## **正交矩阵**
**定理**
设$\boldsymbol{A}$为n阶实方阵，则$\boldsymbol{A}^\top\boldsymbol{A}=\boldsymbol{E}$的充要条件是$\boldsymbol{A}$的列（行）向量组为标准正交向量组.
定义
若$\boldsymbol{A}$为n阶实矩阵，满足$\boldsymbol{A}^\top\boldsymbol{A}=\boldsymbol{E}$，则称$\boldsymbol{A}$为正交矩阵.
**性质 1**
设$\boldsymbol{\varepsilon}_1,\boldsymbol{\varepsilon}_2,\dots,\boldsymbol{\varepsilon}_n为\mathbb{R}^n的标准正交基，若记A_{n\times n}=[\boldsymbol{\varepsilon}_1\ \boldsymbol{\varepsilon}_2\ \dots\ \boldsymbol{\varepsilon}_n]$，则$\boldsymbol{A}^\top\boldsymbol{A}=\boldsymbol{E}$.
**性质 2**
若 A 为正交矩阵，则 |A|=1 或 |A|=-1。
**性质 3** 
若 A 为正交矩阵，则 $A^\top,\;A^{-1},\;A^*$ 也是正交矩阵。
**性质 4**
若 A,B 为 n 阶正交矩阵，则 AB 也是正交矩阵。
**性质 5**
若 A 为 n 阶正交矩阵，则对任意的 $x\in\mathbb{R}^n$，有 $\|Ax\|=\|x\|$。 可利用向量长度的定义进行分析：$\|Ax\|^2=\langle Ax,Ax\rangle=x^\top A^\top A x=x^\top x=\|x\|^2$.

这一性质提供了一个重要的线索：利用正交矩阵通过矩阵乘法对向量施行变换，所得向量与原向量的长度相同，同理可得向量的夹角也不变。因此在几何空间中进行几何变换，当变换矩阵为正交矩阵时可以保持图形的形状不变。

### **例子**
>[!example] **例1**
>设 $\boldsymbol{\alpha}$ 为 n 维实列向量，且 $\|\boldsymbol{\alpha}\| = k$，令 $H = E - l\boldsymbol{\alpha}\boldsymbol{\alpha}^T$，其中 $k,l \in \mathbb{R}$。试讨论 $k,l$ 满足什么条件时 H 为正交矩阵。


**解析**
解题思路
正交矩阵的定义是：若矩阵 H 满足 $H^T H = E$（其中 E 为单位矩阵），则 H 为正交矩阵。我们从这个定义出发推导条件。
步骤1：写出 $H^T$
已知 $H = E - l\alpha\alpha^T$，转置得
$$H^T = (E - l\alpha\alpha^T)^T = E^T - l(\alpha\alpha^T)^T = E - l\alpha\alpha^T$$

（因为 $E^T=E$，且 $(\alpha\alpha^T)^T = \alpha\alpha^T$）
步骤2：计算 $H^T H$
$$\begin{align*}
H^T H &= (E - l\alpha\alpha^T)(E - l\alpha\alpha^T) \\
&= E \cdot E - E \cdot l\alpha\alpha^T - l\alpha\alpha^T \cdot E + l^2\alpha\alpha^T \cdot \alpha\alpha^T \\
&= E - 2l\alpha\alpha^T + l^2\alpha(\alpha^T\alpha)\alpha^T
\end{align*}$$
步骤3：代入$\alpha^T\alpha = \|\alpha\|^2 = k^2$
$$H^T H = E - 2l\alpha\alpha^T + l^2 k^2 \alpha\alpha^T$$

合并同类项：
$$H^T H = E + \left(-2l + l^2 k^2\right)\alpha\alpha^T$$
步骤4：令 $H^T H = E$
要使上式等于单位矩阵 E，必须满足：
$$\left(-2l + l^2 k^2\right)\alpha\alpha^T = O$$

（O 为零矩阵）
若  $\alpha \neq 0（即 k \neq 0）$，则$\alpha\alpha^T \neq O$，因此系数必须为0：
$$-2l + l^2 k^2 = 0 \implies l(l k^2 - 2) = 0$$

解得$l = 0$ 或 $l = \dfrac{2}{k^2}$。
若 $\alpha = 0（即 k = 0$），则 H = E，显然 E 是正交矩阵，此时对任意$l \in \mathbb{R}$ 均成立。
最终结论
$$\boxed{
\begin{aligned}
&1.\ \text{当}\ k = 0\ \text{时，对任意实数}\ l,\ H\ \text{为正交矩阵；} \\
&2.\ \text{当}\ k \neq 0\ \text{时，}l = 0\ \text{或}\ l = \dfrac{2}{k^2}\ \text{时，}H\ \text{为正交矩阵。}
\end{aligned}
}
$$



>[!example] **例2**
>已知 A = $[a_{ij}]_{n \times n} 为 n\,(n \ge 2)$ 阶正交矩阵，证明：$A_{ij} = \pm a_{ij}\;(i,j=1,2,\dots,n)$，其中 $A_{ij}$ 为行列式 $|A|$  中 $a_{ij}$ 的代数余子式。


**解析**
证明​
设 A为 n阶正交矩阵（n≥2），则
$$\boldsymbol{A}^T\boldsymbol{A}=\boldsymbol{E}$$
又由伴随矩阵与逆矩阵的关系：
$$\boldsymbol A^{-1} = \frac{1}{|A|}\boldsymbol{A}^*$$ 
联立得
$$\boldsymbol{A}^T= \frac{1}{|A|}\boldsymbol A^*$$
正交矩阵的行列式满足 $\frac{1}{|A|} =±1$，故
$A^*={|A|}A^T=±A^T$ 
由伴随矩阵的定义，其第 (j,i)元为 $a_{ij}$​的代数余子式 $A_{ij}$​，而 $±A^T$的第 (j,i)元为 $±a_{ij}$​。比较对应元素得
$$A_{ij}​=±a_{ij}​,i,j=1,2,…,n.$$
证毕




## 施密特正交化法
### **定理**
设$\boldsymbol{\alpha}_1,\boldsymbol{\alpha}_2,\dots,\boldsymbol{\alpha}_p$ 是向量空间 V 中的线性无关向量组，则
如下方法所得向量组$\boldsymbol{\varepsilon}_1,\boldsymbol{\varepsilon}_2,\dots,\boldsymbol{\varepsilon}_p$
施密特正交化与单位化公式
正交化过程
$$\begin{align*}
\boldsymbol{u}_1 &= \boldsymbol{\alpha}_1, \\
\boldsymbol{u}_k &= \boldsymbol{\alpha}_k - \sum_{i=1}^{k-1}\frac{\langle\boldsymbol{\alpha}_k,\boldsymbol{u}_i\rangle}{\langle\boldsymbol{u}_i,\boldsymbol{u}_i\rangle}\boldsymbol{u}_i,\quad k=2,3,\dots,p.
\end{align*}$$
单位化过程
$$\boldsymbol{\varepsilon}_k = \frac{\boldsymbol{u}_k}{\|\boldsymbol{u}_k\|},\quad 
k=1,2,3,\dots,p$$

### **例子**
>[!example] **例1**
已知 $\boldsymbol{\alpha}_1,\boldsymbol{\alpha}_2,\dots,\boldsymbol{\alpha}_5$ 为欧氏空间 V 的一组标准正交基，令$$\boldsymbol{\beta}_1 = \boldsymbol{\alpha}_1+\boldsymbol{\alpha}_3,\quad
\boldsymbol{\beta}_2 = \boldsymbol{\alpha}_1-\boldsymbol{\alpha}_2+\boldsymbol{\alpha}_4,\quad
\boldsymbol{\beta}_3 = 2\boldsymbol{\alpha}_1+\boldsymbol{\alpha}_2+\boldsymbol{\alpha}_3,$$
$U = \text{span}\{\boldsymbol{\beta}_1,\boldsymbol{\beta}_2,\boldsymbol{\beta}_3\}$求 U 的一个标准正交基。

**解析**：
 施密特正交化
步骤1：正交化
取$$ \boldsymbol{\gamma}_1=\boldsymbol{\beta}_1=\boldsymbol{\alpha}_1+\boldsymbol{\alpha}_3,\ \ 
\boldsymbol{\gamma}_2=\boldsymbol{\beta}_2-\dfrac{\langle\boldsymbol{\beta}_2,\boldsymbol{\gamma}_1\rangle}{\langle\boldsymbol{\gamma}_1,\boldsymbol{\gamma}_1\rangle}\boldsymbol{\gamma}_1$$$$\langle\boldsymbol{\beta}_2,\boldsymbol{\gamma}_1\rangle=1,\quad
\langle\boldsymbol{\gamma}_1,\boldsymbol{\gamma}_1\rangle=2$$
$$\boldsymbol{\gamma}_2=\frac{1}{2}\boldsymbol{\alpha}_1-\boldsymbol{\alpha}_2-\frac{1}{2}\boldsymbol{\alpha}_3+\boldsymbol{\alpha}_4$$
$$\boldsymbol{\gamma}_3=\boldsymbol{\beta}_3-\dfrac{\langle\boldsymbol{\beta}_3,\boldsymbol{\gamma}_1\rangle}{\langle\boldsymbol{\gamma}_1,\boldsymbol{\gamma}_1\rangle}\boldsymbol{\gamma}_1-\dfrac{\langle\boldsymbol{\beta}_3,\boldsymbol{\gamma}_2\rangle}{\langle\boldsymbol{\gamma}_2,\boldsymbol{\gamma}_2\rangle}\boldsymbol{\gamma}_2$$
$$\langle\boldsymbol{\beta}_3,\boldsymbol{\gamma}_1\rangle=3,\quad
\langle\boldsymbol{\beta}_3,\boldsymbol{\gamma}_2\rangle=0$$
$$\boldsymbol{\gamma}_3=\frac{1}{2}\boldsymbol{\alpha}_1+\boldsymbol{\alpha}_2-\frac{1}{2}\boldsymbol{\alpha}_3$$
步骤2：单位化
$$\boldsymbol{\varepsilon}_1=\dfrac{\boldsymbol{\gamma}_1}{\|\boldsymbol{\gamma}_1\|}=\dfrac{\boldsymbol{\alpha}_1+\boldsymbol{\alpha}_3}{\sqrt{2}}$$
$$\|\boldsymbol{\gamma}_2\|=\sqrt{\dfrac{5}{2}}$$

$$\boldsymbol{\varepsilon}_2=\dfrac{\boldsymbol{\alpha}_1-2\boldsymbol{\alpha}_2-\boldsymbol{\alpha}_3+2\boldsymbol{\alpha}_4}{\sqrt{10}}$$
$$\|\boldsymbol{\gamma}_3\|=\sqrt{\dfrac{3}{2}}$$

$$\boldsymbol{\varepsilon}_3=\dfrac{\boldsymbol{\alpha}_1+2\boldsymbol{\alpha}_2-\boldsymbol{\alpha}_3}{\sqrt{6}}$$
U 的标准正交基为
$$\boldsymbol{\varepsilon}_1=\frac{\boldsymbol{\alpha}_1+\boldsymbol{\alpha}_3}{\sqrt{2}},\quad
\boldsymbol{\varepsilon}_2=\frac{\boldsymbol{\alpha}_1-2\boldsymbol{\alpha}_2-\boldsymbol{\alpha}_3+2\boldsymbol{\alpha}_4}{\sqrt{10}},\quad
\boldsymbol{\varepsilon}_3=\frac{\boldsymbol{\alpha}_1+2\boldsymbol{\alpha}_2-\boldsymbol{\alpha}_3}{\sqrt{6}}$$

>[!example] **例2**
>已知 A = $[\boldsymbol{\alpha}_1\ \boldsymbol{\alpha}_2\ \boldsymbol{\alpha}_3\ \boldsymbol{\alpha}_4]$ 为正交矩阵，其中
>$$\boldsymbol{\alpha}_3 = \frac{1}{3}\begin{bmatrix}1\\-2\\0\\2\end{bmatrix},\quad
\boldsymbol{\alpha}_4 = \frac{1}{6}\begin{bmatrix}2\sqrt{6}\\0\\-\sqrt{6}\\-\sqrt{6}\end{bmatrix}$$
试求一个$\boldsymbol{\alpha}_1$ 和一个 $\boldsymbol{\alpha}_2$。


**解析**
$\boldsymbol{\alpha}_1,\boldsymbol{\alpha}_2$必须与 $\boldsymbol{\alpha}_3,\boldsymbol{\alpha}_4$都正交，且$\boldsymbol{\alpha}_1 与 \boldsymbol{\alpha}_2$ 也正交，模长为1。
设 $\boldsymbol{x}=(x_1,x_2,x_3,x_4)^T$，正交条件等价于方程组：
$$\begin{cases}
\langle\boldsymbol{x},\boldsymbol{\alpha}_3\rangle = x_1 - 2x_2 + 2x_4 = 0\\
\langle\boldsymbol{x},\boldsymbol{\alpha}_4\rangle = 2\sqrt{6}x_1 - \sqrt{6}x_3 - \sqrt{6}x_4 = 0 \implies 2x_1 - x_3 - x_4 = 0
\end{cases}$$
解上述齐次方程组,得到两个线性无关的解：
$$\boldsymbol{\xi}_1=(2,1,4,0)^T,\quad
\boldsymbol{\xi}_2=(0,1,0,1)^T$$
正交化
$$\boldsymbol{\beta}_1 = \boldsymbol{\xi}_1 = (2,1,4,0)^T$$
$$\boldsymbol{\beta}_2 = \boldsymbol{\xi}_2 - \frac{\langle\boldsymbol{\xi}_2,\boldsymbol{\beta}_1\rangle}{\langle\boldsymbol{\beta}_1,\boldsymbol{\beta}_1\rangle}\boldsymbol{\beta}_1
= (0,1,0,1)^T - \frac{1}{21}(2,1,4,0)^T
= \left(-\frac{2}{21},\frac{20}{21},-\frac{4}{21},1\right)^T$$
单位化
$$\boldsymbol{\alpha}_1 = \frac{\boldsymbol{\beta}_1}{\|\boldsymbol{\beta}_1\|}
= \frac{1}{\sqrt{21}}(2,1,4,0)^T
$$
$$\boldsymbol{\alpha}_2 = \frac{\boldsymbol{\beta}_2}{\|\boldsymbol{\beta}_2\|}
= \frac{1}{3\sqrt{105}}(-2,20,-4,21)^T$$
满足条件的一组标准正交向量为：
$$\boldsymbol{\alpha}_1 = \frac{1}{\sqrt{21}}\begin{bmatrix}2\\1\\4\\0\end{bmatrix},\quad
\boldsymbol{\alpha}_2 = \frac{1}{3\sqrt{105}}\begin{bmatrix}-2\\20\\-4\\21\end{bmatrix}$$

