diff --git a/素材/整合素材/高数素材/不定积分大集合——方法篇.md b/素材/整合素材/高数素材/不定积分大集合——方法篇.md index 3be1e98..478a07d 100644 --- a/素材/整合素材/高数素材/不定积分大集合——方法篇.md +++ b/素材/整合素材/高数素材/不定积分大集合——方法篇.md @@ -103,9 +103,9 @@ $$\begin{align*} （2）积分中为了化掉根式是否一定采用三角代换？ 并不是绝对的，需要根据被积函数的情况来定。 一般规律如下：当被积函数中含有 -$\boldsymbol{\sqrt{a^2 - x^2}}$ 可令 $x = a\sin t$ -$\boldsymbol{\sqrt{a^2 + x^2}}$ 可令 $x = a\tan t$ -$\boldsymbol{\sqrt{x^2 - a^2}}$ 可令 $x = a\sec t$ +${\sqrt{a^2 - x^2}}$ 可令 $x = a\sin t$ +${\sqrt{a^2 + x^2}}$ 可令 $x = a\tan t$ +${\sqrt{x^2 - a^2}}$ 可令 $x = a\sec t$ （3）倒代换（当分母的次数高时，可采用倒代换） 【2.3】求 diff --git a/编写小组/讲义/一元积分学（Part 1）.md b/编写小组/讲义/一元积分学（Part 1）.md index f2a10ee..942f81c 100644 --- a/编写小组/讲义/一元积分学（Part 1）.md +++ b/编写小组/讲义/一元积分学（Part 1）.md @@ -5,8 +5,7 @@ aliases: - Integrate --- # Section 1 积分基础 -（%%TODO：积分基础%%） -（%%积分的定义！%%） +>[!bug] 待补充 # Section 2 积分方法 ## 预处理 拿到一个积分，最忌讳的是直接被那一团复杂的被积函数吓倒。先尝试着逐步拆解简化这个积分，然后进行求解。 @@ -22,36 +21,109 @@ aliases: >>$\int\cos^2x\sin x\mathrm dx=-\int u^2\mathrm du=-\dfrac{u^3}{3}+C=-\dfrac{\cos^3 x}{3}+C$ >>如果你对整个过程很熟练，可以写成 $\int\cos^2x\sin x\mathrm dx=\int\cos^2x\mathrm d(\cos x)=-\dfrac{\cos^3 x}{3}+C$ +除此之外还有第二类换元法 +>[!bug] 待补充 + 换元法有下列几种情况： -#### 1. 三角形式 +#### 1. 三角函数式 >[!example] 例2.1 ->求不定积分 $\int \sin^2 x \cos^5 x dx$. +>求不定积分 $\int \sin^2 x \cos^5 x\mathrm dx$. >[!tip] 提示 >利用 $\cos x$ 来凑微分而不是 $\sin x$，这样你就能得到偶数次方的三角函数——如果最后剩下奇数次方的 $\sin x,\cos x$，那么可能还要多花一点心思去做换元或用别的技巧，但是偶数次方的可操作性强很多，你可以用 $\sin^2x+\cos^2x=1$ 来升降次，用诸如 $\cos^2x=\dfrac{1+\cos^2x}{2}$ 来换角，比奇数次更加便捷。 ->这也是万能代换 $x=\tan\frac{t}{2}$ 背后的逻辑。 +>“化偶数次”也是万能代换 $x=\tan\frac{t}{2}$ 背后的逻辑。 >[!note] 解析 ->$\begin{align}\text{原式}&= \int \sin^2 x \cos^4 x (\cos x) dx \\&= \int \sin^2 x \cos^4 x d\sin x \\&= \int \sin^2 x (1-\sin^2 x)^2 d\sin x \\&= \int \sin^2 x (\sin^4 x - 2\sin^2 x + 1) d\sin x \\&= \int (\sin^6 x - 2\sin^4 x + \sin^2 x) d\sin x \\&= \frac{1}{7}\sin^7 x - \frac{2}{5}\sin^5 x + \frac{1}{3}\sin^3 x + C\end{align}$ -#### 2. 高次幂 ->[!example] 例2.2 ->求不定积分 $\int\dfrac{x\mathrm dx}{(x-1)^{100}}$. +>$\begin{align}\text{原式}&= \int \sin^2 x \cos^4 x (\cos x)\mathrm dx \\&= \int \sin^2 x \cos^4 x\mathrm d\sin x \\&= \int \sin^2 x (1-\sin^2 x)^2\mathrm d\sin x \\&= \int \sin^2 x (\sin^4 x - 2\sin^2 x + 1)\mathrm d\sin x \\&= \int (\sin^6 x - 2\sin^4 x + \sin^2 x) \mathrm d\sin x \\&= \frac{1}{7}\sin^7 x - \frac{2}{5}\sin^5 x + \frac{1}{3}\sin^3 x + C\end{align}$ +#### 2. 三角代换式 +三角代换并不是绝对的，需要根据被积函数的情况来定。然而，当出现类似 $x^2\pm a^2$ 的结构，尤其是在根号内的时候，可以根据 $\sin^2x+\cos^2x=1$ 和 $\tan^2x+1=\sec^2x$ 适当选择代换式 +一般规律如下：当被积函数中含有 +${\sqrt{a^2 - x^2}}$ 可令 $x = a\sin t$ +${\sqrt{a^2 + x^2}}$ 可令 $x = a\tan t$ +${\sqrt{x^2 - a^2}}$ 可令 $x = a\sec t$ + +>[!fail] 不应当死记硬背上面的代换，这样很容易记错 + +>[!done] 你应当结合 $\sin^2x+\cos^2x=1$ 和 $\tan^2x+1=\sec^2x$ 来辅助记忆，并强化运用能力 + +>[!example] 例题2. +>求不定积分 $\displaystyle\int\frac{\mathrm dx}{\sqrt{x^2+a^2}} \quad (a>0)$ + +>[!note] 解析 +>令 $x = a\tan t$ ，则$\mathrm dx = a\sec^2 t\mathrm dt$，$t \in \left(-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}\right)$，则 +$\sqrt{x^2+a^2} = \sqrt{a^2\tan^2 t + a^2} = a\sec t$ +>$\begin{align}\int \frac{dx}{\sqrt{x^2+a^2}} &= \int \frac{a\sec^2 t dt}{a\sec t} \\&= \int \sec t dt \\&= \ln|\sec t + \tan t| + C_1 \\&= \ln\left|\frac{\sqrt{x^2+a^2}}{a} + \frac{x}{a}\right| + C_1 \\&= \ln\left|x + \sqrt{x^2+a^2}\right| + C\end{align}$ +#### 3. 有理式 +>[!example] 例2. +>求不定积分 $\displaystyle\int\dfrac{x\mathrm dx}{(x-1)^{100}}$. >[!note] 解析 >$\begin{align}\text{原式}&=\int\frac{(x-1)+1}{(x-1)^{100}}\mathrm d(x-1)\\&=\int\frac{\mathrm d(x-1)}{(x-1)^{99}}+\int\frac{\mathrm d(x-1)}{(x-1)^{100}}\\&=-\frac{1}{98(x-1)^{98}} - \frac{1}{99(x-1)^{99}} + C\end{align}$ +>[!tip] !!! +>（等待添加，有什么想法吗？） + +>[!example] 例2. +>求不定积分 $\displaystyle\int \frac{\mathrm{d}x}{\sqrt[6]{x+1} - \sqrt[3]{x+1}}$ + +>[!hint] 提示 +>对于含有多个次数不同的根式时，换元时要换元为根指数的最小公倍数。 +>若被积函数中含有 $\sqrt[n_1]{ax+b}$,$\sqrt[n_2]{ax+b}$,$\dots$,$\sqrt[n_k]{ax+b}$，可考虑代换 $t = \sqrt[n]{ax+b}$（n 为 $n_1$,$n_2$,$\dots,n_k$ 的最小公倍数） +>若被积函数中含有 $\sqrt[n_1]{\frac{ax+b}{cx+d}}$,$\sqrt[n_2]{\frac{ax+b}{cx+d}}$,$\dots$,$\sqrt[n_k]{\frac{ax+b}{cx+d}}$，可考虑代换 $t = \sqrt[n]{\frac{ax+b}{cx+d}}$（n 为 $n_1$,$n_2$,$\dots$,$n_k$ 的最小公倍数） + +>[!note] 解析 +>令 $t=\sqrt[6]{x+1}$，则 $x=t^6-1$，$\mathrm dx=6t^5\mathrm dt$，则 +>$\begin{align}\int \frac{dx}{\sqrt[6]{x+1} - \sqrt[3]{x+1}} &= \int \frac{6t^5 dt}{t - t^2} \\&= 6\int \frac{t^4}{1-t} dt \\&= 6\int \left(-t^3 - t^2 - t - 1 + \frac{1}{1-t}\right) dt \\&= 6\left(-\frac{t^4}{4} - \frac{t^3}{3} - \frac{t^2}{2} - t - \ln|1-t|\right) + C \\&= -\frac{3}{2}\sqrt[3]{(x+1)^2} - 2\sqrt{x+1} - 3\sqrt[3]{x+1} - 6\sqrt[6]{x+1} - 6\ln|\sqrt[6]{x+1} -1| + C\end{align}$ + >[!error] 待决策 ->### 3. 高次幂多项式与三角函数的转化 ->$$\int \frac{\sqrt{\arctan x}}{1+x^2} dx$$ +>##### 高次幂多项式与三角函数的转化 +>$$\int \frac{\sqrt{\arctan x}}{1+x^2}\mathrm dx$$ >原式 >$$\begin{align*} -&= \int \sqrt{\arctan x} d(\arctan x) \\ +&= \int \sqrt{\arctan x}\mathrm d(\arctan x) \\ &= \frac{2}{3}(\arctan x)^{\frac{3}{2}} + C \end{align*}$$ +#### 4. 倒代换 +在拆解有理式的时候，对于 $\dfrac{1}{ax+b},\dfrac{1}{ax^2+bx+c}$ 等一次、二次分式，我们可以从容应对；但是如果次数再高一点，就很难办了。 +然而，对于一些较为简单的高次幂函数，我们可以使用**倒代换**：把 $x$ 倒过来！ +令 $x=\frac1t,\mathrm dx=-\frac{1}{t^2}\mathrm dt$ +>[!example] 例题 +>求不定积分 $\displaystyle\int\frac{1}{x(x^7+2)}\mathrm dx$ + +>[!note] 解析 +>令 $x=\frac{1}{t}$， +>$\begin{align}\int\frac{1}{x(x^7+2)}\mathrm dx&=\int\frac{t\mathrm dt}{(t^{-7}+2)(-t^2)}\\&=-\int\frac{t^6\mathrm dt}{1+2t^7}\\&=-\frac{1}{14}\ln|1+2t^7|+C\\&=-\frac{1}{14}\ln|2+x^7|+\frac{1}{2}\ln|x|+C\end{align}$ ## 分部积分法 +分部积分法的基本公式：$\int u\mathrm dv=uv-\int v\mathrm du$ +分部积分法的要点是通过合理选择 $u,\mathrm dv$ 使得 $\int v\mathrm du$ 比 $\int u\mathrm dv$ 更容易求。那么如何选择呢？按照教员上课提到的“反对幂指三”，我们这样选择 $u$，十有八九能成功（实在不行再调换顺序）： +1. **反**：反三角函数家族 $\arcsin,\arccos,\arctan,...$ +2. **对**：对数函数，通常特指 $\ln x$ +3. **幂**：幂函数，$x,x^2,x^3,...$ +4. **指**：指数函数，通常特指 $\mathrm e^x$ +5. **三**：三角函数家族 $\sin,\cos,\tan,\cot,\sec,\csc$ +>[!todo] 示例 +>求不定积分 $\int x\cos x\mathrm dx$ +>[!done] 正确示例 +>解：按照顺序，匹配到“**幂**”，那么我们取 $u=x$，$\mathrm dv=\cos x\mathrm dx=\mathrm d\sin x$ +>$\int x \cos x\mathrm dx = \int x\mathrm d\sin x = x \sin x - \int \sin x\mathrm dx = x \sin x + \cos x + C$ +>[!fail] 错误示例 +>解：我们尝试取 $u=\cos x$，$\mathrm dv=x\mathrm dx=\frac{1}{2}\mathrm dx^2$， +>$\displaystyle\int x\cos x\mathrm dx=\frac{1}{2}\int\cos x\mathrm dx^2=x^2\cos x+\int x^2\sin x\mathrm dx$ …… +>你还愿意继续积下去吗？我是不愿意了。 #### 常见特征： +\ +\ +\ +\ +\ +\ +\ +\ +\ +\ +\ #### 反对幂指三 @@ -62,3 +134,75 @@ aliases: # Section 5 与积分相关的不等式证明 # Extra. 常用积分公式速记 +### 一、基本初等函数积分 +$\int 0 \, \mathrm dx =C$ + $\int k \, \mathrm dx = kx + C$ （ k 为常数） + $\int x^\mu \, \mathrm {d}x = \frac{x^{\mu+1}}{\mu+1} + C$ （ $\mu \neq -1$ ） + $\int \sqrt{x} \mathrm {d}x = \frac{2}{3}x^{\frac{3}{2}} + C$ + $\int \frac{1}{x} \, \mathrm {d}x = \ln|x| + C$ +$\int a^x \, \mathrm {d}x = \frac{a^x}{\ln a} + C$ （ $a>0,a\neq1$ ） + $\int e^x \, \mathrm {d}x = e^x + C$ +### 二、三角函数积分 + $\int \sin x \, \mathrm {d}x = -\cos x + C$ + $\int \cos x \, \mathrm {d}x = \sin x + C$ + $\int \tan x \, \mathrm {d}x = -\ln|\cos x| + C$ + $\int \cot x \, \mathrm {d}x = \ln|\sin x| + C$ + $\int \sec x \, \mathrm {d}x = \ln|\sec x + \tan x| + C$ + $\int \csc x \, \mathrm {d}x = \ln|\csc x - \cot x| + C$ + $\int \sec^2 x \, \mathrm {d}x = \tan x + C$ + $\int \csc^2 x \, \mathrm {d}x = -\cot x + C$ + $\int \sec x \tan x \, \mathrm {d}x = \sec x + C$ + $\int \csc x \cot x \, \mathrm {d}x = -\csc x + C$ + $\int \sin^2 x \, \mathrm {d}x = \frac{x}{2} - \frac{\sin 2x}{4} + C$ + $\int \cos^2 x \, \mathrm {d}x = \frac{x}{2} + \frac{\sin 2x}{4} + C$ +### 三、反三角函数积分 + $\int \arcsin x \, \mathrm {d}x = x\arcsin x + \sqrt{1-x^2} + C$ + $\int \arccos x \, \mathrm {d}x = x\arccos x - \sqrt{1-x^2} + C$ + $\int \arctan x \, \mathrm {d}x = x\arctan x - \frac{1}{2}\ln(1+x^2) + C$ + $\int \text{arccot } x \, \mathrm {d}x = x\text{arccot } x + \frac{1}{2}\ln(1+x^2) + C$ +### 四、含根式的积分（ $a>0$ ） + $\int \frac{1}{\sqrt{a^2 - x^2}} \, \mathrm {d}x = \arcsin\frac{x}{a} + C$ + $\int \frac{1}{\sqrt{x^2 + a^2}} \, \mathrm {d}x = \ln\left(x + \sqrt{x^2 + a^2}\right) + C$ + $\int \frac{1}{\sqrt{x^2 - a^2}} \, \mathrm {d}x = \ln\left|x + \sqrt{x^2 - a^2}\right| + C$ + $\int \sqrt{a^2 - x^2} \, \mathrm {d}x = \frac{x}{2}\sqrt{a^2 - x^2} + \frac{a^2}{2}\arcsin\frac{x}{a} + C$ + $\int \sqrt{x^2 + a^2} \, \mathrm {d}x = \frac{x}{2}\sqrt{x^2 + a^2} + \frac{a^2}{2}\ln\left(x + \sqrt{x^2 + a^2}\right) + C$ + $\int \sqrt{x^2 - a^2} \, \mathrm {d}x = \frac{x}{2}\sqrt{x^2 - a^2} - \frac{a^2}{2}\ln\left|x + \sqrt{x^2 - a^2}\right| + C$ +### 五、含分式的积分（ $a\neq0$ ） + $\int \frac{1}{x^2 + a^2} \, \mathrm {d}x = \frac{1}{a}\arctan\frac{x}{a} + C$ + $\int \frac{1}{x^2 - a^2} \, \mathrm {d}x = \frac{1}{2a}\ln\left|\frac{x - a}{x + a}\right| + C$ + $\int \frac{1}{ax + b} \, \mathrm {d}x = \frac{1}{a}\ln|ax + b| + C$ +### 六、指数与对数结合积分 + $\int x e^x \, \mathrm {d}x = (x-1)e^x + C$ +$\int x \ln x \, \mathrm {d}x = \frac{x^2}{2}\ln x - \frac{x^2}{4} + C$ + $\int e^x \sin x \, \mathrm {d}x = \frac{e^x}{2}(\sin x - \cos x) + C$ + $\int e^x \cos x \, \mathrm {d}x = \frac{e^x}{2}(\sin x + \cos x) + C$ +### 七、常用凑微分积分 + $\int \frac{1}{\sqrt{1 - x^2}} \, \mathrm {d}x = \arcsin x + C = -\arccos x + C$ + $\int \frac{1}{1 + x^2} \, \mathrm {d}x = \arctan x + C = -\text{arccot } x + C$ + $\int \frac{1}{x\ln x} \, \mathrm {d}x = \ln|\ln x| + C$ + $\int \frac{e^{\sqrt{x}}}{\sqrt{x}} \, \mathrm {d}x = 2e^{\sqrt{x}} + C$ + $\int \frac{\sin\sqrt{x}}{\sqrt{x}} \, \mathrm {d}x = -2\cos\sqrt{x} + C$ +>[!abstract] 练习 +>尝试推导上述公式 + +Trivia: 魔法六边形 + + + + + + + + + + + + sin + tan + cos + sec + cot + csc + 1 + +