### 一、选择题（共3小题，每小题2分，共10分）  

1. 函数  
$$
   f(x) = \begin{cases} 
   \sqrt{x} \sin \frac{1}{x}, & x > 0, \\ 
   0, & x \leq 0 
   \end{cases}
$$
   在点$x = 0$处（ ）。  
   (A) 不连续  
   (B) 连续但不可导  
   (C) 可导且$f'(0) = 0$
   (D) 可导且$f'(0) \neq 0$

2. 数列极限$\lim_{n \to \infty} (e^{-n} + \pi^{-n})^{\frac{1}{n}}$的值为（ ）。  
   (A)$e$
   (B)$\pi$
   (C)$\displaystyle\frac{1}{e}$
   (D)$\displaystyle\frac{1}{\pi}$

3. 曲线$\displaystyle y = \frac{x^3 - x^2}{2 + x^2}$的渐近线为（ ）。  
   (A)$y = x - 1$
   (B)$y = x + 1$
   (C)$y = x$
   (D)$y = \frac{1}{2}x$

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### 二、填空题（共3小题，每小题2分，共10分）   

4. 函数$f(x) = xe^{-x^2}$在$(-\infty,+\infty)$上的最大值为 $\underline{\qquad}$。  

5. 曲线$C: x = \frac{1}{2} \cos t, y = \sin t, t \in [0,2\pi]$在点$(0,-1)$处的曲率为 $\underline{\qquad}$。  

6. 不定积分$\int \frac{1}{x(1+2\ln x)} dx = \underline{\qquad}$。  

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### 三、解答题（共4小题，共80分）  

7. 设$y(x)$是由曲线方程$\sin x + y + e^x = 2$确定的隐函数，试计算$\frac{dy}{dx} \bigg|_{x=0}$的值，并求该曲线在点$P(0,1)$处的切线方程。（6分）  

```text





















```

8. 计算不定积分  
$$
    \int \frac{x}{1+\sqrt{1-x^2}} dx。
$$
    （6分）  

```text





















```

9. 设曲线$f(x) = x^3 + ax^2 + 18x$（$a$为大于零的常数）的拐点正好位于$x$轴上，试求$a$的值及曲线$y = f(x)$的拐点坐标。（6分）   

```text





















```

10. 计算极限  
    $$\lim_{x \to +\infty} \left[ x + x^2 \ln \left( 1 - \frac{1}{x} \right) \right]。$$ 
    （6分）
