
>[!information] 做题思路
>通过矩阵的秩的不等式，最大限度限制所求的表达式的取值范围，或者将其**限制到一个具体的值**.
>在希望求一个矩阵的秩的确切值时，也可以考虑用不等式关系来“夹逼”，常见的不等式：
>1. $\mathrm{rank}\boldsymbol{A}+\mathrm{rank}\boldsymbol{B}-n\le\mathrm{rank}(\boldsymbol{AB})\le\min{\{\mathrm{rank}\boldsymbol{A}, \mathrm{rank}\boldsymbol{B}\}}$
>2. $\mathrm{rank}(\boldsymbol{A+B})<\mathrm{rank}\boldsymbol A+\mathrm{rank}\boldsymbol B$
>3. 矩阵加边不会减小秩；
>
>特别的，在遇到诸如 $AB=O$ 的情况，务必要想到$\mathrm{rank}\boldsymbol{A}+\mathrm{rank}\boldsymbol{B}-n\le\mathrm{rank}(\boldsymbol{AB}) \Rightarrow \mathrm{rank}\boldsymbol{A}+\mathrm{rank}\boldsymbol{B}\le n$

9. （20分）设 $A$ 是 $m\times n$ 实矩阵， $\beta \neq 0$ 是 $m$ 维实列向量，证明：
	(1) $\mathrm{rank}A=\mathrm{rank}(A^\mathrm{T}A)$ .
	(2) 线性方程组 $A^\mathrm{T}Ax = A^\mathrm{T}\beta$ 有解.
 证明如下：
>(1)（10分）
> 对于方程组$Ax=0$ (a)和 $A^\mathrm{T}Ax=0$ (b)，b的解空间一定包含a的解空间（5分）；
>而方程b两边同时乘以$x^\mathrm{T}$，得 $x^\mathrm{T}A^\mathrm{T}Ax=0$ ，即 $(x^\mathrm{T}A^\mathrm{T})(Ax)=0 \to Ax=0$，
>所以a的解空间包含b的解空间（5分），
>所以a,b同解，所以$\mathrm{rank}A=\mathrm{rank}{A^\mathrm{T}A}$
>(2) （10分）
>$A^\mathrm{T}Ax=A^\mathrm{T}\beta \iff \mathrm{rank}(A^\mathrm{T}A)=\mathrm{rank}(\begin{bmatrix}A^\mathrm{T}A&A^\mathrm{T}\beta\end{bmatrix})$
>而由(1)的结论得等式左边 $\mathrm{rank}(A^\mathrm{T}A)=\mathrm{rank}A$；
><span style="color:#ffff22;">关键步骤！</span> 等式右边 $\mathrm{rank}(\begin{bmatrix}A^\mathrm{T}A&A^\mathrm{T}\beta\end{bmatrix})\ge \mathrm{rank}A^\mathrm{T}A=\mathrm{rank}A$ （5分）
><span style="color:#ffff22;">关键步骤！</span> 又$\mathrm{rank}(A^\mathrm{T}\begin{bmatrix}A&\beta\end{bmatrix})\le \min{(\mathrm{rank}A^\mathrm{T},\ \mathrm{rank}\begin{bmatrix}A&\beta\end{bmatrix})}=\mathrm{rank}A$ （5分）
>所以$\mathrm{rank}(\begin{bmatrix}A^\mathrm{T}A&A^\mathrm{T}\beta\end{bmatrix})=\mathrm{rank}A$
>故 $\mathrm{rank}(A^\mathrm{T}A)=\mathrm{rank}(\begin{bmatrix}A^\mathrm{T}A&A^\mathrm{T}\beta\end{bmatrix})$ 得证.