Merge remote-tracking branch 'origin/develop' into develop

期中考前押题卷.md

@@ -0,0 +1,68 @@
+时量：60分钟    ____
+**内部资料，禁止传播**
+**编委会（不分先后，姓氏首字母顺序）：程奕铭   韩魏   刘柯妤   卢吉辚   王轲楠   支宝宁  郑哲航**
+
+
+
+
+  
+1.设周期函数 $f(x)$ 在 $(-\infty,+\infty)$ 内可导，又 $\lim\limits_{x\to0}\dfrac{f(1)-f(1-x)}{2x}=-1$，则曲线 $y=f(x)$ 在点 $(5,f(5))$ 处切线的斜率为（ ）。  
+（A）$\dfrac{1}{2}$　　　（B）$0$　　　（C）$-1$　　　（D）$-2$
+
+
+
+2.设 $f(x) = \dfrac{2 + e^{\frac{1}{x}}}{1 + e^{\frac{1}{x}}} + \dfrac{\sin x}{|x|}$，则 $x = 0$ 是 $f(x)$ 的（ ）。
+
+(A) 可去间断点  
+(B) 跳跃间断点  
+(C) 无穷间断点  
+(D) 振荡间断点
+
+
+
+3.（多选）下列级数中收敛的有______。
+
+A $\sin \frac{\pi}{2} + \sin \frac{\pi}{2^2} + \sin \frac{\pi}{2^3} + \cdots$
+
+B $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{5^n} \cdot \frac{3n^3+2n^2}{4n^3+1}$
+
+C $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{(a+n-1)(a+n)(a+n+1)} \quad (a > 0)$
+
+D $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n\sqrt[n]{n}}$
+
+E $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n} \arctan \frac{n}{n+1}$
+
+F $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{\sqrt{n+\sqrt{n}}}{n^2+1}$
+
+
+
+4.设 $y=y(x)$ 由方程 $x^y + 2x^2 - y = 1$ 确定，求 $dy|_{x=1}$______。
+
+
+
+5. $\lim_{n \to \infty} \left( \frac{1}{n^2 + \sin 1} + \frac{2}{n^2 + 2\sin 2} + \cdots + \frac{n}{n^2 + n \sin n} \right)$=______。
+
+
+
+6.计算 $\lim_{x \to \infty} \left( \tan^2 \frac{2}{x} + \cos \frac{1}{x} \right)^{x^2}$______。
+
+
+
+7.求曲线 $y = \ln(1+e^x) + \frac{2+x}{2-x} \arctan \frac{x}{2}$ 的渐近线方程。
+
+
+8.设 $a > 0, \sigma > 0$，定义 $a_1 = \dfrac{1}{2} \left( a + \dfrac{\sigma}{a} \right)$，$a_{n+1} = \dfrac{1}{2} \left( a_n + \dfrac{\sigma}{a_n} \right)$，$n = 1, 2, \ldots$  
+证明：数列 ${a_n}$ 收敛，且极限为 $\sqrt{\sigma}$。
+
+
+
+
+9.一飞机在离地面$2 km$的高度，以$200 km/h$的速度水平飞行到某目标上空，以便进行航空摄影。试求飞机飞至该目标正上方时，摄影机转动的角速率。
+
+
+
+
+10.若函数 $f(x)$ 在 $(a,b)$ 内连续，任取 $x_i \in (a,b)$ $(i=1,2,\cdots,n)$ 使  
+x1≤x2≤⋯≤xn
+证明：存在 $\xi \in [x_1,x_n]$，使得  
+$$f(\xi) = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^n f(x_i)$$

编写小组/讲义/子数列问题&考试易错点汇总（解析版）.md

@@ -342,6 +342,7 @@ $$ \lim_{n \to \infty} \frac{a_{n+1}}{a_n} = \frac{1}{3} < 1 $$
 根据定义，若一个级数的绝对值级数收敛，则该级数**绝对收敛**。绝对收敛的级数必然收敛。
 
 ## Vol. 5:误用p级数
+
 **机械地套用p级数结论，而忽视了其应用前提：指数 `p` 必须是与 `n` 无关的常数。**
 
 > [!example] 例题1：
@@ -352,7 +353,7 @@ $$ \lim_{n \to \infty} \frac{a_{n+1}}{a_n} = \frac{1}{3} < 1 $$
 3.  因为 `1/n > 0`，所以 `p = 1 + 1/n > 1` 恒成立，误判为收敛
 #### ✅ 正确分析与解法
 **错误原因**：`pₙ = 1 + 1/n` 不是常数，其极限为1。
-使用比值审敛法与调和级数 `∑ 1/n` 比较：
+使用比较判别法与调和级数 `∑ 1/n` 比较：
 $$\lim_{n \to \infty} \frac{ \frac{1}{n^{1 + \frac{1}{n}}} }{ \frac{1}{n} } = \lim_{n \to \infty} \frac{1}{n^{1/n}} = 1$$
 可知两级数敛散性相同，且调和级数发散 ⇒ 原级数**发散**。
 
@@ -376,6 +377,7 @@ $$
 
 
 ## Vol. 6: 条件收敛、绝对收敛、发散
+
 **仅当利用比值/根值判别法判断出$\sum |a_n|$发散时$\Rightarrow$$\sum a_n$发散
 
 #### 基本定义
@@ -385,7 +387,9 @@ $$
 3.  **条件收敛**：如果 $\sum a_n$ 收敛但 $\sum |a_n|$ 发散，则称 $\sum a_n$ **条件收敛**
 
 #### 正确分析：
+
 仅有$\sum |a_n|$ 收敛 ⇒ $\sum a_n$收敛
+
 **证明**：
 - 使用柯西收敛准则。对于任意 $\varepsilon > 0$：
   因为 $\sum |a_n|$ 收敛，由柯西准则，存在 $N$，使得当 $m > n \geq N$ 时：
@@ -503,7 +507,7 @@ $\forall \delta>0, \exists x \in \mathring{U}(x_0,\delta)$有 $|f(x)|>M$，称$f
 
 ![[易错点10-1.png]]
 这个并不是无穷大——不管取的邻域有多小，我总能找到一个令$\sin\frac{1}{x}=0$的$x$，此时$\frac{1}{x}\sin\frac{1}{x}=0$。
-那这个是有界的吗？也不是。这就是典型的**不是无界量的无穷大**。
+那这个是有界的吗？也不是。这就是典型的**不是无穷大的无界量**。
 详细的证明过程如下：
 
 >对$f(x)={\frac{1}{x}\sin\frac{1}{x}}$，可以取数列$a_n=\frac{1}{2n\pi+\frac{\pi}{2}}$,