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**内部资料，禁止传播**
**编委会（不分先后，姓氏首字母顺序）：陈峰华   陈玉阶   程奕铭   韩魏   刘柯妤   卢吉辚   王嘉兴   王轲楠   彭靖翔   郑哲航   钟宇哲   支宝宁**

## **辅助函数的构造方法**

### **原理**

在证明与导数相关的等式或不等式时，常通过构造辅助函数，将原问题转化为对某个函数应用中值定理（如罗尔定理、拉格朗日定理等）。构造辅助函数的核心思想是：**将待证等式视为某个函数求导（或多次求导）后的结果**。

### **常见构造类型**

#### 1. 乘积型与商型
若结论形如：
$$
f'(\xi)g(\xi) + f(\xi)g'(\xi) = 0
$$
可构造辅助函数：
$$
F(x) = f(x)g(x)
$$
若结论形如：
$$
f'(\xi)g(\xi) - f(\xi)g'(\xi) = 0
$$
可构造辅助函数：
$$
F(x) = \frac{f(x)}{g(x)} \quad (g(x) \neq 0)
$$

#### 2. 含幂函数因子
若结论形如：
$$
n f(\xi) + \xi f'(\xi) = 0
$$
可构造辅助函数：
$$
F(x) = x^n f(x)
$$

#### 3. 一阶线性微分结构
若结论形如：
$$
f'(\xi) + P(\xi)f(\xi) = 0
$$
可构造积分因子：
$$
\mu(x) = \text{e}^{\int P(x)\mathrm{d}x}
$$
并设辅助函数：
$$
F(x) = \mu(x) f(x)
$$

注意：2和3两种结构的区别在于
2是 $\xi$ 与导函数相乘，并且只能是1次
3是 $\xi$ 与函数相乘，并且可以是各种形式

#### 4. 对数型
若结论形如：
$$
\frac{f'(\xi)}{f(\xi)} = k
$$
可构造辅助函数：
$$
F(x) = \ln|f(x)| - kx
$$

#### 5. 常数变指数
若结论形如：
$$
f'(\xi) = \lambda f(\xi)
$$
可构造辅助函数：
$$
F(x) = \text{e}^{-\lambda x} f(x)
$$
或者写成：
$$
f'(\xi) + \lambda f(\xi) = 0
$$
则构造辅助函数：
$$
F(x) = \text{e}^{\lambda x} f(x)
$$

注：5实际上是3的 $P(\xi)=\lambda$ 的特殊情况
4和5本质是一样的，根据题目的具体情况选择，5的形式可能更常见、更好用

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### **例题**（先看完后面的知识再做这个）

>[!example] 例1  
设 $f(x)$ 在 $[0, 1]$ 上连续，在 $(0, 1)$ 内可导，且 $f(0)=0$，$f(1)=0$。  
证明：存在 $\xi \in (0, 1)$ 使得$f'(\xi) = 2\xi f(\xi)$

**解析**：  
将结论改写为：
$$
f'(\xi) - 2\xi f(\xi) = 0
$$
属于一阶线性微分结构，其中 $P(x) = -2x$。  
积分因子为：
$$
\mu(x) = \text{e}^{\int (-2x)\mathrm{d}x} = \text{e}^{-x^2}
$$
构造辅助函数：
$$
F(x) = \text{e}^{-x^2} f(x)
$$
则 $F(0) = 0$，$F(1) = 0$。  
于是由罗尔定理，存在$\xi\in(0,1)$，$F'(\xi)=0\Rightarrow f'(\xi)=2f(\xi)$.

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>[!example] 例2  
设 $f(x)$ 在 $[a, b]$ 上三阶可导，且 $f(a) = f'(a) = f(b) =f''(b)= 0$。  
证明：存在 $\xi \in (a, b)$ 使得：$f'''(\xi) + k f''(\xi) = 0$

```text

















```

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>[!example] 例3  
设 $f(x)$ 在 $[0, 1]$ 上可导，且$\displaystyle f(1) = 2\sqrt{\text{e}}\int_0^{1/2} \text{e}^{\frac{x^2}{2}-x} f(x) dx$
证明：存在 $\xi \in (0, 1)$ 使得：$f'(\xi) = (1-\xi) f(\xi)$

```text


















```
## **罗尔定理**

### **原理**
若函数 $f(x)$ 满足以下三个条件：
在闭区间 $[a,b]$ 上连续；
在开区间 $(a,b)$ 内可导；
区间端点函数值相等，即 $f(a)=f(b)$；
则在 $(a,b)$ 内至少存在一点 $\xi$，使得 $f'(\xi)=0$。
罗尔定理的几何意义为：满足条件的函数曲线在区间内至少有一条水平切线。
它是拉格朗日中值定理（$f(b)-f(a)=f'(\xi)(b-a)$）当 $f(a)=f(b)$ 时的特例。

### **适用条件**
罗尔定理的核心适用题型是证明导函数方程 $f'(\xi)=0$ 在区间 $(a,b)$ 内有根以及衍生的相关证明题。
具体可分为以下几类：
1. 直接证明 $f'(\xi)$=0 存在根
题目给出函数 f(x) 在 $[a,b]$ 上的连续性、$(a,b)$ 内的可导性，且满足 $f(a)=f(b)$，直接应用罗尔定理证明存在 $\xi\in(a,b)$ 使得 $f'(\xi)=0$。
2. 构造辅助函数证明导函数相关方程有根
对于形如 $f'(\xi)+g(\xi)f(\xi)=0$、$f''(\xi)=0$ 等方程，需构造满足罗尔定理条件的辅助函数 $F(x)$，通过 $F(a)=F(b)$ 推导 $F'(\xi)=0$，进而等价转化为目标方程。
3. 结合多次罗尔定理证明高阶导数零点存在
若函数 f(x) 有 n+1 个点的函数值相等，可多次应用罗尔定理，证明其 n 阶导数 $f^{(n)}(\xi)=0$ 在对应区间内有根。
4. 证明函数恒为常数（反证法结合罗尔定理）
若 $f'(x)\equiv0$ 在区间内成立，可通过反证法假设存在两点函数值不等，结合罗尔定理推出矛盾，进而证明函数为常数。

罗尔定理针对于一个函数，不同于柯西中值定理针对于两个函数

### **例题**
>[!example] 例1
设 $f(x)$ 在 $[0,1]$ 连续，$(0,1)$ 可导，且 $f(1) = 0$，求证存在 $\xi \in (0,1)$ 使得 $nf(\xi) + \xi f'(\xi) = 0$。

```text



















```


>[!example] 例2
设函数 $f(x)$ 在 $[a,b]$ 上可导，且
$$f(a) = f(b) = 0，\quad f'_+(a)f'_-(b) > 0，$$
试证明 $f'(x) = 0$ 在 $(a,b)$ 内至少有两个根。


```text



















```

## **拉格朗日中值定理**
### **原理**
若函数 $f(x)$ 满足两个条件:
在闭区间 $[a,b]$ 上连续；
在开区间 $(a,b)$ 内可导；
则在 $(a,b)$ 内至少存在一点 $\xi$，使得
$f(b)-f(a)=f'(\xi)(b-a)$
也可写成等价形式 $f'(\xi)=\dfrac{f(b)-f(a)}{b-a}$。
其中$\xi$也有另一种形式.由于$\xi$是介于$a,b$之间的，我们可以用以下形式表示这种“介于”的性质：$$\xi=a+\theta(b-a),\theta\in(0,1)$$如果令$b-a=h$，则拉格朗日中值定理还可以写成$$f(b)=f(a)+(b-a)f'(a+\theta(b-a))=f(a)+hf'(a+\theta h).$$这也是泰勒公式中拉格朗日余项这个名字的由来。
是罗尔定理的推广，同时也是柯西中值定理的特例。其几何意义为：满足条件的函数曲线在区间 $(a,b)$ 内，至少存在一点的切线与连接端点 $(a,f(a))$ 和 $(b,f(b))$ 的弦平行。


### **适用条件**
拉格朗日中值定理的核心适用题型是建立函数增量与导数的关联，进行不等式的证明，这是最常见的题型。通过对目标函数在指定区间上应用拉格朗日中值定理，得到 $f(b)-f(a)=f'(\xi)(b-a)$，再利用导数 $f'(\xi)$ 的取值范围（有界性、正负性）放大或缩小式子，推导不等式。

### **例题**

>[!example] 例1
设函数 $f(x)$ 在 $(-1,1)$ 内可微，且  
$$f(0) = 0, \quad |f'(x)| \leq 1,$$证明：在 $(-1,1)$ 内，$|f(x)| < 1$。

```text



















```

>[!example] 例2
设 $f''(x) < 0$，$f(0) = 0$，证明对任意 $x_1 > 0, x_2 > 0$ 有
$$f(x_1 + x_2) < f(x_1) + f(x_2)$$

```
















```


>[!example] 例3
 设 $f(x)$ 在 $(-\infty, +\infty)$ 内二阶可导，且 $f''(x) \neq 0$。
（1）证明：对于任何非零实数 $x$，存在唯一的 $\theta(x)$ ($0<\theta(x)<1$)，使得
   $$f(x) = f(0) + x f'(x\theta(x));$$
   （2）求
   $\lim\limits_{x \to 0} \theta(x).$

```text




















```

## **柯西中值定理**

### **原理**

设函数 $f(x)$ 和 $g(x)$ 满足以下条件：
1. 在闭区间 $[a, b]$ 上连续；
2. 在开区间 $(a, b)$ 内可导；
3. 对任意 $x \in (a, b)$，有 $g'(x) \neq 0$；
则在 $(a, b)$ 内至少存在一点 $\xi$，使得：

$$
\frac{f(b) - f(a)}{g(b) - g(a)} = \frac{f'(\xi)}{g'(\xi)}
$$

柯西中值定理的几何意义为：由参数方程 $(g(t), f(t))$ 表示的曲线，在两点间的割线斜率等于曲线上某点切线的斜率。

它与拉格朗日中值定理的关系为：当 $g(x) = x$ 时，柯西中值定理退化为拉格朗日中值定理。它是处理两个函数之间微分中值关系的通用形式。

### **适用条件**

柯西中值定理的核心适用题型是**证明形如 $\displaystyle{\frac{f(b)-f(a)}{g(b)-g(a)} = \frac{f'(\xi)}{g'(\xi)}}$ 的等式成立**，以及处理**涉及两个中值点 $\xi, \eta$ 的问题**。

常见应用方向包括：
1. 直接证明存在性等式；
2. 通过函数配对，将目标等式转化为柯西中值定理的标准形式；
3. 处理“双中值问题”，常与拉格朗日中值定理结合使用。

### **例题**

>[!example] 例1  
设 $f(x)$ 在 $[a, b]$ 上连续，在 $(a, b)$ 内可导，且 $a>0$。证明存在 $\xi \in (a, b)$，使得：
$$f(b)-f(a) = \xi f'(\xi) \cdot \ln(b/a)$$

```text
























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## 多次运用中值定理

多次运用中值定理一般有如下特征：
1. 有多个中值（如$\xi,\eta$两个中值）；
2. 有二阶导出现。
这种题目一般会比较难，而且通常要结合其他方法，比如反证法、构造函数等。

多次用中值定理又分为两种：
1. 在同一区间（或一个区间包含另一个区间）上用不同的中值定理；
2. 在相邻区间上对原函数和导函数用同一个（也可能是不同的）中值定理。

>[!example] 例1
设 $f(x)$ 在 $[a, b]$ 上连续，在 $(a, b)$ 内可导，且 $0 < a < b$，试证存在 $\xi, \eta \in (a, b)$，使得  $$f'(\xi) = \frac{a + b}{2\eta} f'(\eta).$$

```text






















```

>[!example] 例2
设 $f(x)$ 在 $[a, b]$ 上连续，在 $(a, b)$ 内二阶可导，又若 $f(x)$ 的图形与联结 $A(a, f(a))$，$B(b, f(b))$ 两点的弦交于点 $C(c, f(c))$ ($a \leq c \leq b$)，证明在 $(a, b)$ 内至少存在一点 $\xi$，使得 $f''(\xi) = 0$。

```text
























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>[!example] 例3
设 $f(x)$ 在 $[0, 1]$ 上具有二阶导数，且满足
$$f(0) = 0, \, f(1) = 1, \, f\left(\frac{1}{2}\right) > \frac{1}{4}$$证明：  
(1)至少存在一点 $\xi \in (0, 1)$，使得 $f''(\xi) < 2$；  
(2)若对一切 $x \in (0, 1)$，有 $f''(x) \neq 2$，则当 $x \in (0, 1)$ 时，恒有 $f(x) > x^2$。

```text
























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**题后总结：**
	1. 注意观察要证等式的形式，如果需要用到中值定理，就看看应该是哪个中值定理，比如等于某个确定的值一般就是罗尔，有多个函数（有些比较隐蔽，尤其是幂函数）一般是柯西，其他一些奇奇怪怪的情况基本上是拉格朗日
	2. 注意分析和综合相结合的方法，从结论向前推一推，推不动了再从条件往后推一推，这是证明题的很重要的思路
	3. 数形结合可以给我们很大的信心并提供思路，但是也要小心用

## 微分中值定理证明不等式的要点归纳

**识别不等式结构**
   - 若不等式形如 $f(b) - f(a)$ 与 $b-a$ 的关系，或含有函数值差与自变量差之商，可考虑**拉格朗日中值定理**。
   
**选择合适定理与辅助函数**
   - **拉格朗日定理**：常用于"单函数"差值型不等式，构造 $f(x)$ 使 $f'(\xi)$ 出现在不等式中。
   - **柯西定理**：适用于"双函数"比值型不等式，构造 $f(x), g(x)$ 使 $\frac{f'(\xi)}{g'(\xi)}$ 出现。
   - **辅助函数构造**：常借助常见函数如 $\ln x, \text{e}^x, x^n, \arctan x, \sin x, \cos x$ 等，通过求导形式匹配目标。

**法一：利用导数单调性估计中值**
   - 应用中值定理得到含 $\xi$ 的表达式后，可以通过函数极值的求法求出其最大最小值进行比较
**法二：直接对所得结果进行放缩**

最终目标是将多变量问题变成单变量问题，将复杂变量问题变成简单变量问题

>[!example] 例1
设 $\text{e} < a < b < \text{e}^2$，证明：$$
\ln^2 b - \ln^2 a > \frac{4}{\text{e}^2}(b-a).$$

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>[!example] 例2
设 $a > \text{e}$，$0 < x < y < \dfrac{\pi}{2}$，证明：$$
a^y - a^x > (\cos x - \cos y) \cdot a^x \ln a.$$


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>[!example] 例3
证明：当 $x>0$ 时，$$
\frac{\arctan x}{\ln(1+x)} \leq \frac{1+\sqrt{2}}{2}.$$

```text














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>[!example] 例4
(1) 证明：存在 $\displaystyle\theta \in (0, 1)$ 使得 $\ln(1+x) - \ln\left(1+\frac{x}{2}\right) = \dfrac{x}{2+(1+\theta)x}, \, x > 0$;  
(2) 证明不等式 $$\displaystyle\left(1+\frac{1}{n}\right)^{n+1} < \text{e}\left(1+\frac{1}{2n}\right),$$ 其中 $n$ 为正整数。

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## 微分中值定理与积分中值定理结合

经过对近十年的期末测试题的观察，微分中值定理通常不会单独出题，而是与积分中值定理一起出，本模块旨在通过几道经典的题目，让同学们熟悉微分中值与定积分中值的综合运用。
首先我们来回顾定积分中值定理：

>[!note] 定理
>如果函数$f(x)$在闭区间$[a,b]$上连续，则在积分区间$[a,b]$上至少有一点$\xi$，使
>$$\int_{a}^{b}f(x) \mathrm{d} x=f(\xi)(b-a)\qquad(a\le\xi\le b)$$

这类题的识别特征是：
1. 出现积分号
2. 证明存在 $\xi$ 使得……

>[!example] 例题1
>设$f(x)$在$[0,1]$上连续，在$(0,1)$内可导，且$$3\int_{\frac{2}{3}}^1f(x)\mathrm{d}x=f(0).$$证明存在$c\in(0,1)$，使得$f'(c)=0$.

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>[!example] 例题2
>设函数$f(x)$在闭区间$[0,2]$上可导，且$\large{\int}_{0}^{1}f(x)\mathrm{d}x=0$.证明：至少存在一点$\xi\in(0,2)$，使得$f'(\xi)=\frac{2}{2-\xi}f(\xi)$

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>[!example] 例题3
>已知函数$f(x)$在$[0,2]$上可导，且$f(0)=0$，$\displaystyle{\int}_{1}^{2}f(x)\mathrm{d}x=0$.  证明：至少存在$\xi\in(0,2)$，使得$f'(\xi)=2022f(\xi)$

