diff --git a/素材/特征值与相似.md b/素材/特征值与相似对角化.md similarity index 55% rename from 素材/特征值与相似.md rename to 素材/特征值与相似对角化.md index 668218f..5f4bb8a 100644 --- a/素材/特征值与相似.md +++ b/素材/特征值与相似对角化.md @@ -1,62 +1,90 @@ -设 $A$ 是 $n$ 阶方阵，若存在数 $\lambda$ 和非零 $n$ 维列向量 $\xi$，使得 $A\xi = \lambda\xi$，则称 $\lambda$ 为 $A$ 的特征值，$\xi$ 为 $A$ 对应于 $\lambda$ 的特征向量。 -1. 构造特征多项式：$f(\lambda) = |\lambda E - A|$（$E$ 为 $n$ 阶单位矩阵），本质是将 $A\xi = \lambda\xi$ 变形为 $(\lambda E - A)\xi = 0$，由于 $\xi \neq 0$，齐次线性方程组有非零解的充要条件是系数行列式为 0，即 $|\lambda E - A| = 0$。 -2. 求解特征方程：$|\lambda E - A| = 0$，得到的根即为 $A$ 的特征值，此时根的重数为**代数重数**。 -3. 求对应特征向量：对每个特征值 $\lambda_i$，解齐次方程组 $(\lambda_i E - A)x = 0$，其非零解即为对应 $\lambda_i$ 的特征向量，所有非零解构成该特征值的特征子空间；该子空间的维数为**几何重数**。 +设 $A$ 是 $n$ 阶方阵，若存在数 $\lambda$ 和非零 $n$ 维列向量 $\xi$，使得 $A\xi = \lambda\xi$，则称 $\lambda$ 为 $A$ 的特征值，$\xi$ 为 $A$ 对应于 $\lambda$ 的特征向量. +1. 构造特征多项式：$f(\lambda) = |\lambda E - A|$（$E$ 为 $n$ 阶单位矩阵），本质是将 $A\xi = \lambda\xi$ 变形为 $(\lambda E - A)\xi = 0$，由于 $\xi \neq 0$，齐次线性方程组有非零解的充要条件是系数行列式为 0，即 $|\lambda E - A| = 0$. +2. 求解特征方程：$|\lambda E - A| = 0$，得到的根即为 $A$ 的特征值，此时根的重数为**代数重数**. +3. 求对应特征向量：对每个特征值 $\lambda_i$，解齐次方程组 $(\lambda_i E - A)x = 0$，其非零解即为对应 $\lambda_i$ 的特征向量，所有非零解构成该特征值的特征子空间；该子空间的维数为**几何重数**. -特征值，顾名思义，就是体现了这个矩阵的“特征”。这一点在矩阵的相似表现的尤为明显。 +特征值，顾名思义，就是体现了这个矩阵的“特征”. 这一点在矩阵的相似表现的尤为明显. 特征值最基本的性质： 1. 特征值之和等于矩阵的迹（主对角线元素之和），即 $\sum\limits_{i=1}^{n}\lambda_i=\sum\limits_{i=1}^{n}a_{ii}$； -2. 特征值之积等于矩阵的行列式，即$\prod\limits_{i=1}^{n}\lambda_i=|A|$。 -3. 对于有理函数 $f(x)$ ，矩阵 $f(A)$ 的特征值为 $f(\lambda)$ ，对应的特征向量不变。相应的，如果 $A\sim B$，则 $f(A) \sim f(B)$。 -4. 相似矩阵特征值相等。 +2. 特征值之积等于矩阵的行列式，即$\prod\limits_{i=1}^{n}\lambda_i=|A|$. +3. 对于有理函数 $f(x)$ ，矩阵 $f(A)$ 的特征值为 $f(\lambda)$ ，对应的特征向量不变. 相应的，如果 $A\sim B$，则 $f(A) \sim f(B)$. +4. 相似矩阵特征值相等. + +相似矩阵的定义与性质 +数域 $K$ 上两个 $n$ 阶矩阵$A,B$ 相似的定义为: 存在数域$K$ 上的可逆矩阵$P$ 使得$B = P^{-1}AP$. 记为 +$A \sim B$. +1. 相似是一种等价关系, 即满足反身性, 对称性, 传递性. +2. $A,B$ 相似, 可以得到 $A,B$ 秩相同, 但是不要求$A,B$ 都可逆, 更不要求$A,B$ 对称. +3. 对于任意的有理式 $f(x)$， 都有$f(A) \sim f(B)$. 并且, 如果 + $B = P^{-1}AP$, 则$f(B) = P^{-1}f(A)P$. 对于 $A^*$，可视作 $|A|A^{-1}$，是有理式中的一个 $-1$ 次方项目. +4. $A_1 \sim B_1,\;A_2 \sim B_2$, 不一定有$A_1+A_2 \sim B_1+B_2$. 只有当$P^{-1}A_1P = B_1$ 且$P^{-1}A_2P = B_2$ 时(相同的过渡矩阵$P$), 才有 $P^{-1}(A_1+A_2)P = B_1+B_2$， 即$A_1+A_2 \sim B_1+B_2$, 这是很苛刻的条件. 你将会在**例题4**中看到. +5. 如果$A_1 \sim A_2$, 且$B_1 \sim B_2$, 则显然有$\begin{pmatrix}A_1 & O \\O & B_1\end{pmatrix}\sim\begin{pmatrix}A_2 & O \\O & B_2\end{pmatrix}.$ + 原因是若$P^{-1}A_1P = A_2,\;Q^{-1}B_1Q = B_2$, 则$\begin{pmatrix}P & O \\O & Q\end{pmatrix}^{-1}\begin{pmatrix}A_1 & O \\O & B_1\end{pmatrix}\begin{pmatrix}P & O \\O & Q\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}A_2 & O \\O & B_2\end{pmatrix}.$ + +在选择题中，我们可以通过一些性质来快速排除可能的相似关系： +>[!info] 判断相似关系的快速步骤 +>1. 判断特征值是否相等 +>2. 判断行列式是否相等 +>3. 根据 $\mathrm{rank}(A-kE)=\mathrm{rank}(B-kE)$ ,带几个好算的 $k$ 进去，看看秩是否相等 +>4. 如果特征值和行列式均相等，接着算重数，判断是否可对角化，根据相似的传递性得出结论. + #### 对角化 -$A$ 能对角化的充要条件是 $A$ 有 $n$ 个**线性无关的特征向量**，这要求 $A$ 的所有特征值的几何重数和代数重数相等，且 $A$ 的所有特征值的重数和为 $n$ 。 +将一个方阵通过可逆变换变为对角矩阵（$A=P^{-1}\Lambda P$）的过程就是相似对角化，相似对角化最根本的应用就是求方阵的有理式（ $\ f(A)=P^{-1}f(\Lambda)P$ ），这在科学计算中起到了很大的简化作用. +$A$ 能对角化的充要条件是 $A$ 有 $n$ 个**线性无关的特征向量**，这要求 $A$ 的所有特征值的几何重数和代数重数相等，且 $A$ 的所有特征值的重数和为 $n$ . 对角化的步骤： -1. 确定特征值 $\lambda_i$ -2. 对每个特征值确定特征向量 $\boldsymbol\xi_i$ （在此时判断能否对角化） -3. 按照顺序，依次将特征向量与特征值写入变换矩阵和对角矩阵： +1. 确定特征值 $\lambda_i$，并对每个特征值确定特征向量 $\boldsymbol\xi_i$ （在此时判断能否对角化）； +2. 按照顺序，依次将特征向量与特征值写入变换矩阵和对角矩阵： $$P=\begin{bmatrix}\boldsymbol\xi_1&\boldsymbol\xi_2&\cdots&\boldsymbol\xi_n\end{bmatrix}, \Lambda=\begin{bmatrix}\lambda_1&&&\\&\lambda_2&&\\&&\ddots&\\&&&\lambda_n\end{bmatrix},A=P^{-1}\Lambda P$$ + +实对称矩阵是一类特殊的矩阵：实对称矩阵就是天选之子，本身就能相似对角化，因为他有 $n$ 个实特征向量，并且，实对称矩阵还可以正交相似对角化，即相似变化矩阵可以是正交矩阵（这个性质非常重要！） +实对称矩阵正交相似对角化的步骤： +1. 确定特征值 $\lambda_i$，并对每个特征值确定特征向量 $\boldsymbol\xi_i$ （在此时判断能否对角化）； +2. 对特征向量作施密特正交化；（不同特征值的特征向量天然正交） +3. 按照顺序，依次将特征向量与特征值写入变换矩阵和对角矩阵. + +若 $A$ 与某个对角矩阵 $B$ 相似，我们可以根据 $B$ 的性质来反推 $A$ 的性质（秩，行列式，特征值），一般地，求抽象矩阵的行列式，需要想到根据特征值的乘积得出. ## 常见题型 -##### 特征值常见的小题就是针对其性质进行设问。 +##### 特征值常见的小题就是针对其性质进行设问. 1. 针对“迹”设问 >[!hint] 提示 >秩为$1$的矩阵$A\in\mathbb{R}^{n\times n}$的特征值有如下特征： >（1）$0$为其特征值，且代数重数和几何重数均为$n-1$； ->>证明：因为$r(A)=1>证明：因为$r(A)=1 >（2）它的另一个特征值为 $\mathrm{tr}(A)$. >>这个特征可以由“特征值之和等于矩阵的迹”得出. > >秩为 $1$ 的矩阵 $A$ 可以拆成 $A=\boldsymbol\alpha\boldsymbol\beta^\mathrm{T}$，$\boldsymbol\alpha=(a_1,a_2,\cdots,a_n),\boldsymbol\beta=(b_1,b_2,\cdots,b_n)$ ->此时 $A$ 的迹为 $\prod\limits_{i=1}^na_ib_i=\boldsymbol\beta\boldsymbol\alpha^\mathrm{T}$ +>此时 $A$ 的迹为 $\displaystyle\prod\limits_{i=1}^na_ib_i=\boldsymbol\beta\boldsymbol\alpha^\mathrm{T}$ >[!example] （[[线代2019秋A|2019]]）例题1 设 $E$ 为 $3$ 阶单位矩阵，$\alpha$ 为一个 $3$ 维单位列向量，则矩阵 $E-\alpha\alpha^\text{T}$ 的全部 $3$ 个特征值为\_\_\_\_\_\_ >[!note] 解析 ->设 $B=\alpha\alpha^T$，该矩阵为**秩 $1$ 矩阵**（因 $\alpha$ 是单位列向量，$\alpha^T\alpha=1$）。 ->秩 $1$ 矩阵的特征值性质：非零特征值为矩阵的迹 $\text{tr}(B)=\alpha^T\alpha=1$，其余 $n-1=2$ 个特征值为 $0$（秩 $1$ 矩阵的非零特征值个数等于秩）。 ->若 $B\boldsymbol{x}=\lambda\boldsymbol{x}$（$\boldsymbol{x}$为特征向量），则 $(E-B)\boldsymbol{x}=(1-\lambda)\boldsymbol{x}$，即$E-B$ 的特征值为 $1-\lambda$。 ->代入 $B$ 的特征值 $\lambda=1,0,0$，得 $E-B$ 的特征值为 $1-1=0$，$1-0=1$，$1-0=1$，即 $1,1,0$。（最后这里也包含了接下来会用到的针对“有理函数”设问） +>设 $B=\alpha\alpha^T$，该矩阵为**秩 $1$ 矩阵**（因 $\alpha$ 是单位列向量，$\alpha^T\alpha=1$）. +>秩 $1$ 矩阵的特征值性质：非零特征值为矩阵的迹 $\text{tr}(B)=\alpha^T\alpha=1$，其余 $n-1=2$ 个特征值为 $0$（秩 $1$ 矩阵的非零特征值个数等于秩）. +>若 $B\boldsymbol{x}=\lambda\boldsymbol{x}$（$\boldsymbol{x}$为特征向量），则 $(E-B)\boldsymbol{x}=(1-\lambda)\boldsymbol{x}$，即$E-B$ 的特征值为 $1-\lambda$. +>代入 $B$ 的特征值 $\lambda=1,0,0$，得 $E-B$ 的特征值为 $1-1=0$，$1-0=1$，$1-0=1$，即 $1,1,0$. （最后这里也包含了接下来会用到的针对“有理函数”设问） >[!example] 例题2 ->已知 $n(n\geq2)$维列向量 $\alpha,\beta$ 满足 $\beta^T\alpha=-3$，则方阵 $(\beta\alpha^T)^2$ 的非零特征值为$\underline{\qquad}$。 +>已知 $n(n\geq2)$维列向量 $\alpha,\beta$ 满足 $\beta^T\alpha=-3$，则方阵 $(\beta\alpha^T)^2$ 的非零特征值为$\underline{\qquad}$. >[!note] 解析 >设 $A=\beta\alpha^T$（秩 1 矩阵），计算 $A^2$： >$A^2=(\beta\alpha^T)(\beta\alpha^T)=\beta(\alpha^T\beta)\alpha^T=(\alpha^T\beta)A$ >注意：$\alpha^T\beta=(\beta^T\alpha)^T$（矩阵转置性质），而 $\beta^T\alpha=-3$（数，转置等于自身），故 $\alpha^T\beta=-3$，因此 $A^2=-3A$。 ->秩 $1$ 矩阵 $A$ 的非零特征值为 $\text{tr}(A)=\alpha^T\beta=-3$，设 $A\boldsymbol{x}=-3\boldsymbol{x}$，则 $A^2\boldsymbol{x}=(-3)A\boldsymbol{x}=(-3)^2\boldsymbol{x}=9\boldsymbol{x}$，即 $A^2$ 的非零特征值为 $9$。 +>由上面的性质，我们知道$A$的特征值只有可能是$0$或$-3$，又$A$不可能只有$0$一种特征值，故$A$的非零特征值只能为$-3$，从而$A^2$的非零特征值为$9$. + 2. 针对“有理函数”设问 >[!example] 例题3 >已知 $4$ 阶矩阵 $A$ 与 $B$ 相似，$A$ 的全部特征值为 $1,2,3,4$，则行列式 $|B^{-1}-E|$ 为\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_ >[!note] 解析 ->“对于有理函数 $f(x)$ ，矩阵 $f(A)$ 的特征值为 $f(\lambda)$ ，对应的特征向量不变。” ->根据这一条性质，我们求得矩阵 $B^{-1}-E$ 的所有特征值，进而求得行列式。 ->$f(x)=\frac{1}{x}-1$，则 $B^{-1}-E$ 的特征值为 $0,-\frac12, -\frac23,-\frac34$，相乘结果为 $0$，故答案为 $0$。 +>“对于有理函数 $f(x)$ ，矩阵 $f(A)$ 的特征值为 $f(\lambda)$ ，对应的特征向量不变. ” +>根据这一条性质，我们求得矩阵 $B^{-1}-E$ 的所有特征值，进而求得行列式. +>$f(x)=\frac{1}{x}-1$，则 $B^{-1}-E$ 的特征值为 $0,-\frac12, -\frac23,-\frac34$，相乘结果为 $0$，故答案为 $0$. >[!example] （[[线代2022秋A|2022]]）例题4 已知 $n$ 阶方阵$\boldsymbol{A}$与$\boldsymbol{B}$相似，$\boldsymbol{C}$与$\boldsymbol{D}$相似，则下列命题中正确的是【】 @@ -70,7 +98,7 @@ D. $\boldsymbol{A}^\text{T}+\boldsymbol{A}$与$\boldsymbol{B}^\text{T}+\boldsymb >[!warning] 注意！ >转置不能作为有理式的一部分！ -##### 特征值大题在设问时，往往回归“特征值”的本源，用特征多项式求解特征值，并应用特征值的性质。 +##### 特征值大题在设问时，往往回归“特征值”的本源，用特征多项式求解特征值，并应用特征值的性质. >[!example] （[[线代2023秋A|2023]]）例题5 >设矩阵 $A=\begin{bmatrix}3&1&2\\0&a&0\\2&b&3\end{bmatrix}$ 仅有两个相异特征值，且 $A$ 相似于对角矩阵，求 $a,b$， 并求可逆矩阵 $P$，使得$P^{-1}AP$ 为对角矩阵． @@ -78,13 +106,13 @@ D. $\boldsymbol{A}^\text{T}+\boldsymbol{A}$与$\boldsymbol{B}^\text{T}+\boldsymb >[!note] 解析 >通过定义，求特征值：$\lambda E-A=\begin{bmatrix}\lambda-3&-1&-2\\0&\lambda-a&0\\-2&-b&\lambda-3\end{bmatrix}$, > $|\lambda E-A|=0 \Rightarrow (\lambda-a)(\lambda-5)(\lambda-1)=0$ -> $A$ 仅有两个相异特征值，说明 $a=5$ 或 $a=1$。 -> 如果 $a=5$：特征值 $5$ 的代数重数为 $2$；因为 $A$ 能相似对角化，所以相应的几何重数也为 $2$。 +> $A$ 仅有两个相异特征值，说明 $a=5$ 或 $a=1$. +> 如果 $a=5$：特征值 $5$ 的代数重数为 $2$；因为 $A$ 能相似对角化，所以相应的几何重数也为 $2$. > $(5E-A)\boldsymbol x=\boldsymbol 0$，即$\begin{bmatrix}2&-1&-2\\0&0&0\\-2&-b&2\end{bmatrix}\boldsymbol x=\boldsymbol 0$，由 $\text{rank}(5E-A)=1$ 得 $b=-1$；对应的特征向量为$(1,2,0)^\mathrm{T},(1,0,1)^\mathrm{T}$； > 而 $(E-A)\boldsymbol x=\boldsymbol 0$，即$\begin{bmatrix}-2&-1&-2\\0&4&0\\-2&b&-2\end{bmatrix}\boldsymbol x=\boldsymbol 0$，对应的特征向量是 $(-1,0,1)^\mathrm{T}$； -> 因此，$P=\begin{bmatrix}1&1&-1\\2&0&0\\0&1&1\end{bmatrix}$。 -> 如果 $a=1$：特征值 $1$ 的代数重数为 $2$；因为 $A$ 能相似对角化，所以相应的几何重数也为 $2$。 +> 因此，$P=\begin{bmatrix}1&1&-1\\2&0&0\\0&1&1\end{bmatrix}$. +> 如果 $a=1$：特征值 $1$ 的代数重数为 $2$；因为 $A$ 能相似对角化，所以相应的几何重数也为 $2$. > $(E-A)\boldsymbol x=\boldsymbol 0$，即$\begin{bmatrix}-2&-1&-2\\0&0&0\\-2&-b&-2\end{bmatrix}\boldsymbol x=\boldsymbol 0$，由 $\text{rank}(E-A)=1$ 得 $b=1$，对应的特征向量为$(1,-2,0)^\mathrm{T},(1,0,-1)^\mathrm{T}$； > 而 $(5E-A)\boldsymbol x=\boldsymbol 0$，即$\begin{bmatrix}-2&-1&-2\\0&4&0\\-2&b&-2\end{bmatrix}\boldsymbol x=\boldsymbol 0$，对应的特征向量是 $(1,0,1)^\mathrm{T}$； -> 因此，$P=\begin{bmatrix}1&1&1\\-2&0&0\\0&-1&1\end{bmatrix}$。 +> 因此，$P=\begin{bmatrix}1&1&1\\-2&0&0\\0&-1&1\end{bmatrix}$. diff --git a/素材/相似对角化.md b/素材/相似对角化.md index eae3473..8895118 100644 --- a/素材/相似对角化.md +++ b/素材/相似对角化.md @@ -68,4 +68,4 @@ $A \sim B$. Step1 判断特征值是否相等 Step2 判断行列式是否相等 step3 根据 $\mathrm{rank}(A-kE)=\mathrm{rank}(B-kE)$ ,带几个好算的 $k$ 进去，看看秩是否相等 -Step3 如果特征值和行列式均相等，接着算重数，判断是否可对角化，根据相似的传递性得出结论. \ No newline at end of file +Step4 如果特征值和行列式均相等，接着算重数，判断是否可对角化，根据相似的传递性得出结论. \ No newline at end of file diff --git a/试卷库/线性代数期末真题/线代2010秋A.md b/试卷库/线性代数期末真题/线代2010秋A.md new file mode 100644 index 0000000..0691872 --- /dev/null +++ b/试卷库/线性代数期末真题/线代2010秋A.md @@ -0,0 +1,151 @@ +# 2010—2011学年秋季学期《线性代数》考试试卷（A）卷 + +**考试形式：闭卷** +**考试时间：150分钟** +**满分：100分** + +--- + +## 一、填空题（共6小题，每小题3分，共18分） + +1. 设$\alpha_{1},\alpha_{2},\alpha_{3}$是欧氏空间的标准正交基，则向量$2\alpha_{1} - \alpha_{2} + 3\alpha_{3}$的长度为 __________。 +2. 设矩阵 +$$ + A = \left[ \begin{array}{ccc} + 2 & 1 & 1 \\ + \frac{1}{3} & \frac{1}{\sqrt{2}} & \frac{1}{3\sqrt{2}} \\ + a & b & \frac{-4}{3\sqrt{2}} \\ + \frac{2}{3} & \frac{-1}{\sqrt{2}} & \frac{1}{3\sqrt{2}} + \end{array} \right] +$$ + 为正交矩阵，则$ab =$__________。 +3. 若实二次型 +$$ + f(x_{1},x_{2},x_{3}) = x_{1}^{2} + 2\lambda x_{1}x_{2} - 2x_{1}x_{3} + 4x_{2}^{2} + 4x_{2}x_{3} + 4x_{3}^{2} +$$ + 为正定二次型，则$\lambda$的取值范围为 __________。 +4. 已知$\alpha_{1},\alpha_{2}$是非齐次线性方程组$A_{2\times 3}x = b$的两个线性无关的解，且$\mathrm{rank}A = 2$。若$\alpha = k\alpha_{1} + l\alpha_{2}$是方程组$Ax = b$的通解，则常数$k,l$须满足关系式 __________。 +5. 设$A$为$n$阶实对称矩阵，且$A^{2} + 2A - 3E = 0$，$\lambda = 1$是$A$的一重特征值，则行列式$|A + 2E| =$__________。 +6. 设$A$为$n$阶可逆矩阵，且每一行元素之和都等于常数$a\neq 0$，则$A$的逆矩阵的每一行元素之和为 __________。 + +--- + +## 二、单选题（共6小题，每小题3分，共18分） + +1. 设$A$为$n$阶可逆矩阵，$A$的第二行乘以2为矩阵$B$，则（ ）。 + - (A)$A^{-1}$的第二行乘以2为$B^{-1}$ + - (B)$A^{-1}$的第二列乘以2为$B^{-1}$ + - (C)$A^{-1}$的第二行乘以$\frac{1}{2}$为$B^{-1}$ + - (D)$A^{-1}$的第二列乘以$\frac{1}{2}$为$B^{-1}$ + +2. 设向量组$\alpha_1,\alpha_2,\alpha_3$线性无关，$\alpha_2,\alpha_3,\alpha_4$线性相关，以下命题中错误的是（ ）。 + - (A)$\alpha_1$不能被$\alpha_2,\alpha_3,\alpha_4$线性表示 + - (B)$\alpha_2$不能被$\alpha_1,\alpha_3,\alpha_4$线性表示 + - (C)$\alpha_4$能被$\alpha_1,\alpha_2,\alpha_3$线性表示 + - (D)$\alpha_1,\alpha_2,\alpha_3,\alpha_4$线性相关 + +3. 设$A = [a_{ij}]_{n\times n}$，二次型 +$$ + f(x_1,x_2,\dots ,x_n) = \sum_{i=1}^n (a_{i1}x_1 + a_{i2}x_2 + \dots + a_{in}x_n)^2 +$$ + 的矩阵为（ ）。 + - (A)$A$ + - (B)$A^2$ + - (C)$A^T A$ + - (D)$A A^T$ + +4. 设$A, B$均为4阶方阵，且$\mathrm{rank}A = 4$，$\mathrm{rank}B = 3$，$A$和$B$的伴随矩阵为$A^*$和$B^*$，则$\mathrm{rank}(A^* B^*)$等于（ ）。 + - (A) 1 + - (B) 2 + - (C) 3 + - (D) 4 + +5. 已知$\alpha_1,\alpha_2,\alpha_3,\alpha_4$是向量空间$V$的一个基，以下向量组也是$V$的基的是（ ）。 + - (A)$\alpha_1+\alpha_2,\ \alpha_2+\alpha_3,\ \alpha_3+\alpha_4,\ \alpha_4+\alpha_1$ + - (B)$\alpha_1-\alpha_2,\ \alpha_2-\alpha_3,\ \alpha_3-\alpha_4,\ \alpha_4-\alpha_1$ + - (C)$\alpha_1+\alpha_2,\ \alpha_2+\alpha_3,\ \alpha_3+\alpha_4,\ \alpha_4-\alpha_1$ + - (D)$\alpha_1+\alpha_2,\ \alpha_2+\alpha_3,\ \alpha_3-\alpha_4,\ \alpha_4-\alpha_1$ + +6. 设3阶方阵$A$的三个特征值为$\lambda_1 = 0,\ \lambda_2 = 3,\ \lambda_3 = -6$，对应于$\lambda_1$的特征向量为$x_1 = (1,0,-1)^T$，对应$\lambda_2$的特征向量为$x_2 = (2,1,1)^T$，记向量$x_3 = x_1 + x_2$，则（ ）。 + - (A)$x_3$是对应于特征值$\lambda_1 = 0$的特征向量 + - (B)$x_3$是对应于特征值$\lambda_2 = 3$的特征向量 + - (C)$x_3$是对应于特征值$\lambda_3 = -6$的特征向量 + - (D)$x_3$不是$A$的特征向量 + +--- + +## 三、（10分）计算$n$阶行列式 + +$$ +D_n = \begin{vmatrix} +1 + x_1^2 & x_1x_2 & \cdots & x_1x_n \\ +x_2x_1 & 1 + x_2^2 & \cdots & x_2x_n \\ +\vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ +x_nx_1 & x_nx_2 & \cdots & 1 + x_n^2 +\end{vmatrix} +$$ + +其中$x_i \neq 0, i = 1, 2, \dots , n$。 + +--- + +## 四、（10分）设3阶方阵$A,B$满足方程$A^{2}B - A - B = E$，试求矩阵$B$，其中 +$$ +A = \begin{bmatrix} +1 & 0 & 1 \\ +0 & 2 & 0 \\ +-2 & 0 & 1 +\end{bmatrix}。 +$$ + +--- + +## 五、（10分）判定向量组 + +$$ +\alpha_1 = \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \\ 4 \end{pmatrix},\ +\alpha_2 = \begin{pmatrix} 2 \\ 3 \\ 4 \\ 5 \end{pmatrix},\ +\alpha_3 = \begin{pmatrix} 3 \\ 4 \\ 5 \\ 6 \end{pmatrix},\ +\alpha_4 = \begin{pmatrix} 4 \\ 5 \\ 6 \\ 7 \end{pmatrix} +$$ + +的线性相关性，求其一极大线性无关组，并将其余向量用该极大线性无关组线性表示。 + +--- + +## 六、（10分）设线性方程组为 + +$$ +\left\{ +\begin{array}{l} +x_{1} - 3x_{2} - x_{3} = 0, \\ +x_{1} - 4x_{2} + ax_{3} = b, \\ +2x_{1} - x_{2} + 3x_{3} = 5, +\end{array} +\right. +$$ + +问：$a, b$取何值时，方程组无解、有唯一解、有无穷多解？在有无穷多解时求出其通解。 + +--- + +## 七、（12分）已知实二次型 + +$$ +f(x_{1},x_{2},x_{3}) = 2x_{1}x_{2} + 2x_{2}x_{3} + 2x_{3}x_{1}, +$$ + +求正交变换$x = Qy$，将二次型$f(x_{1},x_{2},x_{3})$化为标准形，并写出正交变换$x = Qy$。 + +--- + +## 八、（12分）设$A$是$m \times n$实矩阵，$\beta \neq 0$是$m$维实列向量，证明： + +(1)$\mathrm{rank}A = \mathrm{rank}(A^{\mathrm{T}}A)$； +(2) 线性方程组$A^{\mathrm{T}}Ax = A^{\mathrm{T}}\beta$有解。 + +--- + +**注意：** +1. 所有答题都须写在此试卷纸密封线右边，写在其它纸上一律无效。 +2. 密封线左边请勿答题，密封线外不得有姓名及相关标记。 \ No newline at end of file diff --git a/试卷库/线性代数期末真题/线代2011秋A.md b/试卷库/线性代数期末真题/线代2011秋A.md new file mode 100644 index 0000000..0ce37ac --- /dev/null +++ b/试卷库/线性代数期末真题/线代2011秋A.md @@ -0,0 +1,179 @@ +# 2011—2012学年秋季学期《线性代数》考试试卷（A）卷 + +**考试形式：闭卷** +**考试时间：150分钟** +**满分：100分** + +--- + +## 一、填空题（共6小题，每小题3分，共18分） + +1. 已知3阶矩阵 +$$ + A = \begin{bmatrix} + 1 & 0 & 1 \\ + 0 & 2 & 0 \\ + 1 & 0 & 1 + \end{bmatrix}, +$$ + 且正整数$n \geq 2$，则$A^n - 2A^{n - 1} =$__________。 + +2. 已知矩阵$A$的逆矩阵 +$$ + A^{-1} = \begin{bmatrix} + 0 & 0 & 2 \\ + 3 & 1 & 0 \\ + 5 & 2 & 0 + \end{bmatrix}, +$$ + 则$\left(\dfrac{1}{2} A^*\right)^{-1} =$__________。 + +3. 已知4阶矩阵$A$和$B$的列向量组分别为$a_1, a_2, a_3, a_4$和$\beta , a_2, a_3, a_4$，且$|A| = 4$，$|B| = 1$，则$|A + B| =$__________。 + +4. 设$A = [a_{ij}]_{3\times 3}$是正交矩阵，且$b = (1,0,0)^T$，$a_{11} = 1$，则$Ax = b$有一个解是 __________。 + +5. 设$n$阶实对称矩阵$A$的特征值为$\dfrac{1}{n}, \dfrac{2}{n}, \dots , 1$，则当$\lambda$__________ 时，$A - \lambda E$为正定矩阵。 + +6. 线性空间$V = \{ A \in \mathbb{R}^{n \times n} \mid A \text{ 为反对称矩阵} \}$的维数为 __________。 + +--- + +## 二、单选题（共6小题，每小题3分，共18分） + +1. 设 +$$ + A = \begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 4 & 3 \end{bmatrix},\quad B = \begin{bmatrix} a & 1 \\ 2 & b \end{bmatrix}, +$$ +$A$与$B$可交换的充要条件是（ ）。 + + - (A)$a = b - 1$ + - (B)$a = b + 1$ + - (C)$a = b$ + - (D)$a = 2b$ + +2. 设$n$阶非零矩阵$A$满足$A^{3} = 0$，则（ ）。 + + - (A)$E - A$不可逆，$E + A$不可逆 + - (B)$E - A$可逆，$E + A$不可逆 + - (C)$E - A$不可逆，$E + A$可逆 + - (D)$E - A$可逆，$E + A$可逆 + +3. 设$A,B$均为$m\times n$矩阵，给定下面四个命题： + ① 若$A x = 0$的解均是$B x = 0$的解，则$\mathrm{rank}A \geq \mathrm{rank}B$； + ② 若$\mathrm{rank}A \geq \mathrm{rank}B$，则$A x = 0$的解均是$B x = 0$的解； + ③ 若$A x = 0$与$B x = 0$同解，则$\mathrm{rank}A = \mathrm{rank}B$； + ④ 若$\mathrm{rank}A = \mathrm{rank}B$，则$A x = 0$与$B x = 0$同解。 + 则上述命题正确的是（ ）。 + + - (A) ①② + - (B) ①③ + - (C) ②④ + - (D) ③④ + +4. 设$n$阶可逆矩阵$A$的伴随矩阵为$A^{*}$，$n\geq 2$，互换$A$的第一行与第二行得到矩阵$B$，则（ ）。 + + - (A) 互换$A^{*}$的第一列与第二列得到$B^{*}$ + - (B) 互换$A^{*}$的第一行与第二行得到$B^{*}$ + - (C) 互换$A^{*}$的第一列与第二列得到$-B^{*}$ + - (D) 互换$A^{*}$的第一行与第二行得到$-B^{*}$ + +5. 已知$\eta_{1},\eta_{2}$是非齐次线性方程组$A x = b$的两个不同解，$\xi_{1},\xi_{2}$是对应的齐次线性方程组$A x = 0$的基础解系，$k_{1},k_{2}$为任意常数，则$A x = b$的通解必是（ ）。 + + - (A)$k_{1}\xi_{1} + k_{2}(\xi_{1} + \xi_{2}) + \dfrac{\eta_{1} - \eta_{2}}{2}$ + - (B)$k_{1}\xi_{1} + k_{2}(\xi_{1} - \xi_{2}) + \dfrac{\eta_{1} + \eta_{2}}{2}$ + - (C)$k_{1}\xi_{1} + k_{2}(\eta_{1} + \eta_{2}) + \dfrac{\eta_{1} - \eta_{2}}{2}$ + - (D)$k_{1}\xi_{1} + k_{2}(\eta_{1} - \eta_{2}) + \dfrac{\eta_{1} + \eta_{2}}{2}$ + +6. 已知$A$是4阶矩阵，且$\mathrm{rank}(3E - A) = 2$，则$\lambda = 3$是$A$的（ ）。 + + - (A) 一重特征值 + - (B) 二重特征值 + - (C)$k$重特征值，$k\geq 2$ + - (D)$k$重特征值，$k\leq 2$ + +--- + +## 三、（10分）计算$n$阶行列式 + +$$ +D_n = \begin{vmatrix} +1 + a_1 & a_1 & a_1 & \cdots & a_1 \\ +a_2 & 1 + a_2 & a_2 & \cdots & a_2 \\ +a_3 & a_3 & 1 + a_3 & \cdots & a_3 \\ +\vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ +a_n & a_n & a_n & \cdots & 1 + a_n +\end{vmatrix} +$$ + +**专业：** __________ +**年级：** __________ +**学院：** __________ +**姓名：** __________ +**学号：** __________ + +--- + +## 四、（10分）设 +$$ +A = \begin{bmatrix} +1 & 1 & -1 \\ +-1 & 1 & 1 \\ +1 & -1 & 1 +\end{bmatrix}, +$$ +$A^{*}X = A^{- 1} + 2X$，求矩阵$X$。 + +--- + +## 五、（10分）已知齐次线性方程组 (I) 的基础解系为 + +$$ +\xi_1 = \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ -1 \\ 0 \end{pmatrix},\quad +\xi_2 = \begin{pmatrix} 2 \\ 3 \\ 0 \\ -1 \end{pmatrix}, +$$ + +齐次线性方程组 (II) 的基础解系为 + +$$ +\eta_1 = \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ -1 \\ 2 \end{pmatrix},\quad +\eta_2 = \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ -2 \\ 3 \end{pmatrix}, +$$ + +试求方程组 (I) 和 (II) 的公共解。 + +--- + +## 六、（10分）设$p_1, p_2$分别是$n$阶矩阵$A$对应于特征值$\lambda_1, \lambda_2$的特征向量，$\lambda_1 \neq \lambda_2$，证明$p_1 + p_2$必不是$A$的特征向量。 + +--- + +## 七、（12分）设 + +$$ +a_{1} = \begin{bmatrix} 1 \\ 0 \\ 2 \end{bmatrix},\ +a_{2} = \begin{bmatrix} 1 \\ 1 \\ 3 \end{bmatrix},\ +a_{3} = \begin{bmatrix} 1 \\ -1 \\ a \end{bmatrix}, +$$ +$$ +\beta_{1} = \begin{bmatrix} 1 \\ 0 \\ a + 1 \end{bmatrix},\ +\beta_{2} = \begin{bmatrix} 2 \\ 1 \\ 2a \end{bmatrix},\ +\beta_{3} = \begin{bmatrix} 1 \\ 2 \\ -2 \end{bmatrix}. +$$ + +试问：当$a$为何值时，向量组$a_{1},a_{2},a_{3}$与向量组$\beta_{1},\beta_{2},\beta_{3}$等价？当$a$为何值时，向量组$a_{1},a_{2},a_{3}$与向量组$\beta_{1},\beta_{2},\beta_{3}$不等价？ + +--- + +## 八、（12分）已知二次型 + +$$ +f(x_{1},x_{2},x_{3}) = ax_{1}^{2} + ax_{2}^{2} + 6x_{3}^{2} + 8x_{1}x_{2} - 4x_{1}x_{3} + 4x_{2}x_{3} \quad (a > 0) +$$ + +通过正交变换可以化为标准形$7y_{1}^{2} + 7y_{2}^{2} - 2y_{3}^{2}$，求参数$a$及所用的正交变换。 + +--- + +**注意：** +1. 所有答题都须写在此试卷纸密封线右边，写在其它纸上一律无效。 +2. 密封线左边请勿答题，密封线外不得有姓名及相关标记。 \ No newline at end of file diff --git a/试卷库/线性代数/线代2013秋A.md b/试卷库/线性代数期末真题/线代2013秋A.md similarity index 100% rename from 试卷库/线性代数/线代2013秋A.md rename to 试卷库/线性代数期末真题/线代2013秋A.md diff --git a/试卷库/线性代数/线代2017秋A.md b/试卷库/线性代数期末真题/线代2017秋A.md similarity index 100% rename from 试卷库/线性代数/线代2017秋A.md rename to 试卷库/线性代数期末真题/线代2017秋A.md diff --git a/试卷库/线性代数/线代2018秋A.md b/试卷库/线性代数期末真题/线代2018秋A.md similarity index 100% rename from 试卷库/线性代数/线代2018秋A.md rename to 试卷库/线性代数期末真题/线代2018秋A.md diff --git a/试卷库/线性代数/线代2019秋A.md b/试卷库/线性代数期末真题/线代2019秋A.md similarity index 100% rename from 试卷库/线性代数/线代2019秋A.md rename to 试卷库/线性代数期末真题/线代2019秋A.md diff --git a/试卷库/线性代数/线代2021秋A.md b/试卷库/线性代数期末真题/线代2021秋A.md similarity index 100% rename from 试卷库/线性代数/线代2021秋A.md rename to 试卷库/线性代数期末真题/线代2021秋A.md diff --git a/试卷库/线性代数/线代2022秋A.md b/试卷库/线性代数期末真题/线代2022秋A.md similarity index 100% rename from 试卷库/线性代数/线代2022秋A.md rename to 试卷库/线性代数期末真题/线代2022秋A.md diff --git a/试卷库/高数期末真题/2013高数期末考试卷.md b/试卷库/高数期末真题/2013高数期末考试卷.md new file mode 100644 index 0000000..41af371 --- /dev/null +++ b/试卷库/高数期末真题/2013高数期末考试卷.md @@ -0,0 +1,183 @@ +# 2013—2014学年秋季学期《高等数学》考试试卷（A）卷 +（2014年1月24日） + +**考试形式：闭卷** +**考试时间：150分钟** +**满分：100分** + +--- + +## 一、填空题（共5小题，每小题3分，共15分） + +1. 函数 +$$ + f(x) = \left\{ + \begin{array}{ll} + e^{-x}, & x\geq 0,\\ + x - 1, & x< 0 + \end{array} + \right. +$$ + 的反函数的定义域为 __________。 + +2. 若级数$\sum_{n = 1}^{\infty}\dfrac{(-1)^n}{n^p}\sin \left(\dfrac{1}{\sqrt{n}}\right)$绝对收敛，则常数$p$的取值范围是 __________。 + +3. 曲线$y = \ln (\sec x + \tan x)$在$(0,0)$处的切线方程为 __________。 + +4. 不定积分 +$$ + \int \dfrac{\ln(2x + 1)}{2x + 1}\mathrm{d}x +$$ + 的计算结果为 __________。 + +5. 记$S$为区间$[1, + \infty)$上介于曲线$y = \dfrac{1}{\sqrt{x^2 + x}}$与$x$轴之间的无界图形，则$S$绕$x$轴旋转一周所得的旋转体的体积为 __________。 + +--- + +## 二、选择题（共5小题，每小题3分，共15分） + +1. 设$y = f(x)$是区间$[-a,a]$上可导的偶函数，则下列函数中在区间$[-a,a]$上一定为偶函数的是（ ）。 + + （A）$f^{\prime}(x)$ + （B）$x^{2}f^{\prime}(x)$ + （C）$\int_{0}^{x}f(t)\mathrm{d}t$ + （D）$\int_{0}^{x}xf(t)\mathrm{d}t$ + +2. 曲线$y = (x - 1)(x - 2)^{2}(x - 3)^{3}$的拐点个数为（ ）。 + + （A）1 + （B）2 + （C）3 + （D）4 + +3. 设$y = f(x)$是$(0, + \infty)$内正值、连续且严格单调减少的函数。下列表格分别给出了函数$g(x) = \int_{x}^{2}f(t)\mathrm{d}t$在点$x = 1,2,3$处的值，则可能出现的情形是（ ）。 + + |$x$|$g(x)$| + |------|----------| + | 1 | -2 | + | 2 | 0 | + | 3 | 1 | + + |$x$|$g(x)$| + |------|----------| + | 1 | -2 | + | 2 | 0 | + | 3 | 3 | + + |$x$|$g(x)$| + |------|----------| + | 1 | 2 | + | 2 | 0 | + | 3 | -1 | + + |$x$|$g(x)$| + |------|----------| + | 1 | 2 | + | 2 | 0 | + | 3 | 1 | + + （A）第一表 + （B）第二表 + （C）第三表 + （D）第四表 + +4. 设函数$y = f(x)$具有二阶导数，且$f^{\prime}(x)< 0,f^{\prime \prime}(x)< 0$，$\Delta x$为自变量$x$在点$x_{0}$处的增量，$\Delta y$与$\mathrm{d}y$分别为$f(x)$在点$x_{0}$处的增量与微分，若$\Delta x > 0$，则（ ）。 + + （A）$0< \mathrm{d}y< \Delta y$ + （B）$0< \Delta y< \mathrm{d}y$ + （C）$\Delta y< \mathrm{d}y< 0$ + （D）$\mathrm{d}y< \Delta y< 0$ + +5. 设函数$y = f(x)$二阶可导，其图形在$(0,1)$处的曲率圆的方程为$(x - 1)^{2} + y^{2} = 2$，则函数$f(x)$的二阶带佩亚诺余项的麦克劳林公式为（ ）。 + + （A）$f(x) = 1 - x + x^{2} + o(x^{2})$ + （B）$f(x) = 1 + x - x^{2} + o(x^{2})$ + （C）$f(x) = 1 + x - 2x^{2} + o(x^{2})$ + （D）$f(x) = 1 - x - 2x^{2} + o(x^{2})$ + +--- + +## 三、（6分）求极限 +$$ +\lim_{n\to \infty}n\left(\frac{1}{n^2 + \pi} + \frac{1}{n^2 + 2\pi} + \dots + \frac{1}{n^2 + n\pi}\right)。 +$$ + +## 四、（6分）求曲线$y = \dfrac{1}{x} + \dfrac{x^2}{\sqrt{1 + x^2}}$的所有渐近线。 + +## 五、（6分）已知数列$\{a_n\}$有界，试用$\epsilon - N$语言证明 +$$ +\lim_{n\to \infty}\dfrac{a_n}{n} = 0。 +$$ + +--- + +## 六、（6分）设 +$$ +\left\{ +\begin{array}{l} +x = \cos (t^2),\\ +y = \int_{0}^{t^2} e^{-s^2} \sin u \mathrm{d}u, +\end{array} +\right. +$$ +求$\dfrac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}, \dfrac{\mathrm{d}^2 y}{\mathrm{d}x^2}$。 + +## 七、（6分）已知$a$为正常数，试判断级数 +$$ +\sum_{n = 1}^{\infty} \dfrac{a^n \cdot n!}{n^n} +$$ +的敛散性。 + +--- + +## 八、（8分）已知$f^{\prime}(x) = \arctan (x^{2} - 1)$，$f(1) = 0$，求$\int_{0}^{1}f(x)\mathrm{d}x$。 + +*注：原试卷中此处含有一幅插图，内容为辅助图形或提示，具体内容未在文本中给出，保留说明。* + +## 九、（8分）已知函数$\phi (x)$在$(- \infty , + \infty)$内具有二阶连续导数，且$\phi (0) = 0$。问：当常数$a,b$为何值时，函数 +$$ +f(x) = \left\{ +\begin{array}{ll} +\dfrac{\phi(x)}{x}, & x > 0,\\ +ax + b, & x\leq 0 +\end{array} +\right. +$$ +在$(- \infty , + \infty)$内可导？并讨论$f^{\prime}(x)$的连续性。 + +--- + +## 十、（8分）从1997年4月1日到2007年4月18日，我国铁路经过了七次大提速，每次大提速前，科研人员都要对铁路轨道进行检测，尤其要对弯道进行改造，为确保火车在弯道上的行驶安全，火车所受到的离心力必须平稳变化，因此要求从直道进入弯道时曲率必须是连续变化的，为此需要设计一段曲线轨道将直线轨道与圆弧轨道连接起来，称此连接轨道曲线为缓和曲线，通常选用三次多项式曲线作为缓和曲线，如图所示，$CO$为直线轨道，$AB$为圆弧轨道，$OA$为缓和曲线，已知圆弧轨道半径为$R$（km），$A$点的横坐标为$l$（km）。 + +（1）设缓和曲线方程为$y = ax^{3} + bx^{2} + cx + d$，试给出系数$a,b,c,d$所满足的关系式； +（2）由于$l\ll R$，工程上通常近似地取缓和曲线的方程为$y = \dfrac{1}{6RI} x^{3}$。试验证该曲线在点$A$处的曲率半径近似为$R$。 + +*注：原试卷中此处含有一幅插图（第十题图），内容未在文本中给出，保留说明。* + +--- + +## 十一、（8分）已知函数 +$$ +f_{n}(x) = \int_{0}^{x}t^{2}(1 - t)\sin^{2n}t\mathrm{d}t, \quad x\in (-\infty , + \infty), +$$ +其中$n$为正整数。 + +（1）证明：对任意正整数$n$，函数$f_{n}(x)$在$x = 1$处取得最大值； +（2）记$a_{n} = f_{n}(1), \ n = 1,2,\dots$，试判断级数$\sum_{n = 1}^{\infty} a_{n}$的敛散性。 + +--- + +## 十二、（8分）已知函数$f(x)$在$[0,1]$上连续，在$(0,1)$内可导，且$f(0) = 0$，$f(1) = 1$。试证明： + +（1）存在$\xi \in (0,1)$，使得$f'(\xi) = 2\xi$； +（2）对任意正数$a,b$，在$(0,1)$内存在相异的两点$x_{1},x_{2}$，使得 +$$ +\frac{a}{f'(x_1)} + \frac{b}{f'(x_2)} = a + b。 +$$ + +--- + +**注意：** +1. 所有答题都须写在此试卷纸密封线右边，写在其它纸上一律无效。 +2. 密封线外不得有姓名及相关标记。 +3. 当题目留空不够时，可写在试卷反面，但密封线内请勿答题。 \ No newline at end of file diff --git a/试卷库/高数期末真题/2014高数期末考试卷.md b/试卷库/高数期末真题/2014高数期末考试卷.md new file mode 100644 index 0000000..778856e --- /dev/null +++ b/试卷库/高数期末真题/2014高数期末考试卷.md @@ -0,0 +1,187 @@ +# 国防科技大学2014—2015学年秋季学期《高等数学》考试试卷（A）卷 +（2015年1月27日） + +**考试形式：闭卷** +**考试时间：150分钟** +**满分：100分** + +--- + +## 一、填空题（共5小题，每小题3分，共15分） + +1. 数列极限 +$$ + \lim_{n\to \infty}\left(\frac{n}{2n^2 + 1} + \frac{n}{2n^2 + 2} + \dots + \frac{n}{2n^2 + n}\right) +$$ + 的值为 __________。 + +2. 若$\alpha (x),\beta (x),\gamma (x)$都是$x\to x_0$过程中的无穷小量，且$\beta (x)$是$\alpha (x)$的高阶无穷小，$\gamma (x)$是$\alpha (x)$的等价无穷小，则极限 +$$ + \lim_{x\to x_0}\frac{2\alpha(x) - 3\beta(x)}{3\gamma(x) - 2\beta(x)} +$$ + 的值为 __________。 + +3. 若$y = f(x)$是$(-∞, +∞)$内以2为周期的可导函数，且 +$$ + \lim_{x\to 0}\frac{f(1 + x) + 4f(1 - x)}{x} = 3， +$$ + 则曲线$y = f(x)$在点$(3,f(3))$处的切线方程为 __________。 + +4. 定积分 +$$ + \int_{0}^{1}\frac{\arctan x}{\arctan x + \arctan(1 - x)}\mathrm{d}x +$$ + 的值为 __________。 + +5. 曲线$y = \dfrac{1}{\sqrt{4 + x^{2}}} (-\infty < x< +\infty)$与$x$轴所围成的无界图形绕$x$轴旋转一周所成立体的体积为 __________。 + +--- + +## 二、选择题（共5小题，每小题3分，共15分） + +1. 设$a,b$为正常数，则数列极限 +$$ + \lim_{n\to \infty}\left(a^{-n} + b^{-n}\right)^{\frac{1}{n}} +$$ + 的值为（ ）。 + + （A）$\max (a,b)$ + （B）$\min (a,b)$ + （C）$\max \left(\dfrac{1}{a},\dfrac{1}{b}\right)$ + （D）$\min \left(\dfrac{1}{a},\dfrac{1}{b}\right)$ + +2. 设$f(x)$在$(- \infty , + \infty)$内有定义，且$\lim_{x\to \infty}f(x) = a$， +$$ + g(x) = \left\{ + \begin{array}{ll} + x f\left(\dfrac{1}{x}\right), & x\neq 0,\\ + 0, & x = 0, + \end{array} + \right. +$$ + 则（ ）。 + + （A）$x = 0$为$g(x)$的连续点 + （B）$x = 0$为$g(x)$的第一类间断点 + （C）$x = 0$为$g(x)$的第二类间断点 + （D）$g(x)$在$x = 0$处的连续性与$a$的值有关 + +3. 设有曲线$y = \dfrac{x^{2}}{3x + 2}$，则该曲线（ ）。 + + （A）只有一条铅直渐近线 + （B）只有一条水平渐近线 + （C）有一条铅直渐近线和一条水平渐近线 + （D）有一条铅直渐近线和一条斜渐近线 + +4. 设函数$y = f(x)$在区间$[0,2]$上连续且严格单调增加，$f(0) = 0, f(2) = 1$。若 +$$ + \int_{0}^{2}f(x)\mathrm{d}x = \frac{1}{3}， +$$ + 则$\int_{0}^{1}f^{-1}(y)\mathrm{d}y$的值为（ ）。 + + （A）1 + （B）$\dfrac{5}{3}$ + （C）$\dfrac{2}{3}$ + （D）$\dfrac{1}{3}$ + +5. 函数 +$$ + f(x) = \int_{0}^{x}e^{-t}(2 - t)(1 - t)^{2}\mathrm{d}t +$$ + 在$(- \infty , + \infty)$内极值点的个数为（ ）。 + + （A）0 + （B）1 + （C）2 + （D）3 + +--- + +## 三、（6分）设 +$$ +\left\{ +\begin{array}{l} +x = \int_{0}^{t}f(u^{2})\mathrm{d}u,\\ +y = \int_{0}^{t}f(u)\mathrm{d}u, +\end{array} +\right. +$$ +其中$f(u)$为定义在$(- \infty , + \infty)$内的正值连续函数，求$\dfrac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}$和$\dfrac{\mathrm{d}^{2}y}{\mathrm{d}x^{2}}$。 + +## 四、（6分）求极限 +$$ +\lim_{x\to 0}\left[\frac{\ln(1 + x)}{x}\right]^{\cos x}。 +$$ + +## 五、（6分）求曲线$x^{2} + y^{2} - xy = 1$在点$P(1,1)$处的曲率。 + +--- + +## 六、（6分）设函数$f(x)$在$(- \infty , + \infty)$内连续，且满足 +$$ +\int_{0}^{x} u f(x - u) \mathrm{d}u = e^{x} \sin x， +$$ +求$f(x)$的表达式。 + +## 七、（6分）设函数$y = f(x)$在$[0,2]$上可导，且$\int_{0}^{1} f(x) \mathrm{d}x = 0$。证明：至少存在一点$\xi \in (0,2)$，使得 +$$ +f'(\xi) = \frac{f(\xi)}{2 - \xi}。 +$$ + +--- + +## 八、（8分）已知函数$y = f(x)$在$(- \infty , + \infty)$内有定义，记$\Delta y = f(x + \Delta x) - f(x)$。若$f(0) = 0$，且当$\Delta x \to 0$时，恒有 +$$ +\Delta y = \frac{x}{1 + x^2}\Delta x + o(\Delta x)。 +$$ +试求曲线$y = f(x)$的凹凸区间和拐点。 + +## 九、（8分）已知$\lambda$为常数，试讨论级数 +$$ +\sum_{n = 1}^{\infty}\frac{\lambda^n}{n(n + 2)} +$$ +的敛散性，并求级数 +$$ +\sum_{n = 1}^{\infty}\frac{1}{n(n + 2)} +$$ +的和。 + +--- + +## 十、（8分）嫦娥三号于2013年12月2日1时30分成功发射，12月6日抵达月球轨道。在距月面$100(\mathrm{m})$处时，嫦娥三号要做短暂悬停，随后经历自由落体和减速下降两个过程，直到离月面$4(\mathrm{m})$高时再度悬停。假设自由落体时间是其减速下降时间的4倍，减速下降过程的加速度$a(t)(\mathrm{m / s}^2)$的大小是减速下降时间$t(\mathrm{s})$的线性函数，即$a(t) = b - kt$（其中$b,k$为待定的正常数），月球重力加速度为$g(\mathrm{m / s}^2)$。 + +（1）求嫦娥三号减速下降过程的加速度$a(t)$的表达式； +（2）若不计悬停时间，问：嫦娥三号从距月面$100(\mathrm{m})$下降到距月面$4(\mathrm{m})$过程中耗费多少时间？ + +--- + +## 十一、（8分）设 +$$ +a_{n} = \int_{0}^{1}x\left|\ln x\right|^{n}\mathrm{d}x, \quad n = 1,2,\dots。 +$$ +（1）试建立$a_{n}$的递推公式； +（2）求极限 +$$ +\lim_{n\to \infty}\sqrt[n]{\frac{a_{n}}{n!}}。 +$$ + +--- + +## 十二、（8分）设 +$$ +P_{n}(x) = 1 + x + \frac{x^{2}}{2!} + \dots + \frac{x^{n}}{n!}, \quad x\in (-\infty , + \infty)， +$$ +其中$n$为正整数。 + +（1）证明：当$x > 0$时，有 +$$ +\left(1 + \frac{x}{n}\right)^{n} < P_{n}(x) < e^{x}。 +$$ +（2）证明：当$n$为偶数时，方程$P_{n}(x) = 0$无实根；当$n$为奇数时，方程$P_{n}(x) = 0$恰好有一个实根。 + +--- + +**注意：** +1. 所有答题都须写在此试卷纸密封线右边，写在其它纸上一律无效。 +2. 密封线外不得有姓名及相关标记。 +3. 当题目留空不够时，可写在试卷反面，但密封线内请勿答题。 \ No newline at end of file diff --git a/试卷库/高数期末真题/2015高数期末考试卷.md b/试卷库/高数期末真题/2015高数期末考试卷.md new file mode 100644 index 0000000..7ea98d9 --- /dev/null +++ b/试卷库/高数期末真题/2015高数期末考试卷.md @@ -0,0 +1,154 @@ +# 2015—2016学年秋季学期《高等数学》考试试卷（A）卷 +（2016年1月19日） + +**考试形式：闭卷** +**考试时间：150分钟** +**满分：100分** + +--- + +## 一、填空题（共5小题，每小题3分，共15分） + +1. 设$f(x) = \ln (2 - x) + \int_{0}^{x}\cos t^{2}\mathrm{d}t$，则$f^{\prime}(0)$的值为 __________。 +2. 曲线$y = (x + 2)e^{-x}$的拐点为 __________。 +3. 定积分$\int_{0}^{1}\dfrac{1}{1 + \sqrt[3]{x}}\mathrm{d}x$的值为 __________。 +4. 若$\sin 2x$为函数$f(x)$的一个原函数，则$\int x f(x)\mathrm{d}x$等于 __________。 +5. 设常数$a > 0$，则使得级数$\sum_{n = 1}^{\infty}\dfrac{a^n}{n + 1}$收敛的$a$的最大取值范围为 __________。 + +--- + +## 二、选择题（共5小题，每小题3分，共15分） + +1. 极限 +$$ + \lim_{n\to \infty}\left(\frac{1}{n^2 + 1} + \frac{2}{n^2 + 2} + \dots + \frac{n}{n^2 + n}\right) +$$ + 的值为（ ）。 + + （A）0 + （B）$\dfrac{1}{2}$ + （C）$\dfrac{\pi}{4}$ + （D）1 + +2. 已知函数$f(x)$在$x = 0$处可导，则极限 +$$ + \lim_{x\to 0}\dfrac{f(x)e^x - f(0)}{x} +$$ + 的值为（ ）。 + + （A）$f(0)$ + （B）$f'(0)$ + （C）$f'(0) - f(0)$ + （D）$f'(0) + f(0)$ + +3. 设函数$f(x)$是定义在$(-∞, +∞)$内可导的偶函数，下列表格中给出了它的导函数$f'(x)$在$(0, +∞)$内的符号信息，则函数$f(x)$在$(-∞, +∞)$内（ ）。 + + |$x$|$(0,1)$|$1$|$(1,+∞)$| + |------|-----------|------|------------| + |$f'(x)$|$+$| 0 |$-$| + + （A）有2个极大值点，1个极小值点 + （B）有1个极大值点，2个极小值点 + （C）有2个极大值点 + （D）有2个极小值点 + +4. 设函数$y = y(x)$由参数方程 +$$ + \left\{ + \begin{array}{l} + x = \int_{0}^{t}e^{-x^{2}}\mathrm{d}u,\\ + y = \int_{0}^{t}(t - u)e^{-x^{2}}\mathrm{d}u + \end{array} + \right. +$$ + 所确定，则$\dfrac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x} = ($）。 + + （A）$e^{-t^2}$ + （B）$\int_{0}^{t}e^{-t^2}\mathrm{d}u$ + （C）$\int_{0}^{t}e^{-t^2 - t^2}\mathrm{d}u$ + （D）$\int_{0}^{t}e^{t^2 - t^2}\mathrm{d}u$ + +5. 设函数$f(x)$在闭区间$[a,b]$上可导，则下面结论不正确的是（ ）。 + + （A）存在$\xi \in (a,b)$，使得$f(b) - f(a) = f'(\xi)(b - a)$ + （B）存在$\xi \in [a,b]$，使得$\int_{a}^{b}f(x)\mathrm{d}x = f(\xi)(b - a)$ + （C）存在$\xi \in (a,b)$，使得$\dfrac{f(b) - f(a)}{b^2 - a^2} = \dfrac{f'(\xi)}{2\xi}$ + （D）存在$\xi \in (a,b)$，使得$\dfrac{bf(b) - af(a)}{b - a} = \xi f'(\xi) + f(\xi)$ + +--- + +## 三、（6分）求极限 +$$ +\lim_{x\to 0}\dfrac{x - \sin x}{\sqrt{1 + x^2}\tan x - 1}。 +$$ + +## 四、（6分）求曲线$y = x + \dfrac{\sin x}{x^2 + x}$的渐近线方程。 + +## 五、（6分）设函数 +$$ +f(x) = \left\{ +\begin{array}{ll} +\dfrac{\ln(1 + x)}{x}, & x > 0,\\ +a + b\cos x, & x\leq 0. +\end{array} +\right. +$$ +问：是否存在常数$a,b$使得$f(x)$在$x = 0$处可导？ + +--- + +## 六、（6分）证明：当$x > 0$时成立不等式 +$$ +x(2 + \cos x) > 3\sin x。 +$$ + +## 七、（6分）求由曲线$y = \dfrac{1}{\sqrt{e^x + 1}} (0 \leq x < +\infty)$与两坐标轴所围成的平面图形绕$x$轴旋转一周所得立体的体积。 + +--- + +## 八、（8分）设$f(x)$是周期为4的可导的奇函数，且 +$$ +f^{\prime}(x) = 2(x - 1), \quad x\in [0,2]。 +$$ +（1）求$f(x)$在闭区间$[-2,2]$上的表达式； +（2）求$\int_{0}^{2016}|f(x)|\mathrm{d}x$。 + +## 九、（8分）设函数$f(x)$在$x = 0$处二次可导，且 +$$ +\lim_{x\to 0}\dfrac{\sin x - xf(x)}{x^3} = 1。 +$$ +（1）求$f(0), f^{\prime}(0)$及$f^{\prime \prime}(0)$； +（2）求曲线$y = f(x)$在点$(0,f(0))$处的曲率。 + +--- + +## 十、（8分）设$P$为抛物线$C: y = x(n - x) \ (n\in \mathbb{Z}^{+})$上的点。 +（1）求$C$在点$P$处的切线与两坐标轴所围成的第一象限三角形的面积的最小值； +（2）记（1）中三角形面积的最小值为$A_{n} \ (n = 1,2,\dots)$，问：级数 +$$ +\sum_{n = 1}^{\infty}\dfrac{(-1)^n}{\ln A_n} +$$ +是否收敛？若收敛，它是绝对收敛还是条件收敛？ + +--- + +## 十一、（8分）现有一顶角为$\dfrac{\pi}{3}$、底圆半径为$a$的正圆锥形漏斗内盛满水（顶角朝下），该漏斗向底圆半径为$b \ (b< a)$的空圆柱形水桶注水（假设水桶的体积大于漏斗的体积）。问：当漏斗水平面下降速度与水桶水平面上升速度相等时，漏斗中水平面高度是多少？ + +--- + +## 十二、（8分）设函数$f(x)$在闭区间$[a,b]$上连续。记 +$$ +\phi (x) = \left|x - \dfrac{a + b}{2}\right| - \left|f(x) - \dfrac{a + b}{2}\right|。 +$$ +（1）证明：若$\phi (a)\geq 0$且$\phi (b)\geq 0$，则存在$\xi \in [a,b]$，使得$f(\xi) = \xi$； +（2）证明：若对任意$x\in [a,b]$，均有$\phi (x)\geq 0$，则有 +$$ +\left|\int_{a}^{b}f(x)\mathrm{d}x - \dfrac{b^{2} - a^{2}}{2}\right|\leq \dfrac{(b - a)^{2}}{4}。 +$$ + +--- + +**注意：** +1. 所有答题都须写在此试卷纸密封线右边，写在其它纸上一律无效。 +2. 密封线外不得有姓名及相关标记。 +3. 当题目留空不够时，可写在试卷反面，但密封线内请勿答题。 \ No newline at end of file diff --git a/试卷库/高数期末真题/2016高数期末考试卷.md b/试卷库/高数期末真题/2016高数期末考试卷.md new file mode 100644 index 0000000..9c1ebac --- /dev/null +++ b/试卷库/高数期末真题/2016高数期末考试卷.md @@ -0,0 +1,105 @@ +# 2016—2017学年秋《高等数学》考试试卷（A）卷 +## 参考解答 + +--- + +## 一、填空题（共5小题，每小题3分，共15分） + +1. 设$y = \tan 2x$，则$\mathrm{d}y =$__________。 +2. 极限$\lim_{x\to 0}\dfrac{x - \ln(1 + x)}{x\arctan x}$的值为 __________。 +3. 函数$f(x) = x\ln (1 - x^2)$的带佩亚诺余项的5阶麦克劳林公式为 __________。 +4. 已知$y = \arcsin x$为函数$f(x)$的原函数，则$f'\left(\dfrac{1}{2}\right)$的值为 __________。 +5. 定积分$\int_{-1}^{1}\left(\sin x + |x|\right)e^{x^2}\mathrm{d}x$的值为 __________。 + +--- + +## 二、选择题（共5小题，每小题3分，共15分） + +1. 设函数 +$$ + f(x) = \left\{ + \begin{array}{ll} + x^3\mathrm{e}^{-x}, & x > 0,\\ + x, & x\leq 0, + \end{array} + \right. +$$ + 则$f(x)$在$x = 0$处（ ）。 + + （A）可导 + （B）连续但不可导 + （C）左导数存在，但右导数不存在 + （D）右导数存在，但左导数不存在 + +2. 若当$x\rightarrow x_0$时，$\alpha (x),\beta (x)$都是无穷小，则当$x\rightarrow x_0$时，下列表示式中不一定是无穷小的是（ ）。 + + （A）$\left|\alpha (x)\right| + \left|\beta (x)\right|$ + （B）$\alpha^2 (x) + \beta^2 (x)$ + （C）$\ln \left[1 + \alpha (x)\cdot \beta (x)\right]$ + （D）$\dfrac{\alpha^2(x)}{\beta(x)}$ + +3. 函数$f(x) = \sqrt[3]{x^2} +2$在$(-∞, +∞)$内的极值点个数以及函数图形的拐点个数分别为（ ）。 + + （A）0,1 + （B）1,1 + （C）1,0 + （D）0,0 + +4. 设函数$f(x)$连续，且 +$$ + f(x) = \ln x - x\int_{1}^{x}\dfrac{f(x)}{x}\mathrm{d}x， +$$ + 则$f(x)$的表达式为（ ）。 + + （A）$f(x) = \ln x - \dfrac{x}{2\mathrm{e}}$ + （B）$f(x) = \ln x + \dfrac{x}{2\mathrm{e}}$ + +5. 已知级数$\sum_{n = 1}^{\infty}a_{n}$绝对收敛，$\sum_{n = 1}^{\infty}b_{n}$条件收敛，则下列三个级数 +$$ + \sum_{n = 1}^{\infty}(a_{n} + b_{n}),\quad \sum_{n = 1}^{\infty}a_{n}b_{n},\quad \sum_{n = 1}^{\infty}(a_{n}^{2} + b_{n}^{2}) +$$ + 中，绝对收敛级数的个数为（ ）。 + + （A）0 + （B）1 + （C）2 + （D）3 + +--- + +## 三、（6分）用$\epsilon - N$语言证明：若$\lim_{n\to \infty}a_{n} = a$，则有$\lim_{n\to \infty}\left|a_{n}\right| = \left|a\right|$。并举例说明其反之不真。 + +## 四、（6分）求曲线$x^{3} + xy + y^{2} = 1$在点$(1, - 1)$处的曲率。 + +## 五、（6分）一个等边三角形，其高以$2\mathrm{cm / s}$的速率增加。问：当高为$8\mathrm{cm}$时，该三角形面积的增长率为多少？ + +## 六、（6分）求曲线 +$$ +C: x(t) = \dfrac{\sin t}{1 + \cos t}, \quad y(t) = \dfrac{\cos t}{1 + \cos t} +$$ +在$t = \dfrac{\pi}{2}$对应点处的切线方程。 + +## 七、（6分）计算不定积分 +$$ +\int \dfrac{x\cos x}{\sin^{3}x}\mathrm{d}x。 +$$ + +## 八、（8分）求曲线$C: y = \ln \left|1 - e^{2x}\right|$的所有渐近线。 + +## 九、（8分）设$A(- 1,3)$、$B(3, - 5)$为抛物线$y = 4 - x^{2}$上两点。试在弧$AB$上求一点$P(x,y)$使$\Delta APB$的面积最大。 + +## 十、（8分）设 +$$ +a_{n} = \int_{0}^{1}x(1 - x)^{n}\mathrm{d}x, \quad n = 1,2,\dots。 +$$ +（1）求级数$\sum_{n = 1}^{\infty}a_{n}$的和； +（2）设常数$\lambda >0$，试讨论级数$\sum_{n = 1}^{\infty}\lambda^{n}a_{n}$的敛散性。 + +## 十一、（8分）设函数$f(x)$在$(- \infty , + \infty)$内连续，$\lim_{x\to 0}\dfrac{f(x)}{x} = a$。记 +$$ +g(x) = \int_{0}^{1}f(x t)\mathrm{d}t。 +$$ +（1）求$g^{\prime}(0)$； +（2）试讨论$g^{\prime}(x)$在$x = 0$处的连续性。 + +## 十二、（8分）设函数$f(x)$在$[0, + \infty)$上存在二阶导数，$f(0) = 0$，$f^{\prime}(0) > 0$，$f^{\prime \prime}(x)\leq a< 0$，其中$a$为常数。 \ No newline at end of file diff --git a/试卷库/高数期末真题/2021高数期末考试卷.md b/试卷库/高数期末真题/2021高数期末考试卷.md new file mode 100644 index 0000000..b8791a9 --- /dev/null +++ b/试卷库/高数期末真题/2021高数期末考试卷.md @@ -0,0 +1,129 @@ +# 2021—2022学年秋季学期《高等数学》(I)考试试卷(A)卷 + +**考试形式：闭卷** +**考试时间：150分钟** +**满分：100分** + +--- + +## 一、单选题（共5小题，每小题2分，共10分） + +1. 设函数$f(x) = \dfrac{2 - \mathrm{e}^{x}}{1 + \mathrm{e}^{x}}\arctan \dfrac{1}{x}$，则$x = 0$是$f(x)$的（ ）。 + + （A）可去间断点 + （B）跳跃间断点 + （C）无穷间断点 + （D）振荡间断点 + +2. 曲线$y = \dfrac{\ln(1 + x)}{x^{2} + 2x}$的渐近线条数为（ ）。 + + （A）0 + （B）1 + （C）2 + （D）3 + +3. 下列级数中条件收敛的是（ ）。 + + （A）$\sum_{n = 1}^{\infty}\sin \left(n\pi +\dfrac{1}{\sqrt{n}}\right)$ + （B）$\sum_{n = 1}^{\infty}\left(1 - \cos \dfrac{1}{\sqrt{n}}\right)$ + （C）$\sum_{n = 1}^{\infty}\ln \left(1 + \dfrac{1}{\sqrt{n}}\right)$ + （D）$\sum_{n = 1}^{\infty}(-1)^{n}\dfrac{\sqrt{n}}{n^{2} + 1}$ + +4. 设函数$f(x)$在$x = 0$处可导且$f^{\prime}(0) = 4$，又设$f(x)$满足方程$f(x + 1) = 4f(x)$，则当$n$为正整数时，$f^{\prime}(n) = ($）。 + + （A）$3^{n}$ + （B）$3^{n + 1}$ + （C）$4^{n}$ + （D）$4^{n + 1}$ + +5. 设 +$I_{1} = \int_{-1}^{1}\arctan x^{2}\mathrm{d}x$， +$I_{2} = \int_{-1}^{1}\arctan x^{4}\mathrm{d}x$， +$I_{3} = \int_{-1}^{1}x\arctan x^{4}\mathrm{d}x$， + 则（ ）。 + + （A）$I_{1}< I_{2}< I_{3}$ + （B）$I_{2}< I_{3}< I_{1}$ + （C）$I_{3}< I_{2}< I_{1}$ + （D）$I_{2}< I_{1}< I_{3}$ + +--- + +## 二、填空题（共5小题，每小题2分，共10分） + +6. 曲线$y = \tan \dfrac{x}{2}$在点$P\left(\dfrac{\pi}{2},1\right)$处的切线方程为 __________。 + +7. 已知函数$g(x)$是$f(x) = \int_{-1}^{2x}\dfrac{\mathrm{d}t}{3 + t^4}$的反函数，则$g'(0)$的值为 __________。 + +8. 已知$\int f\left(\mathrm{e}^{x}\right)\mathrm{d}x = \left(x + 1\right)\mathrm{e}^{x} + C$，则函数$f(x)$在$x = 1$处的微分为 __________。 + +9. 曲线$y = \int_{0}^{x}(3x - t)\mathrm{e}^{-t}\mathrm{d}t(x > 0)$的拐点横坐标是 __________。 + +10. 不定积分$\int \dfrac{\sin\sqrt{x} + \cos\sqrt{x}}{\sqrt{x}}\mathrm{d}x$的计算结果为 __________。 + +--- + +## 三、解答题（共11小题，共80分） + +11. （6分）计算极限$\lim\limits_{x\to 0}(1 + x - \sin x)^{\frac{1}{x\sin x^2}}$。 + +12. （6分）设$\alpha$为正常数，试判定级数$\sum_{n = 1}^{\infty}\dfrac{(2n - 1)!!}{(n!)^n}$的敛散性。 + +13. （6分）已知函数 +$$ + f(x) = \left\{ + \begin{array}{ll} + \dfrac{\ln(1 + ax)}{x}, & x > 0,\\ + \cos x + bx, & x\leq 0 + \end{array} + \right. +$$ + 在$x = 0$处可导，求常数$a, b$的值。 + +14. （6分）计算定积分$\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\dfrac{\mathrm{d}x}{(2 - x)\sqrt{1 - x}}$。 + +15. （6分）设$y = y(x)$是由方程$y^{3} + x^{3} - 3x + 3y - 2 = 0$所确定的函数，求函数$y = y(x)$的单调区间与极值。 + +16. （6分）设数列$\{a_{n}\}$满足 +$$ + a_{1} = 2, \quad a_{n + 1} = \frac{3}{2 + a_{n}} \quad (n \in \mathbb{Z}^{+}), +$$ + 证明数列$\{a_{n}\}$存在极限，并求其值。 + +17. （8分）求曲线 +$$ + C: x = \dfrac{1 - t}{1 + t}, \quad y = \int_{0}^{t}\dfrac{\mathrm{e}^{x}}{(1 + u)^{2}}\mathrm{d}u +$$ + 在点$P(1,0)$处的曲率与曲率半径。 + +18. （8分）求极限 +$$ + \lim_{n\to \infty}\sqrt[n]{\left(1 + \frac{1^{2}}{n^{2}}\right)\left(1 + \frac{2^{2}}{n^{2}}\right)\cdots\left(1 + \frac{n^{2}}{n^{2}}\right)}. +$$ + +19. （8分）证明：当$0< x< \pi$时， +$$ + x^{2} - x\sin x - \cos x - 1< \pi^{2}< \left(\int_{0}^{2\pi}\sqrt{\alpha + \cos^{4}\theta}\mathrm{d}\theta\right)^{2}, +$$ + 其中常数$\alpha \in (0,1)$。 + +20. （10分）在输电线路中，悬挂于相邻两立塔高度相同的$A, B$两点之间的电缆呈悬链线状。如图所示，已知两立塔相距$2l$(m)，电缆最低点距离地面高度为$a$(m)，弧垂$f$(m)表示电缆下垂的最大高度。设电缆弧$\widehat{AB}$的方程为$y = a \cosh \dfrac{x}{a} (-l \leq x \leq l)$。 + + (1) 利用弧长公式$s = \int_{-l}^{l} \sqrt{1 + y'^{2}} \mathrm{~d}x$计算弧$\widehat{AB}$的长度；（5分） + (2) 证明：当$\dfrac{l}{a}$充分小时，成立下列近似等式： +$$ + f \approx \frac{l^{2}}{2a}, \quad s \approx 2l + \frac{4f^{2}}{3l}. \quad (5分) +$$ + 注：$\cosh t = \dfrac{\mathrm{e}^{t} + \mathrm{e}^{-t}}{2}$为双曲余弦函数。 + +21. （10分）设函数$f(x)$在$[0,1]$上可导，且$\int_{0}^{1}f(x)\mathrm{d}x = 1$。 + + (1) 证明：至少存在一点$c\in (0,1)$，使得$\int_{0}^{c}f(t)\mathrm{d}t = \dfrac{1}{2}$；（3分） + (2) 证明：在$(0,1)$内存在不同两点$x_{1},x_{2}$，使得$\dfrac{1}{f(x_{1})} + \dfrac{1}{f(x_{2})} = 2$；（4分） + (3) 证明：至少存在一点$\xi \in (0,1)$，使得$f^{\prime}(\xi) = 2 - 2f(0)$。（3分） + +--- + +**注意：** +1. 所有答题都须写在答题卡对应位置，写在其它纸上一律无效。 +2. 答题卡密封线外不得有姓名及相关标记。 \ No newline at end of file diff --git a/试卷库/高数期末真题/2022高数期末考试卷.md b/试卷库/高数期末真题/2022高数期末考试卷.md new file mode 100644 index 0000000..73bbf16 --- /dev/null +++ b/试卷库/高数期末真题/2022高数期末考试卷.md @@ -0,0 +1,107 @@ +# 2022—2023学年秋季学期《高等数学》（I）考试试卷（A）卷 + +**考试形式：闭卷** +**考试时间：150分钟** +**满分：100分** + +--- + +## 一、单选题（共5小题，每小题2分，共10分） + +1. 函数$f(x) = \dfrac{\frac{1}{2} - 2}{1 - x^2}$的第一类间断点个数为（ ）。 + + （A）0 + （B）1 + （C）2 + （D）3 + +2. 设函数$f(x) = \lim_{n\to \infty}\dfrac{\ln(1 + x^n)}{n}$$(x > 0)$，则$f(x)$在$x = 1$处（ ）。 + + （A）左导数和右导数都存在 + （B）左导数和右导数都不存在 + （C）左导数存在，右导数不存在 + （D）左导数不存在，右导数存在 + +3. 极限$\lim_{n\to \infty}\dfrac{1^3 + 2^3 + \cdots + n^3}{n^4}$的值为（ ）。 + + （A）1 + （B）$\dfrac{1}{2}$ + （C）$\dfrac{1}{3}$ + （D）$\dfrac{1}{4}$ + +4. 已知级数$\sum_{n = 1}^{\infty}a_{n}$条件收敛，且$\lim_{n\to \infty}\dfrac{a_{n + 1}}{a_n} = a$，则（ ）。 + + （A）$a < -1$ + （B）$a = -1$ + （C）$-1 < a < 0$ + （D）$a > 0$ + +5. 设 +$I_1 = \int_0^1 \sin x^2 \, dx$， +$I_2 = \int_0^1 \sin x^4 \, dx$， +$I_3 = \int_0^1 \cos x^2 \, dx$， + 则（ ）。 + + （A）$I_1 < I_2 < I_3$ + （B）$I_3 < I_2 < I_1$ + （C）$I_2 < I_1 < I_3$ + （D）$I_3 < I_1 < I_2$ + +--- + +## 二、填空题（共5小题，每小题2分，共10分） + +6. 曲线$y = (2x - 1)(2x + 1)^3$的拐点个数为 __________。 + +7. 函数$y = y(x)$是由方程$\sin x + \sin y = (x + 3)y$所确定的隐函数，则$\left.\mathrm{d}y\right|_{x = 0} =$__________。 + +8. 已知$f(x)$的原函数为$\mathrm{e}^{-x}$，则不定积分$\int \dfrac{f'(\ln x)}{x}\mathrm{d}x$的计算结果为 __________。 + +9. 已知当$x\rightarrow 0$时，函数$\phi (x)$与$1 - \cos x$是等价的无穷小量。若函数$f(x) = \int_{0}^{x}\phi (t)\mathrm{d}t$与$x^{a}\ln (1 + x)$是同阶无穷小，则常数$a$的值为 __________。 + +10. 函数$f(x) = (1 - x)\ln (1 + x^2)$的7阶带佩亚诺余项的麦克劳林公式是 __________。 + +--- + +## 三、解答题（共11小题，共80分） + +11. （6分）求曲线$y = \ln (1 + \mathrm{e}^{-x}) + \dfrac{2 - x}{2 + x}\arctan \dfrac{x}{2}$的渐近线方程。 + +12. （6分）已知数列$\{a_{n}\}$单调且$\{a_{2n}\}$有界，问：$\{a_{n}\}$是否收敛？请说明理由。 + +13. （6分）已知函数$f(x) = \int_{-1}^{x} \mathrm{e}^{-t^{2}} \mathrm{d}t$，设$x = g(y)$是$y = f(x)$的反函数，求$g'(0)$与$g''(0)$。 + +14. （6分）计算极限$\lim_{x \to 0^{+}} \left(\dfrac{\tan x}{x}\right)^{\frac{1}{\ln(1 + x) - x}}$。 + +15. （6分）设常数$a > 0$，试讨论级数$\sum_{n = 1}^{\infty}\dfrac{a^n}{(2^n + 1)(n^2 + 1)}$的敛散性。 + +16. （6分）已知函数$f(x)$在$[0,2]$上可导，且$f(0) = 0$，$\int_{1}^{2} f(x) \mathrm{d}x = 0$。证明：至少存在$\xi \in (0,2)$，使得$f'(\xi) = 2022f(\xi)$。 + +17. （8分）求极坐标曲线$C:\rho = \mathrm{e}^{\theta}$在$\theta = \dfrac{\pi}{2}$对应点处的切线的直角坐标方程及曲率与曲率半径。 + +18. （8分）已知函数 +$$ + f(x) = \left\{ + \begin{array}{ll} + x\mathrm{e}^{x^2} & ,x > 0,\\ + x\ln (1 + x^2) & ,x\leq 0, + \end{array} + \right. +$$ + 计算定积分$I = \int_{0}^{2}f(x - 1)\mathrm{d}x$。 + +19. （8分）某单位在半径为 100 米的圆形跑道上组织 3000 米体能考核，考核组李某在距离跑道圆心 120 米某处观察，当参加考核的钱某与李某相距 100 米时，测得钱某的速度为 4 米每秒，求此时两人间距离的变化率。 + +20. （10分） + （1）证明：当$x > 1$时，$\ln^2 x < x - 1$；（4分） + （2）讨论曲线$y = 3\ln x + k$与曲线$y = 3x - \ln^3 x$的交点个数。（6分） + +21. （10分）已知函数$y(x) = (\arcsin x)^2$。 + （1）验证：$(1 - x^{2})y^{\prime\prime}(x) - xy^{\prime}(x) = 2$；（4分） + （2）求$y^{(n)}(0)$，并计算$\lim_{n\to \infty}\dfrac{y^{(n)}(0)}{n!}$。（6分） + +--- + +**注意：** +1. 所有答题都须写在答题卡对应位置，写在其它纸上一律无效。 +2. 答题卡密封线外不得有姓名及相关标记。 \ No newline at end of file diff --git a/试卷库/高数期末真题/2023高数期末考试卷.md b/试卷库/高数期末真题/2023高数期末考试卷.md new file mode 100644 index 0000000..9a29a67 --- /dev/null +++ b/试卷库/高数期末真题/2023高数期末考试卷.md @@ -0,0 +1,134 @@ +# 国防科技大学2023—2024学年秋季学期《高等数学》（I）考试试卷（A）卷 + +**考试形式：闭卷** +**考试时间：150分钟** +**满分：100分** + +--- + +## 一、单选题（共5小题，每小题2分，共10分） + +1.$x = -1$是函数$f(x) = \arctan \dfrac{1 - x}{1 + x}$的（ ）。 + + （A）可去间断点 + （B）跳跃间断点 + （C）无穷间断点 + （D）振荡间断点 + +2. 已知函数$f(x)$二阶可导，$y = \int_{0}^{x}f\left(\dfrac{1}{t}\right)\mathrm{d}t$，则$y^{\prime \prime} = ($）。 + + （A）$-\dfrac{1}{x^{2}} f^{\prime}\left(\dfrac{1}{x}\right)$ + （B）$-\dfrac{1}{x^{2}} f^{\prime \prime}\left(\dfrac{1}{x}\right)$ + （C）$f^{\prime}\left(\dfrac{1}{x}\right)$ + （D）未给出 + +3. 极限$\lim_{n\to \infty}\dfrac{1}{n}\sum_{k = 1}^{n}(-1)^{k}k$（ ）。 + + （A）等于1 + （B）等于-1 + （C）等于0 + （D）不存在 + +4. 下列级数条件收敛的是（ ）。 + + （A）$\sum_{n = 1}^{\infty}\dfrac{(-1)^{n}}{\sqrt{n}}$ + （B）$\sum_{n = 2}^{\infty}\dfrac{(-1)^{n}}{\ln n}$ + （C）$\sum_{n = 1}^{\infty}\dfrac{(-1)^{n}2^{n}}{n!}$ + （D）$\sum_{n = 1}^{\infty}\dfrac{(-1)^{n}2^{2n}}{n^{2}}$ + +5. 设 +$I_{1} = \int_{-1}^{1}\dfrac{x^{2}}{\sqrt{1 + x^{4}}}\mathrm{d}x$， +$I_{2} = \int_{-1}^{1}\dfrac{x^{3}}{\sqrt{1 + x^{4}}}\mathrm{d}x$， +$I_{3} = \int_{-1}^{1}\dfrac{x^{4}}{\sqrt{1 + x^{4}}}\mathrm{d}x$， + 则（ ）。 + + （A）$I_{1} < I_{2} < I_{3}$ + （B）$I_{3} < I_{2} < I_{1}$ + （C）$I_{2} < I_{3} < I_{1}$ + （D）$I_{2} < I_{1} < I_{3}$ + +--- + +## 二、填空题（共5小题，每小题2分，共10分） + +6. 曲线$y = x^{3} - 3x^{2} + 4$的拐点为 __________。 + +7. 设级数$\sum_{n = 1}^{\infty}\dfrac{1}{n^{p}}\ln \left(1 + \dfrac{1}{\sqrt{n}}\right)$收敛，则常数$p$的最大取值范围为 __________。 + +8. 极限 +$$ + \lim_{n\to \infty}\left(\cos \frac{\pi}{2n} +\cos \frac{2\pi}{2n} +\dots +\cos \frac{n\pi}{2n}\right)\sin \frac{\pi}{n} +$$ + 的值为 __________。 + +9. 已知函数$f(x) = \int_{-1}^{x}\dfrac{t^{2}}{\sqrt{1 + \mathrm{e}^{t}}}\mathrm{d}t (-\infty < x< +\infty)$，$x = g(y)$是$y = f(x)$的反函数，则$g^{\prime}(0)$的值为 __________。 + +10. 不定积分$\int \dfrac{\ln x}{x^{2}}\mathrm{d}x$的计算结果为 __________。 + +--- + +## 三、解答题（共11小题，共80分） + +11. （6分）求曲线$y = \dfrac{\ln(1 + \mathrm{e}^{x})}{1 + x}$的渐近线方程。 + +12. （6分）计算极限$\lim_{x\to 0}\dfrac{(1 + \tan x)^x - \mathrm{e}}{\arcsin x}$。 + +13. （6分）将函数$f(x) = \mathrm{e}^{x - x^2}$展开成4阶带佩亚诺余项的麦克劳林公式，并求$f^{(4)}(0)$。 + +14. （6分）已知函数 +$$ + f(x) = \left\{ + \begin{array}{ll} + \dfrac{1}{1 + \sqrt[3]{x}}, & x \geq 0,\\ + \dfrac{\arctan x}{1 + x^2}, & x < 0, + \end{array} + \right. +$$ + 计算定积分$I = \int_{-1}^{1} f(x) \mathrm{d}x$。 + +15. （6分）证明不等式： +$$ + (1 + x)\ln (1 + x) - x\ln x > \dfrac{x}{1 + x}, \quad x > 0。 +$$ + +16. （6分）近年来，为降低噪声污染，部分城市出台了主城区内禁止鸣笛的交通规则。交通管理部门在监控地段加装声源定位仪器，通过安装在不同位置的仪器接受声波信号的时间差来定位鸣笛车辆。图中地面 D 处立杆上安装了仪器 A 和 B，仪器 B 离地面距离为$h = 5\mathrm{m}$，两仪器间的距离为$dh = 0.17\mathrm{m}$，鸣笛车辆位于距离 D 点$L\mathrm{m}$处。已知声音的传播速度为$340\mathrm{m/s}$。试解答如下问题： + + （1）写出仪器 B 接收到鸣笛声所需时间$T$的计算公式；（2分） + （2）若仪器 A 和 B 接收鸣笛声的时间差为$dT = 1 \times 10^{-4}\mathrm{s}$，利用微分估算距离$L$的值。（4分） + + *注：原题图中未给出，此处保留题图说明。* + +17. （8分）已知曲线$C_1: \mathrm{e}^{xy} + y^2 = 2\cos x$与$C_2: y = f(x)$在点$P(0,1)$处有公切线。 + + （1）求该公切线方程；（4分） + （2）求极限$\lim_{n\to \infty}\left[f\left(\dfrac{1}{n}\right)\right]^n$。（4分） + +18. （8分）设函数$f(x)$在$[a,b]$上可导，$f(a) = f(b) = 0$。 + + （1）求$g(x) = \mathrm{e}^{\int_{a}^{x}f(t)\mathrm{d}t}$的导数；（3分） + （2）证明：至少存在一点$\xi \in (a,b)$，使得$f^{\prime}(\xi) = f^{2}(\xi)$。（5分） + +19. （8分）求曲线 +$$ + C:\left\{ + \begin{array}{l} + x = \int_{0}^{t^{2}}\mathrm{e}^{-u^{2}}\mathrm{d}u,\\ + y = 1 + \mathrm{e}^{-t^{2}} + \end{array} + \right. +$$ + 在$t = 0$对应点处的曲率和曲率半径。 + +20. （10分）设曲线$y = x\mathrm{e}^{-x}$与直线$x = t$，$x = 2t$$(t > 0)$及$x$轴所围曲边梯形的面积为$S(t)$，求$S(t)$的最大值。 + +21. （10分）设函数$f(x)$在$(-\infty , +\infty)$内可导，且$|f'(x)| \leq r$（$0 < r < 1$）。取实数$x_1$，记$x_{n+1} = f(x_n)$，$n = 1, 2, \dots$。证明： + + （1）$\sum_{n = 1}^{\infty}(x_{n + 1} - x_n)$收敛；（5分） + （2）数列$\{x_n\}$收敛（记$\lim_{n \to \infty} x_n = a$）；（3分） + （3）方程$f(x) = x$有唯一实根$x = a$。（2分） + +--- + +**注意：** +1. 所有答题都须写在答题卡对应位置，写在其它纸上一律无效。 +2. 答题卡密封线外不得有姓名及相关标记。 \ No newline at end of file diff --git a/试卷库/高数期末真题/2024高数期末考试卷.md b/试卷库/高数期末真题/2024高数期末考试卷.md new file mode 100644 index 0000000..20f38b8 --- /dev/null +++ b/试卷库/高数期末真题/2024高数期末考试卷.md @@ -0,0 +1,130 @@ +# 国防科技大学2024—2025学年秋季学期《高等数学》（I）考试试卷（A）卷 + +**考试形式：闭卷** +**考试时间：150分钟** +**满分：100分** + +--- + +## 一、单选题（共5小题，每小题2分，共10分） + +1. 已知函数$f(x) = \lim_{n\to \infty}\sqrt[n]{1 + x^n + x^{2n}} \ (x > 0)$，则$f(x)$在$x = 1$处的（ ）。 + + （A）左导数不存在，右导数存在 + （B）左导数存在，右导数不存在 + （C）左导数、右导数均存在 + （D）左导数、右导数均不存在 + +2. 已知函数$f(x)$在$(-∞, +∞)$上连续，则函数$y = \int_{0}^{x}f(t^{2})\mathrm{d}t$的微分为（ ）。 + + （A）$f(x^{2})\mathrm{d}x$ + （B）$2x f(x^{2})\mathrm{d}x$ + （C）$f^{\prime}(x^{2})\mathrm{d}x$ + （D）$2x f^{\prime}(x^{2})\mathrm{d}x$ + +3. 已知函数$f(x) = x\mathrm{e}^{x} - ax - bx^{2}$与$g(x) = \int_{1}^{x}\ln (1 + t^{2})\mathrm{d}t$是$x\rightarrow 0$过程的同阶无穷小量，则（ ）。 + + （A）$a = -1, b = -1$ + （B）$a = 1, b = 1$ + （C）$a = -1, b = 1$ + （D）$a = 1, b = -1$ + +4. 已知$a_{n} = \int_{0}^{\pi n}|\cos x|\mathrm{d}x, n = 1,2,\dots$，则下列级数收敛的是（ ）。 + + （A）$\sum_{n = 1}^{\infty}\dfrac{a_{n}}{n}$ + （B）$\sum_{n = 1}^{\infty}\dfrac{a_{n}}{n^{2}}$ + （C）$\sum_{n = 1}^{\infty}(-1)^{n}\dfrac{a_{n}}{n}$ + （D）$\sum_{n = 1}^{\infty}(-1)^{n}\dfrac{a_{n}^{2}}{n^{2}}$ + +5. 有一圆柱体底面半径与高均随时间变化，底面半径每秒增加$2\mathrm{cm}$，高每秒减少$3\mathrm{cm}$。则当底面半径为$10\mathrm{cm}$、高为$5\mathrm{cm}$时，该圆柱体（ ）。 + + （A）体积在增大，表面积在减小 + （B）体积在减小，表面积在增大 + （C）体积和表面积都在增大 + （D）体积和表面积都在减小 + +--- + +## 二、填空题（共5小题，每小题2分，共10分） + +6. 已知函数$f(x) = x\ln x$，则$f^{(2025)}(x)$的计算结果为 __________。 + +7. 曲线$C: x^{3} + y^{3} - xy = 1$在点$(1,1)$处的切线方程为 __________。 + +8. 函数$f(x) = (x^{2} + x + 1)\mathrm{e}^{-x}$的严格单调增加区间为 __________。 + +9. 定积分$\int_{-2024}^{2024}[x]\mathrm{d}x$（其中$[x]$表示不超过$x$的最大整数）的值为 __________。 + +10. 已知函数$f(x), g(x)$在闭区间$[a,b]$上连续，且$f(x) > 0$，则极限 +$$ + \lim_{n\to \infty}\int_{a}^{b}g(x)\sqrt[n]{f(x)}\mathrm{d}x +$$ + 的值为 __________。 + +--- + +## 三、解答题（共11小题，共80分） + +11. （6分）计算极限 +$$ + \lim_{x\to 0}\frac{x - \int_{0}^{x}\cos t^{2}\mathrm{d}t}{x^{3}\ln(1 + \tan^{2}x)}。 +$$ + +12. （6分）已知$F(x) = x + \arctan \sqrt{x}$为$f(x)$的原函数，计算不定积分$\int x f(x) \mathrm{d}x$。 + +13. （6分）已知 +$$ + f(x) = \frac{1}{1 + x^2} + 2x \int_{-1}^1 f(x) \mathrm{d}x + \int_{-1}^1 x f(x) \mathrm{d}x， +$$ + 求函数$f(x)$的表达式。 + +14. （6分）求极限 +$$ + \lim_{n \to \infty} \sqrt[n]{\left(1 + \frac{n}{n+1}\right)\left(1 + \frac{n}{n+2}\right)\cdots\left(1 + \frac{n}{n+n}\right)}。 +$$ + +15. （6分）设函数$f(x)$在闭区间$[0,2]$上可导，且$\int_{0}^{1} f(x) \mathrm{d}x = 0$。证明：至少存在一点$\xi \in (0,2)$，使得 +$$ + f'(\xi) = \frac{2}{2 - \xi} f(\xi)。 +$$ + +16. （6分）设有一高为$h$米的塑像竖立在高为$1.5 + a$米的底座上，问观察者（眼睛距地面 1.5 米）离塑像底座多远，才能使看到的塑像最清楚（即视角最大）？ + + *注：原题图中未给出，此处保留题图说明。* + +17. （8分）求曲线$C: y = \frac{2 - x}{2 + x} e^x$的渐近线与拐点。 + +18. （8分）求曲线 +$$ + C:\left\{ + \begin{array}{ll} + x = \int_{1}^{t^{2}}\frac{\cos u}{u}\mathrm{d}u,\\ + y = \int_{1}^{t^{2}}\frac{\sin u}{u}\mathrm{d}u + \end{array} + \right. +$$ + 在$t = \frac{\sqrt{\pi}}{2}$所对应点$P$处的曲率和曲率半径。 + +19. （8分）已知$a$为常数，试判断级数 +$$ + \sum_{n=1}^{\infty} \left(\frac{a^n}{\sqrt{n}} + \frac{\sin n}{n^2}\right) +$$ + 的敛散性，若收敛，请指明是条件收敛还是绝对收敛。 + +20. （10分）已知数列$\{a_{n}\}$满足 +$$ + a_{1} = 1, \quad a_{n + 1} = \frac{1}{\ln(3 + a_{n})}, \quad n = 1,2,\dots。 +$$ + （1）证明数列$\{a_{n}\}$收敛；（6分） + （2）设$\lim_{n\to \infty}a_{n} = a$，证明：$\frac{1}{2} < a < 1$。（4分） + +21. （10分）已知函数$f(x)$在闭区间$[0,1]$上二阶连续可导，$f'(0) = f'(1)$，记$M = \max_{0 \leqslant x \leqslant 1} |f''(x)|$，证明： + + （1）$\left|f(x) - (1 - x)f(0) - xf(1)\right| \leq \dfrac{x(1 - x)}{2} M$；（6分） + （2）$\left| \int_{0}^{1} f(x) \mathrm{d}x - \dfrac{f(0) + f(1)}{2} \right| \leq \dfrac{M}{12}$。（4分） + +--- + +**注意：** +1. 所有答题都须写在答题卡对应位置，写在其它纸上一律无效。 +2. 答题卡密封线外不得有姓名及相关标记。 \ No newline at end of file