>[!example] 例一
>设$\boldsymbol{A}=\begin{bmatrix}-1 & 2 & 2 \\ 2&-1&-2\\2&-2&-1\end{bmatrix}$,$\boldsymbol E$是3阶单位矩阵，则矩阵$\boldsymbol{E}+2\boldsymbol{A}-\boldsymbol{A}^2$全部特征值之和是____



>[!note] 解析
>易知$\boldsymbol A$的特征值为$\lambda =1,1,-5$,令$\boldsymbol B=\boldsymbol{E}+2\boldsymbol{A}-\boldsymbol{A}^2,$
>$\xi为矩阵A的一个特征向量,\boldsymbol B\xi=(1+2\lambda-\lambda^2)\xi,$
>$则有\boldsymbol B 的特征值\lambda'=(1+2\lambda-\lambda^2)=2,2,-34,则答案为2+2-34=-30$

