补充详细证明

编写小组/讲义/子数列问题&考试易错点汇总（解析版）.md

@@ -504,9 +504,20 @@ $\forall \delta>0, \exists x \in \mathring{U}(x_0,\delta)$有 $|f(x)|>M$，称$f
 ![[易错点10-1.png]]
 这个并不是无穷大——不管取的邻域有多小，我总能找到一个令$\sin\frac{1}{x}=0$的$x$，此时$\frac{1}{x}\sin\frac{1}{x}=0$。
 那这个是有界的吗？也不是。这就是典型的**不是无界量的无穷大**。
+详细的证明过程如下：
+
+>对$f(x)={\frac{1}{x}\sin\frac{1}{x}}$，可以取数列$a_n=\frac{1}{2n\pi+\frac{\pi}{2}}$,
+>$f(a_n)=\frac{1}{a_n} \sin\frac{1}{a_n}=2n\pi+\frac{\pi}{2}$，$\lim\limits_{n\rightarrow\infty}{f(a_n)}=+\infty$故极限无界；
+>另取数列$b_n=\frac{1}{n\pi}$，$f(b_n)=0$。
+>按照无穷大的定义：$\forall M > 0, \exists \delta>0$，当$0<|x-x_0|<\delta$时有$|f(x)|>M$，称$f(x)$是当$x\rightarrow x_0$时的无穷大量。
+>然而，$\forall\delta>0$，$n>\frac{1}{\delta\pi}, x=b_n$时，$0<|x|<\delta$，但是$f(x)=0$，与无穷大定义不符。
+>故：$\lim\limits_{x\rightarrow 0}{\frac{1}{x}\sin\frac{1}{x}}$无界，但不是无穷大
 
 > [!example] 例2
 > 双子数列$\lim\limits_{n\rightarrow \infty}{n\cos \frac{n\pi}{2}}$
-
-![[易错点10-2.png]]
-总结：无穷大是在邻域内“一直都很大”，无界是邻域内“有很大的”
+>如图：
+>![[易错点10-2.png]]
+>与上一题思路类似，令$x_n={n\cos \frac{n\pi}{2}}$，取子数列$a_n=x_{2n-1},b_n=x_{4n}$，
+>$a_n=0$，$\lim\limits_{n\rightarrow \infty}{b_n}=+\infty$，故$x_n$无界；
+>按照（数列）无穷大的定义：$\forall M > 0, \exists N>0$，当$n>N$时有$x_n>M$，称$x_n$趋近无穷大
+>然而，$\forall N>0$，取$n=4N$，$x_n=b_N=0$，与无穷大定义不符。故$x_n$无界但不是无穷大。