From bb41777a8f0e261fd6f0cee98a8b0715c3cdb29d Mon Sep 17 00:00:00 2001 From: Cym10x Date: Tue, 23 Dec 2025 21:19:31 +0800 Subject: [PATCH] =?UTF-8?q?=E6=96=B0=E5=A2=9E=E5=86=85=E5=AE=B9?= MIME-Version: 1.0 Content-Type: text/plain; charset=UTF-8 Content-Transfer-Encoding: 8bit --- .gitignore | 4 +- .../其他判别法.docx | Bin .../根值判别法.md | 0 .../比值判别法.md | 0 .../比较判别法.md | 0 .../部分和判别法.md | 0 Chapter 4 微积分基础/应用题真题.md | 87 ++++++++++ Chapter 4 微积分基础/相关变化率.md | 150 +++++++++++++++++ .../隐函数与参数方程求导.md | 154 ++++++++++++++++++ 小测/12.22/课前测.md | 33 ++++ 小测/12.22/课前测解析版.md | 68 ++++++++ 小测/{12.23 => 12.22}/课后测(解析).md | 0 小测/{12.23 => 12.22}/课后测.md | 0 小测/12.23/课后测解析版.md | 94 +++++++++++ 14 files changed, 589 insertions(+), 1 deletion(-) rename {Chapter 2 极限 => Chapter 2-3 极限}/其他判别法.docx (100%) rename {Chapter 2 极限 => Chapter 2-3 极限}/根值判别法.md (100%) rename {Chapter 2 极限 => Chapter 2-3 极限}/比值判别法.md (100%) rename {Chapter 2 极限 => Chapter 2-3 极限}/比较判别法.md (100%) rename {Chapter 2 极限 => Chapter 2-3 极限}/部分和判别法.md (100%) create mode 100644 Chapter 4 微积分基础/应用题真题.md create mode 100644 Chapter 4 微积分基础/相关变化率.md create mode 100644 Chapter 4 微积分基础/隐函数与参数方程求导.md create mode 100644 小测/12.22/课前测.md create mode 100644 小测/12.22/课前测解析版.md rename 小测/{12.23 => 12.22}/课后测(解析).md (100%) rename 小测/{12.23 => 12.22}/课后测.md (100%) create mode 100644 小测/12.23/课后测解析版.md diff --git a/.gitignore b/.gitignore index 868834a..45fb097 100644 --- a/.gitignore +++ b/.gitignore @@ -1,2 +1,4 @@ *.un -.vs/ \ No newline at end of file +.vs/ +.vscode/ +.obsidian/ \ No newline at end of file diff --git a/Chapter 2 极限/其他判别法.docx b/Chapter 2-3 极限/其他判别法.docx similarity index 100% rename from Chapter 2 极限/其他判别法.docx rename to Chapter 2-3 极限/其他判别法.docx diff --git a/Chapter 2 极限/根值判别法.md b/Chapter 2-3 极限/根值判别法.md similarity index 100% rename from Chapter 2 极限/根值判别法.md rename to Chapter 2-3 极限/根值判别法.md diff --git a/Chapter 2 极限/比值判别法.md b/Chapter 2-3 极限/比值判别法.md similarity index 100% rename from Chapter 2 极限/比值判别法.md rename to Chapter 2-3 极限/比值判别法.md diff --git a/Chapter 2 极限/比较判别法.md b/Chapter 2-3 极限/比较判别法.md similarity index 100% rename from Chapter 2 极限/比较判别法.md rename to Chapter 2-3 极限/比较判别法.md diff --git a/Chapter 2 极限/部分和判别法.md b/Chapter 2-3 极限/部分和判别法.md similarity index 100% rename from Chapter 2 极限/部分和判别法.md rename to Chapter 2-3 极限/部分和判别法.md diff --git a/Chapter 4 微积分基础/应用题真题.md b/Chapter 4 微积分基础/应用题真题.md new file mode 100644 index 0000000..463ccf6 --- /dev/null +++ b/Chapter 4 微积分基础/应用题真题.md @@ -0,0 +1,87 @@ +>[!example] **例1**（2020） +>有一个正圆锥形漏斗，深度 $18 \text{ cm}$ ，上端口直径为 $12 \text{ cm}$ （即半径 $6 \text{ cm}$ ）。漏斗下方连接一个圆柱形筒，圆柱筒直径为 $10 \text{ cm}$ （即半径 $5 \text{ cm}$ ）。初始时刻漏斗内盛满水，然后水从漏斗流入圆柱筒。已知当漏斗中水深为 $12 \text{ cm}$ 时，漏斗水面下降的速度是 $1 \text{ cm/min}$ +问：此时圆柱筒内液面上升的速度是多少？ + + +**解析**: +设 t （s）时漏斗水深为 h （cm），圆柱形容器的水深为 H （cm），则有 +$$\pi 5^2 H = V_0 - \frac{1}{3} \pi \left( \frac{6}{18} h \right)^2 h$$ +关于 t 求导数得 +$$25 \frac{dH}{dt} = -\frac{1}{9} h^2 \frac{dh}{dt}$$ +当 h = 12, $\frac{dh}{dt} = -1$ 时， +$$\frac{dH}{dt} = \frac{16}{25} \text{(cm/s)}$$ + + +>[!example] **例2** (2021) +>一长为 L 米的木梯靠在倾角为$\frac{\pi}{3}$的光滑斜坡上，木梯的顶部距离 A 点 h 米，底部距离 A 点 d 米，受重力作用木梯的顶部以 $a \, \mathrm{m/s}$ 的速度沿直线 BA 下滑，底部水平向右运动。问：当木梯的顶部和底部与 A 点的距离相等时，底部的水平速度为多少？ +>![[2dc97df311b6179d9c28babc1848adfc.jpg]] + + + +**解析：** +设运动 t 秒后，木梯的顶部距离 A 点 $y(t) \, \mathrm{m}$ ，底部距离 A 点 $x(t) \, \mathrm{m}$ 。由图易知 +$$\left(y(t)\sin\frac{\pi}{3}\right)^2 + \left(x(t)+y(t)\cos\frac{\pi}{3}\right)^2 = L^2$$ +即 +$$x^2(t)+y^2(t)+x(t)y(t)=L^2$$ +方程两端分别对 t 求导，可得 +$$2x(t)x'(t)+2y(t)y'(t)+x(t)y'(t)+x'(t)y(t)=0$$ +由于 $y'(t)=-a \, (\mathrm{m/s})$ ，因此当 x(t)=y(t) 时，有 +$$2x'(t)-2a-a+x'(t)=0$$ +故 $$x'(t)=a \, (\mathrm{m/s})$$ + + +>[!example] **例3**（2023） +>有一个长度为5m的梯子贴靠在铅直的墙上，假设其下端沿地板以3m/s的速率离开墙脚而滑动，则 +(1) 何时梯子的上、下端能以相同的速率移动？ +(2) 何时其上端下滑之速率为4m/s？ + + +**解析:** +设在时刻 t ，梯子上端与墙角的距离为 $x(t) \, \mathrm{m}$ ，下端与墙角的距离为 $y(t) \, \mathrm{m}$ ，则 +$$x^2 + y^2 = 25$$ +两端同时对 t 求导数可得 +$$x \frac{dx}{dt} + y \frac{dy}{dt} = 0$$ + +(1) 当$\frac{dx}{dt} = -\frac{dy}{dt}$ 时，可得 x = y ，进而 $y = \frac{5}{\sqrt{2}} \, (\mathrm{m})$ ， +即下端距墙脚 $\frac{5}{\sqrt{2}} \, \mathrm{m}$ 时上下端能以相同的速率移动。 + +(2) 当 $\frac{dy}{dt} = -4 \, (\mathrm{m/s})$ ， $\frac{dx}{dt} = 3 \, (\mathrm{m/s})$ 时，有 $4x = 3y$ ，将其代入 $x^2 + y^2 = 25$ ， +解得$y = 4 \, (\mathrm{m})$,即下端距墙脚4 m时，上端下滑速度为$4 m/s$ + + + +>[!example] **例4**(2022) +>某部举行八一阅兵，队列正步通过阅兵台时步幅间距离为75厘米，步速为每分钟112步。某观礼人员离行进队列垂直距离为60米，视线追随队列领队，求其视线与队列夹角为$\frac{\pi}{6}$时，视线转动角度的变化率。 + + + +**解析：** +- 建立几何模型：设时间为\(t\)分钟，步幅间距离0.75米，步速为每分钟112步，则队列行进距离$x = 0.75×112t = 84t$米。设视线与队列夹角为$theta$，由正切函数关系可得$tan\theta=\frac{x}{60}$，即$\tan\theta=\frac{84t}{60}=\frac{7t}{5}$。 +- 两边对$t$求导：根据复合函数求导法则 +$$(tan\theta)^\prime=\sec^{2}\theta\cdot\frac{d\theta}{dt})$$对$tan\theta=\frac{7t}{5}$两边求导得$$sec^{2}\theta\cdot\frac{d\theta}{dt}=\frac{7}{5}$$ +求解:$\frac{d\theta}{dt}$：当$theta = \frac{\pi}{6}$时，$sec\theta=\frac{2}{\sqrt{3}}$，$sec^{2}\theta=\frac{4}{3}$，代入$sec^{2}\theta\cdot\frac{d\theta}{dt}=\frac{7}{5}$， + +可得$$\frac{4}{3}\cdot\frac{d\theta}{dt}=\frac{7}{5}$$解得$$\frac{d\theta}{dt}=\frac{21}{20}（弧度/分钟） +$$ +答案：视线转动角度的变化率为\(\frac{21}{20}\)弧度/分钟。本题主要考察了利用导数解决实际问题中的变化率问题，关键在于建立正确的函数关系并准确求导，易错点是复合函数求导法则的运用。 + + +>[!example] **例5**（2024） +>一架巡逻直升机在距离地面3km的高度以120km/h的速度沿着一条水平笔直的高速公路向前飞行。飞行员观察到迎面驶来一辆汽车，通过雷达测出直升机与汽车的距离为5km，同时此距离以160km/h的速率在减少。试求此时汽车行进的速度。 + + + +**解析**： + +如图建立直角坐标系，设时刻 t直升机位于 A点 (x1​(t),3)，汽车位于 B点 (x2​(t),0)，直升机与汽车的距离为 z(t)，则 + +$$(x2​(t)−x1​(t))2+32=z2(t)$$ + +方程两端分别对 t求导，可得 +$$(x2​(t)−x1​(t))(x2′​(t)−x1′​(t))=z(t)z′(t)$$ + +由于 $z(t)=5$时，$x2​(t)−x1​(t)=4$，$z′(t)=−160$，$x1′​(t)=120$，有 + +$$4(x2′​(t)−120)=5×(−160)$$ + +故 $x2′​(t)=−80$，即汽车行进的速度为 $80km/h$。 \ No newline at end of file diff --git a/Chapter 4 微积分基础/相关变化率.md b/Chapter 4 微积分基础/相关变化率.md new file mode 100644 index 0000000..2e3fe4e --- /dev/null +++ b/Chapter 4 微积分基础/相关变化率.md @@ -0,0 +1,150 @@ +# 飞机航空摄影问题 + +## 问题描述 + +一飞机在离地面2 km的高度，以200 km/h的速度水平飞行到某目标上空，以便进行航空摄影。试求飞机飞至该目标正上方时，摄影机转动的角速率。 + +## 解析 + +### 建立坐标系 + +目标位置：原点 $O(0,0)$ +飞机位置：$P(x,2)$ +飞机高度：$h = 2$ km +水平速度：$\frac{dx}{dt} = -200$ km/h + +### 角度关系 + +$\theta = \arctan\left(\frac{x}{2}\right)$ +$\tan\theta = \frac{x}{2}$ + +### 角速率计算 + +$\frac{d\theta}{dt} = \frac{d\theta}{dx} \cdot \frac{dx}{dt}$ + +$\frac{d\theta}{dx} = \frac{d}{dx} \arctan\left(\frac{x}{2}\right) = \frac{1}{1 + \left(\frac{x}{2}\right)^2} \cdot \frac{1}{2} = \frac{2}{x^2 + 4}$ + +$\frac{d\theta}{dt} = \frac{2}{x^2 + 4} \cdot (-200) = -\frac{400}{x^2 + 4}$ rad/h + +### 目标正上方时的角速率 + +当 $x = 0$ 时： + +$\left. \frac{d\theta}{dt} \right|_{x=0} = -\frac{400}{0 + 4} = -100$ rad/h + +转换单位： + +$100$ rad/h $= 100 \times \frac{180}{\pi}$ °/h $= \frac{18000}{\pi}$ °/h + +$\frac{18000}{\pi}$ °/h $\times \frac{1}{3600}$ h/s $= \frac{5}{\pi}$ °/s $\approx 1.59$ °/s + +## 答案 + +飞机飞至目标正上方时，摄影机转动的角速率为 $\frac{5}{\pi}$ °/s（约1.59 °/s）。 + +--- + +# 人拉船问题 + +## 问题描述 + +人在河岸用绳经过定滑轮以速度 $v$、加速度 $a$ 拉船。绳与水平面夹角为 $\theta$。求此时船的加速度 $a'$。 +![[Pasted image 20251223173057.png]] +## 解析 + +### 变量定义 + +$h$：滑轮高度（定值） +$x$：船到河岸的水平距离 +$l$：绳长 +$v = -\frac{dl}{dt}$：人拉绳的速度 +$a = -\frac{d^2l}{dt^2}$：人拉绳的加速度 +$u = -\frac{dx}{dt}$：船的水平速度 +$a' = -\frac{d^2x}{dt^2}$：船的加速度 +$\theta$：绳与水平面夹角 + +### 几何关系 + +$l^2 = h^2 + x^2$ + +### 一阶导数关系 + +对几何关系求导：$2l\frac{dl}{dt} = 2x\frac{dx}{dt}$ + +$l\frac{dl}{dt} = x\frac{dx}{dt}$ + +代入速度定义：$l(-v) = x(-u)$ + +$u = \frac{l}{x}v = \frac{v}{\cos\theta}$，其中 $\cos\theta = \frac{x}{l}$ + +### 二阶导数关系 + +对一阶关系求导：$\frac{d}{dt}\left(l\frac{dl}{dt}\right) = \frac{d}{dt}\left(x\frac{dx}{dt}\right)$ + +$\left(\frac{dl}{dt}\right)^2 + l\frac{d^2l}{dt^2} = \left(\frac{dx}{dt}\right)^2 + x\frac{d^2x}{dt^2}$ + +$(-v)^2 + l(-a) = (-u)^2 + x(-a')$ + +$v^2 - la = u^2 - xa'$ + +### 求解 $a'$ + +$xa' = u^2 - v^2 + la$ + +$a' = \frac{u^2 - v^2 + la}{x}$ + +代入 $u = \frac{v}{\cos\theta}$, $x = h\tan\theta$, $l = \frac{h}{\cos\theta}$： + +$a' = \frac{\left(\frac{v}{\cos\theta}\right)^2 - v^2 + \left(\frac{h}{\cos\theta}\right)a}{h\tan\theta}$ + +$a' = \frac{v^2\left(\frac{1}{\cos^2\theta} - 1\right)}{h\tan\theta} + \frac{\frac{h}{\cos\theta}a}{h\tan\theta}$ + +$a' = \frac{v^2\tan^2\theta}{h\tan\theta} + \frac{a}{\cos\theta\tan\theta}$ + +$a' = \frac{v^2\tan\theta}{h} + \frac{a}{\sin\theta}$ + +## 答案 + +此时船的加速度为： +$a' = \frac{v^2\tan\theta}{h} + \frac{a}{\sin\theta}$ + +--- + +# 动点曲线运动问题 + +## 问题描述 + +已知动点 $P$ 在曲线 $y = \sqrt{x}$ 上运动，记坐标原点 $O$ 与 $P$ 间的距离为 $l$。若点 $P$ 横坐标随时间的变化率为常数 $v$，则当点 $P$ 运动到点 $(1, 1)$ 时，$l$ 对时间的变化率是多少？ + +## 解析 + +### 变量关系 + +点 $P$ 坐标：$(x, y)$, $y = \sqrt{x}$ + +原点 $O$ 与 $P$ 间的距离： +$l = \sqrt{x^2 + y^2} = \sqrt{x^2 + (\sqrt{x})^2} = \sqrt{x^2 + x}$ + +已知：$\frac{dx}{dt} = v$（常数） + +### 距离变化率计算 + +$\frac{dl}{dt} = \frac{d}{dt} \sqrt{x^2 + x} = \frac{d}{dt} (x^2 + x)^{1/2}$ + +$\frac{dl}{dt} = \frac{1}{2}(x^2 + x)^{-1/2} \cdot \frac{d}{dt}(x^2 + x)$ + +$\frac{dl}{dt} = \frac{1}{2\sqrt{x^2 + x}} \cdot (2x + 1) \frac{dx}{dt}$ + +$\frac{dl}{dt} = \frac{2x + 1}{2\sqrt{x^2 + x}} \cdot v$ + +### 在点 $(1, 1)$ 处的变化率 + +当 $x = 1$ 时： + +$\left. \frac{dl}{dt} \right|_{x=1} = \frac{2\cdot 1 + 1}{2\sqrt{1^2 + 1}} \cdot v = \frac{3}{2\sqrt{2}} \cdot v = \frac{3v}{2\sqrt{2}}$ + +有理化：$\frac{3v}{2\sqrt{2}} = \frac{3v\sqrt{2}}{4}$ + +## 答案 + +当点 $P$ 运动到点 $(1, 1)$ 时，$l$ 对时间的变化率为 $\frac{3v\sqrt{2}}{4}$。 \ No newline at end of file diff --git a/Chapter 4 微积分基础/隐函数与参数方程求导.md b/Chapter 4 微积分基础/隐函数与参数方程求导.md new file mode 100644 index 0000000..404a54b --- /dev/null +++ b/Chapter 4 微积分基础/隐函数与参数方程求导.md @@ -0,0 +1,154 @@ + + +## 隐函数求导 + +### 原理 + +设方程 $F(x, y) = 0$ 确定 $y$ 是 $x$ 的函数 $y = y(x)$，则对方程两边关于 $x$ 求导（注意 $y$ 是 $x$ 的函数），再解出 $y'$ 即可。 + +### **适用情况** + +适用于方程中 $x$ 与 $y$ 混合在一起，无法或不易解出 $y = f(x)$ 的情况，如： +- 圆的方程：$x^2 + y^2 = 1$ +- 椭圆方程：$\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1$ +- 一般隐式方程：$e^{x+y} + \ln(xy) = 0$ + +### **优势** +1. 不必显式解出 $y = f(x)$，可直接求导； +2. 适用于复杂关系式，尤其是含有 $x$、$y$ 混合的函数形式。 + +### **劣势** +1. 求导过程中需注意 $y$ 是 $x$ 的函数，常需使用链式法则； +2. 最终表达式中可能仍含有 $y$，需结合原方程化简。 + +### **例子** + +> [!example] 例1 +求由方程 $x^2 + y^2 = 1$ 确定的隐函数 $y = y(x)$ 的导数。 + +**解析** +两边对 $x$ 求导： +$$ +2x + 2y \cdot y' = 0 +$$ +解得： +$$ +y' = -\frac{x}{y} +$$ + +--- + +## 参数方程求导 + +### 原理 + +设曲线由参数方程 +$$ +\begin{cases} +x = x(t) \\ +y = y(t) +\end{cases} +$$ +给出，则 $y$ 关于 $x$ 的导数为： +$$ +\frac{dy}{dx} = \frac{dy/dt}{dx/dt} = \frac{y'(t)}{x'(t)} +$$ +前提是 $x'(t) \neq 0$。 + +### **适用情况** +适用于曲线由参数形式给出，尤其是： +- 物理中的运动轨迹； +- 极坐标、摆线、旋轮线等曲线； +- 复杂曲线的简化表示。 + +### **优势** +1. 形式简洁，直接利用两个导数作商； +2. 适用于参数化表示，便于计算高阶导数。 + +### **劣势** +1. 要求 $x'(t) \neq 0$，否则导数不存在； +2. 高阶导数计算需重复使用公式，略显繁琐。 + +### **例子** + +> [!example] 例2 +求参数方程 +$$ +\begin{cases} +x = a\cos t \\ +y = b\sin t +\end{cases} +$$ +所确定的函数 $y = y(x)$ 的导数。 + +**解析** +计算： +$$ +\frac{dx}{dt} = -a\sin t, \quad \frac{dy}{dt} = b\cos t +$$ +因此： +$$ +\frac{dy}{dx} = \frac{b\cos t}{-a\sin t} = -\frac{b}{a}\cot t +$$ + +--- + +## 习题 + +> [!example] **习题1** +设 $y$ 由方程 $e^{x+y} = xy$ 确定，则 $y'$ 在点 $(1,0)$ 处的值为 +A. $0$ +B. $1$ +C. $-1$ +D. 不存在 + +**解析** +两边对 $x$ 求导： +$$ +e^{x+y}(1 + y') = y + x y' +$$ +代入 $(1,0)$： +$$ +e^{1+0}(1 + y') = 0 + 1 \cdot y' +$$ +即： +$$ +e(1 + y') = y' +$$ +解得： +$$ +y' = \frac{e}{1 - e} +$$ +该值不为选项中所列，故判断为“不存在直接匹配”，但若只允许选 ABCD，则可能选 D。 +实际应说明：$y' = \frac{e}{1-e}$ 是一个确定数值。 + +--- + +> [!example] **习题2** +参数方程 +$$ +\begin{cases} +x = t^2 + 1 \\ +y = t^3 - t +\end{cases} +$$ +在 $t = 1$ 处的导数 $\left. \frac{dy}{dx} \right|_{t=1}$ 为 +A. $1$ +B. $2$ +C. $3$ +D. $4$ + +**解析** +计算： +$$ +\frac{dx}{dt} = 2t, \quad \frac{dy}{dt} = 3t^2 - 1 +$$ +则： +$$ +\frac{dy}{dx} = \frac{3t^2 - 1}{2t} +$$ +代入 $t = 1$： +$$ +\left. \frac{dy}{dx} \right|_{t=1} = \frac{3 \cdot 1^2 - 1}{2 \cdot 1} = \frac{2}{2} = 1 +$$ +答案：A \ No newline at end of file diff --git a/小测/12.22/课前测.md b/小测/12.22/课前测.md new file mode 100644 index 0000000..eac1d11 --- /dev/null +++ b/小测/12.22/课前测.md @@ -0,0 +1,33 @@ +1.级数$\sum_{n=1}^{\infty} \frac{\sqrt{n+1}-\sqrt{n}}{n}$收敛 +A.正确 +B.错误 + + +2.级数$\sum_{n=1}^{\infty} \frac{2n+1}{n^2(n+1)^2}$的和为 + +A. 0 + +B. 1 + +C. 2 + +D. 不存在（发散） + + + +3.级数 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{(2n)!}{(n!)^2} \cdot \frac{1}{5^n}$ 收敛 +A.正确 +B.错误 + + + + +4.级数$\sum_{n=1}^{\infty}\frac{(-1)^{n(n-1)/2}}{3^n}.$收敛 +A.正确 +B.错误 + + + +5.级数 $\sum_{n=2}^{\infty} \frac{1}{(\ln n)^n}$ 收敛 +A.正确 +B.错误 \ No newline at end of file diff --git a/小测/12.22/课前测解析版.md b/小测/12.22/课前测解析版.md new file mode 100644 index 0000000..87dddc9 --- /dev/null +++ b/小测/12.22/课前测解析版.md @@ -0,0 +1,68 @@ +1.级数$\sum_{n=1}^{\infty} \frac{\sqrt{n+1}-\sqrt{n}}{n}$收敛 +A.正确 +B.错误 +由于 +$a_n = \frac{\sqrt{n+1}-\sqrt{n}}{n} = \frac{1}{n(\sqrt{n+1}+\sqrt{n})} < \frac{1}{n \cdot 2\sqrt{n}} = \frac{1}{2n^{3/2}}$， +而 $\sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n^{3/2}}$ 收敛，故由比较判别法知原级数收敛。 + + + +2.级数$\sum_{n=1}^{\infty} \frac{2n+1}{n^2(n+1)^2}$的和为 + +A. 0 + +B. 1 + +C. 2 + +D. 不存在（发散） +解： + +观察 + +$\frac{2n+1}{n^2(n+1)^2} = \frac{(n+1)^2 - n^2}{n^2(n+1)^2} = \frac{1}{n^2} - \frac{1}{(n+1)^2}$ + +部分和： + +$S_N = \sum_{n=1}^N \left[ \frac{1}{n^2} - \frac{1}{(n+1)^2} \right] = 1 - \frac{1}{(N+1)^2} \to 1$ + +收敛到 1。 + + +3.级数 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{(2n)!}{(n!)^2} \cdot \frac{1}{5^n}$ 收敛 +A.正确 +B.错误 +**解析** +$$a_n = \frac{(2n)!}{(n!)^2 \cdot 5^n}$$ + +$$\frac{a_{n+1}}{a_n} + += \frac{(2n+2)!}{((n+1)!)^2 \cdot 5^{n+1}} \cdot \frac{(n!)^2 \cdot 5^n}{(2n)!}$$ +化简： +$$\frac{(2n+2)!}{(2n)!} = (2n+2)(2n+1)$$ +$$\frac{(n!)^2}{((n+1)!)^2} = \frac{1}{(n+1)^2}$$ + +$$\frac{5^n}{5^{n+1}} = \frac15$$ +所以 + +$$\frac{a_{n+1}}{a_n} = \frac{(2n+2)(2n+1)}{(n+1)^2} \cdot \frac15 += \frac{2(2n+1)}{n+1} \cdot \frac15$$ +$$\lim_{n\to\infty} \frac{4n+2}{5(n+1)} = \frac{4}{5} < 1$$ +所以收敛。 + +答案：A + + + +4.级数$\sum_{n=1}^{\infty}\frac{(-1)^{n(n-1)/2}}{3^n}.$收敛 +A.正确 +B.错误 +$n(n-1)/2的奇偶性与n正好相反，所以级数也是交错级数，容易证明是收敛$ + +5.级数 $\sum_{n=2}^{\infty} \frac{1}{(\ln n)^n}$ 收敛 +A.正确 +B.错误 +当 $n > e^2$ 时，$\ln n > 2$，从而 $\frac{1}{(\ln n)^n} < \frac{1}{2^{,n}}$。 +由于 $\sum_{n=2}^\infty \frac{1}{2^{,n}}$ 收敛，由比较判别法知原级数收敛。 + + diff --git a/小测/12.23/课后测(解析).md b/小测/12.22/课后测(解析).md similarity index 100% rename from 小测/12.23/课后测(解析).md rename to 小测/12.22/课后测(解析).md diff --git a/小测/12.23/课后测.md b/小测/12.22/课后测.md similarity index 100% rename from 小测/12.23/课后测.md rename to 小测/12.22/课后测.md diff --git a/小测/12.23/课后测解析版.md b/小测/12.23/课后测解析版.md new file mode 100644 index 0000000..961c03a --- /dev/null +++ b/小测/12.23/课后测解析版.md @@ -0,0 +1,94 @@ +--- +tags: + - 编写小组 +--- +1.已知 $b_n = \sqrt[n]{2^n + 3^n + 4^n}$，则 $\lim_{n \to \infty} b_n = ?$ + +A. 2 + +B. 3 + +C. 4 + +D. 9 + +答案：C + +解析： 利用夹逼定理，提取最大项： + +· 显然 $4^n \leq 2^n + 3^n + 4^n \leq 3 \cdot 4^n$。 + +· 因此： + +$$4 \leq \sqrt[n]{2^n + 3^n + 4^n} \leq \sqrt[n]{3} \cdot 4$$ + +· 因为 $\lim_{n \to \infty} \sqrt[n]{3} = 1$，所以右边极限为 $4$。 + +· 由夹逼定理，极限为 $4$。 + + + +2.计算 $$\displaystyle \lim_{n\to\infty} n^2[\ \arctan\ (n+1) - \arctan n]$$A. $\infty$ + +B. 1 + +C. $\tan1$ + +D. 0 + +答案：B + +由 $\arctan x \sim x$ 得？注意此时 $n\to\infty$。 + +$$\begin{aligned}\text{原式} +&= \lim_{n \to \infty} n^2 \left[ \arctan \frac{(n+1)-n}{1+(n+1)n} \right] \\[1em] +&= \lim_{n \to \infty} n^2 \left[ \arctan \frac{1}{n^2 + n + 1} \right] \\[1em] +&= \lim_{n \to \infty} n^2 \cdot \frac{1}{n^2 + n + 1} \quad (\text{因为 } \arctan x \sim x \text{ 当 } x \to 0) \\[1em] +&= 1 +\end{aligned}$$ + + + + +3.计算 +$$\lim\limits_{x\to\pi/2}(sinx)^{tanx}$$A. $\frac{\pi}{2}$ + +B. $\frac{\pi}{4}$ + +C. $-\frac{\pi}{2}$ + +D. $1$ + +答案：D + +原式=$\lim\limits_{x\to\pi/2}(1+sinx-1)^{\frac{1}{sinx-1}\frac{sinx(sinx-1)}{cosx}}=e^{\lim\limits_{x\to\pi/2}\frac{sinx(sinx-1)}{cosx}}$ + +令$t=\pi/2-x$，则原式=$e^{\lim\limits_{t\to0}\frac{cost(cost-1)}{sint}}=e^{\lim\limits_{t\to0}\frac{cost(-t^2/2)}{t}}=e^0=1$ + + + +4.设 $$f(x) = (1+x^2)\cos\left(\frac{1}{x^3}\right)$$则 $\lim_{x \to \infty} f(x)$ + +A. 为 0 + +B. 为 1 + +C. 为-1 + +D. 无穷大 + +答案：C + +解析： 注意这里 $x \to \infty$。虽然可以用夹逼： + +$$-(1+x^2) \leq f(x) \leq (1+x^2)$$ + +但两边的极限 $\lim_{x \to \infty} (1+x^2) = \infty$，不相等（且不是有限数），因此夹逼定理不适用。实际上，由于 $\cos(1/x^3) 在 x \to \infty$ 时振荡趋于 $\cos 0 = 1$，而 $1+x^2 \to \infty$，所以函数值在振荡中趋于无穷大，极限不存在。 + + + +5.设$$f(x)=\frac{2+e^{1/x}}{1+e^{4/x}}+\frac{sinx}{|x|}$$则$x=0$是 $f(x)$ 的（） + +（A）可去间断点  （B）跳跃间断点   （C）无穷间断点  （D）震荡间断点 + +答案：A \ No newline at end of file