在讲线性空间之前，必须先复习一下向量空间的知识，这是必要的，因为线性空间与向量空间之间有某种“联系”，这种联系叫做“同构”。

>[!note] 定义1$\qquad$向量空间
>设$V$是数域$\mathbb{F}$上的$n$维向量构成的非空集合，如果$V$对于向量加法及数乘两种运算封闭，即
>（1）对任意的$\boldsymbol{\alpha}\in V,\boldsymbol{\beta}\in V$，有$\boldsymbol{\alpha}+\boldsymbol{\beta}\in V$；
>（2）对任意的$\boldsymbol{\alpha}\in V,k\in \mathbb{F}$，有$k\boldsymbol{\alpha}\in V$，
>那么称集合$V$为数域$\mathbb{F}$上的**向量空间**.若$\mathbb{F}$为实（复）数域，则称$V$为**实（复）向量空间**.

一般地，由向量$\boldsymbol{\alpha}_1,\boldsymbol{\alpha}_2,\cdots,\boldsymbol{\alpha}_n$**生成的向量空间**定义为$\boldsymbol{\alpha}_1,\boldsymbol{\alpha}_2,\cdots,\boldsymbol{\alpha}_n$的一切线性组合所构成的集合，记作$\mathrm{span}(\boldsymbol{\alpha}_1,\boldsymbol{\alpha}_2,\cdots,\boldsymbol{\alpha}_n)$，即$$\text{span}(\boldsymbol{\alpha}_1,\boldsymbol{\alpha}_2,\cdots,\boldsymbol{\alpha}_n)=\{k_1\boldsymbol{\alpha}_1+k_2\boldsymbol{\alpha}_2+\cdots+k_n\boldsymbol{\alpha}_n|k_1,k_2,\cdots,k_n\in\mathbb{R}\}.$$
>[!note] 定义2$\qquad$子空间
>设$U,V$都是同一数域上的向量空间，若$U\subseteq V$，则称$U$为$V$的子空间.

向量空间的**基**和**维数**等概念就不在这里具体定义，不然讲义会变得相当繁琐。但建议大家自己去看一看书上的相关定义，这是必要的。

有以下几个点需要注意：
>[!tip] 
>1)零空间$\displaystyle\{\boldsymbol{0}\}$没有基；
>2)一般来说，向量空间的基是不唯一的；
>3)等价的向量组生成的向量空间是相同的；
>4)向量空间的维数与向量的维数是两个不同的概念

如果向量组$\displaystyle T:\boldsymbol{\alpha}_1,\boldsymbol{\alpha}_2,\cdots,\boldsymbol{\alpha}_n$是向量空间$\displaystyle V$的一组基，则对任意$\boldsymbol{\beta}\in V$，有$$\boldsymbol{\beta}=x_1\boldsymbol{\alpha}_1+x_2\boldsymbol{\alpha}_2+\cdots+x_n\boldsymbol{\alpha}_n,x_1,x_2,\cdots,x_n\in\mathbb{R},$$若用矩阵乘法的形式，则可以写成$$\boldsymbol{\beta}=\begin{bmatrix}\boldsymbol{\alpha}_1\ \boldsymbol{\alpha}_2\ \cdots\ \boldsymbol{\alpha}_n\end{bmatrix}\begin{bmatrix}x_1\\x_2\\\vdots\\x_n\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}\boldsymbol{\alpha}_1\ \boldsymbol{\alpha}_2\ \cdots\ \boldsymbol{\alpha}_n\end{bmatrix}\boldsymbol{x},\boldsymbol{x}\in\mathbb{R}^n,$$称$\boldsymbol{x}$为向量$\boldsymbol{\beta}$在基$T$下的坐标.特别地，如果取基$$\mathcal{E}:\boldsymbol{e}_1,\boldsymbol{e}_2,\cdots,\boldsymbol{e}_n,\boldsymbol{e}_i=\begin{bmatrix}\vdots\\1\\\vdots\end{bmatrix}\in\mathbb{R}^n,\text{其中1在第}i\text{行}，$$则$\boldsymbol{\beta}$在基$\mathcal{E}$下的坐标就是它本身.
既然基是不唯一的，那么会有一个问题：不同的基之间有什么关系呢？
我们取向量空间$V$的两组基$\displaystyle T_1:\boldsymbol{\alpha}_1,\boldsymbol{\alpha}_2,\cdots,\boldsymbol{\alpha}_n$和$\displaystyle T_2:\boldsymbol{\beta}_1,\boldsymbol{\beta}_2,\cdots,\boldsymbol{\beta}_n$.由于$T_1$是一组基，向量组$T_2$中的每个向量肯定可以唯一地用$T_1$来表示，即$$\boldsymbol{\beta}_i=k_{i1}\boldsymbol{\alpha}_1+k_{i2}\boldsymbol{\alpha}_2+\cdots+k_{in}\boldsymbol{\alpha}_n,k_{ij}\in\mathbb{R},i,j=1,2,\cdots,n.$$故$$\begin{bmatrix}
\boldsymbol{\beta}_1\ \cdots\ \boldsymbol{\beta}_n
\end{bmatrix}
=\begin{bmatrix}
\boldsymbol{\alpha}_1\ \cdots\ \boldsymbol{\alpha}_n
\end{bmatrix}
\begin{bmatrix}
k_{11} & k_{12} & \cdots & k_{1n}\\
k_{21} & k_{22} & \cdots & k_{2n}\\
\vdots & \vdots & \ddots & \vdots\\
k_{n1} & k_{n2} & \cdots & k_{nn}
\end{bmatrix}
=\begin{bmatrix}
\boldsymbol{\alpha}_1\ \cdots\ \boldsymbol{\alpha}_n
\end{bmatrix}\boldsymbol{K},
$$称矩阵$\boldsymbol{K}$为基$T_1$到基$T_2$的**过渡矩阵**.由推导过程知过渡矩阵是存在且唯一的，也显然是可逆的（否则向量组$T_2$就会线性相关，与它是一组基矛盾）.同时，我们还要考虑同一个向量$\boldsymbol{\gamma}$在两组不同的基下的坐标之间的关系.
设向量$\boldsymbol{\gamma}\in V$，且在基$T_1$下的坐标为$\boldsymbol{x}$，即$$\boldsymbol{\gamma}=\begin{bmatrix}\boldsymbol{\alpha}_1\ \cdots\ \boldsymbol{\alpha}_n\end{bmatrix}\boldsymbol{x}\overset{\mathrm{def}}{=}\boldsymbol{Ax},$$若$\boldsymbol{\gamma}$在基$T_2$下的坐标为$\boldsymbol{y}$，则$$\boldsymbol{\gamma}=\begin{bmatrix}\boldsymbol{\beta}_1\ \cdots\ \boldsymbol{\beta}_n\end{bmatrix}\boldsymbol{y}\overset{\mathrm{def}}{=}\boldsymbol{By},$$又有$\boldsymbol{B}=\boldsymbol{AK}$，得$$\boldsymbol{\gamma}=\boldsymbol{By}=\boldsymbol{AKy},$$由于同一个向量在同一组基下的坐标是唯一的，故$$\boldsymbol{x}=\boldsymbol{Ky},或\boldsymbol{y}=\boldsymbol{K}^{-1}\boldsymbol{x}.$$注意不要搞错矩阵乘的位置.

既然我们已经学了这么多的知识了，那不妨来做几道题试试吧！（雾）

>[!example] 例题1
>设$V=\{(x_1,x_2,x_3)^T|x_1+x_2+x_3=0,x_1,x_2,x_3\in\mathbb{R}\}$，证明$V$是一个向量空间，并求出它的一组基.

**证明：** 对任意$\boldsymbol{x},\boldsymbol{y}\in V, k\in\mathbb{R}$，记$(1,1,1)=\boldsymbol{\alpha}$，则有$\boldsymbol\alpha\boldsymbol x=\boldsymbol\alpha\boldsymbol y=0,\boldsymbol\alpha(\boldsymbol x+\boldsymbol y)=0$,故$\boldsymbol x+\boldsymbol y,k\boldsymbol x\in V$，即$V$是向量空间.显然$V$中的所有元素就是方程$x_1+x_2+x_3=0$的所有解，而方程的通解为$$\boldsymbol x=k_1\begin{bmatrix}1\\-1\\0\end{bmatrix}+k_2\begin{bmatrix}1\\0\\-1\end{bmatrix},k_1,k_2\in\mathbb R,$$故$V$的基为$\begin{bmatrix}1\\-1\\0\end{bmatrix},\begin{bmatrix}1\\0\\-1\end{bmatrix}.$

>[!example] 例题2
>已知$\mathbb{R}^2$的两组基$\boldsymbol\alpha_1,\boldsymbol\alpha_2$和$\boldsymbol\varepsilon_1,\boldsymbol\varepsilon_2$.求一个非零向量$\boldsymbol\beta\in\mathbb{R}^2$，使得$\boldsymbol\beta$在两组基下有相同的坐标，其中$$\boldsymbol\alpha_1=(2,-1)^T,\boldsymbol\alpha_2=(5,-4)^T;\boldsymbol\varepsilon_1=(1,0)^T,\boldsymbol\varepsilon_2=(0,1)^T.$$

**解：**
容易得到从后一组基到前一组基的过渡矩阵为$$\boldsymbol{C}=\begin{bmatrix}2 & 5\\-1 & -4\end{bmatrix},$$设$\boldsymbol\beta$在$\boldsymbol\alpha_1,\boldsymbol\alpha_2$下的坐标为$\boldsymbol y$，则$$\boldsymbol y=\boldsymbol C\boldsymbol y\Rightarrow (\boldsymbol C-\boldsymbol E)\boldsymbol y=\boldsymbol 0.$$解这个齐次线性方程组得$$\boldsymbol y=k(-5,1)^T,k\in\mathbb{R}.$$

好了，现在回到我们的主题：线性空间。先下定义：
>[!note] 定义3$\qquad$线性空间
>设$V$为一非空集合，$\mathbb{F}$为一数域. 对于$V$中任意两个元素定义了“加法”运算，记为“+”；对于数域$\mathbb{F}$中的元素与$V$中元素定义“数乘”运算，记为"$\cdot$"（算式中常省略不写）. 如果满足对任意$x,y,z\in V,\lambda,\mu\in\mathbb{F}$，有
>（1）（封闭性）$V$对加法和数乘封闭；
>（2）（交换律）$x+y=y+x$
>（3）（加法结合律）$(x+y)+z=x+(y+z)$
>（4）（零元）存在元素$0\in V$，使得对任意$x\in V$均有$0+x=x$
>（5）（负元）对任意$x\in V$，存在$y\in V$，使得$x+y=0$
>（6）（第一分配律）$\lambda(x+y)=\lambda x+\lambda y$
>（7）（第二分配律）$(\lambda+\mu)x=\lambda x+\mu x$
>（8）（数乘结合律）$(\lambda\mu)x=\lambda(\mu x)$
>（9）（数乘单位元）存在$1\in \mathbb{F}$，使得对任意$x\in V$，有$1x=x$，
>则称$V$关于上述运算构成数域$\mathbb{F}$上的**线性空间**，简记为 $(V,\mathbb{F},+,\cdot)$ 是线性空间.

这个定义看上去很复杂，其实是很自然的，这一系列的性质都是我们熟悉的向量空间所具有的，这里只是给它一般化了而已。这里的“加法”和“数乘”只是代表两种运算，并不一定就是我们平常所说的加法和乘法。
和向量空间类似，我们也可以定义线性子空间、基、维数和坐标等概念，也可以讨论线性空间中的基变换和坐标变换，但这里就不一一赘述了。我们主要关注线性空间的基。
设 $(V,\mathbb{F},+,\cdot)$ 为 $n$ 维线性空间，若 $\mathbb{F}\subseteq\mathbb{R}$ ，则对任意$\boldsymbol{\alpha}\in V$，若它在某一组基下的坐标为 $\boldsymbol{x}$ ，则所有这种坐标组成的集合是一个 $n$ 维的向量空间 $U$ 。而每一个线性空间中的元素对这一组基都有唯一的一个坐标，我们就可以建立起从 $V$ 到 $U$ 的一个双射 $\varphi: U\rightarrow V,\boldsymbol{x}\mapsto\boldsymbol{\alpha}$。设这组基为$T_1:\boldsymbol{\alpha}_1,\cdots,\boldsymbol{\alpha}_n$，则这个双射$\varphi$就可以写成$$\boldsymbol{\alpha}=\varphi(\boldsymbol{x})=\begin{bmatrix}\boldsymbol{\alpha}_1\ \cdots\ \boldsymbol{\alpha}_n\end{bmatrix}\boldsymbol{x}.$$这样，我们就可以把所有线性空间中的问题通过它的一组基放到一个维数相同的向量空间中去解决。这其实就是**同构**的思想，每一个线性空间都与一个同维的向量空间结构相同，能够保持原来空间中的运算性质。这也是为什么我们要先做一些向量空间的题目。

>[!example] 线性空间的几个例子
> $(1)$ 对任意给定的正整数$m,n,\mathbb{R}^{m\times n}=\{\boldsymbol A=[a_{ij}]_{m\times n}|a_{ij}\in\mathbb{R}\}$关于矩阵加法和数乘构成数域$\mathbb{R}$上的线性空间，成为**实矩阵空间**；
> 
>  $(2)$ 对任意给定的正整数$n$，次数不超过$n$ 的关于文字$x$的一切多项式构成的集合$\boldsymbol P_n[x]=\{a_nx^n+\cdots+a_1x+a_0|a_i\in\mathbb{R},i=0,1,\cdots,n\}$关于多项式加法和数乘构成数域$\mathbb{R}$上的线性空间，称为**多项式空间**。这里$x$可以是实数、复数、方阵，甚至可以是函数、映射，如果能定义出映射之间的乘法（一般可以是复合）和加法运算的话；
>  
>   $(3)$ 设集合$S$为向量空间$V$上所有线性变换的集合。对任意$\sigma,\pi\in S$定义加法和数域$\mathbb{F}$上的数乘分别为：$(\sigma+\pi)(x)=\sigma(x)+\pi(x),(k\sigma)(x)=k\sigma(x)$，则$S$关于上述加法和数乘构成数域$\mathbb{F}$上的线性空间。实际上，由于线性变换与方阵之间有一一对应的关系，我们可以借助矩阵空间来理解$S$这个线性空间。

上面第三个例子不要求大家掌握，但前两个还是得清楚的，这是书上明确给了的例子。

>[!example] 例题
>设$V$是定义与区间$[a,b]$上取正值的所有函数的集合，我们定义$$f\oplus g=f\times g,\lambda \odot f=f^\lambda\qquad(f,g\in V,\lambda\in\mathbb{R}).$$证明：在上述运算下，$V$是实数域$\mathbb{R}$上的线性空间.

**证明：** 加法$\oplus$交换律、结合律显然成立.取常值映射$\text{c}:[a,b]\rightarrow\mathbb{R}^+,x\mapsto 1$，有$$\forall f\in V,(f\oplus\text{c})(x)=f(x)\times\text c(x)=f(x)\times1=f(x),$$故映射 $\text{c}$ 为零元.对任意$f\in V$，取映射$\displaystyle g\in V:[a,b]\rightarrow\mathbb{R}^+,x\mapsto\frac{1}{f(x)}$，则$$(f\oplus g)(x)=f(x)\times g(x)=1=\text{c}(x),$$故$g$为$f$的负元. 显然负元唯一. 取$\lambda=1$，显然$1\odot f=f^1=f$，故存在数乘单位元. 
$V$显然对上述加法和乘法封闭. 故在上述运算下，$V$是实数域$\mathbb{R}$上的线性空间.
