### 1. 原理
**线性方程组解的判定**
对非齐次线性方程组 $A_{m\times n}x=b$,
1. 无解的充要条件是 $\text{rank}A < \text{rank}[A\ \ b]$；
2. 有唯一解的充要条件是 $\text{rank}A = \text{rank}[A\ \ b] = n$；
3. 有无穷多解的充要条件是 $\text{rank}A = \text{rank}[A\ \ b] < n$。
注:上述定理也说明非齐次线性方程组有解的充要条件是 $\text{rank}A = \text{rank}[A\ \ b]$。

把以上结论应用到齐次线性方程组，可得
推论 齐次线性方程组 $A_{m\times n}x=0$ 有非零解（无穷多解）的充要条件是 $\text{rank}A < n$，即系数矩阵的秩小于未知数个数。

**矩阵方程解的判定**
本质上和线性方程组是一脉相承的，只是形式上更一般化。
最常见的矩阵方程是 $\boldsymbol{AX} = \boldsymbol{B}$，其中$\boldsymbol{A}$是 $m\times n$ 矩阵，$\boldsymbol{B}$ 是 $m\times p$ 矩阵，$\boldsymbol{X}$ 是待求的$n\times p$矩阵。
1. 有解的充要条件：
矩阵方程有解的充要条件是系数矩阵 $\boldsymbol{A}$ 的秩等于增广矩阵 $[\boldsymbol{A} \ \boldsymbol{B}]$的秩，即：
$$r(\boldsymbol{A}) = r([\boldsymbol{A} \ \boldsymbol{B}])$$
这个结论和非齐次线性方程组有解的条件完全一致。
2. 解的结构：
- 唯一解：当$r(\boldsymbol{A}) = r([\boldsymbol{A} \ \boldsymbol{B}]) = n$ 时，方程有唯一解。
- 无穷多解：当 $r(\boldsymbol{A}) = r([\boldsymbol{A} \ \boldsymbol{B}]) < n$ 时，方程有无穷多解。
 
可逆矩阵
- 当 $\boldsymbol{A}$ 是 n 阶可逆矩阵时，矩阵方程 $\boldsymbol{AX} = \boldsymbol{B}$有唯一解:$\boldsymbol{X} = \boldsymbol{A}^{-1}\boldsymbol{B}$

其他形式的矩阵方程
- 对于 $\boldsymbol{XA} = \boldsymbol{B}$ 形式的方程，可以转置为 $\boldsymbol{A}^T\boldsymbol{X}^T = \boldsymbol{B}^T$，再套用上述方法。
- 对于 $\boldsymbol{AXB} = \boldsymbol{C}$ 形式的方程，当 $\boldsymbol{A} 和 \boldsymbol{B}$ 都可逆时，有唯一解 $\boldsymbol{X} = \boldsymbol{A}^{-1}\boldsymbol{C}\boldsymbol{B}^{-1}$。
 