diff --git a/编写小组/试卷/1231线性代数考试卷.md b/编写小组/试卷/1231线性代数考试卷.md new file mode 100644 index 0000000..6b3f91d --- /dev/null +++ b/编写小组/试卷/1231线性代数考试卷.md @@ -0,0 +1,243 @@ +## 一、选择题，共六道，每题3分，共18分 + +1. 设 $A$ 为 $n$ 阶对称矩阵，$B$ 为 $n$ 阶反对称矩阵，下列矩阵中为反对称矩阵的是【 】 + + (A) $AB - BA$; + (B) $AB + BA$; + (C) $BAB$; + (D) $(AB)^2$. + +2.  设 $e_1, e_2$ 和 $\varepsilon_1, \varepsilon_2$ 是线性空间 $\mathbb{R}^2$ 的两组基，并且已知关系式 +$$ +\varepsilon_1 = e_1 + 5e_2,\quad \varepsilon_2 = e_2, +$$ +则由基 $e_1, e_2$ 到基 $\varepsilon_1, \varepsilon_2$ 的过渡矩阵是 + +$$ +(A) \begin{bmatrix} +-1 & 0 \\ +5 & -1 +\end{bmatrix} \quad +(B) \begin{bmatrix} +0 & -1 \\ +-6 & 0 +\end{bmatrix} \quad +(C) \begin{bmatrix} +1 & 0 \\ +-5 & -1 +\end{bmatrix} \quad +(D) \begin{bmatrix} +1 & 0 \\ +-5 & 1 +\end{bmatrix}. +$$ +3. 设向量组 + $$ + \alpha_1 = (0, 0, c_1)^T,\quad + \alpha_2 = (0, 1, c_2)^T,\quad + \alpha_3 = (1, -1, c_3)^T,\quad + \alpha_4 = (-1, 1, c_4)^T, + $$ + 其中 $c_1, c_2, c_3, c_4$ 为任意常数，则下列向量组线性相关的是【 】 + + (A) $\alpha_1, \alpha_2, \alpha_3$; + (B) $\alpha_1, \alpha_2, \alpha_4$; + (C) $\alpha_1, \alpha_3, \alpha_4$; + (D) $\alpha_2, \alpha_3, \alpha_4$. + +4. 设 $A, B$ 为 $n$ 阶矩阵，则【 】 + + (A) $\text{rank}[A \ AB] = \text{rank} A$; + (B) $\text{rank}[A \ BA] = \text{rank} A$; + (C) $\text{rank}[A \ B] = \max\{\text{rank} A, \text{rank} B\}$; + (D) $\text{rank}[A \ B] = \text{rank}[A^T \ B^T]$. + +5. 设 $A$ 可逆，将 $A$ 的第一列加上第二列的 2 倍得到 $B$，则 $A^*$ 与 $B^*$ 满足【 】 + + (A) 将 $A^*$ 的第一列加上第二列的 2 倍得到 $B^*$; + (B) 将 $A^*$ 的第一行加上第二行的 2 倍得到 $B^*$; + (C) 将 $A^*$ 的第二列加上第一列的 $(-2)$ 倍得到 $B^*$; + (D) 将 $A^*$ 的第二行加上第一行的 $(-2)$ 倍得到 $B^*$. + +6. 已知方程组 + $$ + \text{(I)} \quad + \begin{cases} + x_1 + 2x_2 + 3x_3 = 0, \\ + 2x_1 + 3x_2 + 5x_3 = 0, \\ + x_1 + x_2 + ax_3 = 0, + \end{cases} + $$ + 与 + $$ + \text{(II)} \quad + \begin{cases} + x_1 + bx_2 + cx_3 = 0, \\ + 2x_1 + b^2x_2 + (c+1)x_3 = 0 + \end{cases} + $$ + 同解，则【 】 + + (A) $a = 1, b = 0, c = 1$; + (B) $a = 1, b = 1, c = 2$; + (C) $a = 2, b = 0, c = 1$; + (D) $a = 2, b = 1, c = 2$. + +## 二、填空题，共六道，每题3分，共18分 + +7. 已知向量 $\alpha_1 = (1,0,-1,0)^T$，$\alpha_2 = (1,1,-1,-1)^T$，$\alpha_3 = (-1,0,1,1)^T$，则向量 $\alpha_1 + 2\alpha_2$ 与 $2\alpha_1 + \alpha_3$ 的内积 + $$ + \langle \alpha_1 + 2\alpha_2,\, 2\alpha_1 + \alpha_3 \rangle = \underline{\qquad\qquad}. + $$ + +8. 设2阶矩阵A=$\begin{bmatrix}3&-1\\-9&3\end{bmatrix}$，n为正整数，则$A^n=\underline{\quad\quad}$。 + + + +解析： +步骤1：分析矩阵A的幂次规律 +先计算$A^2$： + +$$A^2 = \begin{bmatrix}3&-1\\-9&3\end{bmatrix}\begin{bmatrix}3&-1\\-9&3\end{bmatrix} = \begin{bmatrix}3\times3 + (-1)\times(-9)&3\times(-1) + (-1)\times3\\-9\times3 + 3\times(-9)&-9\times(-1) + 3\times3\end{bmatrix} = \begin{bmatrix}18&-6\\-54&18\end{bmatrix} = 6\begin{bmatrix}3&-1\\-9&3\end{bmatrix} = 6A$$ + +由此递推： +- $$A^3 = A^2 \cdot A = 6A \cdot A = 6A^2 = 6\times6A = 6^2A$$ +- 归纳可得当$n \geq 1$时，$A^n = 6^{n-1}A$ + +步骤2：写出最终表达式 + +将A代入得： +$$A^n = 6^{n-1}\begin{bmatrix}3&-1\\-9&3\end{bmatrix} = \begin{bmatrix}3\times6^{n-1}&-6^{n-1}\\-9\times6^{n-1}&3\times6^{n-1}\end{bmatrix}$$ + +答案：$$\boldsymbol{6^{n-1}\begin{bmatrix}3&-1\\-9&3\end{bmatrix}}$$ + + +9. 若向量组 + $$ + \alpha_1 = (1,0,1)^T,\quad \alpha_2 = (0,1,1)^T,\quad \alpha_3 = (1,3,5)^T + $$ + 不能由向量组 + $$ + \beta_1 = (1,1,1)^T,\quad \beta_2 = (1,2,3)^T,\quad \beta_3 = (3,4,a)^T + $$ + 线性表示，则 + $$ + a = \underline{\qquad\qquad}. + $$ + +10. 设矩阵 + $$ + A = \begin{bmatrix} + 1 & a_1 & a_1^2 & a_1^3 \\ + 1 & a_2 & a_2^2 & a_2^3 \\ + 1 & a_3 & a_3^2 & a_3^3 \\ + 1 & a_4 & a_4^2 & a_4^3 + \end{bmatrix},\quad + x = \begin{bmatrix} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \\ x_4 \end{bmatrix},\quad + b = \begin{bmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \\ 1 \end{bmatrix}, + $$ + 其中常数 $a_1, a_2, a_3, a_4$ 互不相等，则线性方程组 $Ax = b$ 的解为 + $$ + \underline{\qquad\qquad\qquad\qquad}. + $$ + +11. 若 $n$ 阶实对称矩阵 $A$ 的特征值为 + $$ + \lambda_i = (-1)^i \quad (i=1,2,\dots,n), + $$ + 则 + $$ + A^{100} = \underline{\qquad\qquad\qquad\qquad}. + $$ + +12. 设 $n$ 阶矩阵 $A = [a_{ij}]_{n \times n}$，则二次型 + $f(x_1, x_2, \dots, x_n) = \sum_{i=1}^n (a_{i1}x_1 + a_{i2}x_2 + \cdots + a_{in}x_n)^2$ + 的矩阵为 + $$ + \underline{\qquad\qquad\qquad\qquad}. + $$ + +13. （10 分）计算 下面两个$n$ 阶行列式 + + $$ + D_n = \begin{vmatrix} + 1 & 2 & 3 & \cdots & n-1 & n \\ + 2 & 1 & 2 & \cdots & n-2 & n-1 \\ + 3 & 2 & 1 & \cdots & n-3 & n-2 \\ + \vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots & \vdots \\ + n-1 & n-2 & n-3 & \cdots & 1 & 2 \\ + n & n-1 & n-2 & \cdots & 2 & 1 + \end{vmatrix}. + $$ + + +$$ +\begin{vmatrix} +1+x_1 & 1+x_1^2 & \cdots & 1+x_1^n \\ +1+x_2 & 1+x_2^2 & \cdots & 1+x_2^n \\ +\vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ +1+x_n & 1+x_n^2 & \cdots & 1+x_n^n +\end{vmatrix} + +$$ + + + + +14. （10 分）设 + $$ + \alpha_1 = (1,0,-1)^T,\quad \alpha_2 = (2,1,1)^T,\quad \alpha_3 = (1,1,1)^T + $$ + 和 + $$ + \beta_1 = (0,1,1)^T,\quad \beta_2 = (-1,1,0)^T,\quad \beta_3 = (0,2,1)^T + $$ + 是 $\mathbb{R}^3$ 的两组基，求向量 + $$ + u = \alpha_1 + 2\alpha_2 - 3\alpha_3 + $$ + 在基 $\beta_1, \beta_2, \beta_3$ 下的坐标。 + + + +15. （12 分）设 $n$ 阶方阵 $A, B$ 满足 $AB = A + B$。 + + （1）证明 $A - E$ 可逆； + + （2）证明 $AB = BA$； + + （3）证明 $\mathrm{rank}(A) = \mathrm{rank}(B)$； + + （4）若矩阵 + $$ + B = \begin{bmatrix} + 1 & -3 & 0 \\ + 2 & 1 & 0 \\ + 0 & 0 & 2 + \end{bmatrix}, + $$ + 求矩阵 $A$。 + + + + + + + + + +16. 设矩阵$A=\begin{bmatrix}1&2&1&2\\0&1&t&t\\1&t&0&1\end{bmatrix}$，齐次线性方程组Ax=0的基础解系中含有两个解向量，求Ax=0的通解。 + + +解析： +因为n=4，$n-\text{rank}A=2$，所以$\text{rank}A=2$。 +对A施行初等行变换，得 +$$A=\begin{bmatrix}1&2&1&2\\0&1&t&t\\1&t&0&1\end{bmatrix}\to\begin{bmatrix}1&2&1&2\\0&1&t&t\\0&t-2&-1&-1\end{bmatrix}$$ + +$$\to\begin{bmatrix}1&2&1&2\\0&1&t&t\\0&0&-(1-t)^2&-(1-t)^2\end{bmatrix}\to\begin{bmatrix}1&0&1-2t&2-2t\\0&1&t&t\\0&0&-(1-t)^2&-(1-t)^2\end{bmatrix}$$ + + +要使$\text{rank}A=2$，则必有t=1。 +此时，与Ax=0同解的方程组为$\begin{cases}x_1=x_3\\x_2=-x_3-x_4\end{cases}$，得基础解系为 +$$\boldsymbol{\xi}_1=\begin{bmatrix}1\\-1\\1\\0\end{bmatrix},\ \boldsymbol{\xi}_2=\begin{bmatrix}0\\-1\\0\\1\end{bmatrix}$$ +方程组的通解为$$\boldsymbol{x}=k_1\boldsymbol{\xi}_1+k_2\boldsymbol{\xi}_2，（k_1,k_2为任意常数）$$ \ No newline at end of file diff --git a/编写小组/试卷/2018-19线性代数期末考试卷.md b/编写小组/试卷/2018-19线性代数期末考试卷.md index f027edf..11b3487 100644 --- a/编写小组/试卷/2018-19线性代数期末考试卷.md +++ b/编写小组/试卷/2018-19线性代数期末考试卷.md @@ -120,6 +120,3 @@ \underline{\qquad\qquad\qquad\qquad}. $$ -设$A=\begin{bmatrix}1 & -1 & 0 & -1 \\ 1 & 1 & 0 & 3 \\ 2 & 1 & 2 & 6\end{bmatrix},B=\begin{bmatrix}1 & 0 & 1 & 2 \\ 1 & -1 & a & a-1 \\ 2 & -3 & 2 & -2\end{bmatrix}$,向量$\alpha=\begin{bmatrix}0\\2\\3\end{bmatrix},\beta=\begin{bmatrix}1\\0\\-1\end{bmatrix}$. -(1)证明：方程组$Ax=\alpha$的解均为方程组$Bx=\beta$的解； -(2)若方程组$Ax=\alpha$与方程组$Bx=\beta$不同解，求$a$的值.