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**编委会（不分先后，姓氏首字母顺序）：陈峰华   陈玉阶   程奕铭   韩魏   刘柯妤   卢吉辚   王嘉兴   王轲楠   彭靖翔   郑哲航   钟宇哲   支宝宁

# 单方程组解的问题

### 线性方程组解的判定

对非齐次线性方程组 $A_{m\times n}x=b$,
1. 无解的充要条件是 $\text{rank}A < \text{rank}[A\ \ b]$；
2. 有唯一解的充要条件是 $\text{rank}A = \text{rank}[A\ \ b] = n$；
3. 有无穷多解的充要条件是 $\text{rank}A = \text{rank}[A\ \ b] < n$。
注:上述定理也说明非齐次线性方程组有解的充要条件是 $\text{rank}A = \text{rank}[A\ \ b]$。

把以上结论应用到齐次线性方程组，可得
推论 齐次线性方程组 $A_{m\times n}x=0$ 有非零解（无穷多解）的充要条件是 $\text{rank}A < n$，即系数矩阵的秩小于未知数个数。

### 矩阵方程解的判定

本质上和线性方程组是一脉相承的，只是形式上更一般化。
最常见的矩阵方程是 $\boldsymbol{AX} = \boldsymbol{B}$，其中$\boldsymbol{A}$是 $m\times n$ 矩阵，$\boldsymbol{B}$ 是 $m\times p$ 矩阵，$\boldsymbol{X}$ 是待求的$n\times p$矩阵。
1. 有解的充要条件：
矩阵方程有解的充要条件是系数矩阵 $\boldsymbol{A}$ 的秩等于增广矩阵 $[\boldsymbol{A} \ \boldsymbol{B}]$的秩，即：
$$r(\boldsymbol{A}) = r([\boldsymbol{A} \ \boldsymbol{B}])$$
这个结论和非齐次线性方程组有解的条件完全一致。

理解上可以将 $B$ 拆分成一列列 $b$ ，从而化归为上面的线性方程组问题

2. 解的结构：
- 唯一解：当$r(\boldsymbol{A}) = r([\boldsymbol{A} \ \boldsymbol{B}]) = n$ 时，方程有唯一解。
- 无穷多解：当 $r(\boldsymbol{A}) = r([\boldsymbol{A} \ \boldsymbol{B}]) < n$ 时，方程有无穷多解。
 
可逆矩阵
- 当 $\boldsymbol{A}$ 是 n 阶可逆矩阵时，矩阵方程 $\boldsymbol{AX} = \boldsymbol{B}$有唯一解:$\boldsymbol{X} = \boldsymbol{A}^{-1}\boldsymbol{B}$

其他形式的矩阵方程
- 对于 $\boldsymbol{XA} = \boldsymbol{B}$ 形式的方程，可以转置为 $\boldsymbol{A}^T\boldsymbol{X}^T = \boldsymbol{B}^T$，再套用上述方法，或类似于方程 $AX = B$ 有解的充要条件是$\text{rank} \begin{bmatrix} A & B \end{bmatrix} = \text{rank}A$，由方程 $XA = B$ 有解可知 $\text{rank} \begin{bmatrix} A \\ B \end{bmatrix} =\text{rank}A$
- 对于 $\boldsymbol{AXB} = \boldsymbol{C}$ 形式的方程，当 $\boldsymbol{A} 和 \boldsymbol{B}$ 都可逆时，有唯一解 $\boldsymbol{X} = \boldsymbol{A}^{-1}\boldsymbol{C}\boldsymbol{B}^{-1}$。

>[!example] **例1**
>设矩阵
>$$A = \begin{bmatrix}
1 & a_1 & a_1^2 & a_1^3 \\
1 & a_2 & a_2^2 & a_2^3 \\
1 & a_3 & a_3^2 & a_3^3 \\
1 & a_4 & a_4^2 & a_4^3
\end{bmatrix},
\quad
x = \begin{bmatrix}
x_1 \\ x_2 \\ x_3 \\ x_4
\end{bmatrix},
\quad
b = \begin{bmatrix}
1 \\ 1 \\ 1 \\ 1
\end{bmatrix}$$
其中常数 $a_1, a_2, a_3, a_4$ 互不相等，则线性方程组 $Ax = b$ 的解为 ______________。

**答**：$(1,0,0,0)^T$。

**解析**：由范德蒙行列式的性质可知 $|A| \neq 0$，从而线性方程组 $Ax = b$ 有唯一解。

又由
$$
\begin{bmatrix}
1 & a_1 & a_1^2 & a_1^3 \\
1 & a_2 & a_2^2 & a_2^3 \\
1 & a_3 & a_3^2 & a_3^3 \\
1 & a_4 & a_4^2 & a_4^3
\end{bmatrix}
\begin{bmatrix}
1 \\
0 \\
0 \\
0
\end{bmatrix}
=
\begin{bmatrix}
1 \\
1 \\
1 \\
1
\end{bmatrix}
$$
 可知 $Ax = b$ 的解为
$$
\begin{bmatrix}
1 \\
0 \\
0 \\
0
\end{bmatrix}
$$

>[!example] **例2**
> 设 $A, B$ 均为 $n$ 阶方阵，满足$\text{rank} \begin{bmatrix} A \\ B \end{bmatrix} = \text{rank}B,$ 且方程 $XA = B$ 有解。若 $\operatorname{rank} A = k$，则$\text{rank} \begin{bmatrix} B & O \\ A & E \end{bmatrix} =\underline{\hspace{3cm}}.$

**解析**：
类似于方程 $AX = B$ 有解的充要条件是$\text{rank} \begin{bmatrix} A & B \end{bmatrix} = \text{rank}A$，由方程 $XA = B$ 有解可知 $\text{rank} \begin{bmatrix} A \\ B \end{bmatrix} = \text{rank}B=\text{rank}A=k$，由初等变换不改变秩得$$\text{rank} \begin{bmatrix} B & O \\ A & E \end{bmatrix} =\text{rank} \begin{bmatrix} B & O \\ O & E \end{bmatrix}=n+k$$
# 多方程组的问题（线性方程组同解）

## **$Ax=0$与$Bx=0$同解问题**：

充要条件：$rankA=rankB=rank\begin{bmatrix} A \\ B\end{bmatrix}$.
$Ax=\alpha$ 与$Bx=\beta$同解问题：
充要条件：$rank\begin{bmatrix} A & \alpha\end{bmatrix}=rank\begin{bmatrix} B &\beta\end{bmatrix}=rank\begin{bmatrix} A &\alpha\\ B&\beta\end{bmatrix}$.

如何理解（非严格证明，目的是便于理解）：
首先，为了简化问题，我们只考虑齐次线性方程组同解问题，对于$Ax=0$与$Bx=0$，
考虑这两个齐次线性方程组的解空间，分别记为$N(A)$,$N(B)$,这两个集合是完全相同的，
可以得到$N(A)\subset N(B)$,以及$N(B)\subset N(A)$.
$N(A)\subset N(B)$可以得到什么呢？

说明$Ax=0$的解比较少，$Bx=0$的解比较多，一个方程组解多就说明他的方程限制相对宽松，解少则说明方程要求比较严格。换言之，$Bx=0$的每个方程是由$Ax=0$的方程线性表示的,同理$N(B)\subset N(A)$ 可以得到 $Ax=0$ 的每个方程是由 $Bx=0$ 的方程线性表示的，进而说明这两个系数矩阵的行向量能够互相线性表示，即行向量组等价.用秩的语言表示：$rankA=rankB=rank\begin{bmatrix} A \\ B\end{bmatrix}$.

另一个角度：这两个矩阵化成最简行阶梯型，是相同的，进行化简的时候只用到行变换，故它们的行向量组等价.

需要注意的是,这个条件是充要的.非常的好用.
非齐次的时候同理.

注意：由此，我们还能得到一些别的结论
例如：$A$ 和 $B$ 等价（可以通过初等变换得到），并不能得到两方程同解，因为等价的初等变换可能包括初等列变换，而列变换可能改变两方程的解

>[!example] 例1
>6. 已知方程组$\quad\begin{cases}x_1 + 2x_2 + 3x_3 = 0, \\2x_1 + 3x_2 + 5x_3 = 0, \\x_1 + x_2 + ax_3 = 0,\end{cases}$   与$\quad\begin{cases}x_1 + bx_2 + cx_3 = 0, \\2x_1 + b^2x_2 + (c+1)x_3 = 0\end{cases}$同解，则
   (A) $a = 1, b = 0, c = 1$;  
   (B) $a = 1, b = 1, c = 2$;  
   (C) $a = 2, b = 0, c = 1$;  
   (D) $a = 2, b = 1, c = 2$.

解析：类似于方程 $AX = B$ 有解的充要条件是$\text{rank} \begin{bmatrix} A & B \end{bmatrix} = \text{rank}A$，由方程 $XA = B$ 有解可知 $\text{rank} \begin{bmatrix} A \\ B \end{bmatrix} = \text{rank}B=\text{rank}A=k$，由初等变换不改变秩得$$\text{rank} \begin{bmatrix} B & O \\ A & E \end{bmatrix} =\text{rank} \begin{bmatrix} B & O \\ O & E \end{bmatrix}=n+k$$
# 线性方程组的系数矩阵与解关系

在研究线性方程组的解的性质（例如维数）时，我们通常要与其系数矩阵本身的性质产生联系：

>[!note] 定理1：
>对于齐次方程组 $\boldsymbol{A}_{m \times n}\boldsymbol{x}=\boldsymbol{0}$，设$\mathrm{rank}\boldsymbol{A}=r$，则
> $$\dim N(\boldsymbol{A})=n-r$$

> [!example] 例1 
> 已知三阶方阵 $A=\begin{bmatrix}\alpha_1&\alpha_2&\alpha_3\end{bmatrix}$ 有三个不同的特征值，其中$\alpha_3=2\alpha_1+\alpha_2$，若 $\beta=\alpha_1+3\alpha_2+4\alpha_3$ ，求线性方程组 $Ax=\beta$ 的通解.
 $\begin{bmatrix}1\\3\\4\end{bmatrix}+k\begin{bmatrix}2\\1\\-1\end{bmatrix}, k\in\mathbb{R}$
 
>解析：由 $\alpha_3=2\alpha_1+\alpha_2$ 可得 $A$ 的列向量组线性相关， $|A|=0$；又因为 $A$ 的三个特征值各不相同，故 $A$ 有两个不为零的特征值 $\lambda_1,\lambda_2$，且 $A$ 可相似对角化，即 $A=P^{-1}\begin{bmatrix}\lambda_1&&\\&\lambda_2&\\&&0\end{bmatrix}P$，$\mathrm{rank}A=\mathrm{rank}(P^{-1}\begin{bmatrix}\lambda_1&&\\&\lambda_2&\\&&0\end{bmatrix}P)=\mathrm{rank}\begin{bmatrix}\lambda_1&&\\&\lambda_2&\\&&0\end{bmatrix}=2$
>故 $Ax=0$ 的解空间维数是 $1$ （5分）
>$\beta=\alpha_1+3\alpha_2+4\alpha_3$，所以 $(1,3,4)^\mathrm{T}$ 为特解；（5分）
>$\alpha_3=2\alpha_1+\alpha_2$，所以$A\begin{bmatrix}2k\\k\\-k\end{bmatrix}=2\alpha_1+\alpha_2-\alpha_3=0$，所以 $(2,1,-1)^\mathrm{T}$ 为基础解系；（10分）
>解空间维数是 $1$ ，方程的解 $\begin{bmatrix}1\\3\\4\end{bmatrix}+k\begin{bmatrix}2\\1\\-1\end{bmatrix}, k\in\mathbb{R}$ 维数是 $1$，该解完备

> [!example] 例2
> 设 $$
A = \begin{bmatrix} 
1 & -1 & 0 & -1 \\ 
1 & 1 & 0 & 3 \\ 
2 & 1 & 2 & 6 
\end{bmatrix}, \quad 
B = \begin{bmatrix} 
1 & 0 & 1 & 2 \\ 
1 & -1 & a & a-1 \\ 
2 & -3 & 2 & -2 
\end{bmatrix},$$
向量 $$
\alpha = \begin{bmatrix} 0 \\ 2 \\ 3 \end{bmatrix}, \quad 
\beta = \begin{bmatrix} 1 \\ 0 \\ -1 \end{bmatrix}.$$
(1) 证明：方程组 $Ax = \alpha$ 的解均为方程组 $Bx = \beta$ 的解；
(2) 若方程组 $Ax = \alpha$ 与方程组 $Bx = \beta$ 不同解，求 $a$ 的值。

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**解：**

(1) 由于
$$
\left( \begin{array}{c}
A \quad \alpha \\
B \quad \beta 
\end{array} \right) =
\left( \begin{array}{ccccc}
1 & -1 & 0 & -1 & 0 \\
1 & 1 & 0 & 3 & 2 \\
2 & 1 & 2 & 6 & 3 \\
1 & 0 & 1 & 2 & 1 \\
1 & -1 & a & a-1 & 0 \\
2 & -3 & 2 & -2 & -1 
\end{array} \right)
$$
$$
\rightarrow
\left( \begin{array}{ccccc}
1 & -1 & 0 & -1 & 0 \\
0 & 1 & 0 & 2 & 1 \\
0 & 0 & 2 & 2 & 0 \\
0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 0 & 0 & 0 
\end{array} \right),
$$
故 
$$
R \left( \begin{array}{c}
A \quad \alpha \\
B \quad \beta 
\end{array} \right) = R(A, \alpha),
$$
从而方程组 
$$
\begin{cases}
Ax = \alpha, \\
Bx = \beta
\end{cases}
$$
与 $Ax = \alpha$ 同解，故 $Ax = \alpha$ 的解均为 $Bx = \beta$ 的解。

(2) 由于 $Ax = \alpha$ 的解均为 $Bx = \beta$ 的解，若 $Ax = \alpha$ 与 $Bx = \beta$ 同解，则与题意矛盾，故 $Ax = \alpha$ 的解是 $Bx = \beta$ 解的真子集。于是 $Ax = 0$ 的基础解系中解向量的个数小于 $Bx = 0$ 的基础解系中解向量的个数，即
$$
4 - R(A) < 4 - R(B),
$$
故 $R(A) > R(B)$。又因 $R(A) = 3$，故 $R(B) < 3$，则
$$
\left| \begin{array}{ccc}
1 & 0 & 1 \\
1 & -1 & a \\
2 & -3 & 2 
\end{array} \right| = 0,
$$
解得 $a = 1$。

# 秩的不等式

### 1. 和的秩不超过秩的和

设 $A, B$ 为同型矩阵，则  
$$ \operatorname{rank}(A+B) \leq \operatorname{rank} A + \operatorname{rank} B $$

### 2. 积的秩不超过任何因子的秩

设 $A_{m \times n}, B_{n \times k}$，则  
$$ \operatorname{rank}(AB) \leq \min\{\operatorname{rank} A, \operatorname{rank} B\} $$

### 3. 重要不等式

设 $A_{m \times n}, B_{n \times k}$，则  
$$ \operatorname{rank}(AB) \geq \operatorname{rank} A + \operatorname{rank} B - n $$ 
特别地，当 $AB = 0$ 时，有 $\operatorname{rank} A + \operatorname{rank} B \leq n$。 

### 4. 分块式

设 $A_{n \times n}$， $B_{n \times n}$，则

$$(1)\ \mathrm{rank}  

\begin{bmatrix}
A \\
B
\end{bmatrix} \geq \text{rank } A, \quad \text{rank } 
\begin{bmatrix}
A \\
B
\end{bmatrix} \geq \text{rank } B
$$

$$(2)\ \mathrm{rank}  
\begin{bmatrix}
A & 0 \\
0 & B
\end{bmatrix} = \text{rank } A + \text{rank } B
$$

$$(3)\ \mathrm{rank}  
\begin{bmatrix}
A & E_n \\
0 & B
\end{bmatrix} \geq \text{rank } A + \text{rank } B
$$

$$(4)\ \mathrm{rank}  
\begin{bmatrix}
A & 0 \\
0 & B
\end{bmatrix} = \text{rank } 
\begin{bmatrix}
A & B \\
0 & B
\end{bmatrix} = \text{rank } 
\begin{bmatrix}
A + B & B \\
B & B
\end{bmatrix} \geq \text{rank } (A + B)
$$

>[!information] 思路1
>通过矩阵的秩的不等式，最大限度限制所求的表达式的取值范围，或者将其**限制到一个具体的值**.
>在希望求一个矩阵的秩的确切值时，也可以考虑用不等式关系来“夹逼”，常见的不等式：
>1. $\mathrm{rank}\boldsymbol{A}+\mathrm{rank}\boldsymbol{B}-n\le\mathrm{rank}(\boldsymbol{AB})\le\min{\{\mathrm{rank}\boldsymbol{A}, \mathrm{rank}\boldsymbol{B}\}}$
>2. $\mathrm{rank}(\boldsymbol{A+B})<\mathrm{rank}\boldsymbol A+\mathrm{rank}\boldsymbol B$
>3. 矩阵加边不会减小秩；
>

> [!note] 思路2
> 在遇到诸如 $AB=O$ 的情况，务必要想到$\mathrm{rank}\boldsymbol{A}+\mathrm{rank}\boldsymbol{B}-n\le\mathrm{rank}(\boldsymbol{AB}) \Rightarrow \mathrm{rank}\boldsymbol{A}+\mathrm{rank}\boldsymbol{B}\le n$



>[!example] 例3
>已知$\boldsymbol{A},\boldsymbol{B}$均为$m\times n$矩阵，$\beta_1,\beta_2$为$m$维列向量，则下列选项正确的有[   ]
(A)若$\mathrm{rank}\boldsymbol{A}=m$，则对于任意$m$维列向量$\boldsymbol{b},\boldsymbol{A}\boldsymbol{x}=\boldsymbol{b}$总有解.
(B)若$\boldsymbol{A}$与$\boldsymbol{B}$等价，则齐次线性方程组$\boldsymbol{A}\boldsymbol{x}=\boldsymbol{0}$与$\boldsymbol{B}\boldsymbol{x}=\boldsymbol{0}$同解.
(C)矩阵方程$\boldsymbol{A}\boldsymbol{X}=\boldsymbol{B}$有解，但$\boldsymbol{B}\boldsymbol{Y}=\boldsymbol{A}$无解的充要条件是$$\mathrm{rank}\boldsymbol{B}<\mathrm{rank}\boldsymbol{A}=\mathrm{rank}[\boldsymbol{A\ B}].$$
(D)线性方程组$\boldsymbol{A}\boldsymbol{x}=\boldsymbol{\beta_1}$与$\boldsymbol{A}\boldsymbol{x}=\boldsymbol{\beta_2}$同时有解当且仅当$$\mathrm{rank}\boldsymbol{A}=\mathrm{rank}[\boldsymbol{A\ \beta_1\ \beta_2}].$$

**解：**
(A)一方面$\mathrm{rank}[\boldsymbol{A\ b}]\ge \mathrm{rank}\boldsymbol{A}=m$,另一方面矩阵$[\boldsymbol{A\ b}]$只有$m$行，所以它的秩必然不大于$m$，所以$\mathrm{rank}[\boldsymbol{A\ b}]=m=\mathrm{rank}\boldsymbol{A}$，即方程$\boldsymbol{A}\boldsymbol{x}=\boldsymbol{b}$总有解。

(B)等价的矩阵只需要是经过初等变换可以变成同一个矩阵就行了，但齐次线性方程组同解需要只经过初等行变换就能变成同一个矩阵才行，后一个条件明显更强，所以后一种更“难”达成，B就不对。

(C)方程$\boldsymbol{A}\boldsymbol{X}=\boldsymbol{B}$有解$\Leftrightarrow\mathrm{rank}[\boldsymbol{A\ B}]=\mathrm{rank}\boldsymbol{A}$,方程$\boldsymbol{B}\boldsymbol{Y}=\boldsymbol{A}$无解$\Leftrightarrow\mathrm{rank}\boldsymbol{B}<\mathrm{rank}[\boldsymbol{B\ A}]$,而$\mathrm{rank}[\boldsymbol{A\ B}]=\mathrm{rank}[\boldsymbol{B\ A}]$,故C正确。这是纯形式化的解答，不过当然是正确的。但是怎么理解这个结果呢？$\boldsymbol{A}\boldsymbol{X}=\boldsymbol{B}$有解，就是说我们可以用矩阵$\boldsymbol{A}$表示矩阵$\boldsymbol{B}$,也就是说，$\boldsymbol{A}$中包含了$\boldsymbol{B}$中的所有信息，也就是$\mathrm{rank}\boldsymbol{A}\ge\mathrm{rank}\boldsymbol{B}$；另一方面，$\boldsymbol{BY}=\boldsymbol{A}$无解说明我们无法用矩阵$\boldsymbol{B}$表示矩阵$\boldsymbol{A}$，也就是说，$\boldsymbol{B}$中没有包含$\boldsymbol{A}$中的所有信息，那么$\mathrm{rank}\boldsymbol{B}<\mathrm{rank}\boldsymbol{A}$；再加上有解的充要条件得出C正确。

(D)我们同样有两种方法去解这道题，一种是形式化的、严谨的，另一种是理解性的、直观的。
1)线性方程组$\boldsymbol{A}\boldsymbol{x}=\boldsymbol{\beta_1}$与$\boldsymbol{A}\boldsymbol{x}=\boldsymbol{\beta_2}$同时有解$\Leftrightarrow\mathrm{rank}\boldsymbol{A}=\mathrm{rank}[\boldsymbol{A\ \beta_1}]=\mathrm{rank}[\boldsymbol{A\ \beta_2}]$,故$\mathrm{rank}\boldsymbol{A}=\mathrm{rank}[\boldsymbol{A\ \beta_1\ \beta_2}]$。
2)也可以从初等变换的角度来理解，方程$\boldsymbol{A}\boldsymbol{x}=\boldsymbol{\beta_1}$有解说明$\boldsymbol{\beta_1}$可以用$\boldsymbol{A}$的列向量线性表示，从而$[\boldsymbol{A\ \beta_1}]$可以通过初等列变换变成$[\boldsymbol{A\ O}]$，故$\mathrm{rank}\boldsymbol{A}=\mathrm{rank}[\boldsymbol{A\ \beta_1}]$；同理可以得出关于$\boldsymbol{\beta_2}$的结论。
3)同样，怎么直观地理解？我们一样用信息量的观点去看。方程$\boldsymbol{A}\boldsymbol{x}=\boldsymbol{\beta_1}$有解，意味着$\boldsymbol{A}$中包含了$\boldsymbol{\beta_1}$中的所有信息，同理，$\boldsymbol{A}$中也包含了$\boldsymbol{\beta_2}$中的所有信息，这就意味着矩阵$[\boldsymbol{A\ \beta_1\ \beta_2}]$中所有的信息其实只需要用$\boldsymbol{A}$就可以表示，故$\mathrm{rank}\boldsymbol{A}=\mathrm{rank}[\boldsymbol{A\ \beta_1\ \beta_2}]$,反过来也是一样的。这就说明D是正确的。

根据上面的题目，我们可不可以归纳出一种比较普遍的方式，去解决这种与秩和方程组解都有密切关系的题目呢？