From 2add3ec9a86fc69fabfccd781cca502b5e099beb Mon Sep 17 00:00:00 2001 From: Elwood <3286545699@qq.com> Date: Mon, 29 Dec 2025 20:19:53 +0800 Subject: [PATCH 1/6] vault backup: 2025-12-29 20:19:53 --- .../2018-19线性代数期末考试卷.md | 53 ++++++++++++++++++- 1 file changed, 52 insertions(+), 1 deletion(-) diff --git a/编写小组/试卷/2018-19线性代数期末考试卷.md b/编写小组/试卷/2018-19线性代数期末考试卷.md index 30fc61c..70304e2 100644 --- a/编写小组/试卷/2018-19线性代数期末考试卷.md +++ b/编写小组/试卷/2018-19线性代数期末考试卷.md @@ -120,4 +120,55 @@ \underline{\qquad\qquad\qquad\qquad}. $$ ---- \ No newline at end of file +13. （10 分）计算 $n$ 阶行列式 + + $$ + D_n = \begin{vmatrix} + 1 & 2 & 3 & \cdots & n-1 & n \\ + 2 & 1 & 2 & \cdots & n-2 & n-1 \\ + 3 & 2 & 1 & \cdots & n-3 & n-2 \\ + \vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots & \vdots \\ + n-1 & n-2 & n-3 & \cdots & 1 & 2 \\ + n & n-1 & n-2 & \cdots & 2 & 1 + \end{vmatrix}. + $$ + + + + + + + +14. （10 分）设 + $$ + \alpha_1 = (1,0,-1)^T,\quad \alpha_2 = (2,1,1)^T,\quad \alpha_3 = (1,1,1)^T + $$ + 和 + $$ + \beta_1 = (0,1,1)^T,\quad \beta_2 = (-1,1,0)^T,\quad \beta_3 = (0,2,1)^T + $$ + 是 $\mathbb{R}^3$ 的两组基，求向量 + $$ + u = \alpha_1 + 2\alpha_2 - 3\alpha_3 + $$ + 在基 $\beta_1, \beta_2, \beta_3$ 下的坐标。 + + + +15. （12 分）设 $n$ 阶方阵 $A, B$ 满足 $AB = A + B$。 + + （1）证明 $A - E$ 可逆； + + （2）证明 $AB = BA$； + + （3）证明 $\mathrm{rank}(A) = \mathrm{rank}(B)$； + + （4）若矩阵 + $$ + B = \begin{bmatrix} + 1 & -3 & 0 \\ + 2 & 1 & 0 \\ + 0 & 0 & 2 + \end{bmatrix}, + $$ + 求矩阵 $A$。 \ No newline at end of file From e682981283b1726ee610669915be2b5c5210a8ce Mon Sep 17 00:00:00 2001 From: Elwood <3286545699@qq.com> Date: Mon, 29 Dec 2025 20:26:04 +0800 Subject: [PATCH 2/6] vault backup: 2025-12-29 20:26:04 --- .../2018-19线性代数期末考试卷.md | 22 +++++++++++++++++-- 1 file changed, 20 insertions(+), 2 deletions(-) diff --git a/编写小组/试卷/2018-19线性代数期末考试卷.md b/编写小组/试卷/2018-19线性代数期末考试卷.md index 70304e2..380ce73 100644 --- a/编写小组/试卷/2018-19线性代数期末考试卷.md +++ b/编写小组/试卷/2018-19线性代数期末考试卷.md @@ -120,7 +120,7 @@ \underline{\qquad\qquad\qquad\qquad}. $$ -13. （10 分）计算 $n$ 阶行列式 +13. （20 分）计算 下面两个$n$ 阶行列式 $$ D_n = \begin{vmatrix} @@ -134,7 +134,15 @@ $$ +$$ +\begin{vmatrix} +1+x_1 & 1+x_1^2 & \cdots & 1+x_1^n \\ +1+x_2 & 1+x_2^2 & \cdots & 1+x_2^n \\ +\vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ +1+x_n & 1+x_n^2 & \cdots & 1+x_n^n +\end{vmatrix} +$$ @@ -171,4 +179,14 @@ 0 & 0 & 2 \end{bmatrix}, $$ - 求矩阵 $A$。 \ No newline at end of file + 求矩阵 $A$。 + + + + + + + + + +16. 设矩阵$A=\begin{bmatrix}1&2&1&2\\0&1&t&t\\1&t&0&1\end{bmatrix}$，齐次线性方程组Ax=0的基础解系中含有两个解向量，求Ax=0的通解。 From b5b95030d28de4c75dbbce5303a9bb86f926130f Mon Sep 17 00:00:00 2001 From: Elwood <3286545699@qq.com> Date: Mon, 29 Dec 2025 20:41:44 +0800 Subject: [PATCH 3/6] vault backup: 2025-12-29 20:41:44 --- 编写小组/试卷/2018-19线性代数期末考试卷.md | 8 +++----- 1 file changed, 3 insertions(+), 5 deletions(-) diff --git a/编写小组/试卷/2018-19线性代数期末考试卷.md b/编写小组/试卷/2018-19线性代数期末考试卷.md index 380ce73..ecaddf3 100644 --- a/编写小组/试卷/2018-19线性代数期末考试卷.md +++ b/编写小组/试卷/2018-19线性代数期末考试卷.md @@ -70,10 +70,8 @@ \langle \alpha_1 + 2\alpha_2,\, 2\alpha_1 + \alpha_3 \rangle = \underline{\qquad\qquad}. $$ -8. 设二阶矩阵 $A$ 有两个相异特征值，$\alpha_1, \alpha_2$ 是 $A$ 的线性无关的特征向量，且 $A^2 (\alpha_1 + \alpha_2) = \alpha_1 + \alpha_2$，则 - $$ - |A| = \underline{\qquad\qquad}. - $$ +8. 设2阶矩阵A=$\begin{bmatrix}3&-1\\-9&3\end{bmatrix}$，n为正整数，则$A^n=\underline{\quad\quad}$。 + 9. 若向量组 $$ @@ -120,7 +118,7 @@ \underline{\qquad\qquad\qquad\qquad}. $$ -13. （20 分）计算 下面两个$n$ 阶行列式 +13. （10 分）计算 下面两个$n$ 阶行列式 $$ D_n = \begin{vmatrix} From a87b56d2b1121792cf5acaf6aa3cbf95fe12d5cd Mon Sep 17 00:00:00 2001 From: Elwood <3286545699@qq.com> Date: Mon, 29 Dec 2025 20:46:52 +0800 Subject: [PATCH 4/6] vault backup: 2025-12-29 20:46:52 --- .../2018-19线性代数期末考试卷.md | 48 ++++++++++++++++--- 1 file changed, 42 insertions(+), 6 deletions(-) diff --git a/编写小组/试卷/2018-19线性代数期末考试卷.md b/编写小组/试卷/2018-19线性代数期末考试卷.md index ecaddf3..00835e7 100644 --- a/编写小组/试卷/2018-19线性代数期末考试卷.md +++ b/编写小组/试卷/2018-19线性代数期末考试卷.md @@ -5,13 +5,30 @@ (C) $BAB$; (D) $(AB)^2$. -2. 设 $A, B$ 是可逆矩阵，且 $A$ 与 $B$ 相似，则下列结论错误的是【 】 - - (A) $A^T$ 与 $B^T$ 相似； - (B) $A^{-1}$ 与 $B^{-1}$ 相似； - (C) $A + A^T$ 与 $B + B^T$ 相似； - (D) $A + A^{-1}$ 与 $B + B^{-1}$ 相似。 +2.  设 $e_1, e_2$ 和 $\varepsilon_1, \varepsilon_2$ 是线性空间 $\mathbb{R}^2$ 的两组基，并且已知关系式 +$$ +\varepsilon_1 = e_1 + 5e_2,\quad \varepsilon_2 = e_2, +$$ +则由基 $e_1, e_2$ 到基 $\varepsilon_1, \varepsilon_2$ 的过渡矩阵是 +$$ +(A) \begin{bmatrix} +-1 & 0 \\ +5 & -1 +\end{bmatrix} \quad +(B) \begin{bmatrix} +0 & -1 \\ +-6 & 0 +\end{bmatrix} \quad +(C) \begin{bmatrix} +1 & 0 \\ +-5 & -1 +\end{bmatrix} \quad +(D) \begin{bmatrix} +1 & 0 \\ +-5 & 1 +\end{bmatrix}. +$$ 3. 设向量组 $$ \alpha_1 = (0, 0, c_1)^T,\quad @@ -73,6 +90,25 @@ 8. 设2阶矩阵A=$\begin{bmatrix}3&-1\\-9&3\end{bmatrix}$，n为正整数，则$A^n=\underline{\quad\quad}$。 + +解析： +步骤1：分析矩阵A的幂次规律 +先计算$A^2$： + +$$A^2 = \begin{bmatrix}3&-1\\-9&3\end{bmatrix}\begin{bmatrix}3&-1\\-9&3\end{bmatrix} = \begin{bmatrix}3\times3 + (-1)\times(-9)&3\times(-1) + (-1)\times3\\-9\times3 + 3\times(-9)&-9\times(-1) + 3\times3\end{bmatrix} = \begin{bmatrix}18&-6\\-54&18\end{bmatrix} = 6\begin{bmatrix}3&-1\\-9&3\end{bmatrix} = 6A$$ + +由此递推： +- $$A^3 = A^2 \cdot A = 6A \cdot A = 6A^2 = 6\times6A = 6^2A$$ +- 归纳可得当$n \geq 1$时，$A^n = 6^{n-1}A$ + +步骤2：写出最终表达式 + +将A代入得： +$$A^n = 6^{n-1}\begin{bmatrix}3&-1\\-9&3\end{bmatrix} = \begin{bmatrix}3\times6^{n-1}&-6^{n-1}\\-9\times6^{n-1}&3\times6^{n-1}\end{bmatrix}$$ + +答案：$$\boldsymbol{6^{n-1}\begin{bmatrix}3&-1\\-9&3\end{bmatrix}}$$ + + 9. 若向量组 $$ \alpha_1 = (1,0,1)^T,\quad \alpha_2 = (0,1,1)^T,\quad \alpha_3 = (1,3,5)^T From f4a97f31363b6271d9d858b5a626ada84389f3eb Mon Sep 17 00:00:00 2001 From: Elwood <3286545699@qq.com> Date: Mon, 29 Dec 2025 20:48:10 +0800 Subject: [PATCH 5/6] vault backup: 2025-12-29 20:48:10 --- .../试卷/2018-19线性代数期末考试卷.md | 14 ++++++++++++++ 1 file changed, 14 insertions(+) diff --git a/编写小组/试卷/2018-19线性代数期末考试卷.md b/编写小组/试卷/2018-19线性代数期末考试卷.md index 00835e7..f77de62 100644 --- a/编写小组/试卷/2018-19线性代数期末考试卷.md +++ b/编写小组/试卷/2018-19线性代数期末考试卷.md @@ -224,3 +224,17 @@ $$ 16. 设矩阵$A=\begin{bmatrix}1&2&1&2\\0&1&t&t\\1&t&0&1\end{bmatrix}$，齐次线性方程组Ax=0的基础解系中含有两个解向量，求Ax=0的通解。 + + +解析： +因为n=4，$n-\text{rank}A=2$，所以$\text{rank}A=2$。 +对A施行初等行变换，得 +$$A=\begin{bmatrix}1&2&1&2\\0&1&t&t\\1&t&0&1\end{bmatrix}\to\begin{bmatrix}1&2&1&2\\0&1&t&t\\0&t-2&-1&-1\end{bmatrix}$$ + +$$\to\begin{bmatrix}1&2&1&2\\0&1&t&t\\0&0&-(1-t)^2&-(1-t)^2\end{bmatrix}\to\begin{bmatrix}1&0&1-2t&2-2t\\0&1&t&t\\0&0&-(1-t)^2&-(1-t)^2\end{bmatrix}$$ + + +要使$\text{rank}A=2$，则必有t=1。 +此时，与Ax=0同解的方程组为$\begin{cases}x_1=x_3\\x_2=-x_3-x_4\end{cases}$，得基础解系为 +$$\boldsymbol{\xi}_1=\begin{bmatrix}1\\-1\\1\\0\end{bmatrix},\ \boldsymbol{\xi}_2=\begin{bmatrix}0\\-1\\0\\1\end{bmatrix}$$ +方程组的通解为$$\boldsymbol{x}=k_1\boldsymbol{\xi}_1+k_2\boldsymbol{\xi}_2，（k_1,k_2为任意常数）$$ \ No newline at end of file From 165c8c9f430083134a467f95887b7204551dc544 Mon Sep 17 00:00:00 2001 From: Elwood <3286545699@qq.com> Date: Mon, 29 Dec 2025 20:50:30 +0800 Subject: [PATCH 6/6] vault backup: 2025-12-29 20:50:30 --- ...代数期末考试卷.md => 1231线性代数考试卷.md} | 3 +++ 1 file changed, 3 insertions(+) rename 编写小组/试卷/{2018-19线性代数期末考试卷.md => 1231线性代数考试卷.md} (97%) diff --git a/编写小组/试卷/2018-19线性代数期末考试卷.md b/编写小组/试卷/1231线性代数考试卷.md similarity index 97% rename from 编写小组/试卷/2018-19线性代数期末考试卷.md rename to 编写小组/试卷/1231线性代数考试卷.md index f77de62..6b3f91d 100644 --- a/编写小组/试卷/2018-19线性代数期末考试卷.md +++ b/编写小组/试卷/1231线性代数考试卷.md @@ -1,3 +1,5 @@ +## 一、选择题，共六道，每题3分，共18分 + 1. 设 $A$ 为 $n$ 阶对称矩阵，$B$ 为 $n$ 阶反对称矩阵，下列矩阵中为反对称矩阵的是【 】 (A) $AB - BA$; @@ -81,6 +83,7 @@ $$ (C) $a = 2, b = 0, c = 1$; (D) $a = 2, b = 1, c = 2$. +## 二、填空题，共六道，每题3分，共18分 7. 已知向量 $\alpha_1 = (1,0,-1,0)^T$，$\alpha_2 = (1,1,-1,-1)^T$，$\alpha_3 = (-1,0,1,1)^T$，则向量 $\alpha_1 + 2\alpha_2$ 与 $2\alpha_1 + \alpha_3$ 的内积 $$