修改了格式

素材/微分中值定理.md

@@ -1,9 +1,6 @@
 
-### 例1
-设 $f(x)$ 在 $[a, b]$ 上连续，在 $(a, b)$ 内可导，且 $0 < a < b$，试证存在 $\xi, \eta \in (a, b)$，使得  
-$$
-f'(\xi) = \frac{a + b}{2\eta} f'(\eta).
-$$
+>[!example] 例1
+设 $f(x)$ 在 $[a, b]$ 上连续，在 $(a, b)$ 内可导，且 $0 < a < b$，试证存在 $\xi, \eta \in (a, b)$，使得  $$f'(\xi) = \frac{a + b}{2\eta} f'(\eta).$$
 
 **解析**：
 本题结论中含有两个不同的中值 $\xi$ 和 $\eta$，且涉及两个不同的函数形式。可考虑分别对 $f(x)$ 和 $g(x)=x^2$ 在 $[a,b]$ 上应用柯西中值定理：
@@ -23,7 +20,7 @@ $$
 
 ---
 
-### 例2
+>[!example] 例2
 设函数 $f(x)$ 在 $[0,3]$ 上连续，在 $(0,3)$ 内可导，且 $f(0) + f(1) + f(2) = 3$，$f(3) = 1$，试证必存在 $\xi \in (0, 3)$，使 $f'(\xi) = 0$。
 
 **解析**：
@@ -31,10 +28,10 @@ $$
 
 ---
 
-### 例3
+>[!example] 例3
 设 $f(x)$ 在区间 $[0,1]$ 上连续，在 $(0,1)$ 内可导，且 $f(0) = f(1) = 0$，$f(1/2) = 1$，试证：  
-1. 存在 $\eta \in (1/2, 1)$，使得 $f(\eta) = \eta$；  
-2. 对任意实数 $\lambda$，必存在 $\xi \in (0, \eta)$，使得 $f'(\xi) - \lambda [f(\xi) - \xi] = 1$。
+(1)存在 $\eta \in (1/2, 1)$，使得 $f(\eta) = \eta$；  
+(2)对任意实数 $\lambda$，必存在 $\xi \in (0, \eta)$，使得 $f'(\xi) - \lambda [f(\xi) - \xi] = 1$。
 
 **解析**：
 (1) 令 $g(x)=f(x)-x$，则 $g(1/2)=1-1/2=1/2>0$，$g(1)=0-1=-1<0$，由零点定理，存在 $\eta \in (1/2,1)$，使 $g(\eta)=0$，即 $f(\eta)=\eta$。  
@@ -48,12 +45,9 @@ $$
 
 ## 5.2 微分中值定理及其应用
 
-### 例1
+>[!example] 例1
 设函数 $f(x)$ 在 $(-1,1)$ 内可微，且  
-$$
-f(0) = 0, \quad |f'(x)| \leq 1,
-$$
-证明：在 $(-1,1)$ 内，$|f(x)| < 1$。
+$$f(0) = 0, \quad |f'(x)| \leq 1,$$证明：在 $(-1,1)$ 内，$|f(x)| < 1$。
 
 **解析**：
 对任意 $x \in (-1,1)$，由拉格朗日中值定理，存在 $\xi$ 介于 $0$ 与 $x$ 之间，使得
@@ -64,12 +58,9 @@ $$
 
 ---
 
-### 例2
+>[!example] 例2
 设 $a_i \in \mathbb{R} (i = 0,1,2,\cdots,n)$，且满足
-$$
-a_0 + \frac{a_1}{2} + \frac{a_2}{3} + \cdots + \frac{a_n}{n+1} = 0，
-$$
-证明：方程 $a_0 + a_1x + a_2x^2 + \cdots + a_nx^n = 0$ 在 $(0,1)$ 内至少有一个实根。
+$$a_0 + \frac{a_1}{2} + \frac{a_2}{3} + \cdots + \frac{a_n}{n+1} = 0，$$证明：方程 $a_0 + a_1x + a_2x^2 + \cdots + a_nx^n = 0$ 在 $(0,1)$ 内至少有一个实根。
 
 **解析**：
 构造辅助函数
@@ -83,11 +74,9 @@ $$
 
 ---
 
-### 例3
+>[!example] 例3
 设函数 $f(x)$ 在 $[a,b]$ 上可导，且
-$$
-f(a) = f(b) = 0，\quad f'_+(a)f'_-(b) > 0，
-$$
+$$f(a) = f(b) = 0，\quad f'_+(a)f'_-(b) > 0，$$
 试证明 $f'(x) = 0$ 在 $(a,b)$ 内至少有两个根。
 
 **解析**：
@@ -95,7 +84,7 @@ $$
 
 ---
 
-### 例4
+>[!example] 例4
 设 $f(x)$ 在 $[a, b]$ 上连续，在 $(a, b)$ 内二阶可导，又若 $f(x)$ 的图形与联结 $A(a, f(a))$，$B(b, f(b))$ 两点的弦交于点 $C(c, f(c))$ ($a \leq c \leq b$)，证明在 $(a, b)$ 内至少存在一点 $\xi$，使得 $f''(\xi) = 0$。
 
 **解析**：
@@ -114,7 +103,7 @@ $$
 
 ---
 
-### 例5（柯西中值定理例）
+>[!example] 例5（柯西中值定理例）
 试证至少存在一点 $\xi \in (1, e)$，使 $\sin 1 = \cos \ln \xi$。
 
 **解析**：
@@ -133,7 +122,7 @@ $$
 
 ## 练习
 
-### Ex3
+>[!example] Ex1
 设 $f(x)$ 在 $(a, b)$ 内可导，且 $f'(x) \neq 1$。试证明 $f(x)$ 在 $(a, b)$ 内至多只有一个不动点，即方程 $f(x) = x$ 在 $(a, b)$ 内至多只有一个实根。
 
 **解析**：
@@ -145,14 +134,11 @@ $$
 
 ---
 
-### Ex4
+>[!example] Ex2
 设 $f(x)$ 在 $[0, 1]$ 上具有二阶导数，且满足
-$$
-f(0) = 0, \, f(1) = 1, \, f\left(\frac{1}{2}\right) > \frac{1}{4}
-$$
-证明：  
-1. 至少存在一点 $\xi \in (0, 1)$，使得 $f''(\xi) < 2$；  
-2. 若对一切 $x \in (0, 1)$，有 $f''(x) \neq 2$，则当 $x \in (0, 1)$ 时，恒有 $f(x) > x^2$。
+$$f(0) = 0, \, f(1) = 1, \, f\left(\frac{1}{2}\right) > \frac{1}{4}$$证明：  
+(1)至少存在一点 $\xi \in (0, 1)$，使得 $f''(\xi) < 2$；  
+(2)若对一切 $x \in (0, 1)$，有 $f''(x) \neq 2$，则当 $x \in (0, 1)$ 时，恒有 $f(x) > x^2$。
 
 **解析**：
 (1) 考虑函数 $g(x)=f(x)-x^2$，则 $g(0)=0$，$g(1)=0$，$g(1/2)=f(1/2)-1/4>0$。由极值点的费马定理，$g(x)$ 在 $(0,1)$ 内存在极大值点 $\eta$，且 $g'(\eta)=0$，$g''(\eta) \leq 0$。即 $f'(\eta)=2\eta$，$f''(\eta) \leq 2$。若 $f''(\eta) < 2$，则取 $\xi=\eta$ 即可；若 $f''(\eta)=2$，则考虑在 $\eta$ 两侧应用拉格朗日中值定理，可找到另一个点 $\xi$ 使得 $f''(\xi)<2$。  
@@ -160,7 +146,7 @@ $$
 
 ---
 
-### Ex5
+>[!example] Ex3
 若 $f(x)$ 可导，试证在其两个零点间一定有 $f(x) + f'(x)$ 的零点。
 
 **解析**：
@@ -172,7 +158,7 @@ $$
 
 ---
 
-### Ex6
+>[!example] Ex4
 设 $f(x)$ 在 $[0,1]$ 连续，$(0,1)$ 可导，且 $f(1) = 0$，求证存在 $\xi \in (0,1)$ 使得 $nf(\xi) + \xi f'(\xi) = 0$。
 
 **解析**：
@@ -184,11 +170,9 @@ $$
 
 ---
 
-### Ex7
+>[!example] Ex5
 设 $f''(x) < 0$，$f(0) = 0$，证明对任意 $x_1 > 0, x_2 > 0$ 有
-$$
-f(x_1 + x_2) < f(x_1) + f(x_2)
-$$
+$$f(x_1 + x_2) < f(x_1) + f(x_2)$$
 
 **解析**：
 不妨设 $0 < x_1 < x_2$。由拉格朗日中值定理：

素材/线性方程组的系数矩阵与解关系.md

@@ -1,22 +1,24 @@
 这是一个链接了方程组解空间与方程组系数秩的公式
 >[!note] 解零度化定理：
->对于齐次方程组 $\boldsymbol{A}_{m \times n}\boldsymbol{x}=\boldsymbol{0}$，设$\mathrm{rank}\boldsymbol{A}=r$，则
-> $$\dim N(\boldsymbol{A})=n-r$$
+>对于齐次方程组 ${A}_{m \times n}\boldsymbol{x}=\boldsymbol{0}$，设$\mathrm{rank}{A}=r$，则
+> $$\dim N({A})=n-r$$
 
 
-已知三阶方阵 $A=\begin{bmatrix}\alpha_1&\alpha_2&\alpha_3\end{bmatrix}$ 有三个不同的特征值，其中$\alpha_3=2\alpha_1+\alpha_2$，若 $\beta=\alpha_1+3\alpha_2+4\alpha_3$ ，求线性方程组 $Ax=\beta$ 的通解.
- $\begin{bmatrix}1\\3\\4\end{bmatrix}+k\begin{bmatrix}2\\1\\-1\end{bmatrix}, k\in\mathbb{R}$
->分析：在求解非齐次方程组通解的题目中，若是题目给出了特解与齐次方程组的解，那么大概率来说这个齐次方程组的解就可以拓展为齐次方程组通解（根据问题导向，不然写不出来了），那么如何由齐次方程组的解拓展为齐次方程组通解呢，那就要根据题目具体的条件进行分析了，这就要用到我们的解零度化定理来求齐次方程组解空间的维数
->解析：由 $\alpha_3=2\alpha_1+\alpha_2$ 可得 $A$ 的列向量组线性相关， $|A|=0$；又因为 $A$ 的三个特征值各不相同，故 $A$ 有两个不为零的特征值 $\lambda_1,\lambda_2$，且 $A$ 可相似对角化，即 $A=P^{-1}\begin{bmatrix}\lambda_1&&\\&\lambda_2&\\&&0\end{bmatrix}P$，$\mathrm{rank}A=\mathrm{rank}(P^{-1}\begin{bmatrix}\lambda_1&&\\&\lambda_2&\\&&0\end{bmatrix}P)=\mathrm{rank}\begin{bmatrix}\lambda_1&&\\&\lambda_2&\\&&0\end{bmatrix}=2$
->故 $Ax=0$ 的解空间维数是 $1$ （5分）
->$\beta=\alpha_1+3\alpha_2+4\alpha_3$，所以 $(1,3,4)^\mathrm{T}$ 为特解；（5分）
->$\alpha_3=2\alpha_1+\alpha_2$，所以$A\begin{bmatrix}2k\\k\\-k\end{bmatrix}=2\alpha_1+\alpha_2-\alpha_3=0$，所以 $(2,1,-1)^\mathrm{T}$ 为基础解系；（10分）
->解空间维数是 $1$ ，方程的解 $\begin{bmatrix}1\\3\\4\end{bmatrix}+k\begin{bmatrix}2\\1\\-1\end{bmatrix}, k\in\mathbb{R}$ 维数是 $1$，该解完备
+>[!example] 例1
+>已知三阶方阵 $A=\begin{bmatrix}\alpha_1&\alpha_2&\alpha_3\end{bmatrix}$ 有三个不同的特征值，其中$\alpha_3=2\alpha_1+\alpha_2$，若 $\beta=\alpha_1+3\alpha_2+4\alpha_3$ ，求线性方程组 $A\boldsymbol{x}=\beta$ 的通解.
 
+**答案：**
+ $$\begin{bmatrix}1\\3\\4\end{bmatrix}+k\begin{bmatrix}2\\1\\-1\end{bmatrix}, k\in\mathbb{R}$$
+**分析：** 在求解非齐次方程组通解的题目中，若是题目给出了特解与齐次方程组的解，那么大概率来说这个齐次方程组的解就可以拓展为齐次方程组通解（根据问题导向，不然写不出来了），那么如何由齐次方程组的解拓展为齐次方程组通解呢，那就要根据题目具体的条件进行分析了，这就要用到我们的解零度化定理来求齐次方程组解空间的维数
+**解析：** 由 $\alpha_3=2\alpha_1+\alpha_2$ 可得 $A$ 的列向量组线性相关， $|A|=0$；又因为 $A$ 的三个特征值各不相同，故 $A$ 有两个不为零的特征值 $\lambda_1,\lambda_2$，且 $A$ 可相似对角化，即 $A=P^{-1}\begin{bmatrix}\lambda_1&&\\&\lambda_2&\\&&0\end{bmatrix}P$，$\mathrm{rank}A=\mathrm{rank}(P^{-1}\begin{bmatrix}\lambda_1&&\\&\lambda_2&\\&&0\end{bmatrix}P)=\mathrm{rank}\begin{bmatrix}\lambda_1&&\\&\lambda_2&\\&&0\end{bmatrix}=2$
+故 $Ax=0$ 的解空间维数是 $1$ （5分）
+$\beta=\alpha_1+3\alpha_2+4\alpha_3$，所以 $(1,3,4)^\mathrm{T}$ 为特解；（5分）
+$\alpha_3=2\alpha_1+\alpha_2$，所以$A\begin{bmatrix}2k\\k\\-k\end{bmatrix}=2\alpha_1+\alpha_2-\alpha_3=0$，所以 $(2,1,-1)^\mathrm{T}$ 为基础解系；（10分）
+解空间维数是 $1$ ，方程的解 $\begin{bmatrix}1\\3\\4\end{bmatrix}+k\begin{bmatrix}2\\1\\-1\end{bmatrix}, k\in\mathbb{R}$ 维数是 $1$，该解完备
 
- 设 
-$$
-A = \begin{bmatrix} 
+
+ >[!example] 例2
+ >设 $$A = \begin{bmatrix} 
 1 & -1 & 0 & -1 \\ 
 1 & 1 & 0 & 3 \\ 
 2 & 1 & 2 & 6 
@@ -28,87 +30,55 @@ B = \begin{bmatrix}
 \end{bmatrix}, 
 \quad 
 \alpha = \begin{bmatrix} 0 \\ 2 \\ 3 \end{bmatrix}, \quad 
-\beta = \begin{bmatrix} 1 \\ 0 \\ -1 \end{bmatrix}
-$$
-
+\beta = \begin{bmatrix} 1 \\ 0 \\ -1 \end{bmatrix}$$
 (1) 证明：方程组 $Ax = \alpha$ 的解均为方程组 $Bx = \beta$ 的解；
-
-(2) 若方程组 $Ax = \alpha$ 与方程组 $Bx = \beta$ 不同解，求 $a$ 的值。
-4. (10分) 设 
-$$
-A = \begin{bmatrix} 
-1 & -1 & 0 & -1 \\ 
-1 & 1 & 0 & 3 \\ 
-2 & 1 & 2 & 6 
-\end{bmatrix}, \quad 
-B = \begin{bmatrix} 
-1 & 0 & 1 & 2 \\ 
-1 & -1 & a & a-1 \\ 
-2 & -3 & 2 & -2 
-\end{bmatrix},
-$$
-向量 
-$$
-\alpha = \begin{bmatrix} 0 \\ 2 \\ 3 \end{bmatrix}, \quad 
-\beta = \begin{bmatrix} 1 \\ 0 \\ -1 \end{bmatrix}.
-$$
-
-(1) 证明：方程组 $Ax = \alpha$ 的解均为方程组 $Bx = \beta$ 的解；
-
-(2) 若方程组 $Ax = \alpha$ 与方程组 $Bx = \beta$ 不同解，求 $a$ 的值。
-
----
+$\quad$
+(2) 若方程组 $A\boldsymbol{x} = \alpha$ 与方程组 $B\boldsymbol{x} = \beta$ 不同解，求 $a$ 的值。
 
 **解：**
-
 (1) 由于
 $$
-\left( \begin{array}{c}
+\begin{bmatrix}
 A \quad \alpha \\
 B \quad \beta 
-\end{array} \right) =
-\left( \begin{array}{ccccc}
+\end{bmatrix} =
+\begin{bmatrix}
 1 & -1 & 0 & -1 & 0 \\
 1 & 1 & 0 & 3 & 2 \\
 2 & 1 & 2 & 6 & 3 \\
 1 & 0 & 1 & 2 & 1 \\
 1 & -1 & a & a-1 & 0 \\
 2 & -3 & 2 & -2 & -1 
-\end{array} \right)
-$$
-$$
+\end{bmatrix}
 \rightarrow
-\left( \begin{array}{ccccc}
+\begin{bmatrix}
 1 & -1 & 0 & -1 & 0 \\
 0 & 1 & 0 & 2 & 1 \\
 0 & 0 & 2 & 2 & 0 \\
 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\
 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\
 0 & 0 & 0 & 0 & 0 
-\end{array} \right),
+\end{bmatrix},
 $$
 故 
 $$
-R \left( \begin{array}{c}
-A \quad \alpha \\
-B \quad \beta 
-\end{array} \right) = R(A, \alpha),
+\mathrm{rank} \begin{bmatrix}A&\alpha\\B&\beta\end{bmatrix} = \mathrm{rank}[A\ \alpha],
 $$
 从而方程组 
 $$
 \begin{cases}
-Ax = \alpha, \\
-Bx = \beta
+A\boldsymbol{x} = \alpha \\
+B\boldsymbol{x} = \beta
 \end{cases}
 $$
-与 $Ax = \alpha$ 同解，故 $Ax = \alpha$ 的解均为 $Bx = \beta$ 的解。
+与 $A\boldsymbol{x} = \alpha$ 同解，故 $A\boldsymbol{x} = \alpha$ 的解均为 $B\boldsymbol{x} = \beta$ 的解。
 
-(2) 分析：不同解，却要可以求出a的具体值，说明这是一个与秩相关的题，而与解相关的秩的问题我们就可以考虑解零度化定理
-由于 $Ax = \alpha$ 的解均为 $Bx = \beta$ 的解，若 $Ax = \alpha$ 与 $Bx = \beta$ 同解，则与题意矛盾，故 $Ax = \alpha$ 的解是 $Bx = \beta$ 解的真子集。于是 $Ax = 0$ 的基础解系中解向量的个数小于 $Bx = 0$ 的基础解系中解向量的个数，即
+(2) 分析：不同解，却要可以求出$a$的具体值，说明这是一个与秩相关的题，而与解相关的秩的问题我们就可以考虑解零度化定理
+由于 $A\boldsymbol{x} = \alpha$ 的解均为 $Bx = \beta$ 的解，若 $A\boldsymbol{x} = \alpha$ 与 $B\boldsymbol{x} = \beta$ 同解，则与题意矛盾，故 $Ax = \alpha$ 的解是 $Bx = \beta$ 解的真子集。于是 $Ax = 0$ 的基础解系中解向量的个数小于 $B\boldsymbol{x} = 0$ 的基础解系中解向量的个数，即
 $$
-4 - R(A) < 4 - R(B),
+4 - r(A) < 4 - r(B),
 $$
-故 $R(A) > R(B)$。又因 $R(A) = 3$，故 $R(B) < 3$，则
+故 $r(A) > r(B)$。又因 $r(A) = 3$，故 $r(B) < 3$，则
 $$
 \left| \begin{array}{ccc}
 1 & 0 & 1 \\