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编写小组/讲义/子数列问题&考试易错点汇总.md

@@ -232,7 +232,7 @@ $$D(x)= \begin{cases}1, & x\text{为有理数时}, \\ 0, & x\text{为无理数
 
 ## Vol. 1:补药漏写dx口牙！
 
->[!example] 例1
+>[!example] 例题
  >设函数 $y = \ln(1 + \sin^2 x)$，求其微分 $dy$。
 
 ```
@@ -268,7 +268,7 @@ $$D(x)= \begin{cases}1, & x\text{为有理数时}, \\ 0, & x\text{为无理数
 
 ## Vol. 3:可去间断点的说明
 
->[!example] 例2
+>[!example] 例题
  >求曲线 $y = \frac{x^2 + 2x - 3}{x^2 - 3x + 2}$ 的所有渐近线。
 
 ```
@@ -284,7 +284,8 @@ $$D(x)= \begin{cases}1, & x\text{为有理数时}, \\ 0, & x\text{为无理数
 
 
 ## Vol. 4:正项级数的判别法勿滥用
->[!example] 例3
+
+>[!example] 例题
  >判断级数 $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^{n} n^2}{3^n}$ 的敛散性（绝对收敛、条件收敛或发散）。
 
 ```
@@ -434,7 +435,7 @@ $y=f^{-1}(x)$，即$x = f(y)$，求$f^{-1'}$就是在求$\frac{dy}{dx}$，而$\f
 所以，我们还需要将$y = f^{-1}(x)$代入，即：
 $\frac{dy}{dx}=\frac{1}{f'(y)}=\frac{1}{f'(f^{-1}(x))}$
 
-> [!example] 例1
+> [!example] 例题
 > 求$d(\arcsin x)$
 
 ```

编写小组/讲义/子数列问题&考试易错点汇总（解析版）.md

@@ -254,7 +254,7 @@ $$D(x)= \begin{cases}1, & x\text{为有理数时}, \\ 0, & x\text{为无理数
 
 ## Vol. 1:补药漏写dx口牙！
 
->[!example] 例1
+>[!example] 例题
  >设函数 $y = \ln(1 + \sin^2 x)$，求其微分 $dy$。
 
 **解**：
@@ -270,8 +270,9 @@ $$ dy = \frac{\sin 2x}{1+\sin^2 x} dx $$
 ## **Vol.2等价无穷小问题**
 
 注意，等价无穷小只能用于乘除，用于加减虽然有时也会得到正确的答案，但这并不是有保证的。归根到底这是因为等价无穷小是一种**近似**，在乘除中它的近似程度还可以用，但在加减中就未必了，加减中我们需要更精确的近似方法：泰勒展开。另外重要极限也是等价无穷小的两种特殊情况。
+
 >[!example] 例题
->求极限$$\lim\limits_{x\to0}\frac{tanx-sinx}{x^3}$$.
+>求极限$$\lim\limits_{x\to0}\frac{tanx-sinx}{x^3}$$
 
 **解**：如果直接用$tanx\sim x,sinx\sim x(x\to0)$的话，分子就会变成$0$，从而极限为$0$.
 然而从另一个角度看，$$\lim\limits_{x\to0}\frac{tanx-sinx}{x^3}=\lim\limits_{x\to0}\frac{sinx-sinxcosx}{x^3cosx}=\lim\limits_{x\to0}\frac{sinx(1-cosx)}{x^3}\cdot \frac{1}{cosx}=\lim\limits_{x\to0}\frac{x\cdot\frac{1}{2}x^2}{x^3}=\frac{1}{2}.$$
@@ -281,7 +282,7 @@ $$ dy = \frac{\sin 2x}{1+\sin^2 x} dx $$
 
 ## Vol. 3:可去间断点的说明
 
->[!example] 例2
+>[!example] 例题
  >求曲线 $y = \frac{x^2 + 2x - 3}{x^2 - 3x + 2}$ 的所有渐近线。
 
 **解**：
@@ -312,7 +313,7 @@ $$ \lim_{x \to \infty} y = \lim_{x \to \infty} \frac{1 + \frac{2}{x} - \frac{3}{
 
 ## Vol. 4:正项级数的判别法勿滥用
 
->[!example] 例3
+>[!example] 例题
  >判断级数 $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^{n} n^2}{3^n}$ 的敛散性（绝对收敛、条件收敛或发散）。
 
 **错误做法示范**：观察级数 $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^{n} n^2}{3^n}$，若直接对其使用比值判别法：
@@ -451,7 +452,9 @@ $$L = \lim_{n \to \infty} \sqrt[n]{|a_n|}$$
 - 所以$a_n$ 发散。
 
 ## **Vol.7 分段函数分段点处求导问题**
+
 分段函数分段点处无论是求导还是判断连续都必须从**左右两边的极限**分别去算，而且计算的时候一定只能**用定义**。
+
 >[!example] 例题
 >设$f(x)=\begin{cases} \frac{2}{3}x ,\ \  x\le1  \\ x^2, \ \  x>1,\end{cases}$则$f(x)$在$x=1$处的\[     \].
 >（A）左右导数都存在                                         （B）左导数存在，右导数不存在   
@@ -472,7 +475,7 @@ $y=f^{-1}(x)$，即$x = f(y)$，求$f^{-1'}$就是在求$\frac{dy}{dx}$，而$\f
 所以，我们还需要将$y = f^{-1}(x)$代入，即：
 $\frac{dy}{dx}=\frac{1}{f'(y)}=\frac{1}{f'(f^{-1}(x))}$
 
-> [!example] 例1
+> [!example] 例题
 > 求$d(\arcsin x)$
 
 解：设$y=\arcsin x$，即$x=\sin y$，$dx=\cos y\ dy$，即$dy=\frac{dx}{\cos y}$
@@ -482,14 +485,19 @@ $\frac{dy}{dx}=\frac{1}{f'(y)}=\frac{1}{f'(f^{-1}(x))}$
 得$\cos y=\sqrt{1-x^2}$，综上，$dy=\frac{dx}{\sqrt{1-x^2}}$，即$d(\arcsin x)=\frac{dx}{\sqrt{1-x^2}}$
 
 ## Vol. 10: 无界与无穷大的辨析
+
 很多人都觉得无界和无穷大是同一个概念，因为它们的实在是太像了：画在坐标系上都是“直指苍穹🚀”或者“飞流直下三千尺”嘛！但是，“无界”准确来说不完全是这样。要准确辨析它们，需要回到它们的**定义**上：
+
 无穷大的定义：$\forall M > 0, \exists \delta>0$，当$0<|x-x_0|<\delta$时有$|f(x)|>M$，称$f(x)$是当$x\rightarrow x_0$时的无穷大量
+
 无界量的定义：由有界的定义($\exists M > 0, \forall x \in D_f,|f(x)|<M$)反推，无界的定义应该是$\forall M > 0$,
 $\forall \delta>0, \exists x \in \mathring{U}(x_0,\delta)$有 $|f(x)|>M$，称$f(x)$是当$x\rightarrow x_0$时的无界量
+
 **核心区别**：无穷大是**存在某**去心邻域内**任意**$x$都大于$M$，无界是需要对**任意**邻域**存在**一个$x$使得$|f(x)|>M$
+
 **联系**：无穷大一定是无界量，但是无界量不一定是无穷大。
 
-> [!example] 例1
+> [!example] 例题
 > 无穷震荡$\lim\limits_{x\rightarrow 0}{\frac{1}{x}\sin\frac{1}{x}}$
 
 ![[易错点10-1.png]]