From c567ab0917f21546bf684bd872a85cb6243c0a7b Mon Sep 17 00:00:00 2001 From: =?UTF-8?q?=E9=83=91=E5=93=B2=E8=88=AA?= Date: Wed, 31 Dec 2025 20:35:13 +0800 Subject: [PATCH] =?UTF-8?q?=E4=BF=AE=E6=94=B9=E4=BA=86=E6=96=87=E4=BB=B6?= =?UTF-8?q?=EF=BC=9A?= MIME-Version: 1.0 Content-Type: text/plain; charset=UTF-8 Content-Transfer-Encoding: 8bit --- 未命名 1.canvas | 1 + 未命名.canvas | 1 + 编写小组/试卷/0103高数模拟试卷.md | 567 +++++++++++++++++- 3 files changed, 568 insertions(+), 1 deletion(-) create mode 100644 未命名 1.canvas create mode 100644 未命名.canvas diff --git a/未命名 1.canvas b/未命名 1.canvas new file mode 100644 index 0000000..9e26dfe --- /dev/null +++ b/未命名 1.canvas @@ -0,0 +1 @@ +{} \ No newline at end of file diff --git a/未命名.canvas b/未命名.canvas new file mode 100644 index 0000000..9e26dfe --- /dev/null +++ b/未命名.canvas @@ -0,0 +1 @@ +{} \ No newline at end of file diff --git a/编写小组/试卷/0103高数模拟试卷.md b/编写小组/试卷/0103高数模拟试卷.md index ed86bba..2e28b62 100644 --- a/编写小组/试卷/0103高数模拟试卷.md +++ b/编写小组/试卷/0103高数模拟试卷.md @@ -2,11 +2,576 @@ tags: - 编写小组 --- -## 一、单选题（共5小题，每小题2分，共10分） +## 一、单选题（共5小题，每小题2分，共10分） +1.设函数 $f(x)$ 在 $x = 0$ 处可导，且 $f(0) = 0$。若 +$$ +\lim_{x \to 0} \frac{f(2x) - 3f(x) + f(-x)}{x} = 2, +$$ +则 $f'(0)$ 的值为（ ）。 +A. $-2$ +B. $-1$ +C. $1$ +D. $2$ + +## 解析 +因为 $f(x)$ 在 $x=0$ 处可导且 $f(0)=0$，所以 $f'(0) = \lim\limits_{x \to 0} \frac{f(x)}{x}$ 存在。 + +将极限式分解： +$$ +\frac{f(2x) - 3f(x) + f(-x)}{x} = \frac{f(2x)}{x} - 3\frac{f(x)}{x} + \frac{f(-x)}{x}. +$$ + +分别计算各项极限： +$$ +\begin{aligned} +\lim_{x \to 0} \frac{f(2x)}{x} &= 2 \lim_{x \to 0} \frac{f(2x)}{2x} = 2f'(0), \\ +\lim_{x \to 0} \frac{f(x)}{x} &= f'(0), \\ +\lim_{x \to 0} \frac{f(-x)}{x} &= -\lim_{x \to 0} \frac{f(-x)}{-x} = -f'(0). +\end{aligned} +$$ + +因此， +$$ +\lim_{x \to 0} \frac{f(2x) - 3f(x) + f(-x)}{x} = 2f'(0) - 3f'(0) + (-f'(0)) = -2f'(0). +$$ + +由已知条件 $-2f'(0) = 2$，解得 $f'(0) = -1$。 + +**答案：B** + + +2.求极限 $\displaystyle \lim_{x \to 0} \frac{e^{x^2} \cos x - 1 - \frac{1}{2}x^2}{\ln(1 + x^2) - x^2}$ +A.$-\frac{1}{12}$ +B.$\frac{1}{12}$ +C.$-\frac{1}{6}$ +D$\frac{1}{6}$ + +**解：** + +分别对分子和分母进行泰勒展开： + +分子： +$$ +e^{x^2} \cos x = \left(1 + x^2 + \frac{x^4}{2} + o(x^4)\right) \left(1 - \frac{x^2}{2} + \frac{x^4}{24} + o(x^4)\right) = 1 + \frac{1}{2}x^2 + \left(-\frac{1}{2} + \frac{1}{2} + \frac{1}{24}\right)x^4 + o(x^4) = 1 + \frac{1}{2}x^2 + \frac{1}{24}x^4 + o(x^4) +$$ +所以 $e^{x^2} \cos x - 1 - \frac{1}{2}x^2 = \frac{1}{24}x^4 + o(x^4)$ + +分母： +$$ +\ln(1+x^2) = x^2 - \frac{1}{2}x^4 + o(x^4) +$$ +所以 $\ln(1+x^2) - x^2 = -\frac{1}{2}x^4 + o(x^4)$ + +因此 +$$ +\lim_{x \to 0} \frac{e^{x^2} \cos x - 1 - \frac{1}{2}x^2}{\ln(1 + x^2) - x^2} = \lim_{x \to 0} \frac{\frac{1}{24}x^4 + o(x^4)}{-\frac{1}{2}x^4 + o(x^4)} = \frac{1/24}{-1/2} = -\frac{1}{12} +$$ + + +3.已知函数 $f(x) = 2e^x \sin x - 2ax - bx^2$ 与 $g(x) = \int \arctan(x^2) dx$（取满足 $g(0) = 0$ 的那个原函数）是 $x \to 0$ 过程的同阶无穷小量，则（ ）。 + +(A) $a = 1, \, b = 1$ +(B) $a = 1, \, b = 2$ +(C) $a = 2, \, b = 1$ +(D) $a = 2, \, b = 2$ + +**解：** +为使 $f(x)$ 与 $g(x)$ 在 $x \to 0$ 时为同阶无穷小，需使二者最低阶非零项的阶数相同。下面分别展开 $f(x)$ 和 $g(x)$ 的麦克劳林公式。 + +对于 $f(x)$，利用已知展开式： +$$ +e^x = 1 + x + \frac{x^2}{2!} + \frac{x^3}{3!} + O(x^4), \quad \sin x = x - \frac{x^3}{3!} + O(x^5), +$$ +则 +$$ +e^x \sin x = \left(1 + x + \frac{x^2}{2} + \frac{x^3}{6} + O(x^4)\right)\left(x - \frac{x^3}{6} + O(x^5)\right) = x + x^2 + \frac{x^3}{3} + O(x^5). +$$ +因此 +$$ +2e^x \sin x = 2x + 2x^2 + \frac{2}{3}x^3 + O(x^5). +$$ +代入 $f(x)$ 得 +$$ +f(x) = 2x + 2x^2 + \frac{2}{3}x^3 - 2ax - bx^2 + O(x^5) = (2 - 2a)x + (2 - b)x^2 + \frac{2}{3}x^3 + O(x^5). +$$ + +对于 $g(x)$，由 $g(0)=0$ 及 $\arctan(x^2)$ 的展开： +$$ +\arctan(x^2) = x^2 - \frac{x^6}{3} + O(x^{10}), +$$ +积分得 +$$ +g(x) = \int_0^x \arctan(t^2) dt = \frac{x^3}{3} - \frac{x^7}{21} + O(x^{11}) = \frac{1}{3}x^3 + O(x^7). +$$ +可见 $g(x)$ 是 $x \to 0$ 时的三阶无穷小，其主项为 $\dfrac{1}{3}x^3$。 + +为使 $f(x)$ 也是三阶无穷小（即与 $g(x)$ 同阶），$f(x)$ 中 $x$ 和 $x^2$ 的系数必须为零： +$$ +2 - 2a = 0, \quad 2 - b = 0, +$$ +解得 $a = 1$, $b = 2$。此时 +$$ +f(x) = \frac{2}{3}x^3 + O(x^5), +$$ +与 $g(x)$ 同阶（但不等价，因为系数比值为 $2$）。 + +因此正确选项为 (B)。 + +**答案：** (B) ## 二、填空题（共5小题，每小题2分，共10分） +1.设 $y = \arctan x$，求 $y^{(n)}(0)$ + +**分析** +逐次求导以找到 $n$ 阶导数的规律。由于 $y' = \frac{1}{1 + x^2}$，即 $(1 + x^2)y' = 1$，故想到用莱布尼茨公式。 + +**解** + +**方法1** +因为 $y' = \frac{1}{1 + x^2}$，所以 $(1 + x^2)y' = 1$。 +上述两端对 $x$ 求 $n$ 阶导数，并利用莱布尼茨公式，得 +$$\sum_{k=0}^{n} C_n^k (1 + x^2)^{(k)} (y')^{(n-k)} = (1 + x^2)y^{(n+1)} + 2nxy^{(n)} + n(n-1)y^{(n-1)} = 0.$$ +在上式中令 $x = 0$，得 +$$y^{(n+1)}(0) = -n(n-1)y^{(n-1)}(0).$$ +由此递推公式，再加上 $y'(0) = 1, y''(0) = 0$，可得： +$$y^{(n)}(0) = \begin{cases} 0, & n\text{为偶数} \\ (-1)^n (n-1)!, & n\text{为奇数} \end{cases}.$$ + +**方法2** +因为 $y' = \frac{1}{1 + x^2} = \sum_{n=0}^{\infty} (-1)^n x^{2n}, (|x| < 1)$， +所以 +$$y = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^n}{2n+1} x^{2n+1}, (|x| < 1).$$ +又知 $y(x)$ 在点 $x = 0$ 处的麦克劳林展开式为 +$$y(x) = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{y^{(n)}(0)}{n!} x^n.$$ +比较系数可得 +$$y^{(n)}(0) = \begin{cases} 0, & n\text{为偶数} \\ (-1)^n (n-1)!, & n\text{为奇数} \end{cases}.$$ + +**方法3** +由 $y = \arctan x$，得 $x = \tan y$，则 +$$y' = \frac{1}{1 + x^2} = \frac{1}{1 + \tan^2 y} = \cos^2 y.$$ +利用复合函数求导法则： +$$y'' = -2 \cos y \sin y \cdot y' = -\sin(2y) \cos^2 y = \cos^2 y \sin 2\left( y + \frac{\pi}{2} \right),$$ +$$y''' = \left[ -2 \cos y \sin y \sin 2\left( y + \frac{\pi}{2} \right) + 2 \cos^2 y \cos 2\left( y + \frac{\pi}{2} \right) \right] y' = 2 \cos^3 y \cos\left( y + \frac{\pi}{2} \right) y' + 2 \cos^3 y \sin 3\left( y + \frac{\pi}{2} \right),$$ +$$y^{(4)} = 6 \cos^4 y \cos\left( y + \frac{\pi}{2} \right) y' + 3 \cos^4 y \sin 4\left( y + \frac{\pi}{2} \right).$$ +由此归纳出 +$$y^{(n)} = (n-1)! \cos^n y \sin n\left( y + \frac{\pi}{2} \right).$$ +下面用归纳法证明以上结论： +当 $n = 1$ 时结论成立； +假设 $n = k$ 时结论成立，则当 $n = k + 1$ 时， +$$\begin{aligned} y^{(k+1)} &= (y^{(k)})' \\ &= (k-1)! \left[ -k \cos^{k+1} y \sin y \sin k\left( y + \frac{\pi}{2} \right) + k \cos^k y \cos k\left( y + \frac{\pi}{2} \right) \right] y' \\ &= k \cos^{k+1} y \cos\left( y + \frac{\pi}{2} \right) y' + k \cos^{k+1} y \sin (k+1)\left( y + \frac{\pi}{2} \right). \end{aligned}$$ +由于 $y(0) = \arctan 0 = 0, \cos 0 = 1$，因此 +$$y^{(n)}(0) = (n-1)! \sin \frac{n\pi}{2}.$$ +根据 $\sin \frac{n\pi}{2}$ 的取值（$n$ 为偶数时为 $0$，$n=4k+1$ 时为 $1$，$n=4k+3$ 时为 $-1$），可得到与方法1、2相同的结果。 + + + +2.已知 $f(x)$ 是三次多项式，且有 $\lim_{x \to 2a} \frac{f(x)}{x-2a} = \lim_{x \to 4a} \frac{f(x)}{x-4a} = 1$，求 $\lim_{x \to 3a} \frac{f(x)}{x-3a}$ + +**分析** +由已知的两个极限式可确定 $f(x)$ 的两个一次因子以及两个待定系数，从而完全确定 $f(x)$。 + +**解** +由已知有 $\lim_{x \to 2a} f(x) = \lim_{x \to 4a} f(x) = 0$。 +由于 $f(x)$ 处处连续，故 $f(2a) = f(4a) = 0$。 +因此 $f(x)$ 含有因式 $(x-2a)(x-4a)$，可设 +$$f(x) = (Ax + B)(x - 2a)(x - 4a).$$ +由条件： +$$\lim_{x \to 2a} \frac{f(x)}{x-2a} = \lim_{x \to 2a} (Ax + B)(x - 4a) = (2aA + B)(-2a) = 1,$$ +$$\lim_{x \to 4a} \frac{f(x)}{x-4a} = \lim_{x \to 4a} (Ax + B)(x - 2a) = (4aA + B)(2a) = 1.$$ +解方程组： +$$\begin{cases} (2aA + B)(-2a) = 1 \\ (4aA + B)(2a) = 1 \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} -4a^2A - 2aB = 1 \\ 8a^2A + 2aB = 1 \end{cases}.$$ +相加得 $4a^2A = 2$，故 $A = \frac{1}{2a^2}$；代入第一个方程得 $-4a^2 \cdot \frac{1}{2a^2} - 2aB = 1$，即 $-2 - 2aB = 1$，解得 $B = -\frac{3}{2a}$。 +于是 +$$f(x) = \left( \frac{1}{2a^2}x - \frac{3}{2a} \right)(x - 2a)(x - 4a) = \frac{1}{2a^2}(x - 3a)(x - 2a)(x - 4a).$$ +最后， +$$\lim_{x \to 3a} \frac{f(x)}{x-3a} = \lim_{x \to 3a} \frac{\frac{1}{2a^2}(x-3a)(x-2a)(x-4a)}{x-3a} = \frac{1}{2a^2} \cdot (3a-2a)(3a-4a) = \frac{1}{2a^2} \cdot a \cdot (-a) = -\frac{1}{2}.$$ + +**答案**：$\displaystyle \lim_{x \to 3a} \frac{f(x)}{x-3a} = -\frac{1}{2}$. +# 高等数学题解集 + +## 1. 级数收敛性选择题 + +### 题目 +下列级数中收敛的是（ ）。 + +(A) $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^n}{\sqrt{n+(-1)^n}}$ + +(B) $\displaystyle \sum_{n=2}^{\infty} \frac{1}{(\ln n)^{\ln n}}$ + +(C) $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{n! \cdot 3^n}{n^n}$ + +(D) $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^{1+1/n}}$ + +### 解析 +- **(A)** 当 $n=1$ 时，分母 $\sqrt{1+(-1)^1}=0$，项无定义，即便忽略此项，级数条件收敛，但整体不收敛。 +- **(B)** 由于 $(\ln n)^{\ln n} = n^{\ln \ln n}$，当 $n$ 足够大时，$\ln \ln n > 2$，故 $\frac{1}{(\ln n)^{\ln n}} < \frac{1}{n^2}$，由 $p$-级数收敛知原级数收敛。 +- **(C)** 用比值判别法：$\lim\limits_{n\to\infty} \frac{a_{n+1}}{a_n} = \lim\limits_{n\to\infty} \frac{3}{(1+1/n)^n} = \frac{3}{e} > 1$，发散。 +- **(D)** 由于 $n^{1/n} \to 1$，故 $\frac{1}{n^{1+1/n}} \sim \frac{1}{n}$，与调和级数比较，发散。 + +**答案：(B)** + +--- + + +--- + + +--- + ## 三、解答题（共11小题，共80分） +1.求下列不定积分(提示，换元），其中 $a > 0$ + +(1) $\displaystyle \int \frac{x^2}{\sqrt{a^2 - x^2}} dx$ + +**解：** +令 $x = a \sin t$，则： + +$$ +\begin{aligned} +\int \frac{x^2}{\sqrt{a^2 - x^2}} dx &= \int \frac{a^2 \sin^2 t}{a \cos t} \cdot a \cos t \, dt \\ +&= a^2 \int \sin^2 t \, dt \\ +&= \frac{a^2}{2} \int (1 - \cos 2t) \, dt \\ +&= \frac{a^2}{2} \left( t - \frac{1}{2} \sin 2t \right) + C \\ +&= \frac{a^2}{2} \arcsin \frac{x}{a} - \frac{x}{2} \sqrt{a^2 - x^2} + C +\end{aligned} +$$ + +--- + + (2) $\displaystyle \int \frac{\sqrt{x^2 + a^2}}{x^2} dx$ + +**解：** +**方法一：** 令 $x = a \tan t$，则： + +$$ +\begin{aligned} +\int \frac{\sqrt{x^2 + a^2}}{x^2} dx &= \int \frac{a \sec t}{a^2 \tan^2 t} \cdot a \sec^2 t \, dt \\ +&= \int \frac{\sec^3 t}{\tan^2 t} \, dt \\ +&= \int \frac{1}{\sin^2 t \cos t} \, dt \\ +&= \int \frac{\sin^2 t + \cos^2 t}{\sin^2 t \cos t} \, dt \\ +&= \int \sec t \, dt + \int \frac{\cos t}{\sin^2 t} \, dt \\ +&= \ln |\sec t + \tan t| - \frac{1}{\sin t} + C \\ +&= \ln (x + \sqrt{x^2 + a^2}) - \frac{\sqrt{x^2 + a^2}}{x} + C +\end{aligned} +$$ + +**方法二：** + +$$ +\begin{aligned} +\int \frac{\sqrt{x^2 + a^2}}{x^2} dx &= \int \frac{x^2 + a^2}{x^2 \sqrt{x^2 + a^2}} dx \\ +&= \int \frac{1}{\sqrt{x^2 + a^2}} dx + a^2 \int \frac{1}{x^2 \sqrt{x^2 + a^2}} dx \\ +&= \ln (x + \sqrt{x^2 + a^2}) - \frac{\sqrt{x^2 + a^2}}{x} + C +\end{aligned} +$$ + +--- + +(3) $\displaystyle \int \frac{\sqrt{x^2 - a^2}}{x} dx$ + +**解：** +令 $x = a \sec t$，则： + +$$ +\begin{aligned} +\int \frac{\sqrt{x^2 - a^2}}{x} dx &= \int \frac{a \tan t}{a \sec t} \cdot a \sec t \tan t \, dt \\ +&= a \int \tan^2 t \, dt \\ +&= a \int (\sec^2 t - 1) \, dt \\ +&= a (\tan t - t) + C \\ +&= \sqrt{x^2 - a^2} - a \arccos \frac{a}{x} + C +\end{aligned} +$$ + +--- + +(4) $\displaystyle \int \sqrt{1 + e^x} dx$ + +**解：** +令 $t = \sqrt{1 + e^x}$，则 $e^x = t^2 - 1$，$x = \ln(t^2 - 1)$，$dx = \frac{2t}{t^2 - 1} dt$： + +$$ +\begin{aligned} +\int \sqrt{1 + e^x} dx &= \int t \cdot \frac{2t}{t^2 - 1} dt \\ +&= \int \frac{2t^2}{t^2 - 1} dt \\ +&= 2 \int \left( 1 + \frac{1}{t^2 - 1} \right) dt \\ +&= 2 \int 1 \, dt + \int \left( \frac{1}{t-1} - \frac{1}{t+1} \right) dt \\ +&= 2t + \ln \left| \frac{t-1}{t+1} \right| + C \\ +&= 2 \sqrt{1 + e^x} + \ln \frac{\sqrt{1 + e^x} - 1}{\sqrt{1 + e^x} + 1} + C +\end{aligned} +$$ + + + +$$ + +$$ + +--- + + +2.求极限 $\displaystyle \lim_{x \to 0} \frac{e^{x^2} - 1 - \ln\left(x^2 + 1\right)}{x^3 \arcsin x}$。 + +**解：** + +当 $x \to 0$ 时，利用等价无穷小替换和泰勒展开： + +分母：$x^3 \arcsin x \sim x^3 \cdot x = x^4$ + +分子：$e^{x^2} - 1 - \ln(1+x^2) = \left(1+x^2+\frac{x^4}{2}+o(x^4)\right) - 1 - \left(x^2-\frac{x^4}{2}+o(x^4)\right) = x^4 + o(x^4)$ + +所以 +$$ +\lim_{x \to 0} \frac{e^{x^2} - 1 - \ln\left(x^2 + 1\right)}{x^3 \arcsin x} = \lim_{x \to 0} \frac{x^4 + o(x^4)}{x^4} = 1 +$$ + + + +设 $f(x)$ 在 $[0, \frac{1}{2}]$ 上二阶可导，$f(0) = f'(0)$，$f\left(\frac{1}{2}\right) = 0$。 +证明：存在 $\xi \in (0, \frac{1}{2})$，使得 $f''(\xi) = \frac{3f'(\xi)}{1-2\xi}$。 + +**证明：** +构造辅助函数 $g(x) = (1-2x)^{3/2} f'(x)$，$x \in [0, \frac{1}{2}]$。 +由于 $f$ 二阶可导，故 $g$ 在 $[0, \frac{1}{2}]$ 上连续，在 $(0, \frac{1}{2})$ 内可导。 +计算 $g$ 的导数： + +$$ +\begin{aligned} +g'(x) &= (1-2x)^{3/2} f''(x) + \frac{3}{2}(1-2x)^{1/2} \cdot (-2) \cdot f'(x) \\ +&= (1-2x)^{1/2} \left[ (1-2x) f''(x) - 3f'(x) \right] +\end{aligned} +$$ + +当 $x \in (0, \frac{1}{2})$ 时，$(1-2x)^{1/2} > 0$，因此 $g'(x) = 0$ 当且仅当： + +$$ +(1-2x) f''(x) - 3f'(x) = 0 \quad \text{即} \quad f''(x) = \frac{3f'(x)}{1-2x} +$$ + +所以只需证明存在 $\xi \in (0, \frac{1}{2})$ 使得 $g'(\xi) = 0$。 + +由已知条件： + +$$ +g(0) = (1-0)^{3/2} f'(0) = f'(0) = f(0), \quad g\left(\frac{1}{2}\right) = (1-1)^{3/2} f'\left(\frac{1}{2}\right) = 0 +$$ + +分两种情况讨论： + +1. **若 $f'(0) = 0$** + 此时 $g(0) = 0$，所以 $g(0) = g\left(\frac{1}{2}\right) = 0$。由罗尔定理，存在 $\xi \in (0, \frac{1}{2})$ 使得 $g'(\xi) = 0$。 + +2. **若 $f'(0) \neq 0$** + 对 $f$ 在 $[0, \frac{1}{2}]$ 上应用拉格朗日中值定理，存在 $c \in (0, \frac{1}{2})$ 使得： + + $$ + f'(c) = \frac{f\left(\frac{1}{2}\right) - f(0)}{\frac{1}{2} - 0} = \frac{0 - f(0)}{\frac{1}{2}} = -2f(0) = -2f'(0) + $$ + + 由于 $f'(0) \neq 0$，故 $f'(c) \neq 0$ 且与 $f'(0)$ 异号。 + 计算 $g(c) = (1-2c)^{3/2} f'(c)$，因为 $(1-2c)^{3/2} > 0$，所以 $g(c)$ 与 $f'(c)$ 同号，从而 $g(c)$ 与 $g(0) = f'(0)$ 异号。 + 由连续函数的介值定理，存在 $d \in (0, c)$ 使得 $g(d) = 0$。 + 在区间 $[d, \frac{1}{2}]$ 上，$g(d) = g\left(\frac{1}{2}\right) = 0$，由罗尔定理，存在 $\xi \in (d, \frac{1}{2}) \subset (0, \frac{1}{2})$ 使得 $g'(\xi) = 0$。 + +综上所述，无论何种情况，均存在 $\xi \in (0, \frac{1}{2})$ 使得 $g'(\xi) = 0$，从而有： + +$$ +f''(\xi) = \frac{3f'(\xi)}{1-2\xi} +$$ + +原命题得证。 + + + +3.求 $y = e^{ax} \sin bx$ 的 $n$ 阶导数 $y^{(n)}\text{,其中a，b为非零常数}$。 + + +### 方法一：逐阶求导归纳法 + +由 +$$ +y' = a e^{ax} \sin bx + b e^{ax} \cos bx += e^{ax} \bigl( a \sin bx + b \cos bx \bigr), +$$ +令 +$$ +\varphi = \arctan \frac{b}{a}, +$$ +则 +$$ +a \sin bx + b \cos bx = \sqrt{a^2 + b^2} \, \sin(bx + \varphi). +$$ +于是 +$$ +y' = e^{ax} \cdot \sqrt{a^2 + b^2} \, \sin(bx + \varphi). +$$ +同理， +$$ +y'' = \sqrt{a^2 + b^2} \cdot e^{ax} \bigl[ a \sin(bx + \varphi) + b \cos(bx + \varphi) \bigr] += (a^2 + b^2) e^{ax} \sin(bx + 2\varphi). +$$ +依此类推，由归纳法可得 +$$ +y^{(n)} = (a^2 + b^2)^{n/2} \, e^{ax} \sin(bx + n\varphi), +$$ +其中 +$$ +\varphi = \arctan \frac{b}{a}. +$$ + +--- + +### 方法二：欧拉公式法 + +设 +$$ +u = e^{ax} \cos bx, \quad v = e^{ax} \sin bx, +$$ +则 +$$ +u + iv = e^{ax} (\cos bx + i \sin bx) = e^{(a + bi)x}. +$$ +求 $n$ 阶导数： +$$ +u^{(n)} + i v^{(n)} = \bigl[ e^{(a + bi)x} \bigr]^{(n)} += (a + bi)^n e^{(a + bi)x}. +$$ +记 +$$ +a + bi = \sqrt{a^2 + b^2} \, e^{i\varphi}, +\quad \varphi = \arctan \frac{b}{a}, +$$ +则 +$$ +(a + bi)^n = (a^2 + b^2)^{n/2} e^{in\varphi}. +$$ +于是 +$$ +u^{(n)} + i v^{(n)} += (a^2 + b^2)^{n/2} e^{in\varphi} \cdot e^{ax} e^{ibx} += (a^2 + b^2)^{n/2} e^{ax} e^{i(bx + n\varphi)}. +$$ +取虚部，即得 +$$ +\bigl( e^{ax} \sin bx \bigr)^{(n)} += (a^2 + b^2)^{n/2} e^{ax} \sin(bx + n\varphi). +$$ +类似可得 +$$ +\bigl( e^{ax} \cos bx \bigr)^{(n)} += (a^2 + b^2)^{n/2} e^{ax} \cos(bx + n\varphi). +$$ + +4.将函数 $f(x) = x^2 e^x + x^6$ 展开成六阶带佩亚诺余项的麦克劳林公式，并求 $f^{(6)}(0)$ 的值。 + +**解：** +已知 $e^x$ 的麦克劳林展开为： +$$ +e^x = 1 + x + \frac{x^2}{2!} + \frac{x^3}{3!} + \frac{x^4}{4!} + \frac{x^5}{5!} + \frac{x^6}{6!} + o(x^6). +$$ +则 +$$ +x^2 e^x = x^2 \left(1 + x + \frac{x^2}{2!} + \frac{x^3}{3!} + \frac{x^4}{4!} + \frac{x^5}{5!} + \frac{x^6}{6!} + o(x^6)\right) = x^2 + x^3 + \frac{x^4}{2!} + \frac{x^5}{3!} + \frac{x^6}{4!} + \frac{x^7}{5!} + \frac{x^8}{6!} + o(x^8). +$$ +由于我们只关心六阶展开，保留到 $x^6$ 项，$x^7$ 及更高次项可并入 $o(x^6)$，故 +$$ +x^2 e^x = x^2 + x^3 + \frac{x^4}{2} + \frac{x^5}{6} + \frac{x^6}{24} + o(x^6). +$$ +于是 +$$ +f(x) = x^2 e^x + x^6 = x^2 + x^3 + \frac{x^4}{2} + \frac{x^5}{6} + \frac{x^6}{24} + x^6 + o(x^6) = x^2 + x^3 + \frac{x^4}{2} + \frac{x^5}{6} + \frac{25}{24}x^6 + o(x^6). +$$ +这就是 $f(x)$ 的六阶带佩亚诺余项的麦克劳林公式。 + +由泰勒展开的唯一性，$x^6$ 项的系数为 $\frac{f^{(6)}(0)}{6!}$，即 +$$ +\frac{f^{(6)}(0)}{6!} = \frac{25}{24}. +$$ +所以 +$$ +f^{(6)}(0) = 6! \times \frac{25}{24} = 720 \times \frac{25}{24} = 30 \times 25 = 750. +$$ + +**答案：** +展开式为 $f(x) = x^2 + x^3 + \frac{1}{2}x^4 + \frac{1}{6}x^5 + \frac{25}{24}x^6 + o(x^6)$，$f^{(6)}(0) = 750$。 + + + +**题目：** + + +5.设函数 $f(x)$ 在 $(-\infty, +\infty)$ 内可导，且 $|f'(x)| \leq r$ ($0 < r < 1$)。取实数 $x_1$，记 +$$x_{n+1} = f(x_n), \quad n = 1, 2, \cdots.$$ +证明： + +（1）数列 $\{x_n\}$ 收敛（记 $\lim_{n \to \infty} x_n = a$）； +（2）方程 $f(x) = x$ 有唯一实根 $x = a$。 + +**证明：** + +（1）首先证明 $\{x_n\}$ 是柯西数列。对任意 $n \geq 1$，由拉格朗日中值定理，存在 $\xi_n$ 介于 $x_n$ 和 $x_{n-1}$ 之间，使得 +$$|x_{n+1} - x_n| = |f(x_n) - f(x_{n-1})| = |f'(\xi_n)| \cdot |x_n - x_{n-1}| \leq r |x_n - x_{n-1}|.$$ +反复应用此不等式，得 +$$|x_{n+1} - x_n| \leq r |x_n - x_{n-1}| \leq r^2 |x_{n-1} - x_{n-2}| \leq \cdots \leq r^{n-1} |x_2 - x_1|.$$ +于是对任意正整数 $m > n$，有 +$$ +\begin{aligned} +|x_m - x_n| &\leq |x_m - x_{m-1}| + |x_{m-1} - x_{m-2}| + \cdots + |x_{n+1} - x_n| \\ +&\leq (r^{m-2} + r^{m-3} + \cdots + r^{n-1}) |x_2 - x_1| \\ +&= r^{n-1} \cdot \frac{1 - r^{m-n}}{1 - r} \cdot |x_2 - x_1| \\ +&\leq \frac{r^{n-1}}{1 - r} |x_2 - x_1|. +\end{aligned} +$$ +因为 $0 < r < 1$，所以当 $n \to \infty$ 时，$r^{n-1} \to 0$，从而对任意 $\varepsilon > 0$，存在 $N$，当 $m > n > N$ 时 $|x_m - x_n| < \varepsilon$。故 $\{x_n\}$ 是柯西数列，因此在实数域中收敛，记 $\lim_{n \to \infty} x_n = a$。 + +（2）由于 $f$ 可导，故连续。在递推式 $x_{n+1} = f(x_n)$ 两边取极限 $n \to \infty$，得 +$$a = \lim_{n \to \infty} x_{n+1} = \lim_{n \to \infty} f(x_n) = f(\lim_{n \to \infty} x_n) = f(a),$$ +即 $a$ 是方程 $f(x) = x$ 的一个实根。 + +下证唯一性。假设另有 $b \neq a$ 满足 $f(b) = b$，则由拉格朗日中值定理，存在 $\eta$ 介于 $a$ 和 $b$ 之间，使得 +$$|a - b| = |f(a) - f(b)| = |f'(\eta)| \cdot |a - b| \leq r |a - b|.$$ +由于 $|a - b| > 0$，两边除以 $|a - b|$ 得 $1 \leq r$，与 $0 < r < 1$ 矛盾。故方程 $f(x) = x$ 有唯一实根 $x = a$。 + +综上所述，数列 $\{x_n\}$ 收敛于 $a$，且 $a$ 是方程 $f(x) = x$ 的唯一实根。$\square$ + + + +6.设 $f(x)$ 满足 $\sin f(x) - \frac{1}{3} \sin f\left(\frac{1}{3}x\right) = x$，求 $f(x)$。 + +**解** +令 $g(x) = \sin f(x)$，则 +$$ +g(x) - \frac{1}{3} g\left(\frac{1}{3}x\right) = x. +$$ + +依次将 $x$ 替换为 $\frac{x}{3}, \frac{x}{3^2}, \cdots, \frac{x}{3^{n-1}}$，并乘以相应系数，得 +$$ +\begin{aligned} +g(x) - \frac{1}{3} g\left(\frac{x}{3}\right) &= x, \\ +\frac{1}{3} g\left(\frac{x}{3}\right) - \frac{1}{3^2} g\left(\frac{x}{3^2}\right) &= \frac{1}{3^2} x, \\ +\frac{1}{3^2} g\left(\frac{x}{3^2}\right) - \frac{1}{3^3} g\left(\frac{x}{3^3}\right) &= \frac{1}{3^4} x, \\ +&\vdots \\ +\frac{1}{3^{n-1}} g\left(\frac{x}{3^{n-1}}\right) - \frac{1}{3^n} g\left(\frac{x}{3^n}\right) &= \frac{1}{3^{2(n-1)}} x. +\end{aligned} +$$ + +以上各式相加，得 +$$ +g(x) - \frac{1}{3^n} g\left(\frac{x}{3^n}\right) = x \left(1 + \frac{1}{9} + \frac{1}{9^2} + \cdots + \frac{1}{9^{n-1}}\right). +$$ + +因为 $|g(x)| \leq 1$，所以 $\lim\limits_{n \to \infty} \frac{1}{3^n} g\left(\frac{x}{3^n}\right) = 0$。 +而 $\lim\limits_{n \to \infty} \left(1 + \frac{1}{9} + \frac{1}{9^2} + \cdots + \frac{1}{9^{n-1}}\right) = \frac{1}{1 - \frac{1}{9}} = \frac{9}{8}$， +因此 +$$ +g(x) = \frac{9}{8} x. +$$ + +于是 $\sin f(x) = \frac{9}{8} x$，解得 +$$ +f(x) = 2k\pi + \arcsin \frac{9}{8} x \quad \text{或} \quad f(x) = (2k-1)\pi - \arcsin \frac{9}{8} x \quad (k \in \mathbb{Z}). +$$ + +