首先我们来谈谈什么是相似，换句话说，一堆矩阵相似，就是他们有某种特殊的共同特征，
就比如说我们可以把所有发展中国家列为相似的，而中国就是里面最具有代表特征的，同理，对角矩阵就是那个最具代表特征的矩阵，它非常简洁。
将一个方阵通过可逆变换变为对角矩阵的过程就是相似对角化。
相似对角化最根本的应用就是求方阵的幂，这在科学计算中起到了很大的简化作用。
值得一提的是，相似对角化并不是对所有方阵使用的，可遇而不可求。
一般的，相似对角化的充要条件是 $A$ 的特征值的几何重数=代数重数.
相似对角化的步骤：
1. 求特征值和特征向量（判断重数）
2. 取特征向量构成相似变化矩阵（记为 $P$ ），并得到相应的对角阵 $\Omega$（注意：特征向量要与特征值列列对应）
实对称矩阵
实对称矩阵就是天选之子，本身就能相似对角化，因为他有 $n$ 个实特征向量，并且，实对称矩阵还可以正交相似对角化，即相似变化矩阵可以是正交矩阵（这个性质非常重要！）
正交矩阵的逆等于他的转置，因此求逆的复杂度也会大大减小。
实对称矩阵正交对角化的步骤：
1. 求特征值和特征向量（此时我们得到的N个特征向量线性无关）
2. 将这 $n$ 个特征向量施密特正交化，得到标准正交向量组
3. 标准正交向量组构成正交矩阵，并得到相应的对角矩阵 $\Omega$（注意：特征向量要与特征值列列对应）
需要注意的是：
若 $A$ 与某个对角矩阵 $\Omega$ 相似，我们可以根据 $\Omega$ 的性质来反推 $A$ 的性质（秩，行列式，特征值），一般地，求抽象矩阵的行列式，可以根据特征值的乘积得出。
一些基本知识点：
# 相似矩阵的定义与性质
数域$K$ 上两个$n$ 级矩阵$A,B$ 相似的定义为: 存在数域$K$ 上的可逆矩阵$P$ 使得$B = P^{-1}AP$。记为
$A \sim B$.
1.  相似是一种等价关系, 即满足反身性, 对称性, 传递性.
2.  $A,B$ 相似, 可以得到$A,B$ 秩相同, 但是不要求$A,B$ 都可逆, 更不要求$A,B$ 对称.
3.  相似与数域无关(即矩阵的相似不随数域的扩大而改变).
4.  $A \sim B$ 可以得到$A^m \sim B^m$, 更一般地, 对于任意的多项式$f(x)$, 都有$f(A) \sim f(B)$. 并且, 如果
    $B = P^{-1}AP$, 则$f(B) = P^{-1}f(A)P$. 同时$A^* \sim B^*$, 如果$A,B$ 可逆, 还有$A^{-1} \sim B^{-1}$.
5.  $A_1 \sim B_1,\;A_2 \sim B_2$, 不一定有$A_1+A_2 \sim B_1+B_2$. 只有当$P^{-1}A_1P = B_1$ 且$P^{-1}A_2P = B_2$ 时(相同的
    过渡矩阵$P$), 才有$P^{-1}(A_1+A_2)P = B_1+B_2$, 即$A_1+A_2 \sim B_1+B_2$, 这是很苛刻的条件.
6.  如果$A_1 \sim A_2$, 且$B_1 \sim B_2$, 则显然有
    $$
    \begin{pmatrix}
    A_1 & O \\
    O & B_1
    \end{pmatrix}
    \sim
    \begin{pmatrix}
    A_2 & O \\
    O & B_2
    \end{pmatrix}.
    $$
    原因是若$P^{-1}A_1P = A_2,\;Q^{-1}B_1Q = B_2$, 则
    $$
    \begin{pmatrix}
    P & O \\
    O & Q
    \end{pmatrix}^{-1}
    \begin{pmatrix}
    A_1 & O \\
    O & B_1
    \end{pmatrix}
    \begin{pmatrix}
    P & O \\
    O & Q
    \end{pmatrix}
    =
    \begin{pmatrix}
    A_2 & O \\
    O & B_2
    \end{pmatrix}.
    $$

题型：
1. 求方阵的幂
2. 求行列式，特征值
3. 判断相似关系
判断相似关系的基本步骤（一般是选择题）：
Step1 判断特征值是否相等
Step2 判断行列式是否相等
step3 根据 $\mathrm{rank}(A-kE)=\mathrm{rank}(B-kE)$ ,带几个好算的 $k$ 进去，看看秩是否相等
Step4 如果特征值和行列式均相等，接着算重数，判断是否可对角化，根据相似的传递性得出结论.