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编写小组/讲义/证明题方法：单调有界定理，介值定理.md

@@ -138,4 +138,10 @@ $$$$\lim\limits_{x \to +\infty}\frac{F(x)}{x}=\lim\limits_{x \to +\infty}\left(\
     由于数列的所有项 $x_n > 0$，其极限 $L$ 必须满足 $L \ge 0$，故舍去 $L = -1$。
     
     因此，数列 $\{x_n\}$ 的极限为：$$L = 2$$
+>[!example] 例7
+>设$f(x)$在$[0,1]$上连续，且$f(0)=f(1)$，试证：对任何自然数$n$，必存在一点$c\in[0,1-\frac{1}{n}]$，使$f(c)=f(c+\frac{1}{n})$.
 
+**分析**  根据题意，我们需要证明连续函数$F(x)=f(x)-f(x+\frac{1}{n})$有零点，关键是找两点$a、b$，使得$F(a)F(b)<0$.一般会找区间的两个端点，但问题是我们无法确定$F(0)\cdot F(1-\frac{1}{n})$是否小于$0$。正向难以解决，不妨尝试一下反证法.
+**证法一**  反证法.若不然，则存在自然数$m$，使得$\forall x\in[0,1-\frac{1}{m}]$，均有$f(x)\neq f(x+\frac{1}{m})$，即$f(x)-f(x+\frac{1}{m})\neq0$，不妨设$f(x)>f(x+\frac{1}{m})$.依次取$x=0,\frac{1}{m},\frac{2}{m},\cdots,\frac{m-1}{m}$,则有$$f(0)>f(\frac{1}{m})>\cdots>f(\frac{m}{m})=f(1),$$这与$f(0)=f(1)$矛盾.故结论成立. 
+
+**证法二** 记$$F(x)=f(x)-f(x+\frac{1}{n}),x\in[0,1-\frac{1}{n}],$$则$F(x)$在$[0,1-\frac{1}{n}]$上连续，且$$F(0)=f(0)-f(\frac{1}{n}),F(\frac{1}{n})=f(\frac{1}{n})-f(\frac{2}{n}),\cdots,F(1-\frac{1}{n})=f(1-\frac{1}{n})-f(1).$$上面各式相加得$$F(0)+F(\frac{1}{n})+\cdots+F(1-\frac{1}{n})=f(0)-f(1)=0.$$若$F(\frac{k}{n})(k=0,1,\cdots,n-1)$中至少有一个为$0$，则结论已成立.否则，必$\exists k_1,k_2\in\{0,1,2,\cdots,n-1\}$,使得$F(k_1)F(k_2)<0$，由介值定理（或零值定理），必有一点$c$介于$\frac{k_1}{n}$和$\frac{k_2}{n}$之间，使得$F(c)=0$即$$f(c)=f(x+\frac{1}{n}).$$