线性代数适应性调研

编写小组/试卷/1231线性代数考试卷.md

@@ -2,6 +2,7 @@
 tags:
   - 编写小组
 ---
+# 线性代数适应性调研
 ## 一、选择题，共六道，每题3分，共18分
 
 1. 设 $A$ 为 $n$ 阶对称矩阵，$B$ 为 $n$ 阶反对称矩阵，下列矩阵中为反对称矩阵的是
@@ -23,19 +24,19 @@ tags:
    (C) $\alpha_1, \alpha_3, \alpha_4$;  
    (D) $\alpha_2, \alpha_3, \alpha_4$.
    
-5. 设 $A, B$ 为 $n$ 阶矩阵，则
+4. 设 $A, B$ 为 $n$ 阶矩阵，则
    (A) $\text{rank}[A \ AB] = \text{rank} A$;  
    (B) $\text{rank}[A \ BA] = \text{rank} A$;  
    (C) $\text{rank}[A \ B] = \max\{\text{rank} A, \text{rank} B\}$;  
    (D) $\text{rank}[A \ B] = \text{rank}[A^T \ B^T]$.
 
-6. 设 $A$ 可逆，将 $A$ 的第一列加上第二列的 2 倍得到 $B$，则 $A^*$ 与 $B^*$ 满足
+5. 设 $A$ 可逆，将 $A$ 的第一列加上第二列的 2 倍得到 $B$，则 $A^*$ 与 $B^*$ 满足
    (A) 将 $A^*$ 的第一列加上第二列的 2 倍得到 $B^*$;  
    (B) 将 $A^*$ 的第一行加上第二行的 2 倍得到 $B^*$;  
    (C) 将 $A^*$ 的第二列加上第一列的 $(-2)$ 倍得到 $B^*$;  
    (D) 将 $A^*$ 的第二行加上第一行的 $(-2)$ 倍得到 $B^*$.
 
-7. 已知方程组$\quad\begin{cases}x_1 + 2x_2 + 3x_3 = 0, \\2x_1 + 3x_2 + 5x_3 = 0, \\x_1 + x_2 + ax_3 = 0,\end{cases}$与$\text{(II)} \quad\begin{cases}x_1 + bx_2 + cx_3 = 0, \\2x_1 + b^2x_2 + (c+1)x_3 = 0\end{cases}$同解，则
+6. 已知方程组$\quad\begin{cases}x_1 + 2x_2 + 3x_3 = 0, \\2x_1 + 3x_2 + 5x_3 = 0, \\x_1 + x_2 + ax_3 = 0,\end{cases}$与$\text{(II)} \quad\begin{cases}x_1 + bx_2 + cx_3 = 0, \\2x_1 + b^2x_2 + (c+1)x_3 = 0\end{cases}$同解，则
    (A) $a = 1, b = 0, c = 1$;  
    (B) $a = 1, b = 1, c = 2$;  
    (C) $a = 2, b = 0, c = 1$;  
@@ -45,7 +46,7 @@ tags:
 
 7. 已知向量 $\alpha_1 = (1,0,-1,0)^T$，$\alpha_2 = (1,1,-1,-1)^T$，$\alpha_3 = (-1,0,1,1)^T$，则向量 $\alpha_1 + 2\alpha_2$ 与 $2\alpha_1 + \alpha_3$ 的内积$\langle \alpha_1 + 2\alpha_2,\, 2\alpha_1 + \alpha_3 \rangle = \underline{\qquad\qquad}.$
 
-8. 设2阶矩阵A=$\begin{bmatrix}3&-1\\-9&3\end{bmatrix}$，n为正整数，则$A^n=\underline{\quad\quad}$。
+8. 设2阶矩阵A=$\begin{bmatrix}3&-1\\-9&3\end{bmatrix}$，n为正整数，则$A^n=\underline{\qquad\qquad\quad\quad}$。
 
 9. 若向量组$\alpha_1 = (1,0,1)^T,\quad \alpha_2 = (0,1,1)^T,\quad \alpha_3 = (1,3,5)^T$不能由向量组$\beta_1 = (1,1,1)^T,\quad\beta_2 = (1,2,3)^T,\quad\beta_3 = (3,4,a)^T$线性表示，则$a = \underline{\qquad\qquad}.$
 
@@ -63,9 +64,9 @@ tags:
 0 & 0 & 0 & \cdots & 0 & 0 & 0 & \cdots & 0 & 0 & 0 \\
 0 & 0 & 0 & \cdots & 0 & 0 & 0 & \cdots & 0 & 0 & 0 \\
 0 & 0 & 0 & \cdots & 0 & 0 & 0 & \cdots & 0 & 0 & 0 
-\end{bmatrix}_{n \times n}$$其中第一行有$m$个$0$.若$A^k=O$,则$k$的最小值为____.
+\end{bmatrix}_{n \times n}$$其中第一行有$m$个$0$.若$A^k=O$,则$k$的最小值为$\underline{\qquad\qquad\qquad\qquad}.$
 
-12. 设 $A, B$ 均为 $n$ 阶方阵，满足$\text{rank} \begin{bmatrix} A \\ B \end{bmatrix} = \text{rank}B,$ 且方程 $XA = B$ 有解。若 $\operatorname{rank} A = k$，则$\text{rank} \begin{bmatrix} A & O \\ B & E \end{bmatrix} =\underline{\hspace{2cm}}.$
+12. 设 $A, B$ 均为 $n$ 阶方阵，满足$\text{rank} \begin{bmatrix} A \\ B \end{bmatrix} = \text{rank}B,$ 且方程 $XA = B$ 有解。若 $\operatorname{rank} A = k$，则$\text{rank} \begin{bmatrix} A & O \\ B & E \end{bmatrix} =\underline{\hspace{3cm}}.$
 
 ## 三、解答题，共五道，共64分
 
@@ -88,17 +89,128 @@ $$
 1+x_n & 1+x_n^2 & \cdots & 1+x_n^n
 \end{vmatrix}
 $$
+```text
 
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+```
 14. （10 分）设$A=\begin{bmatrix}1 & -1 & 0 & -1 \\ 1 & 1 & 0 & 3 \\ 2 & 1 & 2 & 6\end{bmatrix},B=\begin{bmatrix}1 & 0 & 1 & 2 \\ 1 & -1 & a & a-1 \\ 2 & -3 & 2 & -2\end{bmatrix}$,向量$\alpha=\begin{bmatrix}0\\2\\3\end{bmatrix},\beta=\begin{bmatrix}1\\0\\-1\end{bmatrix}$.
      (1)证明：方程组 $Ax=\alpha$ 的解均为方程组 $Bx=\beta$ 的解；
      (2)若方程组 $Ax=\alpha$ 与方程组 $Bx=\beta$ 不同解，求 $a$ 的值.
+```text
+
+
+
+
+
+
 
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+```
 15. （10 分）设 $\alpha_1 = (1,0,-1)^T,\quad \alpha_2 = (2,1,1)^T,\quad \alpha_3 = (1,1,1)^T$和$\beta_1 = (0,1,1)^T,\quad \beta_2 = (-1,1,0)^T,\quad \beta_3 = (0,2,1)^T$是 $\mathbb{R}^3$ 的两组基，求向量 $u = \alpha_1 + 2\alpha_2 - 3\alpha_3$在基 $\beta_1, \beta_2, \beta_3$ 下的坐标。
+```text
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
 
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+```
 16. （12 分）设 $n$ 阶方阵 $A, B$ 满足 $AB = A + B$。
     （1）证明 $A - E$ 可逆；
     （2）证明 $AB = BA$；
     （3）证明 $\mathrm{rank}(A) = \mathrm{rank}(B)$；
     （4）若矩阵$B = \begin{bmatrix}1 & -3 & 0 \\2 &  1 & 0 \\0 &  0 & 2\end{bmatrix}$，求矩阵 $A$。
+```text
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+```
+17. （12 分）设矩阵$A=\begin{bmatrix}1&2&1&2\\0&1&t&t\\1&t&0&1\end{bmatrix}$，齐次线性方程组 $Ax=0$ 的基础解系中含有两个解向量，求 $Ax=0$ 的通解。
+```text
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
 
-17. （12 分）设矩阵$A=\begin{bmatrix}1&2&1&2\\0&1&t&t\\1&t&0&1\end{bmatrix}$，齐次线性方程组 $Ax=0$ 的基础解系中含有两个解向量，求 $Ax=0$ 的通解。
+```