From c53e61bb518e7708f62a1d855a3282a0ac87c2a8 Mon Sep 17 00:00:00 2001 From: =?UTF-8?q?=E9=83=91=E5=93=B2=E8=88=AA?= Date: Mon, 12 Jan 2026 01:30:53 +0800 Subject: [PATCH] =?UTF-8?q?=E4=BF=AE=E6=94=B9=E4=BA=86=E6=96=87=E4=BB=B6?= =?UTF-8?q?=EF=BC=9A?= MIME-Version: 1.0 Content-Type: text/plain; charset=UTF-8 Content-Transfer-Encoding: 8bit --- 素材/线性方程组的系数矩阵与解关系.md | 7 ++++--- 1 file changed, 4 insertions(+), 3 deletions(-) diff --git a/素材/线性方程组的系数矩阵与解关系.md b/素材/线性方程组的系数矩阵与解关系.md index d2ae907..ef43f52 100644 --- a/素材/线性方程组的系数矩阵与解关系.md +++ b/素材/线性方程组的系数矩阵与解关系.md @@ -1,12 +1,12 @@ -在研究线性方程组的解的性质（例如维数）时，我们通常要与其系数矩阵本身的性质产生联系： ->[!note] 定理1： +>[!note] 解零度化定理： >对于齐次方程组 $\boldsymbol{A}_{m \times n}\boldsymbol{x}=\boldsymbol{0}$，设$\mathrm{rank}\boldsymbol{A}=r$，则 > $$\dim N(\boldsymbol{A})=n-r$$ 已知三阶方阵 $A=\begin{bmatrix}\alpha_1&\alpha_2&\alpha_3\end{bmatrix}$ 有三个不同的特征值，其中$\alpha_3=2\alpha_1+\alpha_2$，若 $\beta=\alpha_1+3\alpha_2+4\alpha_3$ ，求线性方程组 $Ax=\beta$ 的通解. $\begin{bmatrix}1\\3\\4\end{bmatrix}+k\begin{bmatrix}2\\1\\-1\end{bmatrix}, k\in\mathbb{R}$ +>分析：在求解非齐次方程组通解的题目中，若是题目给出了特解与齐次方程组的解，那么大概率来说这个齐次方程组的解就可以拓展为齐次方程组通解（根据问题导向，不然写不出来了），那么如何由齐次方程组的解拓展为齐次方程组通解呢，那就要根据题目具体的条件进行分析了，这就要用到我们的解零度化定理来求齐次方程组解空间的维数 >解析：由 $\alpha_3=2\alpha_1+\alpha_2$ 可得 $A$ 的列向量组线性相关， $|A|=0$；又因为 $A$ 的三个特征值各不相同，故 $A$ 有两个不为零的特征值 $\lambda_1,\lambda_2$，且 $A$ 可相似对角化，即 $A=P^{-1}\begin{bmatrix}\lambda_1&&\\&\lambda_2&\\&&0\end{bmatrix}P$，$\mathrm{rank}A=\mathrm{rank}(P^{-1}\begin{bmatrix}\lambda_1&&\\&\lambda_2&\\&&0\end{bmatrix}P)=\mathrm{rank}\begin{bmatrix}\lambda_1&&\\&\lambda_2&\\&&0\end{bmatrix}=2$ >故 $Ax=0$ 的解空间维数是 $1$ （5分） >$\beta=\alpha_1+3\alpha_2+4\alpha_3$，所以 $(1,3,4)^\mathrm{T}$ 为特解；（5分） @@ -103,7 +103,8 @@ Bx = \beta $$ 与 $Ax = \alpha$ 同解，故 $Ax = \alpha$ 的解均为 $Bx = \beta$ 的解。 -(2) 由于 $Ax = \alpha$ 的解均为 $Bx = \beta$ 的解，若 $Ax = \alpha$ 与 $Bx = \beta$ 同解，则与题意矛盾，故 $Ax = \alpha$ 的解是 $Bx = \beta$ 解的真子集。于是 $Ax = 0$ 的基础解系中解向量的个数小于 $Bx = 0$ 的基础解系中解向量的个数，即 +(2) 分析： +由于 $Ax = \alpha$ 的解均为 $Bx = \beta$ 的解，若 $Ax = \alpha$ 与 $Bx = \beta$ 同解，则与题意矛盾，故 $Ax = \alpha$ 的解是 $Bx = \beta$ 解的真子集。于是 $Ax = 0$ 的基础解系中解向量的个数小于 $Bx = 0$ 的基础解系中解向量的个数，即 $$ 4 - R(A) < 4 - R(B), $$