## 一、单选题(共6小题,每小题3分,共18分)
1. 设 $\boldsymbol{A}$ 为 $n$ 阶方阵,且 $|\boldsymbol{A}| = 5$ ,则 $||\boldsymbol{A}|\boldsymbol{A}^{T}|$ =【】
A.  $5n$ 
B.  $5^{n + 1}$ 
C.  $5^{n - 1}$ 
D. 25

2. 设 $\boldsymbol{A}$ , $\boldsymbol{B}$ 均为 $n$ 阶方阵,则下列命题中正确的是【】
A.  $|\boldsymbol{A}+\boldsymbol{B}|=|\boldsymbol{A}| + |\boldsymbol{B}|$ 
B.  $\boldsymbol{AB}=\boldsymbol{BA}$ 
C.  $|\boldsymbol{AB}|=|\boldsymbol{BA}|$ 
D.  $(\boldsymbol{A}+\boldsymbol{B})^{-1}=\boldsymbol{A}^{-1}+\boldsymbol{B}^{-1}$ 

3. 下列关于矩阵秩的结论中,错误的是【】
A. 若矩阵 $\boldsymbol{A}$ , $\boldsymbol{B}$ , $\boldsymbol{C}$ 满足 $\boldsymbol{A}=\boldsymbol{BC}$ 且 $\boldsymbol{B}$ 是列满秩的,则 $\boldsymbol{A}$ 列满秩当且仅当 $\boldsymbol{C}$ 列满秩
B. 行阶梯形矩阵中1的个数等于矩阵的秩
C. 设 $\boldsymbol{A}$ , $\boldsymbol{B}$ 均为 $n$ 阶方阵,则 $R(\boldsymbol{AB})=R(\boldsymbol{B})$ 的充要条件是线性方程组 $(\boldsymbol{AB})\boldsymbol{x}=\boldsymbol{0}$ 与 $\boldsymbol{B}\boldsymbol{x}=\boldsymbol{0}$ 同解
D. 设 $\boldsymbol{A}$ 为 $n$ 阶方阵,则 $R(\boldsymbol{A}^{n})=R(\boldsymbol{A}^{n + 1})$ 

4. 设 $\boldsymbol{\eta}_{1}$ , $\boldsymbol{\eta}_{2}$ 是非齐次线性方程组 $\boldsymbol{A}\boldsymbol{x}=\boldsymbol{b}$ 的两个不同解, $\boldsymbol{\xi}_{1}$ , $\boldsymbol{\xi}_{2}$ 是导出方程组 $\boldsymbol{A}\boldsymbol{x}=\boldsymbol{0}$ 的两个不同解,则:① $\boldsymbol{\eta}_{1}-\boldsymbol{\eta}_{2}$ 是 $\boldsymbol{A}\boldsymbol{x}=\boldsymbol{0}$ 的解,② $3\boldsymbol{\xi}_{1}+\boldsymbol{\eta}_{1}$ 是 $\boldsymbol{A}\boldsymbol{x}=\boldsymbol{b}$ 的解,③ $2\boldsymbol{\xi}_{1}+2\boldsymbol{\xi}_{2}$ 是 $\boldsymbol{A}\boldsymbol{x}=\boldsymbol{0}$ 的解,④ $2\boldsymbol{\eta}_{1}-\boldsymbol{\eta}_{2}$ 是 $\boldsymbol{A}\boldsymbol{x}=\boldsymbol{b}$ 的解,⑤ $\boldsymbol{\eta}_{1}-\boldsymbol{\eta}_{2}+\boldsymbol{\xi}_{1}$ 是 $\boldsymbol{A}\boldsymbol{x}=\boldsymbol{b}$ 的解。上述结论正确的有多少个?【】
A. 2
B. 3
C. 4
D. 5

5. 已知 $n$ 阶方阵 $\boldsymbol{A}$ 与 $\boldsymbol{B}$ 相似, $\boldsymbol{C}$ 与 $\boldsymbol{D}$ 相似,则下列命题中正确的是【】
A.  $\boldsymbol{A}+\boldsymbol{C}$ 与 $\boldsymbol{B}+\boldsymbol{D}$ 相似
B.  $\boldsymbol{AC}$ 与 $\boldsymbol{BD}$ 相似
C.  $\boldsymbol{A}^{2}+\boldsymbol{I}$ 与 $\boldsymbol{B}^{2}+\boldsymbol{I}$ 相似
D.  $\boldsymbol{A}^{T}+\boldsymbol{A}$ 与 $\boldsymbol{B}^{T}+\boldsymbol{B}$ 相似

6. 设 $f(x_{1},x_{2},x_{3})=2x_{1}^{2}+6x_{2}^{2}+x_{3}^{2}-4x_{1}x_{2}-2x_{1}x_{3}=C$ ,则此二次曲面是【】
A.  $C = 0$ 为锥面
B.  $C>0$ 为椭球面
C.  $C<0$ 为柱面
D.  $C = 1$ 为单叶双曲面

## 二、填空题(共6小题,每小题3分,共18分)
1. 设 $\alpha,\beta,\gamma$ 为 $x^{3}+px + q = 0$ 的三个根,则行列式 $\begin{vmatrix}\boldsymbol{\alpha}&\boldsymbol{\beta}&\boldsymbol{\gamma}\\\boldsymbol{\gamma}&\boldsymbol{\alpha}&\boldsymbol{\beta}\\\boldsymbol{\beta}&\boldsymbol{\gamma}&\boldsymbol{\alpha}\end{vmatrix}$ =________
2. 设 $\boldsymbol{A}=\begin{bmatrix}1&1&1\\a_{1}&a_{2}&a_{3}\\a_{1}^{2}&a_{2}^{2}&a_{3}^{2}\end{bmatrix}$ , $\boldsymbol{b}=\begin{bmatrix}1\\1\\1\end{bmatrix}$ ,其中 $a_{1},a_{2},a_{3}$ 互不相同,线性方程组 $\boldsymbol{A}^{T}\boldsymbol{x}=\boldsymbol{b}$ 的解为________
3. 设3阶方阵 $\boldsymbol{A}=\begin{bmatrix}2&-1&2\\1&0&1\\0&0&2\end{bmatrix}$ ,3维向量 $\boldsymbol{\alpha}=\begin{bmatrix}t\\2\\1\end{bmatrix}$ ,若 $\boldsymbol{A}\boldsymbol{\alpha}$ 与 $\boldsymbol{\alpha}$ 线性相关,则 $t=$ ________
4. 已知 $\|\boldsymbol{a}\| = 2$ , $\|\boldsymbol{b}\| = 5$ ,且 $\boldsymbol{a}$ 和 $\boldsymbol{b}$ 的夹角为 $\frac{2}{3}\pi$ ,若向量 $\boldsymbol{A}=\lambda\boldsymbol{a}+17\boldsymbol{b}$ 与 $\boldsymbol{B}=3\boldsymbol{a}-\boldsymbol{b}$ 垂直,则 $\lambda=$ ________
5. 已知 $n(n\geq2)$ 维列向量 $\boldsymbol{\alpha}$ , $\boldsymbol{\beta}$ 满足 $\boldsymbol{\beta}^{T}\boldsymbol{\alpha}=-3$ ,其中 $\boldsymbol{\beta}^{T}$ 为 $\boldsymbol{\beta}$ 的转置,则方阵 $(\boldsymbol{\beta}\boldsymbol{\alpha}^{T})^{2}$ 的非零特征值为________
6. 已知 $\boldsymbol{A}$ 为 $m\times n$ 实矩阵(其中 $m < n$ ), $\boldsymbol{I}$ 为 $n$ 阶单位矩阵, $t$ 为实数,则 $\boldsymbol{A}^{T}\boldsymbol{A}+t\boldsymbol{I}$ 为正定矩阵的充分必要条件是实数 $t$ 满足关系式________

## 三、计算题(10分)
计算 $n$ 阶行列式 $\begin{vmatrix}a&a_{2}&a_{2}&\cdots&a_{2}\\a_{2}&a&a_{2}&\cdots&a_{2}\\a_{2}&a_{2}&a&\cdots&a_{2}\\\vdots&\vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\a_{2}&a_{2}&a_{2}&\cdots&a\end{vmatrix}$ 

## 四、计算题(10分)
设直线 $L:\frac{x - 1}{2}=y=\frac{z - 2}{3}$ 与平面 $\pi:2x - y+z - 10 = 0$ 的交点为 $P$ ,求过点 $P$ 且与平面 $\pi$ 垂直的直线方程。

## 五、计算题(10分)
已知线性方程组 $\begin{cases}\lambda x_{1}-x_{2}-x_{3}=1\\-x_{1}+\lambda x_{2}-x_{3}=-\lambda\\-x_{1}-x_{2}+\lambda x_{3}=\lambda^{2}\end{cases}$ 至少存在两个不同的解,求该线性方程组的通解。

## 六、计算题(10分)
判定向量组 $\boldsymbol{\alpha}_{1}=\begin{bmatrix}1\\1\\1\\-1\end{bmatrix}$ , $\boldsymbol{\alpha}_{2}=\begin{bmatrix}1\\4\\1\\0\end{bmatrix}$ , $\boldsymbol{\alpha}_{3}=\begin{bmatrix}-1\\2\\-1\\2\end{bmatrix}$ , $\boldsymbol{\alpha}_{4}=\begin{bmatrix}1\\1\\2\\3\end{bmatrix}$ , $\boldsymbol{\alpha}_{5}=\begin{bmatrix}2\\-1\\4\\5\end{bmatrix}$ 的线性相关性,求其一个极大线性无关组,并将其余向量用该极大线性无关组线性表示。

## 七、证明与计算题(共2小题,第1小题4分,第2小题8分,共12分)
已知向量组 $\boldsymbol{\alpha}_{1}$ , $\boldsymbol{\alpha}_{2}$ , $\boldsymbol{\alpha}_{3}$ 线性无关,其中 $\boldsymbol{\alpha}_{1}$ , $\boldsymbol{\alpha}_{2}$ , $\boldsymbol{\alpha}_{3}\in\mathbb{R}^{3}$ , $\boldsymbol{A}$ 为3阶方阵,且 $\boldsymbol{A}\boldsymbol{\alpha}_{1}=2\boldsymbol{\alpha}_{1}-\boldsymbol{\alpha}_{2}-\boldsymbol{\alpha}_{3}$ , $\boldsymbol{A}\boldsymbol{\alpha}_{2}=\boldsymbol{\alpha}_{1}+2\boldsymbol{\alpha}_{2}+3\boldsymbol{\alpha}_{3}$ , $\boldsymbol{A}\boldsymbol{\alpha}_{3}=2\boldsymbol{\alpha}_{1}+4\boldsymbol{\alpha}_{2}+3\boldsymbol{\alpha}_{3}$ 。
1. 证明 $\boldsymbol{A}\boldsymbol{\alpha}_{1}$ , $\boldsymbol{A}\boldsymbol{\alpha}_{2}$ , $\boldsymbol{A}\boldsymbol{\alpha}_{3}$ 线性无关；
2. 计算行列式 $|\boldsymbol{E}-\boldsymbol{A}|$ ,其中 $\boldsymbol{E}$ 是3阶单位矩阵。

## 八、计算题(12分)
已知实二次型 $f(x_{1},x_{2},x_{3})=\boldsymbol{x}^{T}\boldsymbol{A}\boldsymbol{x}$ 在正交变换 $\boldsymbol{x}=\boldsymbol{P}\boldsymbol{y}$ 下的标准形为 $3y_{1}^{2}+3y_{2}^{2}$ ,且 $\boldsymbol{P}$ 的第3列为 $\frac{1}{\sqrt{3}}\begin{bmatrix}1\\1\\1\end{bmatrix}$ ,求 $\boldsymbol{A}$ 。