# 2013—2014学年秋季学期《高等数学》考试试卷（A）卷  
（2014年1月24日）

**考试形式：闭卷**  
**考试时间：150分钟**  
**满分：100分**

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## 一、填空题（共5小题，每小题3分，共15分）

1. 函数  
$$
   f(x) = \left\{
   \begin{array}{ll}
   e^{-x}, & x\geq 0,\\
   x - 1, & x< 0
   \end{array}
   \right.
$$
   的反函数的定义域为 __________。

2. 若级数$\sum_{n = 1}^{\infty}\dfrac{(-1)^n}{n^p}\sin \left(\dfrac{1}{\sqrt{n}}\right)$绝对收敛，则常数$p$的取值范围是 __________。

3. 曲线$y = \ln (\sec x + \tan x)$在$(0,0)$处的切线方程为 __________。

4. 不定积分  
$$
   \int \dfrac{\ln(2x + 1)}{2x + 1}\mathrm{d}x
$$
   的计算结果为 __________。

5. 记$S$为区间$[1, + \infty)$上介于曲线$y = \dfrac{1}{\sqrt{x^2 + x}}$与$x$轴之间的无界图形，则$S$绕$x$轴旋转一周所得的旋转体的体积为 __________。

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## 二、选择题（共5小题，每小题3分，共15分）

1. 设$y = f(x)$是区间$[-a,a]$上可导的偶函数，则下列函数中在区间$[-a,a]$上一定为偶函数的是（ ）。

   （A）$f^{\prime}(x)$
   （B）$x^{2}f^{\prime}(x)$
   （C）$\int_{0}^{x}f(t)\mathrm{d}t$
   （D）$\int_{0}^{x}xf(t)\mathrm{d}t$

2. 曲线$y = (x - 1)(x - 2)^{2}(x - 3)^{3}$的拐点个数为（ ）。

   （A）1  
   （B）2  
   （C）3  
   （D）4

3. 设$y = f(x)$是$(0, + \infty)$内正值、连续且严格单调减少的函数。下列表格分别给出了函数$g(x) = \int_{x}^{2}f(t)\mathrm{d}t$在点$x = 1,2,3$处的值，则可能出现的情形是（ ）。

   |$x$|$g(x)$|
   |------|----------|
   | 1    | -2       |
   | 2    | 0        |
   | 3    | 1        |

   |$x$|$g(x)$|
   |------|----------|
   | 1    | -2       |
   | 2    | 0        |
   | 3    | 3        |

   |$x$|$g(x)$|
   |------|----------|
   | 1    | 2        |
   | 2    | 0        |
   | 3    | -1       |

   |$x$|$g(x)$|
   |------|----------|
   | 1    | 2        |
   | 2    | 0        |
   | 3    | 1        |

   （A）第一表  
   （B）第二表  
   （C）第三表  
   （D）第四表

4. 设函数$y = f(x)$具有二阶导数，且$f^{\prime}(x)< 0,f^{\prime \prime}(x)< 0$，$\Delta x$为自变量$x$在点$x_{0}$处的增量，$\Delta y$与$\mathrm{d}y$分别为$f(x)$在点$x_{0}$处的增量与微分，若$\Delta x > 0$，则（ ）。

   （A）$0< \mathrm{d}y< \Delta y$
   （B）$0< \Delta y< \mathrm{d}y$
   （C）$\Delta y< \mathrm{d}y< 0$
   （D）$\mathrm{d}y< \Delta y< 0$

5. 设函数$y = f(x)$二阶可导，其图形在$(0,1)$处的曲率圆的方程为$(x - 1)^{2} + y^{2} = 2$，则函数$f(x)$的二阶带佩亚诺余项的麦克劳林公式为（ ）。

   （A）$f(x) = 1 - x + x^{2} + o(x^{2})$
   （B）$f(x) = 1 + x - x^{2} + o(x^{2})$
   （C）$f(x) = 1 + x - 2x^{2} + o(x^{2})$
   （D）$f(x) = 1 - x - 2x^{2} + o(x^{2})$

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## 三、（6分）求极限  
$$
\lim_{n\to \infty}n\left(\frac{1}{n^2 + \pi} + \frac{1}{n^2 + 2\pi} + \dots + \frac{1}{n^2 + n\pi}\right)。
$$

## 四、（6分）求曲线$y = \dfrac{1}{x} + \dfrac{x^2}{\sqrt{1 + x^2}}$的所有渐近线。

## 五、（6分）已知数列$\{a_n\}$有界，试用$\epsilon - N$语言证明  
$$
\lim_{n\to \infty}\dfrac{a_n}{n} = 0。
$$

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## 六、（6分）设  
$$
\left\{
\begin{array}{l}
x = \cos (t^2),\\
y = \int_{0}^{t^2} e^{-s^2} \sin u \mathrm{d}u,
\end{array}
\right.
$$
求$\dfrac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}, \dfrac{\mathrm{d}^2 y}{\mathrm{d}x^2}$。

## 七、（6分）已知$a$为正常数，试判断级数  
$$
\sum_{n = 1}^{\infty} \dfrac{a^n \cdot n!}{n^n}
$$
的敛散性。

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## 八、（8分）已知$f^{\prime}(x) = \arctan (x^{2} - 1)$，$f(1) = 0$，求$\int_{0}^{1}f(x)\mathrm{d}x$。

*注：原试卷中此处含有一幅插图，内容为辅助图形或提示，具体内容未在文本中给出，保留说明。*

## 九、（8分）已知函数$\phi (x)$在$(- \infty , + \infty)$内具有二阶连续导数，且$\phi (0) = 0$。问：当常数$a,b$为何值时，函数  
$$
f(x) = \left\{
\begin{array}{ll}
\dfrac{\phi(x)}{x}, & x > 0,\\
ax + b, & x\leq 0
\end{array}
\right.
$$
在$(- \infty , + \infty)$内可导？并讨论$f^{\prime}(x)$的连续性。

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## 十、（8分）从1997年4月1日到2007年4月18日，我国铁路经过了七次大提速，每次大提速前，科研人员都要对铁路轨道进行检测，尤其要对弯道进行改造，为确保火车在弯道上的行驶安全，火车所受到的离心力必须平稳变化，因此要求从直道进入弯道时曲率必须是连续变化的，为此需要设计一段曲线轨道将直线轨道与圆弧轨道连接起来，称此连接轨道曲线为缓和曲线，通常选用三次多项式曲线作为缓和曲线，如图所示，$CO$为直线轨道，$AB$为圆弧轨道，$OA$为缓和曲线，已知圆弧轨道半径为$R$（km），$A$点的横坐标为$l$（km）。

（1）设缓和曲线方程为$y = ax^{3} + bx^{2} + cx + d$，试给出系数$a,b,c,d$所满足的关系式；  
（2）由于$l\ll R$，工程上通常近似地取缓和曲线的方程为$y = \dfrac{1}{6RI} x^{3}$。试验证该曲线在点$A$处的曲率半径近似为$R$。

*注：原试卷中此处含有一幅插图（第十题图），内容未在文本中给出，保留说明。*

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## 十一、（8分）已知函数  
$$
f_{n}(x) = \int_{0}^{x}t^{2}(1 - t)\sin^{2n}t\mathrm{d}t, \quad x\in (-\infty , + \infty),
$$
其中$n$为正整数。

（1）证明：对任意正整数$n$，函数$f_{n}(x)$在$x = 1$处取得最大值；  
（2）记$a_{n} = f_{n}(1), \ n = 1,2,\dots$，试判断级数$\sum_{n = 1}^{\infty} a_{n}$的敛散性。

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## 十二、（8分）已知函数$f(x)$在$[0,1]$上连续，在$(0,1)$内可导，且$f(0) = 0$，$f(1) = 1$。试证明：

（1）存在$\xi \in (0,1)$，使得$f'(\xi) = 2\xi$；  
（2）对任意正数$a,b$，在$(0,1)$内存在相异的两点$x_{1},x_{2}$，使得  
$$
\frac{a}{f'(x_1)} + \frac{b}{f'(x_2)} = a + b。
$$

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**注意：**  
1. 所有答题都须写在此试卷纸密封线右边，写在其它纸上一律无效。  
2. 密封线外不得有姓名及相关标记。  
3. 当题目留空不够时，可写在试卷反面，但密封线内请勿答题。