From d0bf5aedb11e08aa82732f0fe8980acbb6a97b9e Mon Sep 17 00:00:00 2001
From: unknown <2974730459@qq.com>
Date: Fri, 26 Dec 2025 11:23:54 +0800
Subject: [PATCH] vault backup: 2025-12-26 11:23:54

---
 ...��&考试易错点汇总（解析版）.md | 29 +++++++++++++++----
 1 file changed, 23 insertions(+), 6 deletions(-)

diff --git a/编写小组/讲义/子数列问题&考试易错点汇总（解析版）.md b/编写小组/讲义/子数列问题&考试易错点汇总（解析版）.md
index bf45c72..2d80338 100644
--- a/编写小组/讲义/子数列问题&考试易错点汇总（解析版）.md
+++ b/编写小组/讲义/子数列问题&考试易错点汇总（解析版）.md
@@ -226,12 +226,29 @@ $$D(x)= \begin{cases}1, & x\text{为有理数时}, \\ 0, & x\text{为无理数
 
 
 **解析**
-1. 构造第一个数列$\{x_n^{(1)}\}$：
-   取$x_n^{(1)} = x_0 + \frac{1}{n}$（有理数），则$$\lim\limits_{n \to \infty} x_n^{(1)} = x_0$$由于$x_n^{(1)}$是有理数，所以$D(x_n^{(1)}) = 1$，因此$$\lim\limits_{n \to \infty} D(x_n^{(1)}) = 1$$
-2. 构造第二个数列$\{x_n^{(2)}\}$：
-   取$x_n^{(2)} = x_0 + \frac{\sqrt{2}}{n}$（无理数），则$$\lim\limits_{n \to \infty} x_n^{(2)} = x_0$$由于x_n^{(2)}是无理数，所以$D(x_n^{(2)}) = 0$，因此$$\lim\limits_{n \to \infty} D(x_n^{(2)}) = 0$$由于$$\lim\limits_{n \to \infty} D(x_n^{(1)}) = 1 \neq 0 = \lim\limits_{n \to \infty} D(x_n^{(2)})$$根据海涅定理，$\lim\limits_{x \to x_0} D(x)$不存在。
-   由于$x_0$是任意一点，所以狄利克雷函数在任何点处都不存在极限。
 
+1. 构造第一个数列 $\{x_n^{(1)}\}$：
+   
+   取 $x_n^{(1)} = x_0 + \frac{1}{n}$（有理数），则
+   $$\lim\limits_{n \to \infty} x_n^{(1)} = x_0$$
+   
+   由于 $x_n^{(1)}$ 是有理数，所以 $D(x_n^{(1)}) = 1$，因此
+   $$\lim\limits_{n \to \infty} D(x_n^{(1)}) = 1$$
+
+2. 构造第二个数列 $\{x_n^{(2)}\}$：
+   
+   取 $x_n^{(2)} = x_0 + \frac{\sqrt{2}}{n}$（无理数），则
+   $$\lim\limits_{n \to \infty} x_n^{(2)} = x_0$$
+   
+   由于 $x_n^{(2)}$ 是无理数，所以 $D(x_n^{(2)}) = 0$，因此
+   $$\lim\limits_{n \to \infty} D(x_n^{(2)}) = 0$$
+   
+   由于
+   $$\lim\limits_{n \to \infty} D(x_n^{(1)}) = 1 \neq 0 = \lim\limits_{n \to \infty} D(x_n^{(2)})$$
+   
+   根据海涅定理，$\lim\limits_{x \to x_0} D(x)$ 不存在。
+   
+   由于 $x_0$ 是任意一点，所以狄利克雷函数在任何点处都不存在极限。
 
 # 考试易错点总结
 
@@ -298,7 +315,7 @@ $$ \lim_{x \to \infty} y = \lim_{x \to \infty} \frac{1 + \frac{2}{x} - \frac{3}{
 
 **错误做法示范**：观察级数 $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^{n} n^2}{3^n}$，若直接对其使用比值判别法：
 
-    $$ \lim_{n \to \infty} \left| \frac{u_{n+1}}{u_n} \right| = \lim_{n \to \infty} \frac{(n+1)^2 / 3^{n+1}}{n^2 / 3^n} = \frac{1}{3} < 1 $$
+$$ \lim_{n \to \infty} \left| \frac{u_{n+1}}{u_n} \right| = \lim_{n \to \infty} \frac{(n+1)^2 / 3^{n+1}}{n^2 / 3^n} = \frac{1}{3} < 1 $$
 
 
 若由此断言“原级数收敛”，则犯了**滥用判别法**的错误。因为比值判别法（及比较、根值判别法）仅