
设 $A$ 是 $n$ 阶方阵，若存在数 $\lambda$ 和非零 $n$ 维列向量 $\xi$，使得 $A\xi = \lambda\xi$，则称 $\lambda$ 为 $A$ 的特征值，$\xi$ 为 $A$ 对应于 $\lambda$ 的特征向量. 
1. 构造特征多项式：$f(\lambda) = |\lambda E - A|$（$E$ 为 $n$ 阶单位矩阵），本质是将 $A\xi = \lambda\xi$ 变形为 $(\lambda E - A)\xi = 0$，由于 $\xi \neq 0$，齐次线性方程组有非零解的充要条件是系数行列式为 0，即 $|\lambda E - A| = 0$. 
2. 求解特征方程：$|\lambda E - A| = 0$，得到的根即为 $A$ 的特征值，此时根的重数为**代数重数**. 
3. 求对应特征向量：对每个特征值 $\lambda_i$，解齐次方程组 $(\lambda_i E - A)x = 0$，其非零解即为对应 $\lambda_i$ 的特征向量，所有非零解构成该特征值的特征子空间；该子空间的维数为**几何重数**. 

特征值，顾名思义，就是体现了这个矩阵的“特征”. 这一点在矩阵的相似表现的尤为明显. 
特征值最基本的性质：
1. 特征值之和等于矩阵的迹（主对角线元素之和），即 $\sum\limits_{i=1}^{n}\lambda_i=\sum\limits_{i=1}^{n}a_{ii}$；
2. 特征值之积等于矩阵的行列式，即$\prod\limits_{i=1}^{n}\lambda_i=|A|$.  
3. 对于有理函数 $f(x)$ ，矩阵 $f(A)$ 的特征值为 $f(\lambda)$ ，对应的特征向量不变. 相应的，如果 $A\sim B$，则 $f(A) \sim f(B)$. 
4. 相似矩阵特征值相等. 

相似矩阵的定义与性质
数域 $K$ 上两个 $n$ 阶矩阵$A,B$ 相似的定义为: 存在数域$K$ 上的可逆矩阵$P$ 使得$B = P^{-1}AP$. 记为
$A \sim B$.
1.  相似是一种等价关系, 即满足反身性, 对称性, 传递性.
2.  $A,B$ 相似, 可以得到 $A,B$ 秩相同, 但是不要求$A,B$ 都可逆, 更不要求$A,B$ 对称. 
3.   对于任意的有理式 $f(x)$， 都有$f(A) \sim f(B)$. 并且, 如果
    $B = P^{-1}AP$, 则$f(B) = P^{-1}f(A)P$. 对于 $A^*$，可视作 $|A|A^{-1}$，是有理式中的一个 $-1$ 次方项目.
4.  $A_1 \sim B_1,\;A_2 \sim B_2$, 不一定有$A_1+A_2 \sim B_1+B_2$. 只有当$P^{-1}A_1P = B_1$ 且$P^{-1}A_2P = B_2$ 时(相同的过渡矩阵$P$), 才有 $P^{-1}(A_1+A_2)P = B_1+B_2$， 即$A_1+A_2 \sim B_1+B_2$, 这是很苛刻的条件. 你将会在**例题4**中看到. 
5.  如果$A_1 \sim A_2$, 且$B_1 \sim B_2$, 则显然有$\begin{pmatrix}A_1 & O \\O & B_1\end{pmatrix}\sim\begin{pmatrix}A_2 & O \\O & B_2\end{pmatrix}.$
    原因是若$P^{-1}A_1P = A_2,\;Q^{-1}B_1Q = B_2$, 则$\begin{pmatrix}P & O \\O & Q\end{pmatrix}^{-1}\begin{pmatrix}A_1 & O \\O & B_1\end{pmatrix}\begin{pmatrix}P & O \\O & Q\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}A_2 & O \\O & B_2\end{pmatrix}.$

在选择题中，我们可以通过一些性质来快速排除可能的相似关系：
>[!info] 判断相似关系的快速步骤
>1. 判断特征值是否相等
>2. 判断行列式是否相等
>3. 根据 $\mathrm{rank}(A-kE)=\mathrm{rank}(B-kE)$ ,带几个好算的 $k$ 进去，看看秩是否相等
>4. 如果特征值和行列式均相等，接着算重数，判断是否可对角化，根据相似的传递性得出结论.

#### 对角化
将一个方阵通过可逆变换变为对角矩阵（$A=P^{-1}\Lambda P$）的过程就是相似对角化，相似对角化最根本的应用就是求方阵的有理式（ $\ f(A)=P^{-1}f(\Lambda)P$ ），这在科学计算中起到了很大的简化作用. 
$A$ 能对角化的充要条件是 $A$ 有 $n$ 个**线性无关的特征向量**，这要求 $A$ 的所有特征值的几何重数和代数重数相等，且 $A$ 的所有特征值的重数和为 $n$ . 
对角化的步骤：
1. 确定特征值 $\lambda_i$，并对每个特征值确定特征向量 $\boldsymbol\xi_i$ （在此时判断能否对角化）；
2. 按照顺序，依次将特征向量与特征值写入变换矩阵和对角矩阵：
$$P=\begin{bmatrix}\boldsymbol\xi_1&\boldsymbol\xi_2&\cdots&\boldsymbol\xi_n\end{bmatrix},
\Lambda=\begin{bmatrix}\lambda_1&&&\\&\lambda_2&&\\&&\ddots&\\&&&\lambda_n\end{bmatrix},A=P^{-1}\Lambda P$$

实对称矩阵是一类特殊的矩阵：实对称矩阵就是天选之子，本身就能相似对角化，因为他有 $n$ 个实特征向量，并且，实对称矩阵还可以正交相似对角化，即相似变化矩阵可以是正交矩阵（这个性质非常重要！）
实对称矩阵正交相似对角化的步骤：
1. 确定特征值 $\lambda_i$，并对每个特征值确定特征向量 $\boldsymbol\xi_i$ （在此时判断能否对角化）；
2. <span style="color:ffaa33;font-weight: bold;">对特征向量作施密特正交化；（不同特征值的特征向量天然正交）</span>
3. 按照顺序，依次将特征向量与特征值写入变换矩阵和对角矩阵. 

若 $A$ 与某个对角矩阵 $B$ 相似，我们可以根据 $B$ 的性质来反推 $A$ 的性质（秩，行列式，特征值），一般地，求抽象矩阵的行列式，需要想到根据特征值的乘积得出. 
## 常见题型
##### 特征值常见的小题就是针对其性质进行设问. 
1. 针对“迹”设问
>[!hint] 提示
>秩为$1$的矩阵$A\in\mathbb{R}^{n\times n}$的特征值有如下特征：
>（1）$0$为其特征值，且代数重数和几何重数均为$n-1$；
>>证明：因为$r(A)=1<n$,所以$|A|=0$，故$0$是$A$的一个特征值. 考虑齐次线性方程组$A\boldsymbol{x}=\boldsymbol{0}$.由于$r(A)=1$，$\mathrm{dim}N(A)=n-1$，所以特征值$0$的几何重数为$n-1$. 若$0$的代数重数为$n$，则 $A\sim O$,而相似必等价，故$r(A)=0$，矛盾. 又代数重数必定不小于几何重数，所以$0$的代数重数为$n-1$. 
>
>（2）它的另一个特征值为 $\mathrm{tr}(A)$. 
>>这个特征可以由“特征值之和等于矩阵的迹”得出. 
>
>秩为 $1$ 的矩阵 $A$ 可以拆成 $A=\boldsymbol\alpha\boldsymbol\beta^\mathrm{T}$，$\boldsymbol\alpha=(a_1,a_2,\cdots,a_n),\boldsymbol\beta=(b_1,b_2,\cdots,b_n)$ 
>此时 $A$ 的迹为 $\displaystyle\prod\limits_{i=1}^na_ib_i=\boldsymbol\beta\boldsymbol\alpha^\mathrm{T}$

>[!example] （[[线代2019秋A|2019]]）例题1
设 $E$ 为 $3$ 阶单位矩阵，$\alpha$ 为一个 $3$ 维单位列向量，则矩阵 $E-\alpha\alpha^\text{T}$ 的全部 $3$ 个特征值为\_\_\_\_\_\_

>[!note] 解析
>设 $B=\alpha\alpha^T$，该矩阵为**秩 $1$ 矩阵**（因 $\alpha$ 是单位列向量，$\alpha^T\alpha=1$）. 
>秩 $1$ 矩阵的特征值性质：非零特征值为矩阵的迹 $\text{tr}(B)=\alpha^T\alpha=1$，其余 $n-1=2$ 个特征值为 $0$（秩 $1$ 矩阵的非零特征值个数等于秩）. 
>若 $B\boldsymbol{x}=\lambda\boldsymbol{x}$（$\boldsymbol{x}$为特征向量），则 $(E-B)\boldsymbol{x}=(1-\lambda)\boldsymbol{x}$，即$E-B$ 的特征值为 $1-\lambda$. 
>代入 $B$ 的特征值 $\lambda=1,0,0$，得 $E-B$ 的特征值为 $1-1=0$，$1-0=1$，$1-0=1$，即 $1,1,0$. （最后这里也包含了接下来会用到的针对“有理函数”设问）

>[!example] 例题2
>已知 $n(n\geq2)$维列向量 $\alpha,\beta$ 满足 $\beta^T\alpha=-3$，则方阵 $(\beta\alpha^T)^2$ 的非零特征值为$\underline{\qquad}$. 

>[!note] 解析
>设 $A=\beta\alpha^T$（秩 1 矩阵），计算 $A^2$：
>$A^2=(\beta\alpha^T)(\beta\alpha^T)=\beta(\alpha^T\beta)\alpha^T=(\alpha^T\beta)A$
>注意：$\alpha^T\beta=(\beta^T\alpha)^T$（矩阵转置性质），而 $\beta^T\alpha=-3$（数，转置等于自身），故 $\alpha^T\beta=-3$，因此 $A^2=-3A$。
>由上面的性质，我们知道$A$的特征值只有可能是$0$或$-3$，又$A$不可能只有$0$一种特征值，故$A$的非零特征值只能为$-3$，从而$A^2$的非零特征值为$9$.

2. 针对“有理函数”设问
>[!example] 例题3
>已知 $4$ 阶矩阵 $A$ 与 $B$ 相似，$A$ 的全部特征值为 $1,2,3,4$，则行列式 $|B^{-1}-E|$ 为\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_

>[!note] 解析
>“对于有理函数 $f(x)$ ，矩阵 $f(A)$ 的特征值为 $f(\lambda)$ ，对应的特征向量不变. ”
>根据这一条性质，我们求得矩阵 $B^{-1}-E$ 的所有特征值，进而求得行列式. 
>$f(x)=\frac{1}{x}-1$，则 $B^{-1}-E$ 的特征值为 $0,-\frac12, -\frac23,-\frac34$，相乘结果为 $0$，故答案为 $0$. 

>[!example] （[[线代2022秋A|2022]]）例题4
已知 $n$ 阶方阵$\boldsymbol{A}$与$\boldsymbol{B}$相似，$\boldsymbol{C}$与$\boldsymbol{D}$相似，则下列命题中正确的是【】
A. $\boldsymbol{A}+\boldsymbol{C}$与$\boldsymbol{B}+\boldsymbol{D}$相似.
B. $\boldsymbol{AC}$与$\boldsymbol{BD}$相似.
C. $\boldsymbol{A}^2+\boldsymbol{E}$与$\boldsymbol{B}^2+\boldsymbol{E}$相似.
D. $\boldsymbol{A}^\text{T}+\boldsymbol{A}$与$\boldsymbol{B}^\text{T}+\boldsymbol{B}$相似.

>[!note] 解析
>C选项是一个典型的 $f(A)\sim f(B)\ ,f(x)=x^2+1$ 结构，如果熟悉性质可以秒选

>[!warning] 注意！
>转置不能作为有理式的一部分！
##### 特征值大题在设问时，往往回归“特征值”的本源，用特征多项式求解特征值，并应用特征值的性质. 

>[!example] （[[线代2023秋A|2023]]）例题5
>设矩阵 $A=\begin{bmatrix}3&1&2\\0&a&0\\2&b&3\end{bmatrix}$ 仅有两个相异特征值，且 $A$ 相似于对角矩阵，求 $a,b$， 并求可逆矩阵 $P$，使得$P^{-1}AP$ 为对角矩阵．

>[!note] 解析
>通过定义，求特征值：$\lambda E-A=\begin{bmatrix}\lambda-3&-1&-2\\0&\lambda-a&0\\-2&-b&\lambda-3\end{bmatrix}$,
> $|\lambda E-A|=0 \Rightarrow (\lambda-a)(\lambda-5)(\lambda-1)=0$
> $A$ 仅有两个相异特征值，说明 $a=5$ 或 $a=1$. 
> 如果 $a=5$：特征值 $5$ 的代数重数为 $2$；因为 $A$ 能相似对角化，所以相应的几何重数也为 $2$. 
> $(5E-A)\boldsymbol x=\boldsymbol 0$，即$\begin{bmatrix}2&-1&-2\\0&0&0\\-2&-b&2\end{bmatrix}\boldsymbol x=\boldsymbol 0$，由 $\text{rank}(5E-A)=1$ 得 $b=-1$；对应的特征向量为$(1,2,0)^\mathrm{T},(1,0,1)^\mathrm{T}$；
> 而 $(E-A)\boldsymbol x=\boldsymbol 0$，即$\begin{bmatrix}-2&-1&-2\\0&4&0\\-2&b&-2\end{bmatrix}\boldsymbol x=\boldsymbol 0$，对应的特征向量是 $(-1,0,1)^\mathrm{T}$；
> 因此，$P=\begin{bmatrix}1&1&-1\\2&0&0\\0&1&1\end{bmatrix}$. 
> 如果 $a=1$：特征值 $1$ 的代数重数为 $2$；因为 $A$ 能相似对角化，所以相应的几何重数也为 $2$. 
> $(E-A)\boldsymbol x=\boldsymbol 0$，即$\begin{bmatrix}-2&-1&-2\\0&0&0\\-2&-b&-2\end{bmatrix}\boldsymbol x=\boldsymbol 0$，由 $\text{rank}(E-A)=1$ 得 $b=1$，对应的特征向量为$(1,-2,0)^\mathrm{T},(1,0,-1)^\mathrm{T}$；
> 而 $(5E-A)\boldsymbol x=\boldsymbol 0$，即$\begin{bmatrix}-2&-1&-2\\0&4&0\\-2&b&-2\end{bmatrix}\boldsymbol x=\boldsymbol 0$，对应的特征向量是 $(1,0,1)^\mathrm{T}$；
> 因此，$P=\begin{bmatrix}1&1&1\\-2&0&0\\0&-1&1\end{bmatrix}$. 

