ $\sum a_n$收敛
+**证明**：
+- 使用柯西收敛准则。对于任意 $\varepsilon > 0$：
+  因为 $\sum |a_n|$ 收敛，由柯西准则，存在 $N$，使得当 $m > n \geq N$ 时：
+  $$|a_{n+1}| + |a_{n+2}| + \cdots + |a_m| < \varepsilon$$     由三角不等式:
+  $$
+  |a_{n+1} + a_{n+2} + \cdots + a_m| \leq |a_{n+1}| + |a_{n+2}| + \cdots + |a_m| < \varepsilon
+  $$
+  因此 $\sum a_n$ 满足柯西准则 ⇒ 收敛。
+
+同理， $\sum a_n$ 发散 ⇒ $\sum |a_n|$发散
+
+#### 概念辨析：
+1.  $\sum a_n$ 收敛 ⇒ $\sum |a_n|$收敛？
+    ❌ 经典错误思路
+    **反例**：交错调和级数 $\sum (-1)^{n+1}/n$
+2.  $\sum |a_n|$ 发散 ⇒ $\sum a_n$发散？
+    ❌ 经典错误思路
+    **反例**：交错调和级数 $\sum (-1)^{n+1}/n$
+3. $\sum |a_n|$ 收敛 ⇒ $\sum a_n$收敛
+    ✅ 正确分析
+4.  $\sum a_n$ 发散 ⇒ $\sum |a_n|$发散
+    ✅ 正确分析
+
+
+#### 附典型例子
+
+| 级数                          | $\sum a_n$ | $\sum \|a_n\|$                                           | 分类   |
+| --------------------------- | ---------- | -------------------------------------------------------- | ---- |
+| $\sum \frac{(-1)^n}{n^2}$   | 收敛         | 收敛                                                       | 绝对收敛 |
+| $\sum \frac{(-1)^{n+1}}{n}$ | 收敛         | 发散                                                       | 条件收敛 |
+| $\sum \frac{1}{n}$          | 发散         | 发散                                                       | 发散   |
+| $\sum (-1)^n$               | 发散（震荡）     | $\sum 1$ 发散                                              | 发散   |
+| $\sum \frac{\sin n}{n^2}$   | 收敛         | $\sum \frac{\|\sin n\|}{n^2} \leq \sum \frac{1}{n^2}$ 收敛 | 绝对收敛 |
+
+---
+#### 前情提要
+
+##### 比值判别法 (D'Alembert Ratio Test)
+
+对于一般项 $a_n$，定义：
+$$L = \lim_{n \to \infty} \left| \frac{a_{n+1}}{a_n} \right|$$
+
+- **若 $L < 1$**：则 $\sum |a_n|$ 收敛 ⇒ $\sum a_n$ **绝对收敛**。
+- **若 $L > 1$**：则 $|a_n|$ 不趋于 0 ⇒ $\sum a_n$ **发散**。
+- **若 $L = 1$**：判别法**失效**，需用其他方法判断。
+
+##### 根值判别法 (Cauchy Root Test)
+
+对于一般项 $a_n$，定义：
+$$L = \lim_{n \to \infty} \sqrt[n]{|a_n|}$$
+
+- **若 $L < 1$**：则 $\sum |a_n|$ **收敛**。
+- **若 $L > 1$**：则 $|a_n|$ 不趋于 0 ⇒ $\sum a_n$ **发散**。
+- **若 $L = 1$**：判别法**失效**，需用其他方法判断。
+
+
+#### 结论:
+**如果利用比值判别法或根值判别法得到$\sum |a_n|$发散，则$\sum a_n$发散**
+
+#### 证明：
+- 若比值判别法或根值判别法给出L>1
+- 那意味着 $∣a_n∣$ 不趋于 0（实际上 $∣a_n∣$ 递增并且远离 0），
+- 因此 $a_n$ 也不趋于 0，
+- 所以$a_n$ 发散。
+
+
diff --git a/编写小组/讲义/子数列问题&考试易错点汇总（解析版）.md b/编写小组/讲义/子数列问题&考试易错点汇总（解析版）.md
index 8bda84c..e3df9bf 100644
--- a/编写小组/讲义/子数列问题&考试易错点汇总（解析版）.md
+++ b/编写小组/讲义/子数列问题&考试易错点汇总（解析版）.md
@@ -216,8 +216,6 @@ $$\lim_{k \to \infty}a_{4k+1} = \lim_{k \to \infty}\left(1 + \frac{1}{4k+1}\righ
     由于子列$\{a_{4k}\}$收敛于0，子列$\{a_{4k+1}\}$收敛于1，二者极限不相等，故数列$\{a_n\}$的极限不存在。
 
 
-
- 
 >[!example] **例3**（海涅定理）
 > 证明狄利克雷函数
 $$D(x)= \begin{cases}1, & x\text{为有理数时}, \\ 0, & x\text{为无理数时}\end{cases}$$
@@ -232,9 +230,117 @@ $$D(x)= \begin{cases}1, & x\text{为有理数时}, \\ 0, & x\text{为无理数
    由于$x_0$是任意一点，所以狄利克雷函数在任何点处都不存在极限。
 
 
+# 考试易错点总结
+
+## Vol. 5:误用p级数
+**机械地套用p级数结论，而忽视了其应用前提：指数 `p` 必须是与 `n` 无关的常数。**
+
+>例题1：
+>$$判定\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^{1 + \frac{1}{n}}}的敛散性$$
+#### ❌ 经典错误思路
+1.  形式像 `1/n^p`
+2.  "指数"是 `1 + 1/n`
+3.  因为 `1/n > 0`，所以 `p = 1 + 1/n > 1` 恒成立，误判为收敛
+#### ✅ 正确分析与解法
+**错误原因**：`pₙ = 1 + 1/n` 不是常数，其极限为1。
+使用比值审敛法与调和级数 `∑ 1/n` 比较：
+$$\lim_{n \to \infty} \frac{ \frac{1}{n^{1 + \frac{1}{n}}} }{ \frac{1}{n} } = \lim_{n \to \infty} \frac{1}{n^{1/n}} = 1$$
+可知两级数敛散性相同，且调和级数发散 ⇒ 原级数**发散**。
+
+---
+
+> 例题2：
+>$$判定\sum_{n=2}^{\infty} \frac{1}{n \cdot \ln n}的敛散性$$
+
+
+#### ❌ 经典错误思路
+无法直接套用p级数，因多了一个 `ln n` 因子。错误地认为 `1/(n ln n) < 1/n`，认为原级数收敛
+
+#### ✅ 正确分析与解法(超纲，仅供拓展)
+**正确解法**（积分判别法）：
+$$
+\int_{2}^{\infty} \frac{dx}{x \ln x} = \int_{\ln 2}^{\infty} \frac{du}{u} = \infty
+$$
+该积分发散 ⇒ 原级数**发散**。
+
+---
+
+
+## Vol. 6: 条件收敛、绝对收敛、发散
+**仅当利用比值/根值判别法判断出$\sum |a_n|$发散时$\Rightarrow$$\sum a_n$发散
+
+#### 基本定义
+给定一个实数（或复数）项级数 $\sum a_n$，其中 $a_n \in \mathbb{R}$ 或 $\mathbb{C}$。
+1.  **绝对值级数**：$\sum |a_n|$，即每一项取绝对值后的新级数
+2.  **绝对收敛**：如果 $\sum |a_n|$ 收敛，则称 $\sum a_n$ **绝对收敛**
+3.  **条件收敛**：如果 $\sum a_n$ 收敛但 $\sum |a_n|$ 发散，则称 $\sum a_n$ **条件收敛**
+
+#### 正确分析：
+仅有$\sum |a_n|$ 收敛 ⇒ $\sum a_n$收敛
+**证明**：
+- 使用柯西收敛准则。对于任意 $\varepsilon > 0$：
+  因为 $\sum |a_n|$ 收敛，由柯西准则，存在 $N$，使得当 $m > n \geq N$ 时：
+  $$|a_{n+1}| + |a_{n+2}| + \cdots + |a_m| < \varepsilon$$     由三角不等式:
+  $$
+  |a_{n+1} + a_{n+2} + \cdots + a_m| \leq |a_{n+1}| + |a_{n+2}| + \cdots + |a_m| < \varepsilon
+  $$
+  因此 $\sum a_n$ 满足柯西准则 ⇒ 收敛。
+
+同理， $\sum a_n$ 发散 ⇒ $\sum |a_n|$发散
+
+#### 概念辨析：
+1.  $\sum a_n$ 收敛 ⇒ $\sum |a_n|$收敛？
+    ❌ 经典错误思路
+    **反例**：交错调和级数 $\sum (-1)^{n+1}/n$
+2.  $\sum |a_n|$ 发散 ⇒ $\sum a_n$发散？
+    ❌ 经典错误思路
+    **反例**：交错调和级数 $\sum (-1)^{n+1}/n$
+3. $\sum |a_n|$ 收敛 ⇒ $\sum a_n$收敛
+    ✅ 正确分析
+4.  $\sum a_n$ 发散 ⇒ $\sum |a_n|$发散
+    ✅ 正确分析
+
+
+#### 附典型例子
+
+| 级数                          | $\sum a_n$ | $\sum \|a_n\|$                                           | 分类   |
+| --------------------------- | ---------- | -------------------------------------------------------- | ---- |
+| $\sum \frac{(-1)^n}{n^2}$   | 收敛         | 收敛                                                       | 绝对收敛 |
+| $\sum \frac{(-1)^{n+1}}{n}$ | 收敛         | 发散                                                       | 条件收敛 |
+| $\sum \frac{1}{n}$          | 发散         | 发散                                                       | 发散   |
+| $\sum (-1)^n$               | 发散（震荡）     | $\sum 1$ 发散                                              | 发散   |
+| $\sum \frac{\sin n}{n^2}$   | 收敛         | $\sum \frac{\|\sin n\|}{n^2} \leq \sum \frac{1}{n^2}$ 收敛 | 绝对收敛 |
+
+---
+#### 前情提要
+
+##### 比值判别法 (D'Alembert Ratio Test)
+
+对于一般项 $a_n$，定义：
+$$L = \lim_{n \to \infty} \left| \frac{a_{n+1}}{a_n} \right|$$
+
+- **若 $L < 1$**：则 $\sum |a_n|$ 收敛 ⇒ $\sum a_n$ **绝对收敛**。
+- **若 $L > 1$**：则 $|a_n|$ 不趋于 0 ⇒ $\sum a_n$ **发散**。
+- **若 $L = 1$**：判别法**失效**，需用其他方法判断。
+
+##### 根值判别法 (Cauchy Root Test)
+
+对于一般项 $a_n$，定义：
+$$L = \lim_{n \to \infty} \sqrt[n]{|a_n|}$$
+
+- **若 $L < 1$**：则 $\sum |a_n|$ **收敛**。
+- **若 $L > 1$**：则 $|a_n|$ 不趋于 0 ⇒ $\sum a_n$ **发散**。
+- **若 $L = 1$**：判别法**失效**，需用其他方法判断。
 
 
+#### 结论:
+**如果利用比值判别法或根值判别法得到$\sum |a_n|$发散，则$\sum a_n$发散**
 
+#### 证明：
+- 若比值判别法或根值判别法给出L>1
+- 那意味着 $∣a_n∣$ 不趋于 0（实际上 $∣a_n∣$ 递增并且远离 0），
+- 因此 $a_n$ 也不趋于 0，
+- 所以$a_n$ 发散。
 ## Vol. 9: 反函数求导  
 易错：变量混淆。反函数的导数 = 原函数导数的倒数，但**自变量和因变量角色互换**。
 这一点，大家都明白，但是一写在答题卡上就错了😂。
diff --git a/编写小组/课前测/课前测4.md b/编写小组/课前测/课前测4.md
index d748c0c..5955394 100644
--- a/编写小组/课前测/课前测4.md
+++ b/编写小组/课前测/课前测4.md
@@ -6,6 +6,11 @@
 
 2. 函数 $f(x) = \begin{cases} x^2, & \text{若 } x \text{ 为有理数} \\ -x^2, & \text{若 } x \text{ 为无理数} \end{cases}$
 求
-$
+$$
 \lim_{x \to 0} f(x) 
-$
+$$
+
+
+3.设$f(x)=\begin{cases} \frac{1}{|x|^{\alpha}}sin\frac{1}{x} \ \ ,x\neq0 \\ 0,\ \ \ x=0\end{cases}$在$x=0$处可导，则$\alpha$的取值范围是[   ].
+（A）$\alpha>-1$   （B）$\alpha<-1$   （C）$0<\alpha<1$    （D）$\alpha>1$
+
diff --git a/编写小组/课前测/课前测解析版4.md b/编写小组/课前测/课前测解析版4.md
index a13b01a..ce2afdb 100644
--- a/编写小组/课前测/课前测解析版4.md
+++ b/编写小组/课前测/课前测解析版4.md
@@ -26,10 +26,17 @@ tags:
 
 2. 函数 $f(x) = \begin{cases} x^2, & \text{若 } x \text{ 为有理数} \\ -x^2, & \text{若 } x \text{ 为无理数} \end{cases}$
 求
-$
+$$
 \lim_{x \to 0} f(x) 
-$
+$$
 
 **解析：**
 
-对于任意趋于 0 的序列 $x_n$，无论其项是有理数还是无理数，都有 $|f(x_n)| = x_n^2 \to 0$。因此，由夹逼定理可得极限为 0。
\ No newline at end of file
+对于任意趋于 0 的序列 $x_n$，无论其项是有理数还是无理数，都有 $|f(x_n)| = x_n^2 \to 0$。因此，由夹逼定理可得极限为 0。
+
+
+3.设$f(x)=\begin{cases} \frac{1}{|x|^{\alpha}}sin\frac{1}{x} \ \ ,x\neq0 \\ 0,\ \ \ x=0\end{cases}$在$x=0$处可导，则$\alpha$的取值范围是[   ].
+（A）$\alpha>-1$   （B）$\alpha<-1$   （C）$0<\alpha<1$    （D）$\alpha>1$
+
+解：$\lim\limits_{x\to0}f(x)=\lim\limits_{x\to0}\frac{sin\frac{1}{x}}{|x|^{\alpha}}=0$,由于$x\to0$时$sin\frac{1}{x}$无限振荡但是有界，所以要极限为$0$，只要$|x|^{\alpha}\to\infty$，故$\alpha<-1$，选$B$.
+
diff --git a/编写小组/课后测/课后测4.md b/编写小组/课后测/课后测4.md
index aabaeb9..7e0fd9f 100644
--- a/编写小组/课后测/课后测4.md
+++ b/编写小组/课后测/课后测4.md
@@ -14,4 +14,8 @@
 
 
 
-5.判断级数 $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{\sin(n\pi + \frac{\pi}{4})}{\sqrt{n^3+1}}$ 的敛散性。
\ No newline at end of file
+5.判断级数 $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{\sin(n\pi + \frac{\pi}{4})}{\sqrt{n^3+1}}$ 的敛散性。
+
+
+6.设函数$f(x)=\begin{cases}ax+b,x\ge1,\\ e^{\frac{1}{x}},0<x<1\end{cases}$在$x=1$处可导，则$a、b$的取值分别为$\_\_\_,\_\_\_$.
+