
## 一、填空题（共6小题，每小题3分，共18分）
1. 设 $A=\begin{bmatrix}1&0&0\\0&\frac{1}{2}&\frac{3}{2}\\0&1&\frac{5}{2}\end{bmatrix}$ ， $A^*$ 为 $A$ 的伴随矩阵，则 $(A^*)^{-1}=$ \_\_\_\_\_\_\_\_。
2. 已知向量 $\boldsymbol{\beta}_1=\begin{bmatrix}1\\a\\5\end{bmatrix}$ 能由向量组 $\boldsymbol{\beta}_2=\begin{bmatrix}1\\-3\\2\end{bmatrix}$ ， $\boldsymbol{\beta}_3=\begin{bmatrix}2\\-1\\1\end{bmatrix}$ 线性表示，则 $a=$ \_\_\_\_\_\_\_\_。
3. 矩阵 $\begin{bmatrix}k&-1&-1\\-1&k&-1\\-1&-1&k\end{bmatrix}$ 与 $\begin{bmatrix}1&2&0\\0&-2&-1\\1&0&-1\end{bmatrix}$ 等价，则 $k=$ \_\_\_\_\_\_\_\_。
4. 设 $A=[\boldsymbol{\gamma}_1\ \boldsymbol{\gamma}_2\ \boldsymbol{\gamma}_3]$ ， $B=[\boldsymbol{\gamma}_4\ 2\boldsymbol{\gamma}_2\ 3\boldsymbol{\gamma}_3]$ 为3阶方阵，且已知 $|A|=2$ ， $|B|=18$ ，则 $|B - A|=$ \_\_\_\_\_\_\_\_。
5. 设 $A$ 为 $n$ 阶方阵，其特征值互不相等，且 $|A|=0$ ，则 $A$ 的秩等于\_\_\_\_\_\_\_\_。
6. 已知二次型 $f(x_1,x_2,x_3)=ax_1^2 - x_2^2 + 2x_3^2 + 2x_1x_2 - 8x_1x_3 + 2x_2x_3$ 可经非退化线性变换 $\boldsymbol{x}=P\boldsymbol{y}$ 化为标准形 $\lambda_1y_1^2 + \lambda_2y_2^2$ ，则 $a=$ \_\_\_\_\_\_\_\_。

## 二、单选题（共6小题，每小题3分，共18分）
1. 设 $A$ 为 $n(n\geq2)$ 阶方阵， $A^*$ 为 $A$ 的伴随矩阵，则 $|A^*\||A|$ 等于（  ）
A.  $|A|^{n^2}$   B.  $|A|^{n^2-n}$   C.  $|A|^{n^2+n}$   D. $|A|^{n^2-n+1}$
2. 设 $A=[\boldsymbol{\alpha}_1\ \boldsymbol{\alpha}_2\ \boldsymbol{\alpha}_3\ \boldsymbol{\alpha}_4]$ 为4阶方阵，其伴随矩阵 $A^*$ 不是零矩阵，若 $(1,0,1,0)^T$ 是方程组 $A\boldsymbol{x}=\boldsymbol{0}$ 的一个解， $\boldsymbol{\eta}$ 是非齐次线性方程组 $A^*\boldsymbol{x}=\boldsymbol{b}$ 的一个解， $k_1,k_2,k_3$ 为任意常数，则 $A^*\boldsymbol{x}=\boldsymbol{b}$ 的通解可为（  ）
A.  $k_1\boldsymbol{\alpha}_1 + k_2\boldsymbol{\alpha}_3$ 
B.  $k_1\boldsymbol{\alpha}_1 + k_2\boldsymbol{\alpha}_2$ 
C.  $k_1\boldsymbol{\alpha}_2 + k_2\boldsymbol{\alpha}_3 + k_3\boldsymbol{\alpha}_4 + \boldsymbol{\eta}$  
D. $k_1\boldsymbol{\alpha}_1 + k_2\boldsymbol{\alpha}_2 + k_3\boldsymbol{\alpha}_3 + \boldsymbol{\eta}$ 
3. 设 $\lambda=3$ 是可逆矩阵 $A$ 的一个特征值，则 $(\frac{1}{4}A^2)^{-1}+E$ 的一个特征值是（  ）
A.  $\frac{4}{9}$   B.  $\frac{13}{9}$   C.  $\frac{13}{4}$   D.  $\frac{7}{3}$ 
4. 设 $A$ 为3阶方阵， $P=[\boldsymbol{\alpha}_1\ \boldsymbol{\alpha}_2\ \boldsymbol{\alpha}_3]$ 为3阶可逆矩阵， $Q=[\boldsymbol{\alpha}_1\ \boldsymbol{\alpha}_1+\boldsymbol{\alpha}_2\ \boldsymbol{\alpha}_3]$ ，已知 $P^TAP=\begin{bmatrix}1&0&0\\0&1&0\\0&0&2\end{bmatrix}$ ，则 $Q^TAQ=$ （  ）
A. （选项缺失）  B. （选项缺失）  C. （选项缺失）  D. （选项缺失）
5. 设 $A=\begin{bmatrix}2&2&0\\2&5&0\\0&0&-3\end{bmatrix}$ ， $B=\begin{bmatrix}-1&0&0\\0&2&0\\0&0&3\end{bmatrix}$ ，则（  ）
A.  $A$ 与 $B$ 相似但不合同  B.  $A$ 与 $B$ 既相似又合同  C.  $A$ 与 $B$ 不相似但合同  D.  $A$ 与 $B$ 既不相似又不合同
6. 设 $\boldsymbol{\alpha}$ 是长度为2的 $n$ 维列向量， $E$ 是 $n$ 阶单位矩阵，则（  ）
A.  $E - \frac{1}{4}\boldsymbol{\alpha}\boldsymbol{\alpha}^T$ 不可逆  B.  $E - \frac{1}{2}\boldsymbol{\alpha}\boldsymbol{\alpha}^T$ 不可逆  C.  $E - 4\boldsymbol{\alpha}\boldsymbol{\alpha}^T$ 不可逆  D.  $E - \boldsymbol{\alpha}\boldsymbol{\alpha}^T$ 不可逆

## 三、（10分）
计算 $n$ 阶行列式 $D_n=\begin{vmatrix}0&1&1&\cdots&1&1\\1&0&x&\cdots&x&x\\1&x&0&\cdots&x&x\\\vdots&\vdots&\vdots&\ddots&\vdots&\vdots\\1&x&x&\cdots&0&x\\1&x&x&\cdots&x&0\end{vmatrix}$ （其中 $n>2$ ）。

## 四、（10分）
设4阶方阵 $A,B,C$ 满足关系式 $B^TC(E - B^{-1}A)^T=E$ ，又已知 $A=\begin{bmatrix}1&0&0&0\\-1&1&0&0\\0&-1&1&0\\0&0&-1&1\end{bmatrix}$ ， $B=\begin{bmatrix}2&0&0&0\\1&2&0&0\\3&1&2&0\\4&3&1&2\end{bmatrix}$ ，求矩阵 $C$ 。

## 五、（10分）
设 $A$ 为3阶方阵， $\lambda_1,\lambda_2,\lambda_3$ 是 $A$ 的3个不同特征值，对应的特征向量分别为 $\boldsymbol{\alpha}_1,\boldsymbol{\alpha}_2,\boldsymbol{\alpha}_3$ 。令 $\boldsymbol{\beta}=\boldsymbol{\alpha}_1 + 2\boldsymbol{\alpha}_2 + 3\boldsymbol{\alpha}_3$ 。
1. 证明 $\boldsymbol{\beta}$ ， $A\boldsymbol{\beta}$ ， $A^2\boldsymbol{\beta}$ 线性无关；
2. 若 $A^3\boldsymbol{\beta}=3A\boldsymbol{\beta}-2A^2\boldsymbol{\beta}$ ，求 $A$ 的特征值。

## 六、（10分）
已知 $n$ 阶方阵 $A$ 满足关系式 $A^2 - 3A - 10E=0$ ，试判断 $A$ 是否能相似对角化，并说明理由。

## 七、（12分）
设齐次线性方程组（Ⅰ）为 $\begin{cases}x_1 + x_2 + x_3 + x_4=0\\2x_1 + 2x_2 + 3x_3 + 7x_4=0\\x_1 + x_2 + 2x_3 + 4x_4=0\\2x_1 + 2x_2 + x_3 - x_4=0\end{cases}$ （注：原文方程组表述不清晰，按常规齐次方程组格式整理），向量 $\boldsymbol{\alpha}_1=\begin{bmatrix}2\\-1\\a + 2\\1\end{bmatrix}$ ， $\boldsymbol{\alpha}_2=\begin{bmatrix}-1\\2\\4\\a + 8\end{bmatrix}$ ，且已知另一齐次线性方程组（Ⅱ）的一个基础解系为（原文基础解系表述缺失，按原文呈现）。
1. 求线性方程组（Ⅰ）的一个基础解系；
2. 当 $a$ 为何值时，线性方程组（Ⅰ）与（Ⅱ）有非零公共解？在有非零公共解时，求出全部非零公共解。

## 八、（12分）
设二次型 $f(x_1,x_2,x_3)=\boldsymbol{x}^TA\boldsymbol{x}$ 在正交变换 $\boldsymbol{x}=Q\boldsymbol{y}$ 下的标准形为 $y_1^2 + y_2^2$ ，且 $Q$ 的第三列为 $\frac{1}{\sqrt{6}}\begin{bmatrix}1\\-2\\1\end{bmatrix}$ 。
1. 求 $A$ ；
2. 证明 $A + E$ 是正定矩阵。