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  - 编写小组
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**内部资料，禁止传播**
**编委会（不分先后，姓氏首字母顺序）：程奕铭   韩魏   刘柯妤   卢吉辚   王轲楠   支宝宁  郑哲航**

# 子数列及其相关定理

## 一、子数列的概念与性质

### 1. 原理

子数列是从一个给定数列 $\{a_n\}$ 中，按照**下标严格递增**的方式（即 $n_1 < n_2 < n_3 < \cdots$）选取无穷多项，构成的新数列 $\{a_{n_k}\}$。

若 $\{a_{n_k}\}$ 为 $\{a_n\}$ 的子数列，则 $a_{n_k}$ 是新数列的第 $k$ 项，是原数列的第 $n_{k}$ 项，而中间可能有些项没有选，因此有 $$n_k
\geqslant k\ (k=1,2,3,\cdots)$$
**核心性质**：若原数列 $\{a_n\}$ 收敛于极限 $L$，则它的**任何**子数列 $\{a_{n_k}\}$ 也必定收敛于**同一极限** $L$。

**逆否命题**：如果能从原数列中找到**两个收敛于不同极限**的子数列，或者找到一个**发散**的子数列，则可断定原数列**发散**。

### 2. 适用条件
- 适用于任何实数数列
- 是分析数列收敛/发散性、极限值以及数列内部结构的通用工具

### 3. 优势与劣势
**优势**：
- **判定发散**：非常强大。只需找到两个极限不同的子数列，即可轻松证明原数列发散
  - 例：数列 $(-1)^n$，取奇数项子数列收敛于 $-1$，偶数项收敛于 $1$，故原数列发散
- **探索极限点**：可以用于研究数列的聚点（极限点）、上极限和下极限
- **局部推断整体**：通过分析具有代表性的子数列，有时可以窥探原数列的整体趋势

**劣势**：
- **不能单独证明收敛**：一个数列的某个（甚至某些）子数列收敛，**不能**推出原数列收敛
- **构造难度**：有时为了证明发散，需要巧妙地构造出特定的子数列，这需要一定的洞察力

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## 二、拉链定理（奇偶子列定理）

### 1. 原理
这是子列性质的一个特例和重要应用。

**定理表述**：数列 $\{x_n\}$ 收敛的**充要条件**是，它的**奇数项子列** $\{x_{2k-1}\}$ 与**偶数项子列** $\{x_{2k}\}$ 都收敛，且
$$
\lim_{k \to \infty} x_{2k-1} = \lim_{k \to \infty} x_{2k}
$$
当条件满足时，原数列的极限等于这个公共值。

**直观理解**：就像拉链的两边（奇数列和偶数列）必须对齐且紧密闭合，整个数列才能收敛到一个点。

### 2. 证明

#### 1. 必要性证明（收敛 ⇒ 奇偶子列收敛且极限相等）

**已知**：$\lim\limits_{n \to \infty} x_n = a$

**证明**：
- 由于 $\{x_{2k-1}\}$ 和 $\{x_{2k}\}$ 都是 $\{x_n\}$ 的子列，根据**子列的性质**：若原数列收敛，则其任意子列收敛于同一极限。
- 因此：
  $$
  \lim_{k \to \infty} x_{2k-1} = a \quad \text{且} \quad \lim_{k \to \infty} x_{2k} = a
  $$
- 特别地，$\lim\limits_{k \to \infty} x_{2k-1} = \lim\limits_{k \to \infty} x_{2k}$。

**必要性得证**。

#### 2. 充分性证明（奇偶子列收敛且极限相等 ⇒ 收敛）

**已知**：
$$
\lim_{k \to \infty} x_{2k-1} = a, \quad \lim_{k \to \infty} x_{2k} = a
$$

**证明思路**：
要证 $\lim\limits_{n \to \infty} x_n = a$，即证：$\forall \varepsilon > 0, \exists N \in \mathbb{N}, \text{使得当 } n > N \text{ 时}, |x_n - a| < \varepsilon$。

**证明过程**：
1. 由 $\lim\limits_{k \to \infty} x_{2k-1} = a$ 知：
   $$
   \forall \varepsilon > 0, \exists K_1 \in \mathbb{N}, \text{当 } k > K_1 \text{ 时}, |x_{2k-1} - a| < \varepsilon
   $$

2. 由 $\lim\limits_{k \to \infty} x_{2k} = a$ 知：
   $$
   \forall \varepsilon > 0, \exists K_2 \in \mathbb{N}, \text{当 } k > K_2 \text{ 时}, |x_{2k} - a| < \varepsilon
   $$

3. 取 $N = \max\{2K_1 - 1, 2K_2\}$，则当 $n > N$ 时，分两种情况：
   - **若 $n$ 为奇数**，设 $n = 2k-1$，则 $k > K_1$，故 $|x_n - a| = |x_{2k-1} - a| < \varepsilon$
   - **若 $n$ 为偶数**，设 $n = 2k$，则 $k > K_2$，故 $|x_n - a| = |x_{2k} - a| < \varepsilon$

4. 综上，$\forall \varepsilon > 0, \exists N = \max\{2K_1 - 1, 2K_2\}$，使得当 $n > N$ 时，$|x_n - a| < \varepsilon$。

**由极限定义**，$\lim\limits_{n \to \infty} x_n = a$。

**充分性得证**。

### 3. 适用条件
- **特定结构**：特别适用于数列项按其下标奇偶性呈现不同规律的情形（例如，通项中含有 $(-1)^n$ 因子）。
- **充要条件**：它既是收敛的**充分条件**也是**必要条件**，因此可用于**证明收敛**（而不仅仅是发散）。

### 4. 优势与劣势
**优势**：
- **化繁为简**：将判断整个数列收敛的问题，简化为判断两个特定子列的收敛性问题。
- **功能全面**：既能用于证明收敛（当奇偶子列极限相等时），也能用于证明发散（当它们极限不等或其中一个发散时）。

**劣势**：
- **应用局限**：仅适用于能自然分解出奇偶项的情形。对于更复杂的子列结构，此定理无能为力，需回归一般子列性质。

### 5. 典型示例
**例1**：判断 $x_n = \frac{(-1)^n}{n}$ 的收敛性。
- 奇数项子列：$x_{2k-1} = -\frac{1}{2k-1} \to 0$
- 偶数项子列：$x_{2k} = \frac{1}{2k} \to 0$
- 两者极限相等，故由拉链定理，$\lim\limits_{n \to \infty} x_n = 0$。

**例2**：判断 $x_n = (-1)^n$ 的收敛性。
- 奇数项子列：$x_{2k-1} = -1 \to -1$
- 偶数项子列：$x_{2k} = 1 \to 1$
- 两者极限不等，故原数列发散。

### 6. 推广形式

此定理可推广到更一般的有限个子列情况：

**定理**：设 $\{x_n\}$ 是一个数列，若存在有限个两两无公共项的子列 $\{x_{n_k^{(1)}}\}, \{x_{n_k^{(2)}}\}, \dots, \{x_{n_k^{(m)}}\}$，满足：
1. 这些子列的并集包含 $\{x_n\}$ 中除有限项外的所有项
2. 每个子列都收敛
3. 所有子列的极限相等，均为 $a$

则原数列 $\{x_n\}$ 收敛于 $a$。

**注**：奇偶子列定理是 $m=2$ 时的特例。

**重要结论**：奇偶子列定理之所以能成为充要条件，是因为奇偶子列"覆盖"了整个数列（除有限项外）。这种"覆盖性"是关键。

### 7. 注意事项

1. 该定理仅要求奇偶子列极限存在且相等，不要求它们收敛到原数列的极限（这是由定理保证的结果）
2. 若奇偶子列中有一个发散，或两者收敛但极限不同，则原数列发散
3. 对于更复杂的振荡数列（如周期不为2），可能需要考察更多个子列

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## 三、海涅定理（归结原则）

### 1. 原理

该定理建立了**函数极限**与**数列极限**之间的桥梁。

设函数 $f(x)$ 在点 $x_0$ 的某个去心邻域内有定义。则 **$\lim\limits_{x \to x_0} f(x) = L$** 成立的**充要条件**是：对于**任意**一个满足 $\lim\limits_{n \to \infty} x_n = x_0$ 且 $x_n \neq x_0$ 的数列 $\{x_n\}$，都有 **$\lim\limits_{n \to \infty} f(x_n) = L$**。

海涅定理深刻地揭示了函数极限的本质——它与路径无关（只与趋近点有关）

### 2. 适用条件
- **核心**：讨论函数在某一点 $x_0$ 的极限（包括单侧极限）
- **要求**：函数在该点的去心邻域有定义

### 3. 优势与劣势
**优势**：
- **化归为数列极限**：可将复杂的函数极限问题转化为相对熟悉的数列极限问题
- **证明极限不存在**：这是其最强大的应用。要证明 $\lim\limits_{x \to x_0} f(x)$ 不存在，只需找到**两个**趋于 $x_0$ 的数列 $\{x_n^{(1)}\}$ 和 $\{x_n^{(2)}\}$，使得 $\lim\limits_{n \to \infty} f(x_n^{(1)}) \neq \lim\limits_{n \to \infty} f(x_n^{(2)})$
- **理论基石**：是证明许多函数极限性质的重要工具

**劣势**：
- **不能直接计算**：它通常用于证明、转化或否定，而不是一个直接的计算公式
- **"任意性"要求苛刻**：定理的条件要求对"任意"数列都成立

### 4. 典型示例
证明：$\lim\limits_{x \to 0} \sin\frac{1}{x}$ 不存在

证明过程：
取两个数列：
$$
x_n^{(1)} = \frac{1}{2n\pi} \to 0, \quad f(x_n^{(1)}) = \sin(2n\pi) = 0
$$
$$
x_n^{(2)} = \frac{1}{2n\pi + \frac{\pi}{2}} \to 0, \quad f(x_n^{(2)}) = \sin(2n\pi + \frac{\pi}{2}) = 1
$$
由于 $\lim\limits_{n \to \infty} f(x_n^{(1)}) = 0 \neq 1 = \lim\limits_{n \to \infty} f(x_n^{(2)})$，由海涅定理知 $\lim\limits_{x \to 0} \sin\frac{1}{x}$ 不存在。

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>[!example] **例1**（拉链定理）
 >设级数$\sum\limits_{n=1}^{\infty}(a_{2n-1}+a_{2n})$收敛于S，且$\lim\limits_{n \to \infty}a_n=0$，证明：级数$\sum\limits_{n=1}^{\infty}a_n$收敛于S。
 
**解析**
设$\sum\limits_{n=1}^{\infty}a_n$的部分和为$S_n$，则$\sum\limits_{n=1}^{\infty}(a_{2n-1}+a_{2n})$的部分和$T_n=S_{2n}$。
因$\sum\limits_{n=1}^{\infty}(a_{2n-1}+a_{2n})$收敛于S，即有$\lim\limits_{n \to \infty}T_n=S$，所以$\lim\limits_{n \to \infty}S_{2n}=S$。
又
$$\lim\limits_{n \to \infty}S_{2n+1}=\lim\limits_{n \to \infty}(S_{2n}+a_{2n+1})=\lim\limits_{n \to \infty}S_{2n}+\lim\limits_{n \to \infty}a_{2n+1}=S$$
于是由拉链原理知$\lim\limits_{n \to \infty}S_n=S$，所以由级数收敛定义知级数$\sum\limits_{n=1}^{\infty}a_n$收敛于S。
 

>[!example] **例2**（拉链定理）
>设$$a_n = \left(1 + \frac{1}{n}\right) \cdot \sin\frac{n\pi}{2}$$
>证明：数列$\{a_n\}$的极限不存在。
>


**解析**
    核心方法
    利用数列子列的性质：若数列$\{a_n\}$收敛，则其所有子列必收敛于同一极限；若存在两个子列收敛于不同值，则原数列极限不存在。
    步骤1：构造第一个子列$\{a_{4k}\}（k\in\mathbb{N_+}）$
    当n=4k时，
    $$\sin\frac{4k\pi}{2} = \sin2k\pi = 0$$        因此
    $$a_{4k} = \left(1 + \frac{1}{4k}\right) \cdot 0 = 0$$
    取极限得：
$$\lim_{k \to \infty}a_{4k} = \lim_{k \to \infty}0 = 0$$
    步骤2：构造第二个子列$$\{a_{4k+1}\}（k\in\mathbb{N_+}）$$
    当n=4k+1时，
$$\sin\frac{(4k+1)\pi}{2} = \sin\left(2k\pi + \frac{\pi}{2}\right) = 1$$
     因此
$$a_{4k+1} = \left(1 + \frac{1}{4k+1}\right) \cdot 1 = 1 + \frac{1}{4k+1}$$
     取极限得：
$$\lim_{k \to \infty}a_{4k+1} = \lim_{k \to \infty}\left(1 + \frac{1}{4k+1}\right) = 1$$
    步骤3：结论
    由于子列$\{a_{4k}\}$收敛于0，子列$\{a_{4k+1}\}$收敛于1，二者极限不相等，故数列$\{a_n\}$的极限不存在。


>[!example] **例3**（海涅定理）
> 证明狄利克雷函数
$$D(x)= \begin{cases}1, & x\text{为有理数时}, \\ 0, & x\text{为无理数时}\end{cases}$$
在$(-\infty,+\infty)$上每一点都不存在极限。

**解析**

方法一：

首先考虑 $x_0$ 为有理数的情况：

1. 构造第一个数列 $\{x_n^{(1)}\}$：
   
   取 $x_n^{(1)} = x_0 + \frac{1}{n}$（有理数），则
   $$\lim\limits_{n \to \infty} x_n^{(1)} = x_0$$
   
   由于 $x_n^{(1)}$ 是有理数，所以 $D(x_n^{(1)}) = 1$，因此
   $$\lim\limits_{n \to \infty} D(x_n^{(1)}) = 1$$

2. 构造第二个数列 $\{x_n^{(2)}\}$：
   
   取 $x_n^{(2)} = x_0 + \frac{\sqrt{2}}{n}$（无理数），则
   $$\lim\limits_{n \to \infty} x_n^{(2)} = x_0$$
   
   由于 $x_n^{(2)}$ 是无理数，所以 $D(x_n^{(2)}) = 0$，因此
   $$\lim\limits_{n \to \infty} D(x_n^{(2)}) = 0$$
   
   由于
   $$\lim\limits_{n \to \infty} D(x_n^{(1)}) = 1 \neq 0 = \lim\limits_{n \to \infty} D(x_n^{(2)})$$
   
   根据海涅定理，$\lim\limits_{x \to x_0} D(x)$ 不存在。

再考虑 $x_0$ 为无理数的情况：

设 $[x_0]_n$ 为 $x_0$ 取到 $n$ 位小数后的结果，则有
$$\lim\limits_{n \to \infty} [x_0]_n = x_0$$
但是需要注意的是，极限并不是完全相等，其实相差了一个无穷小，也就是要多趋近有多趋近，但是它实质上还是一个有理数，因为它毕竟不是 $x_0$ 本身

这种思路的目的是为了找到这样一种表达式，极限是 $x_0$ 的同时，与第一种情况类似，仍是有理数

1. 构造第一个数列 $\{x_n^{(3)}\}$：
   
   取 $x_n^{(3)} = [x_0]_n$（有理数），则
   $$\lim\limits_{n \to \infty} x_n^{(3)} = x_0$$
   
   由于 $x_n^{(3)}$ 是有理数，所以 $D(x_n^{(3)}) = 1$，因此
   $$\lim\limits_{n \to \infty} D(x_n^{(3)}) = 1$$

2. 构造第二个数列 $\{x_n^{(4)}\}$：
   
   取 $x_n^{(4)} = [x_0]_n + \frac{\sqrt{2}}{n}$（无理数），则
   $$\lim\limits_{n \to \infty} x_n^{(4)} = x_0$$
   
   由于 $x_n^{(4)}$ 是无理数，所以 $D(x_n^{(4)}) = 0$，因此
   $$\lim\limits_{n \to \infty} D(x_n^{(4)}) = 0$$
   
   由于
   $$\lim\limits_{n \to \infty} D(x_n^{(3)}) = 1 \neq 0 = \lim\limits_{n \to \infty} D(x_n^{(4)})$$
   
   根据海涅定理，$\lim\limits_{x \to x_0} D(x)$ 不存在。

综上所述， $x_0$ 是任意一点时，都能得到$\lim\limits_{x \to x_0} D(x)$ 不存在，所以狄利克雷函数在任何点处都不存在极限。

方法二：利用实数的稠密性

1. **取任意实数 $a$**。
2. **构造序列**：
   - 对每个 $n \in \mathbb{N}^*$，由有理数的稠密性，存在有理数 $r_n$ 满足 $|r_n - a| < \frac{1}{n}$。
   - 对每个 $n \in \mathbb{N}^*$，由无理数的稠密性，存在无理数 $s_n$ 满足 $|s_n - a| < \frac{1}{n}$。
3. **证明序列收敛**（用 $\varepsilon$-$N$ 语言）：
   - 对任意 $\varepsilon > 0$，取 $N = \lfloor 1/\varepsilon \rfloor + 1$，则当 $n > N$ 时，$|r_n - a| < 1/n < \varepsilon$，故 $\lim r_n = a$。
   - 同理 $\lim s_n = a$。
4. **计算函数值极限**：
   - $D(r_n) = 1$，常数序列极限为 $1$。
   - $D(s_n) = 0$，常数序列极限为 $0$。
5. **应用海涅归结原理**：
   - 若 $\lim_{x \to a} D(x)$ 存在，则任何收敛于 $a$ 的序列 $\{x_n\}$ 都应有 $\lim D(x_n)$ 相等。
   - 但 $\{r_n\}$ 和 $\{s_n\}$ 都收敛于 $a$，却得到不同的极限 $1$ 和 $0$，矛盾。
1. **结论**：$\lim_{x \to a} D(x)$ 不存在，且 $a$ 任意，故 $D(x)$ 在每一点都无极限。


# 考试易错点总结

## Vol. 1:补药漏写dx口牙！

>[!example] 例题
 >设函数 $y = \ln(1 + \sin^2 x)$，求其微分 $dy$。

**解**：
对方程 $y = \ln(1 + \sin^2 x)$ 两边关于 $x$ 求导。

$$ y'= \frac{1}{1+\sin^2 x} \cdot (2\sin x \cos x) = \frac{\sin 2x}{1+\sin^2 x} $$

根据微分的定义，$dy = A dx$，而当$y$可导时，$A=y'$，故

$$ dy = \frac{\sin 2x}{1+\sin^2 x} dx $$
注意：不要漏写 $dx$ ！

## **Vol.2等价无穷小问题**

注意，等价无穷小只能用于乘除，用于加减虽然有时也会得到正确的答案，但这并不是有保证的。归根到底这是因为等价无穷小是一种**近似**，在乘除中它的近似程度还可以用，但在加减中就未必了，加减中我们需要更精确的近似方法：泰勒展开。另外重要极限也是等价无穷小的两种特殊情况。

>[!example] 例题
>求极限$$\lim\limits_{x\to0}\frac{tanx-sinx}{x^3}$$

**解**：如果直接用$tanx\sim x,sinx\sim x(x\to0)$的话，分子就会变成$0$，从而极限为$0$.
然而从另一个角度看，$$\lim\limits_{x\to0}\frac{tanx-sinx}{x^3}=\lim\limits_{x\to0}\frac{sinx-sinxcosx}{x^3cosx}=\lim\limits_{x\to0}\frac{sinx(1-cosx)}{x^3}\cdot \frac{1}{cosx}=\lim\limits_{x\to0}\frac{x\cdot\frac{1}{2}x^2}{x^3}=\frac{1}{2}.$$
两个似乎都有道理，那么到底那个是对的呢？学了泰勒展开之后，我们会知道第二种才是正确的.再看看函数图像我们也能明白这一点.

![[易错点-等价无穷小.png]]

## Vol. 3:可去间断点的说明

>[!example] 例题
 >求曲线 $y = \frac{x^2 + 2x - 3}{x^2 - 3x + 2}$ 的所有渐近线。

**解**：

函数在分母为零的点无定义。令 $x^2 - 3x + 2 = 0$，解得 $x = 1$ 和 $x = 2$。

**注：必须对这两个点分别进行讨论**。

在 $x = 1$ 处：

$$ \lim_{x \to 1} y = \lim_{x \to 1} \frac{(x+3)(x-1)}{(x-1)(x-2)} = \lim_{x \to 1} \frac{x+3}{x-2} = -4 $$

极限存在且为有限值，故 $x = 1$ 是**可去间断点**，该点处**没有**铅直渐近线。

在 $x = 2$ 处：

$$ \lim_{x \to 2} y = \lim_{x \to 2} \frac{x+3}{x-2} = \infty $$

故 $x = 2$ 处有一条**铅直渐近线** $x = 2$。

**求水平(&斜)渐近线**：

$$ \lim_{x \to \infty} y = \lim_{x \to \infty} \frac{1 + \frac{2}{x} - \frac{3}{x^2}}{1 - \frac{3}{x} + \frac{2}{x^2}} = 1 $$

因此，曲线有一条**水平渐近线** $y = 1$，无**斜渐近线**

**结论**：曲线的渐近线为 $x = 2$ 和 $y = 1$。

## Vol. 4:正项级数的判别法勿滥用

>[!example] 例题
 >判断级数 $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^{n} n^2}{3^n}$ 的敛散性（绝对收敛、条件收敛或发散）。

**错误做法示范**：观察级数 $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^{n} n^2}{3^n}$，若直接对其使用比值判别法：

$$ \lim_{n \to \infty} \left| \frac{u_{n+1}}{u_n} \right| = \lim_{n \to \infty} \frac{(n+1)^2 / 3^{n+1}}{n^2 / 3^n} = \frac{1}{3} < 1 $$


若由此断言“原级数收敛”，则犯了**滥用判别法**的错误。因为比值判别法（及比较、根值判别法）仅

在判定**正项级数**时，其结论（收敛）才直接适用于原级数本身。

**正确解法**：

这是一个**任意项级数**（具体为交错级数）。

 判断其敛散性，应先考察其是否**绝对收敛**。即，考虑由各项绝对值构成的**正项级数**：

$$ \sum_{n=1}^{\infty} \left| \frac{(-1)^{n} n^2}{3^n} \right| = \sum_{n=1}^{\infty} \frac{n^2}{3^n} $$

对上述**正项级数**使用比值判别法（此时使用是完全正确的）：

$$ \lim_{n \to \infty} \frac{a_{n+1}}{a_n} = \frac{1}{3} < 1 $$

故该正项级数收敛。

根据定义，若一个级数的绝对值级数收敛，则该级数**绝对收敛**。绝对收敛的级数必然收敛。

## Vol. 5:误用p级数

**机械地套用p级数结论，而忽视了其应用前提：指数 `p` 必须是与 `n` 无关的常数。**

> [!example] 例题1：
>$$判定\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^{1 + \frac{1}{n}}}的敛散性$$
#### ❌ 经典错误思路
1.  形式像 $1/n^p$
2.  "指数"是 $1 + 1/n$
3.  因为 $1/n > 0$，所以 $p = 1 + \frac{1}{n} > 1$ 恒成立，误判为收敛
#### ✅ 正确分析与解法
**错误原因**：$pₙ = 1 + \frac{1}{n}$ 不是常数，其极限为1。
使用比较判别法与调和级数 `∑ 1/n` 比较：
$$\lim_{n \to \infty} \frac{ \frac{1}{n^{1 + \frac{1}{n}}} }{ \frac{1}{n} } = \lim_{n \to \infty} \frac{1}{n^{1/n}} = 1$$
可知两级数敛散性相同，且调和级数发散 ⇒ 原级数**发散**。

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> [!example] 例题2：
>$$判定\sum_{n=2}^{\infty} \frac{1}{n \cdot \ln n}的敛散性$$


#### ❌ 经典错误思路
无法直接套用p级数，因多了一个 `ln n` 因子。错误地认为 `1/(nln n) < 1/n`，认为原级数收敛

#### ✅ 正确分析与解法(超纲，仅供拓展)
**正确解法**（积分判别法）：
$$
\int_{2}^{\infty} \frac{dx}{x \ln x} = \int_{\ln 2}^{\infty} \frac{du}{u} = \infty
$$
该积分发散 ⇒ 原级数**发散**。

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## Vol. 6: 条件收敛、绝对收敛、发散

**仅当利用比值/根值判别法判断出$\sum |a_n|$发散时$\Rightarrow$$\sum a_n$发散

#### 基本定义
给定一个实数（或复数）项级数 $\sum a_n$，其中 $a_n \in \mathbb{R}$ 或 $\mathbb{C}$。
1.  **绝对值级数**：$\sum |a_n|$，即每一项取绝对值后的新级数
2.  **绝对收敛**：如果 $\sum |a_n|$ 收敛，则称 $\sum a_n$ **绝对收敛**
3.  **条件收敛**：如果 $\sum a_n$ 收敛但 $\sum |a_n|$ 发散，则称 $\sum a_n$ **条件收敛**

#### 正确分析：

仅有$\sum |a_n|$ 收敛 ⇒ $\sum a_n$收敛

**证明**：
- 使用柯西收敛准则。对于任意 $\varepsilon > 0$：
  因为 $\sum |a_n|$ 收敛，由柯西准则，存在 $N$，使得当 $m > n \geq N$ 时：
  $$|a_{n+1}| + |a_{n+2}| + \cdots + |a_m| < \varepsilon$$     由三角不等式:
  $$
  |a_{n+1} + a_{n+2} + \cdots + a_m| \leq |a_{n+1}| + |a_{n+2}| + \cdots + |a_m| < \varepsilon
  $$
  因此 $\sum a_n$ 满足柯西准则 ⇒ 收敛。

同理， $\sum a_n$ 发散 ⇒ $\sum |a_n|$发散

#### 概念辨析：
1.  $\sum a_n$ 收敛 ⇒ $\sum |a_n|$收敛？
    ❌ 经典错误思路
    **反例**：交错调和级数 $\sum (-1)^{n+1}/n$
2.  $\sum |a_n|$ 发散 ⇒ $\sum a_n$发散？
    ❌ 经典错误思路
    **反例**：交错调和级数 $\sum (-1)^{n+1}/n$
3. $\sum |a_n|$ 收敛 ⇒ $\sum a_n$收敛
    ✅ 正确分析
4.  $\sum a_n$ 发散 ⇒ $\sum |a_n|$发散
    ✅ 正确分析


#### 附典型例子

| 级数                          | $\sum a_n$ | $\sum \|a_n\|$                                           | 分类   |
| --------------------------- | ---------- | -------------------------------------------------------- | ---- |
| $\sum \frac{(-1)^n}{n^2}$   | 收敛         | 收敛                                                       | 绝对收敛 |
| $\sum \frac{(-1)^{n+1}}{n}$ | 收敛         | 发散                                                       | 条件收敛 |
| $\sum \frac{1}{n}$          | 发散         | 发散                                                       | 发散   |
| $\sum (-1)^n$               | 发散（震荡）     | $\sum 1$ 发散                                              | 发散   |
| $\sum \frac{\sin n}{n^2}$   | 收敛         | $\sum \frac{\|\sin n\|}{n^2} \leq \sum \frac{1}{n^2}$ 收敛 | 绝对收敛 |

---
#### 前情提要

##### 比值判别法 (D'Alembert Ratio Test)

对于一般项 $a_n$，定义：
$$L = \lim_{n \to \infty} \left| \frac{a_{n+1}}{a_n} \right|$$

- **若 $L < 1$**：则 $\sum |a_n|$ 收敛 ⇒ $\sum a_n$ **绝对收敛**。
- **若 $L > 1$**：则 $|a_n|$ 不趋于 0 ⇒ $\sum a_n$ **发散**。
- **若 $L = 1$**：判别法**失效**，需用其他方法判断。

##### 根值判别法 (Cauchy Root Test)

对于一般项 $a_n$，定义：
$$L = \lim_{n \to \infty} \sqrt[n]{|a_n|}$$

- **若 $L < 1$**：则 $\sum |a_n|$ **收敛**。
- **若 $L > 1$**：则 $|a_n|$ 不趋于 0 ⇒ $\sum a_n$ **发散**。
- **若 $L = 1$**：判别法**失效**，需用其他方法判断。


#### 结论:
**如果利用比值判别法或根值判别法得到$\sum |a_n|$发散，则$\sum a_n$发散**

#### 证明：
- 若比值判别法或根值判别法给出L>1
- 那意味着 $∣a_n∣$ 不趋于 0（实际上 $∣a_n∣$ 递增并且远离 0），
- 因此 $a_n$ 也不趋于 0，
- 所以$a_n$ 发散。

## **Vol.7 分段函数分段点处求导问题**

分段函数分段点处无论是求导还是判断连续都必须从**左右两边的极限**分别去算，而且计算的时候一定只能**用定义**。

>[!example] 例题
>设$f(x)=\begin{cases} \frac{2}{3}x ,\ \  x\le1  \\ x^2, \ \  x>1,\end{cases}$则$f(x)$在$x=1$处的\[     \].
>（A）左右导数都存在                                         （B）左导数存在，右导数不存在   
>（C）左导数不存在，右导数存在                                     （D）左右导数都不存在

**解：**$f(1)=\frac{2}{3},f'_-(1)=\lim\limits_{x\to1^-}\frac{\frac{2}{3}x-\frac{2}{3}}{x-1}=\frac{2}{3},f'_+(1)=\lim\limits_{x\to1^+}\frac{x^2-\frac{2}{3}}{x-1}=+\infty$,故左导数存在，右导数不存在，选$B$.

## **Vol.8: 绝对收敛级数**

绝对收敛的级数满足加法交换律，也就是说，交换各项的顺序不会导致最后结果的改变。但条件收敛的级数是不满足交换律的，改变加法的顺序可能会导致最后结果的改变，甚至可能使原本收敛的级数变成发散级数。这一点了解就行，基本不会出题目给大家考。

## Vol. 9: 反函数求导  
易错：变量混淆。反函数的导数 = 原函数导数的倒数，但**自变量和因变量角色互换**。
这一点，大家都明白，但是一写在答题卡上就错了😂。
如何防止？我们可以试着用微分学来理解：
$y=f^{-1}(x)$，即$x = f(y)$，求$f^{-1'}$就是在求$\frac{dy}{dx}$，而$\frac{dy}{dx}=\frac{dy}{df(y)}=\frac{dy}{f'(y)dy}=\frac{1}{f'(y)}$
然后，就这么完了？如果就这么完了，那就真完了。
为什么？$f^{-1'}$最后应该是一个关于$x$的函数，$\frac{dy}{dx}$应当用$x$来表示。
所以，我们还需要将$y = f^{-1}(x)$代入，即：
$\frac{dy}{dx}=\frac{1}{f'(y)}=\frac{1}{f'(f^{-1}(x))}$

> [!example] 例题
> 求$d(\arcsin x)$

解：设$y=\arcsin x$，即$x=\sin y$，$dx=\cos y\ dy$，即$dy=\frac{dx}{\cos y}$
作辅助三角形
![[易错点9-1.png]]

得$\cos y=\sqrt{1-x^2}$，综上，$dy=\frac{dx}{\sqrt{1-x^2}}$，即$d(\arcsin x)=\frac{dx}{\sqrt{1-x^2}}$

## Vol. 10: 无界与无穷大的辨析

很多人都觉得无界和无穷大是同一个概念，因为它们的实在是太像了：画在坐标系上都是“直指苍穹🚀”或者“飞流直下三千尺”嘛！但是，“无界”准确来说不完全是这样。要准确辨析它们，需要回到它们的**定义**上：

无穷大的定义：$\forall M > 0, \exists \delta>0$，当$0<|x-x_0|<\delta$时有$|f(x)|>M$，称$f(x)$是当$x\rightarrow x_0$时的无穷大量

无界量的定义：由有界的定义($\exists M > 0, \forall x \in D_f,|f(x)|<M$)反推，无界的定义应该是$\forall M > 0$,
$\forall \delta>0, \exists x \in \mathring{U}(x_0,\delta)$有 $|f(x)|>M$，称$f(x)$是当$x\rightarrow x_0$时的无界量

**核心区别**：无穷大是**存在某**去心邻域内**任意**$x$都大于$M$，无界是需要对**任意**邻域**存在**一个$x$使得$|f(x)|>M$

**联系**：无穷大一定是无界量，但是无界量不一定是无穷大。

> [!example] 例题
> 无穷震荡$\lim\limits_{x\rightarrow 0}{\frac{1}{x}\sin\frac{1}{x}}$

![[易错点10-1.png]]
这个并不是无穷大——不管取的邻域有多小，我总能找到一个令$\sin\frac{1}{x}=0$的$x$，此时$\frac{1}{x}\sin\frac{1}{x}=0$。
那这个是有界的吗？也不是。这就是典型的**不是无穷大的无界量**。
详细的证明过程如下：

>对$f(x)={\frac{1}{x}\sin\frac{1}{x}}$，可以取数列$a_n=\frac{1}{2n\pi+\frac{\pi}{2}}$,
>$f(a_n)=\frac{1}{a_n} \sin\frac{1}{a_n}=2n\pi+\frac{\pi}{2}$，$\lim\limits_{n\rightarrow\infty}{f(a_n)}=+\infty$故极限无界；
>另取数列$b_n=\frac{1}{n\pi}$，$f(b_n)=0$。
>按照无穷大的定义：$\forall M > 0, \exists \delta>0$，当$0<|x-x_0|<\delta$时有$|f(x)|>M$，称$f(x)$是当$x\rightarrow x_0$时的无穷大量。
>然而，$\forall\delta>0$，$n>\frac{1}{\delta\pi}, x=b_n$时，$0<|x|<\delta$，但是$f(x)=0$，与无穷大定义不符。
>故：$\lim\limits_{x\rightarrow 0}{\frac{1}{x}\sin\frac{1}{x}}$无界，但不是无穷大

> [!example] 例2
> 双子数列$\lim\limits_{n\rightarrow \infty}{n\cos \frac{n\pi}{2}}$
>如图：
>![[易错点10-2.png]]
>与上一题思路类似，令$x_n={n\cos \frac{n\pi}{2}}$，取子数列$a_n=x_{2n-1},b_n=x_{4n}$，
>$a_n=0$，$\lim\limits_{n\rightarrow \infty}{b_n}=+\infty$，故$x_n$无界；
>按照（数列）无穷大的定义：$\forall M > 0, \exists N>0$，当$n>N$时有$x_n>M$，称$x_n$趋近无穷大
>然而，$\forall N>0$，取$n=4N$，$x_n=b_N=0$，与无穷大定义不符。故$x_n$无界但不是无穷大。