---
tags:
  - 编写小组
---
**内部资料，禁止传播**
**编委会（不分先后，姓氏首字母顺序）：陈峰华   陈玉阶   程奕铭   韩魏   刘柯妤   卢吉辚   王嘉兴   王轲楠   彭靖翔   郑哲航   钟宇哲   支宝宁**

# 单方程组解的问题

### 线性方程组解的判定

对非齐次线性方程组 $A_{m\times n}x=b$,
1. 无解的充要条件是 $\text{rank}A < \text{rank}[A\ \ b]$；
2. 有唯一解的充要条件是 $\text{rank}A = \text{rank}[A\ \ b] = n$；
3. 有无穷多解的充要条件是 $\text{rank}A = \text{rank}[A\ \ b] < n$。
注:上述定理也说明非齐次线性方程组有解的充要条件是 $\text{rank}A = \text{rank}[A\ \ b]$。

怎么理解：
1. 从线性方程组的角度，如果加上一列 $b$ 后的秩变大了，那么化为最简行阶梯型后下面一定多出来一行 $0=$某个常数 ，则必然无解。
2. 秩等于 $n$ 就是有 $n$ 个无关的方程，则经过消元法后可以解出唯一解。
3. 秩小于 $n$ 就是方程不足 $n$ 个，消元消不完，也能解释为啥秩跟解空间维数的和为 $n$

把以上结论应用到齐次线性方程组，可得
推论 齐次线性方程组 $A_{m\times n}x=0$ 有非零解（无穷多解）的充要条件是 $\text{rank}A < n$，即系数矩阵的秩小于未知数个数。

### 矩阵方程解的判定

本质上和线性方程组是一脉相承的，只是形式上更一般化。
最常见的矩阵方程是 $\boldsymbol{AX} = \boldsymbol{B}$，其中$\boldsymbol{A}$是 $m\times n$ 矩阵，$\boldsymbol{B}$ 是 $m\times p$ 矩阵，$\boldsymbol{X}$ 是待求的$n\times p$矩阵。
1. 有解的充要条件：
矩阵方程有解的充要条件是系数矩阵 $\boldsymbol{A}$ 的秩等于增广矩阵 $[\boldsymbol{A} \ \boldsymbol{B}]$的秩，即：
$$r(\boldsymbol{A}) = r([\boldsymbol{A} \ \boldsymbol{B}])$$
这个结论和非齐次线性方程组有解的条件完全一致。

理解上可以将 $B$ 拆分成一列列 $b$ ，从而化归为上面的线性方程组问题

2. 解的结构：
- 唯一解：当$r(\boldsymbol{A}) = r([\boldsymbol{A} \ \boldsymbol{B}]) = n$ 时，方程有唯一解。
- 无穷多解：当 $r(\boldsymbol{A}) = r([\boldsymbol{A} \ \boldsymbol{B}]) < n$ 时，方程有无穷多解。
 
可逆矩阵
- 当 $\boldsymbol{A}$ 是 n 阶可逆矩阵时，矩阵方程 $\boldsymbol{AX} = \boldsymbol{B}$有唯一解:$\boldsymbol{X} = \boldsymbol{A}^{-1}\boldsymbol{B}$

其他形式的矩阵方程
- 对于 $\boldsymbol{XA} = \boldsymbol{B}$ 形式的方程，可以转置为 $\boldsymbol{A}^T\boldsymbol{X}^T = \boldsymbol{B}^T$，再套用上述方法，或类似于方程 $AX = B$ 有解的充要条件是$\text{rank} \begin{bmatrix} A & B \end{bmatrix} = \text{rank}A$，由方程 $XA = B$ 有解可知 $\text{rank} \begin{bmatrix} A \\ B \end{bmatrix} =\text{rank}A$
- 对于 $\boldsymbol{AXB} = \boldsymbol{C}$ 形式的方程，当 $\boldsymbol{A} 和 \boldsymbol{B}$ 都可逆时，有唯一解 $\boldsymbol{X} = \boldsymbol{A}^{-1}\boldsymbol{C}\boldsymbol{B}^{-1}$。

>[!example] **例1**
>设矩阵
>$$A = \begin{bmatrix}
1 & a_1 & a_1^2 & a_1^3 \\
1 & a_2 & a_2^2 & a_2^3 \\
1 & a_3 & a_3^2 & a_3^3 \\
1 & a_4 & a_4^2 & a_4^3
\end{bmatrix},
\quad
x = \begin{bmatrix}
x_1 \\ x_2 \\ x_3 \\ x_4
\end{bmatrix},
\quad
b = \begin{bmatrix}
1 \\ 1 \\ 1 \\ 1
\end{bmatrix}$$
其中常数 $a_1, a_2, a_3, a_4$ 互不相等，则线性方程组 $Ax = b$ 的解为 ______________。

```text





















```

>[!example] **例2**
> 设 $A, B$ 均为 $n$ 阶方阵，满足$\text{rank} \begin{bmatrix} A \\ B \end{bmatrix} = \text{rank}B,$ 且方程 $XA = B$ 有解。若 $\operatorname{rank} A = k$，则$\text{rank} \begin{bmatrix} B & O \\ A & E \end{bmatrix} =\underline{\hspace{3cm}}.$

# 多方程组的问题（线性方程组同解）

## **$Ax=0$与$Bx=0$同解问题**：

充要条件：$rankA=rankB=rank\begin{bmatrix} A \\ B\end{bmatrix}$.
$Ax=\alpha$ 与$Bx=\beta$同解问题：
充要条件：$rank\begin{bmatrix} A & \alpha\end{bmatrix}=rank\begin{bmatrix} B &\beta\end{bmatrix}=rank\begin{bmatrix} A &\alpha\\ B&\beta\end{bmatrix}$.

解包含的关系：$rank\begin{bmatrix} A & \alpha\end{bmatrix}=rank\begin{bmatrix} A &\alpha\\ B&\beta\end{bmatrix} \Leftrightarrow A\boldsymbol{x} = \alpha$ 的解均为 $B\boldsymbol{x} = \beta$ 的解

如何理解（非严格证明，目的是便于理解）：
首先，为了简化问题，我们只考虑齐次线性方程组同解问题，对于$Ax=0$与$Bx=0$，
考虑这两个齐次线性方程组的解空间，分别记为$N(A)$,$N(B)$,这两个集合是完全相同的，
可以得到$N(A)\subset N(B)$,以及$N(B)\subset N(A)$.
$N(A)\subset N(B)$可以得到什么呢？

说明$Ax=0$的解比较少，$Bx=0$的解比较多，一个方程组解多就说明他的方程限制相对宽松，解少则说明方程要求比较严格。换言之，$Bx=0$的每个方程是由$Ax=0$的方程线性表示的,同理$N(B)\subset N(A)$ 可以得到 $Ax=0$ 的每个方程是由 $Bx=0$ 的方程线性表示的，进而说明这两个系数矩阵的行向量能够互相线性表示，即行向量组等价.用秩的语言表示：$rankA=rankB=rank\begin{bmatrix} A \\ B\end{bmatrix}$.

另一个角度：这两个矩阵化成最简行阶梯型，是相同的，进行化简的时候只用到行变换，故它们的行向量组等价.

需要注意的是,这个条件是充要的.非常的好用.
非齐次的时候同理.

注意：由此，我们还能得到一些别的结论
例如：$A$ 和 $B$ 等价（可以通过初等变换得到），并不能得到两方程同解，因为等价的初等变换可能包括初等列变换，而列变换可能改变两方程的解

>[!example] 例1
>6. 已知方程组$\quad\begin{cases}x_1 + 2x_2 + 3x_3 = 0, \\2x_1 + 3x_2 + 5x_3 = 0, \\x_1 + x_2 + ax_3 = 0,\end{cases}$   与$\quad\begin{cases}x_1 + bx_2 + cx_3 = 0, \\2x_1 + b^2x_2 + (c+1)x_3 = 0\end{cases}$同解，则
   (A) $a = 1, b = 0, c = 1$;  
   (B) $a = 1, b = 1, c = 2$;  
   (C) $a = 2, b = 0, c = 1$;  
   (D) $a = 2, b = 1, c = 2$.

# 线性方程组的系数矩阵与解关系

在研究线性方程组的解的性质（例如维数）时，我们通常要与其系数矩阵本身的性质产生联系，下面是一个链接了方程组解空间与方程组系数秩的公式。

>[!note] 秩零化度定理：
>对于齐次方程组 $\boldsymbol{A}_{m \times n}\boldsymbol{x}=\boldsymbol{0}$，设$\mathrm{rank}\boldsymbol{A}=r$，则
> $$\dim N(\boldsymbol{A})=n-r$$

> [!example] 例1 
> 已知三阶方阵 $A=\begin{bmatrix}\alpha_1&\alpha_2&\alpha_3\end{bmatrix}$ 有三个不同的特征值，其中$\alpha_3=2\alpha_1+\alpha_2$，若 $\beta=\alpha_1+3\alpha_2+4\alpha_3$ ，求线性方程组 $Ax=\beta$ 的通解.

```text





















```

> [!example] 例2
> 设 $$
A = \begin{bmatrix} 
1 & -1 & 0 & -1 \\ 
1 & 1 & 0 & 3 \\ 
2 & 1 & 2 & 6 
\end{bmatrix}, \quad 
B = \begin{bmatrix} 
1 & 0 & 1 & 2 \\ 
1 & -1 & a & a-1 \\ 
2 & -3 & 2 & -2 
\end{bmatrix},$$
向量 $$
\alpha = \begin{bmatrix} 0 \\ 2 \\ 3 \end{bmatrix}, \quad 
\beta = \begin{bmatrix} 1 \\ 0 \\ -1 \end{bmatrix}.$$
(1) 证明：方程组 $Ax = \alpha$ 的解均为方程组 $Bx = \beta$ 的解；
(2) 若方程组 $Ax = \alpha$ 与方程组 $Bx = \beta$ 不同解，求 $a$ 的值。

```text





















```

# 通过秩反过来得方程是否有解

>[!example] 例1
>已知$\boldsymbol{A},\boldsymbol{B}$均为$m\times n$矩阵，$\beta_1,\beta_2$为$m$维列向量，则下列选项正确的有[   ]
(A)若$\mathrm{rank}\boldsymbol{A}=m$，则对于任意$m$维列向量$\boldsymbol{b},\boldsymbol{A}\boldsymbol{x}=\boldsymbol{b}$总有解.
(B)若$\boldsymbol{A}$与$\boldsymbol{B}$等价，则齐次线性方程组$\boldsymbol{A}\boldsymbol{x}=\boldsymbol{0}$与$\boldsymbol{B}\boldsymbol{x}=\boldsymbol{0}$同解.
(C)矩阵方程$\boldsymbol{A}\boldsymbol{X}=\boldsymbol{B}$有解，但$\boldsymbol{B}\boldsymbol{Y}=\boldsymbol{A}$无解的充要条件是$$\mathrm{rank}\boldsymbol{B}<\mathrm{rank}\boldsymbol{A}=\mathrm{rank}[\boldsymbol{A\ B}].$$
(D)线性方程组$\boldsymbol{A}\boldsymbol{x}=\boldsymbol{\beta_1}$与$\boldsymbol{A}\boldsymbol{x}=\boldsymbol{\beta_2}$同时有解当且仅当$$\mathrm{rank}\boldsymbol{A}=\mathrm{rank}[\boldsymbol{A\ \beta_1\ \beta_2}].$$

**解：**
(A)一方面$\mathrm{rank}[\boldsymbol{A\ b}]\ge \mathrm{rank}\boldsymbol{A}=m$,另一方面矩阵$[\boldsymbol{A\ b}]$只有$m$行，所以它的秩必然不大于$m$，所以$\mathrm{rank}[\boldsymbol{A\ b}]=m=\mathrm{rank}\boldsymbol{A}$，即方程$\boldsymbol{A}\boldsymbol{x}=\boldsymbol{b}$总有解。

(B)等价的矩阵只需要是经过初等变换可以变成同一个矩阵就行了，但齐次线性方程组同解需要只经过初等行变换就能变成同一个矩阵才行，后一个条件明显更强，所以后一种更“难”达成，B就不对。

(C)方程$\boldsymbol{A}\boldsymbol{X}=\boldsymbol{B}$有解$\Leftrightarrow\mathrm{rank}[\boldsymbol{A\ B}]=\mathrm{rank}\boldsymbol{A}$,方程$\boldsymbol{B}\boldsymbol{Y}=\boldsymbol{A}$无解$\Leftrightarrow\mathrm{rank}\boldsymbol{B}<\mathrm{rank}[\boldsymbol{B\ A}]$,而$\mathrm{rank}[\boldsymbol{A\ B}]=\mathrm{rank}[\boldsymbol{B\ A}]$,故C正确。这是纯形式化的解答，不过当然是正确的。但是怎么理解这个结果呢？$\boldsymbol{A}\boldsymbol{X}=\boldsymbol{B}$有解，就是说我们可以用矩阵$\boldsymbol{A}$表示矩阵$\boldsymbol{B}$,也就是说，$\boldsymbol{A}$中包含了$\boldsymbol{B}$中的所有信息，也就是$\mathrm{rank}\boldsymbol{A}\ge\mathrm{rank}\boldsymbol{B}$；另一方面，$\boldsymbol{BY}=\boldsymbol{A}$无解说明我们无法用矩阵$\boldsymbol{B}$表示矩阵$\boldsymbol{A}$，也就是说，$\boldsymbol{B}$中没有包含$\boldsymbol{A}$中的所有信息，那么$\mathrm{rank}\boldsymbol{B}<\mathrm{rank}\boldsymbol{A}$；再加上有解的充要条件得出C正确。

(D)我们同样有两种方法去解这道题，一种是形式化的、严谨的，另一种是理解性的、直观的。
1)线性方程组$\boldsymbol{A}\boldsymbol{x}=\boldsymbol{\beta_1}$与$\boldsymbol{A}\boldsymbol{x}=\boldsymbol{\beta_2}$同时有解$\Leftrightarrow\mathrm{rank}\boldsymbol{A}=\mathrm{rank}[\boldsymbol{A\ \beta_1}]=\mathrm{rank}[\boldsymbol{A\ \beta_2}]$,故$\mathrm{rank}\boldsymbol{A}=\mathrm{rank}[\boldsymbol{A\ \beta_1\ \beta_2}]$。
2)也可以从初等变换的角度来理解，方程$\boldsymbol{A}\boldsymbol{x}=\boldsymbol{\beta_1}$有解说明$\boldsymbol{\beta_1}$可以用$\boldsymbol{A}$的列向量线性表示，从而$[\boldsymbol{A\ \beta_1}]$可以通过初等列变换变成$[\boldsymbol{A\ O}]$，故$\mathrm{rank}\boldsymbol{A}=\mathrm{rank}[\boldsymbol{A\ \beta_1}]$；同理可以得出关于$\boldsymbol{\beta_2}$的结论。
3)同样，怎么直观地理解？我们一样用信息量的观点去看。方程$\boldsymbol{A}\boldsymbol{x}=\boldsymbol{\beta_1}$有解，意味着$\boldsymbol{A}$中包含了$\boldsymbol{\beta_1}$中的所有信息，同理，$\boldsymbol{A}$中也包含了$\boldsymbol{\beta_2}$中的所有信息，这就意味着矩阵$[\boldsymbol{A\ \beta_1\ \beta_2}]$中所有的信息其实只需要用$\boldsymbol{A}$就可以表示，故$\mathrm{rank}\boldsymbol{A}=\mathrm{rank}[\boldsymbol{A\ \beta_1\ \beta_2}]$,反过来也是一样的。这就说明D是正确的。

# 矩阵秩与线性方程组解的关系图解说明

---

## 概念回顾

- **rank[A]** 代表矩阵$A$的秩。
- 秩的定义：矩阵列向量组中**极大线性无关组所含列向量的个数**。
- 可以用“圆”或“空间”来表示矩阵列向量组张成的向量空间。

---

## 图解说明

假设  
$$
A = [\alpha_1, \alpha_2, \alpha_3]
$$ 
是$m \times 3$矩阵，  
$$
\beta_1, \beta_2
$$ 
是$m$维列向量。

### 1. 方程组有解的条件

方程组  
$$
Ax = \beta_1 \quad \text{和} \quad Ax = \beta_2
$$ 
有解  
$\Leftrightarrow$$\beta_1, \beta_2$可由$A$的列向量线性表示。

在几何上，这表示：

- 设$A$的列向量张成的空间为$S_A$。
-$\beta_1, \beta_2 \in S_A$。
- 即$S_A$“包含”$\beta_1, \beta_2$。

因此，$S_A$这个“圆”应当能够**覆盖**$\beta_1$和$\beta_2$。

---

### 2. 秩等价条件

已知：
$$
\operatorname{rank}[A] = \operatorname{rank}[A \quad \beta_1 \quad \beta_2]
$$
表示：
- 矩阵$A$的秩与增广矩阵$[A \mid \beta_1 \mid \beta_2]$的秩相等。
- 这意味着$\beta_1, \beta_2$并没有“扩大”$A$的列空间。

因此：
$$
\operatorname{rank}[A] = \operatorname{rank}[A \quad \beta_1 \quad \beta_2] 
\quad\Leftrightarrow\quad 
\beta_1, \beta_2 \in S_A
$$
即$Ax = \beta_1$和$Ax = \beta_2$有解。

---

### 3. 等价写法

把$\beta_1, \beta_2$放在$A$的右侧构成一个更大的矩阵：
$$
[A \quad \beta_1 \quad \beta_2]
$$
其秩与$A$相同，说明：
1. 空间$S_{[A \ \beta_1 \ \beta_2]}$与$S_A$相同。
2. 从初等行变换角度看：在行阶梯形中，$\beta_1, \beta_2$对应的列会被$A$的列线性表示，从而可化为零列（在解方程时体现为消去）。
3. 存在$x_1, x_2$使得：
 $$
   A(-x_1) = \beta_1, \quad A(-x_2) = \beta_2
 $$
   这样在增广矩阵中可以通过列操作消去$\beta_1, \beta_2$，使其变为零列。

---

## 总结

- 秩相等 ⇔ 列空间相同 ⇔ 方程组有解。
- 图示法：把$A$的列空间画成一个圆，$\beta_1, \beta_2$若落在圆内，则方程有解。
- 矩阵的秩是判断线性方程组解的存在性的核心工具。

---

**注**：这里的“圆”是比喻，实际为**线性子空间**。

# 秩的不等式

### 1. 和的秩不超过秩的和

设 $A, B$ 为同型矩阵，则  
$$ \operatorname{rank}(A+B) \leq \operatorname{rank} A + \operatorname{rank} B $$

### 2. 积的秩不超过任何因子的秩

设 $A_{m \times n}, B_{n \times k}$，则  
$$ \operatorname{rank}(AB) \leq \min\{\operatorname{rank} A, \operatorname{rank} B\} $$

### 3. Sylvester(西尔维斯特)不等式

设 $A_{m \times n}, B_{n \times k}$，则  
$$ \operatorname{rank}(AB) \geq \operatorname{rank} A + \operatorname{rank} B - n $$ 
特别地，当 $AB = 0$ 时，有 $\operatorname{rank} A + \operatorname{rank} B \leq n$。 

### 4. 分块式

设 $A_{n \times n}$， $B_{n \times n}$，则

$$(1)\ \mathrm{rank}  

\begin{bmatrix}
A \\
B
\end{bmatrix} \geq \text{rank } A, \quad \text{rank } 
\begin{bmatrix}
A \\
B
\end{bmatrix} \geq \text{rank } B
$$

$$(2)\ \mathrm{rank}  
\begin{bmatrix}
A & 0 \\
0 & B
\end{bmatrix} = \text{rank } A + \text{rank } B
$$

$$(3)\ \mathrm{rank}  
\begin{bmatrix}
A & E_n \\
0 & B
\end{bmatrix} \geq \text{rank } A + \text{rank } B
$$

$$(4)\ \mathrm{rank}  
\begin{bmatrix}
A & 0 \\
0 & B
\end{bmatrix} = \text{rank } 
\begin{bmatrix}
A & B \\
0 & B
\end{bmatrix} = \text{rank } 
\begin{bmatrix}
A + B & B \\
B & B
\end{bmatrix} \geq \text{rank } (A + B)
$$

注：（2）与（4）结合即第一个不等式的证明方法

> [!note] 证明1：  
$$\operatorname{rank}(AB) \leq \min\{\operatorname{rank}(A), \operatorname{rank}(B)\}$$

---

### 证明思路  
设  
$$
A \in \mathbb{R}^{m \times n}, \quad B \in \mathbb{R}^{n \times p}, \quad C = AB \in \mathbb{R}^{m \times p}.
$$

---

#### 1. 先证$\operatorname{rank}(AB) \leq \operatorname{rank}(A)$

- 考虑$C$的列向量：  
  设$B = [b_1, b_2, \dots, b_p]$，则  
 $$
  C = [A b_1, A b_2, \dots, A b_p].
 $$
  因此$C$的每一列都是$A$的列向量的线性组合。  
- 所以$C$的列空间是$A$的列空间的子空间，故  
 $$
  \operatorname{rank}(C) \leq \operatorname{rank}(A)。
 $$

---

#### 2. 再证$\operatorname{rank}(AB) \leq \operatorname{rank}(B)$

- 考虑$C$的行向量：  
  设$A = \begin{bmatrix} a_1 \\ a_2 \\ \vdots \\ a_m \end{bmatrix}$，则  
 $$
  C = \begin{bmatrix} a_1 B \\ a_2 B \\ \vdots \\ a_m B \end{bmatrix}.
 $$
  因此$C$的每一行都是$B$的行向量的线性组合。  
- 所以$C$的行空间是$B$的行空间的子空间，故  
 $$\operatorname{rank}(C) \leq \operatorname{rank}(B)$$

---

#### 3. 综合  
由 1 和 2 得  
$$
\operatorname{rank}(AB) \leq \operatorname{rank}(A) \quad \text{且} \quad \operatorname{rank}(AB) \leq \operatorname{rank}(B),
$$
即  
$$
\operatorname{rank}(AB) \leq \min\{\operatorname{rank}(A), \operatorname{rank}(B)\}.
$$

---

**证毕。**

> [!note] 证明2 
> 证明 Sylvester 秩不等式：
$$\operatorname{rank}(AB) \ge \operatorname{rank}(A) + \operatorname{rank}(B) - n$$
其中  
$A \in \mathbb{R}^{m \times n}, \; B \in \mathbb{R}^{n \times p}, \; AB \in \mathbb{R}^{m \times p}$。

---

### 证明思路
设：
-$\operatorname{rank}(A) = r$
-$\operatorname{rank}(B) = s$
-$n$是矩阵乘法的中间维度，即$A$的列数、$B$的行数。

---

#### 1. 利用分块矩阵构造
构造如下分块矩阵：
$$
M = \begin{bmatrix}
A & O \\
I_n & B
\end{bmatrix}
\in \mathbb{R}^{(m+n) \times (n+p)}
$$
其中$I_n$是$n \times n$单位矩阵，$O$是零矩阵。

---

#### 2. 对$M$进行初等变换
从$M$的第二块行减去第一块行左乘某个矩阵（这里相当于对$M$做列初等变换），实际上我们可以对$M$做以下变换：
$$
\begin{bmatrix}
A & O \\
I_n & B
\end{bmatrix}
\xrightarrow{\text{右乘 } \begin{bmatrix} I_n & -B \\ O & I_p \end{bmatrix}}
\begin{bmatrix}
A & -AB \\
I_n & O
\end{bmatrix}
$$
初等变换不改变矩阵的秩，所以：
$$
\operatorname{rank}(M) = \operatorname{rank}\begin{bmatrix}
A & -AB \\
I_n & O
\end{bmatrix}
$$

---

#### 3. 估计$\operatorname{rank}(M)$
另一方面，由分块矩阵的秩不等式：
$$
\operatorname{rank}(M) \ge \operatorname{rank}(A) + \operatorname{rank}(B)
$$
这是因为$M$左上块为$A$，右下块为$B$，中间有单位矩阵，所以$A$和$B$的秩可以同时取到。

利用：
$$
\operatorname{rank}\begin{bmatrix}
A & O \\
I_n & B
\end{bmatrix} \ge \operatorname{rank}(A) + \operatorname{rank}(B)
$$
因为$I_n$的存在使得两个子块的秩可以同时保持。

---

#### 4. 从变换后的矩阵得到下界

实际上更直接的方法是注意到：
$$
\operatorname{rank}\begin{bmatrix}
A & -AB \\
I_n & O
\end{bmatrix}
= \operatorname{rank}\begin{bmatrix}
O & -AB \\
I_n & O
\end{bmatrix} \quad (\text{行变换})
$$
即：
$$
= \operatorname{rank}\begin{bmatrix}
I_n & O \\
O & AB
\end{bmatrix} = \operatorname{rank}(I_n) + \operatorname{rank}(AB) = n + \operatorname{rank}(AB)
$$

---

#### 5. 联立
由初等变换保秩，得：
$$
n + \operatorname{rank}(AB) = \operatorname{rank}(M) \ge \operatorname{rank}(A) + \operatorname{rank}(B)
$$
整理得：
$$
\operatorname{rank}(AB) \ge \operatorname{rank}(A) + \operatorname{rank}(B) - n
$$

---

## 重点思路

>[!information] 思路1
>通过矩阵的秩的不等式，最大限度限制所求的表达式的取值范围，或者将其**限制到一个具体的值**.
>在希望求一个矩阵的秩的确切值时，也可以考虑用不等式关系来“夹逼”，常见的不等式：
>1. $\mathrm{rank}\boldsymbol{A}+\mathrm{rank}\boldsymbol{B}-n\le\mathrm{rank}(\boldsymbol{AB})\le\min{\{\mathrm{rank}\boldsymbol{A}, \mathrm{rank}\boldsymbol{B}\}}$
>2. $\mathrm{rank}(\boldsymbol{A+B})<\mathrm{rank}\boldsymbol A+\mathrm{rank}\boldsymbol B$
>3. 矩阵加边不会减小秩；
>

> [!note] 思路2
> 在遇到诸如 $AB=O$ 的情况，务必要想到$\mathrm{rank}\boldsymbol{A}+\mathrm{rank}\boldsymbol{B}-n\le\mathrm{rank}(\boldsymbol{AB}) \Rightarrow \mathrm{rank}\boldsymbol{A}+\mathrm{rank}\boldsymbol{B}\le n$

> [!example] 例1
> 设 $A$ 是 $m\times n$ 实矩阵， $\beta \neq 0$ 是 $m$ 维实列向量，证明：
> (1) $\mathrm{rank}A=\mathrm{rank}(A^\mathrm{T}A)$ .
> (2) 线性方程组 $A^\mathrm{T}Ax = A^\mathrm{T}\beta$ 有解.（这一问用到这个方法）

```text





















```

>[!example] 例2 
>已知$A, B, C, D$都是 4 阶非零矩阵，且$ABCD = O$，如果$|BC| \neq 0$，记$$r(A) + r(B) + r(C) + r(D) = r$$ 
>则$r$的最大值是（ ）。
>(A) 11  
>(B) 12  
>(C) 13  
>(D) 14  

```text





















```
