# 国防科技大学2014—2015学年秋季学期《高等数学》考试试卷（A）卷  
（2015年1月27日）

**考试形式：闭卷**  
**考试时间：150分钟**  
**满分：100分**

---

## 一、填空题（共5小题，每小题3分，共15分）

1. 数列极限  
$$
   \lim_{n\to \infty}\left(\frac{n}{2n^2 + 1} + \frac{n}{2n^2 + 2} + \dots + \frac{n}{2n^2 + n}\right)
$$
   的值为 __________。

2. 若$\alpha (x),\beta (x),\gamma (x)$都是$x\to x_0$过程中的无穷小量，且$\beta (x)$是$\alpha (x)$的高阶无穷小，$\gamma (x)$是$\alpha (x)$的等价无穷小，则极限  
$$
   \lim_{x\to x_0}\frac{2\alpha(x) - 3\beta(x)}{3\gamma(x) - 2\beta(x)}
$$
   的值为 __________。

3. 若$y = f(x)$是$(-∞, +∞)$内以2为周期的可导函数，且  
$$
   \lim_{x\to 0}\frac{f(1 + x) + 4f(1 - x)}{x} = 3，
$$
   则曲线$y = f(x)$在点$(3,f(3))$处的切线方程为 __________。

4. 定积分  
$$
   \int_{0}^{1}\frac{\arctan x}{\arctan x + \arctan(1 - x)}\mathrm{d}x
$$
   的值为 __________。

5. 曲线$y = \dfrac{1}{\sqrt{4 + x^{2}}} (-\infty < x< +\infty)$与$x$轴所围成的无界图形绕$x$轴旋转一周所成立体的体积为 __________。

---

## 二、选择题（共5小题，每小题3分，共15分）

1. 设$a,b$为正常数，则数列极限  
$$
   \lim_{n\to \infty}\left(a^{-n} + b^{-n}\right)^{\frac{1}{n}}
$$
   的值为（ ）。

   （A）$\max (a,b)$
   （B）$\min (a,b)$
   （C）$\max \left(\dfrac{1}{a},\dfrac{1}{b}\right)$
   （D）$\min \left(\dfrac{1}{a},\dfrac{1}{b}\right)$

2. 设$f(x)$在$(- \infty , + \infty)$内有定义，且$\lim_{x\to \infty}f(x) = a$，  
$$
   g(x) = \left\{
   \begin{array}{ll}
   x f\left(\dfrac{1}{x}\right), & x\neq 0,\\
   0, & x = 0,
   \end{array}
   \right.
$$
   则（ ）。

   （A）$x = 0$为$g(x)$的连续点  
   （B）$x = 0$为$g(x)$的第一类间断点  
   （C）$x = 0$为$g(x)$的第二类间断点  
   （D）$g(x)$在$x = 0$处的连续性与$a$的值有关

3. 设有曲线$y = \dfrac{x^{2}}{3x + 2}$，则该曲线（ ）。

   （A）只有一条铅直渐近线  
   （B）只有一条水平渐近线  
   （C）有一条铅直渐近线和一条水平渐近线  
   （D）有一条铅直渐近线和一条斜渐近线

4. 设函数$y = f(x)$在区间$[0,2]$上连续且严格单调增加，$f(0) = 0, f(2) = 1$。若  
$$
   \int_{0}^{2}f(x)\mathrm{d}x = \frac{1}{3}，
$$
   则$\int_{0}^{1}f^{-1}(y)\mathrm{d}y$的值为（ ）。

   （A）1  
   （B）$\dfrac{5}{3}$
   （C）$\dfrac{2}{3}$
   （D）$\dfrac{1}{3}$

5. 函数  
$$
   f(x) = \int_{0}^{x}e^{-t}(2 - t)(1 - t)^{2}\mathrm{d}t
$$
   在$(- \infty , + \infty)$内极值点的个数为（ ）。

   （A）0  
   （B）1  
   （C）2  
   （D）3

---

## 三、（6分）设  
$$
\left\{
\begin{array}{l}
x = \int_{0}^{t}f(u^{2})\mathrm{d}u,\\
y = \int_{0}^{t}f(u)\mathrm{d}u,
\end{array}
\right.
$$
其中$f(u)$为定义在$(- \infty , + \infty)$内的正值连续函数，求$\dfrac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}$和$\dfrac{\mathrm{d}^{2}y}{\mathrm{d}x^{2}}$。

## 四、（6分）求极限  
$$
\lim_{x\to 0}\left[\frac{\ln(1 + x)}{x}\right]^{\cos x}。
$$

## 五、（6分）求曲线$x^{2} + y^{2} - xy = 1$在点$P(1,1)$处的曲率。

---

## 六、（6分）设函数$f(x)$在$(- \infty , + \infty)$内连续，且满足  
$$
\int_{0}^{x} u f(x - u) \mathrm{d}u = e^{x} \sin x，
$$
求$f(x)$的表达式。

## 七、（6分）设函数$y = f(x)$在$[0,2]$上可导，且$\int_{0}^{1} f(x) \mathrm{d}x = 0$。证明：至少存在一点$\xi \in (0,2)$，使得  
$$
f'(\xi) = \frac{f(\xi)}{2 - \xi}。
$$

---

## 八、（8分）已知函数$y = f(x)$在$(- \infty , + \infty)$内有定义，记$\Delta y = f(x + \Delta x) - f(x)$。若$f(0) = 0$，且当$\Delta x \to 0$时，恒有  
$$
\Delta y = \frac{x}{1 + x^2}\Delta x + o(\Delta x)。
$$
试求曲线$y = f(x)$的凹凸区间和拐点。

## 九、（8分）已知$\lambda$为常数，试讨论级数  
$$
\sum_{n = 1}^{\infty}\frac{\lambda^n}{n(n + 2)}
$$
的敛散性，并求级数  
$$
\sum_{n = 1}^{\infty}\frac{1}{n(n + 2)}
$$
的和。

---

## 十、（8分）嫦娥三号于2013年12月2日1时30分成功发射，12月6日抵达月球轨道。在距月面$100(\mathrm{m})$处时，嫦娥三号要做短暂悬停，随后经历自由落体和减速下降两个过程，直到离月面$4(\mathrm{m})$高时再度悬停。假设自由落体时间是其减速下降时间的4倍，减速下降过程的加速度$a(t)(\mathrm{m / s}^2)$的大小是减速下降时间$t(\mathrm{s})$的线性函数，即$a(t) = b - kt$（其中$b,k$为待定的正常数），月球重力加速度为$g(\mathrm{m / s}^2)$。

（1）求嫦娥三号减速下降过程的加速度$a(t)$的表达式；  
（2）若不计悬停时间，问：嫦娥三号从距月面$100(\mathrm{m})$下降到距月面$4(\mathrm{m})$过程中耗费多少时间？

---

## 十一、（8分）设  
$$
a_{n} = \int_{0}^{1}x\left|\ln x\right|^{n}\mathrm{d}x, \quad n = 1,2,\dots。
$$
（1）试建立$a_{n}$的递推公式；  
（2）求极限  
$$
\lim_{n\to \infty}\sqrt[n]{\frac{a_{n}}{n!}}。
$$

---

## 十二、（8分）设  
$$
P_{n}(x) = 1 + x + \frac{x^{2}}{2!} + \dots + \frac{x^{n}}{n!}, \quad x\in (-\infty , + \infty)，
$$
其中$n$为正整数。

（1）证明：当$x > 0$时，有  
$$
\left(1 + \frac{x}{n}\right)^{n} < P_{n}(x) < e^{x}。
$$
（2）证明：当$n$为偶数时，方程$P_{n}(x) = 0$无实根；当$n$为奇数时，方程$P_{n}(x) = 0$恰好有一个实根。

---

**注意：**  
1. 所有答题都须写在此试卷纸密封线右边，写在其它纸上一律无效。  
2. 密封线外不得有姓名及相关标记。  
3. 当题目留空不够时，可写在试卷反面，但密封线内请勿答题。