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Date: Thu, 25 Dec 2025 00:30:13 +0800
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 ...法：单调有界定理，介值定理.md | 66 +++++++++++++++++--
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+++ b/编写小组/讲义/证明题方法：单调有界定理，介值定理.md
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 tags:
   - 编写小组
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+# 单调有界准则
 
+## 原理
 
-> [!example] **例1** 
+- **单调有界数列必收敛**：
+  1. 若数列 $\{a_n\}$ 单调递增且有上界 $M$，则 $\{a_n\}$ 收敛，且 $\lim_{n \to \infty} a_n = \sup\{a_n\} \leq M$。
+  2. 若数列 $\{a_n\}$ 单调递减且有下界 $m$，则 $\{a_n\}$ 收敛，且 $\lim_{n \to \infty} a_n = \inf\{a_n\} \geq m$。
+
+- **函数单调有界性质**：
+  若函数 $f(x)$ 在区间 $I$ 上单调且有界，则 $f(x)$ 在 $I$ 的端点或无穷远处存在单侧极限。
+
+## 适用情况
+
+适用于证明数列或函数极限的存在性，尤其是：
+
+- 递推数列极限的存在性与求解；
+- 函数在某区间上的极限存在性；
+- 某些无法直接求极限但可判断单调性和有界性的情形。
+
+## 优势
+
+1. 不依赖于极限的具体值，只需判断单调性和有界性；
+2. 适用于很多递推定义的数列；
+3. 证明过程结构清晰，易于理解和操作。
+
+## 劣势
+
+1. 只能证明极限存在，不能直接给出极限值（需另解方程）；
+2. 判断单调性和有界性有时需要一定的技巧；
+3. 对于非单调或没有明显界的序列不适用。
+
+## 例子
+
+> [!example] 例1  
+> 证明数列 $a_1 = \sqrt{2}, a_{n+1} = \sqrt{2 + a_n}$ 收敛，并求其极限。
+
+**解析**  
+1. **有界性**：  
+   易证 $0 < a_n < 2$（可用归纳法）。  
+2. **单调性**：  
+   计算 $a_{n+1} - a_n = \sqrt{2 + a_n} - a_n$。  
+   设 $f(x) = \sqrt{2 + x} - x$，在 $[0,2]$ 上分析符号，可得 $a_{n+1} \geq a_n$，故数列单调递增。  
+3. **由单调有界准则**，数列收敛。  
+4. **求极限**：  
+   设 $\lim_{n \to \infty} a_n = L$，则 $L = \sqrt{2 + L}$，解得 $L = 2$（舍去负根）。
+
+
+> [!example] 例2  
+> 证明函数 $f(x) = \frac{x}{x+1}$ 在 $[0, +\infty)$ 上单调有界，并求 $\lim_{x \to +\infty} f(x)$。
+
+**解析**  
+1. **单调性**：  
+   导数 $f'(x) = \frac{1}{(x+1)^2} > 0$，故 $f(x)$ 单调递增。  
+2. **有界性**：  
+   显然 $0 \leq f(x) < 1$。  
+3. **由单调有界准则**，$\lim_{x \to +\infty} f(x)$ 存在，且为 $1$。
+
+
+> [!example] **例3** 
 > 设$f(x)$在$[a,b]$上连续，且$a < c < d < b$。证明：在$(a,b)$内必存在点$\xi$，使得$mf(c)+nf(d)=(m+n)f(\xi)$，其中$m,n$为任意给定的自然数。
 
 **解析：** 
 因$f(x)$在$[a,b]$上连续，所以$f(x)$在$[a,b]$上能取得最大值$f_{\max}$和最小值$f_{\min}$。又因为 $(m+n)fmin​⩽mf(c)+nf(d)⩽(m+n)fmax​$, 即$$f_{\min} \leqslant \frac{mf(c) + nf(d)}{m + n} \leqslant f_{\max}$$故由介值定理，在$[a,b]$上必存在一点$\xi$，使得 $m+nmf(c)+nf(d)​=f(ξ)$, 即$mf(c) + nf(d) = (m + n)f(\xi)$。
 
-> [!example] **例2** 
+
+> [!example] **例4** 
 > 一支巡逻小分队定期到山上的岗哨换岗，每天上午7点从营地出发，8点到达目的地。第二天上午7点沿原路返回，8点前返回到达山下营地。利用零点定理证明，在换岗的路途中必有一点，小分队在两天中的同一时刻经过该点。
 
 **解析** 
 设上山的路程函数为$s=f_1(t)$（$7\leqslant t\leqslant8$），则$f_1(7)=0$，$f_1(8)=D$（$D$为两岗哨之间的距离） 下山的路程函数为$s=f_2(t)$（$7\leqslant t\leqslant8$），则$f_2(7)=D$，$f_2(8)=0$ 作辅助函数$F(t)=f_1(t)-f_2(t)$，则$F(t)$在$[7,8]$上连续，且$F(7)=-D$，$F(8)=D$ 由零点定理知，至少存在$\xi\in(7,8)$使$F(\xi)=0$ 即在换岗的路途中必有一点，小分队在两天中的同一时刻经过该点。
 
-> [!example] 例3 
+
+> [!example] 例5 
 > 设$f(x)$在$(-\infty,+\infty)$上连续，且$\lim\limits_{x \to \infty}\frac{f(x)}{x}=0$，试证存在$\xi\in(-\infty,+\infty)$，使$f(\xi)+\xi=0$
 
 **解析**
@@ -31,7 +89,7 @@ $$$$\lim\limits_{x \to +\infty}\frac{F(x)}{x}=\lim\limits_{x \to +\infty}\left(\
 步骤3：应用零点存在定理得出结论 $F(x)$在闭区间$[x_2,x_1]$上连续，且$F(x_2)<0$，$F(x_1)>0$。 由零点存在定理，至少存在一点$\xi\in(x_2,x_1)\subset(-\infty,+\infty)$，使得$F(\xi)=0$，即$f(\xi)+\xi=0$
 
 
->[!example] **例4** 
+>[!example] **例6** 
 >设数列 $\{x_n\}$ 满足 $x_1 = \sqrt{2}$，且对任意 $n \ge 1$，有 $x_{n+1} = \sqrt{2 + x_n}$。证明该数列收敛，并求其极限。
 
 **证明**：