# 2016—2017学年秋《高等数学》考试试卷（A）卷  
## 参考解答

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## 一、填空题（共5小题，每小题3分，共15分）

1. 设$y = \tan 2x$，则$\mathrm{d}y =$__________。
2. 极限$\lim_{x\to 0}\dfrac{x - \ln(1 + x)}{x\arctan x}$的值为 __________。
3. 函数$f(x) = x\ln (1 - x^2)$的带佩亚诺余项的5阶麦克劳林公式为 __________。
4. 已知$y = \arcsin x$为函数$f(x)$的原函数，则$f'\left(\dfrac{1}{2}\right)$的值为 __________。
5. 定积分$\int_{-1}^{1}\left(\sin x + |x|\right)e^{x^2}\mathrm{d}x$的值为 __________。

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## 二、选择题（共5小题，每小题3分，共15分）

1. 设函数  
$$
   f(x) = \left\{
   \begin{array}{ll}
   x^3\mathrm{e}^{-x}, & x > 0,\\
   x, & x\leq 0,
   \end{array}
   \right.
$$
   则$f(x)$在$x = 0$处（ ）。

   （A）可导  
   （B）连续但不可导  
   （C）左导数存在，但右导数不存在  
   （D）右导数存在，但左导数不存在

2. 若当$x\rightarrow x_0$时，$\alpha (x),\beta (x)$都是无穷小，则当$x\rightarrow x_0$时，下列表示式中不一定是无穷小的是（ ）。

   （A）$\left|\alpha (x)\right| + \left|\beta (x)\right|$
   （B）$\alpha^2 (x) + \beta^2 (x)$
   （C）$\ln \left[1 + \alpha (x)\cdot \beta (x)\right]$
   （D）$\dfrac{\alpha^2(x)}{\beta(x)}$

3. 函数$f(x) = \sqrt[3]{x^2} +2$在$(-∞, +∞)$内的极值点个数以及函数图形的拐点个数分别为（ ）。

   （A）0,1  
   （B）1,1  
   （C）1,0  
   （D）0,0

4. 设函数$f(x)$连续，且  
$$
   f(x) = \ln x - x\int_{1}^{x}\dfrac{f(x)}{x}\mathrm{d}x，
$$
   则$f(x)$的表达式为（ ）。

   （A）$f(x) = \ln x - \dfrac{x}{2\mathrm{e}}$
   （B）$f(x) = \ln x + \dfrac{x}{2\mathrm{e}}$

5. 已知级数$\sum_{n = 1}^{\infty}a_{n}$绝对收敛，$\sum_{n = 1}^{\infty}b_{n}$条件收敛，则下列三个级数  
$$
   \sum_{n = 1}^{\infty}(a_{n} + b_{n}),\quad \sum_{n = 1}^{\infty}a_{n}b_{n},\quad \sum_{n = 1}^{\infty}(a_{n}^{2} + b_{n}^{2})
$$
   中，绝对收敛级数的个数为（ ）。

   （A）0  
   （B）1  
   （C）2  
   （D）3

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## 三、（6分）用$\epsilon - N$语言证明：若$\lim_{n\to \infty}a_{n} = a$，则有$\lim_{n\to \infty}\left|a_{n}\right| = \left|a\right|$。并举例说明其反之不真。

## 四、（6分）求曲线$x^{3} + xy + y^{2} = 1$在点$(1, - 1)$处的曲率。

## 五、（6分）一个等边三角形，其高以$2\mathrm{cm / s}$的速率增加。问：当高为$8\mathrm{cm}$时，该三角形面积的增长率为多少？

## 六、（6分）求曲线  
$$
C: x(t) = \dfrac{\sin t}{1 + \cos t}, \quad y(t) = \dfrac{\cos t}{1 + \cos t}
$$
在$t = \dfrac{\pi}{2}$对应点处的切线方程。

## 七、（6分）计算不定积分  
$$
\int \dfrac{x\cos x}{\sin^{3}x}\mathrm{d}x。
$$

## 八、（8分）求曲线$C: y = \ln \left|1 - e^{2x}\right|$的所有渐近线。

## 九、（8分）设$A(- 1,3)$、$B(3, - 5)$为抛物线$y = 4 - x^{2}$上两点。试在弧$AB$上求一点$P(x,y)$使$\Delta APB$的面积最大。

## 十、（8分）设  
$$
a_{n} = \int_{0}^{1}x(1 - x)^{n}\mathrm{d}x, \quad n = 1,2,\dots。
$$
（1）求级数$\sum_{n = 1}^{\infty}a_{n}$的和；  
（2）设常数$\lambda >0$，试讨论级数$\sum_{n = 1}^{\infty}\lambda^{n}a_{n}$的敛散性。

## 十一、（8分）设函数$f(x)$在$(- \infty , + \infty)$内连续，$\lim_{x\to 0}\dfrac{f(x)}{x} = a$。记  
$$
g(x) = \int_{0}^{1}f(x t)\mathrm{d}t。
$$
（1）求$g^{\prime}(0)$；  
（2）试讨论$g^{\prime}(x)$在$x = 0$处的连续性。

## 十二、（8分）设函数$f(x)$在$[0, + \infty)$上存在二阶导数，$f(0) = 0$，$f^{\prime}(0) > 0$，$f^{\prime \prime}(x)\leq a< 0$，其中$a$为常数。