From 04a72f7ea03c25478df817aa5eac1eedcd4461b1 Mon Sep 17 00:00:00 2001 From: =?UTF-8?q?=E7=8E=8B=E8=BD=B2=E6=A5=A0?= Date: Fri, 23 Jan 2026 22:44:36 +0800 Subject: [PATCH] vault backup: 2026-01-23 22:44:36 --- .../正交及二次型（解析版）.md | 33 +++++-------------- 1 file changed, 9 insertions(+), 24 deletions(-) diff --git a/编写小组/讲义/正交及二次型（解析版）.md b/编写小组/讲义/正交及二次型（解析版）.md index ebcb4e5..f30205e 100644 --- a/编写小组/讲义/正交及二次型（解析版）.md +++ b/编写小组/讲义/正交及二次型（解析版）.md @@ -75,34 +75,19 @@ k=1,2,3,\dots,p$$ \end{aligned}$$ ### **例子** >[!example] **例3** -已知 $\boldsymbol{\alpha}_1,\boldsymbol{\alpha}_2,\dots,\boldsymbol{\alpha}_4$ 为欧氏空间 $V$ 的一组标准正交基，令$$\boldsymbol{\beta}_1 = \boldsymbol{\alpha}_1+\boldsymbol{\alpha}_3,\quad +已知 $\boldsymbol{\alpha}_1,\boldsymbol{\alpha}_2,\boldsymbol{\alpha}_3,\boldsymbol{\alpha}_4$ 为欧氏空间 $V$ 的一组标准正交基，令$$\boldsymbol{\beta}_1 = \boldsymbol{\alpha}_1+\boldsymbol{\alpha}_3,\quad \boldsymbol{\beta}_2 = \boldsymbol{\alpha}_1-\boldsymbol{\alpha}_2+\boldsymbol{\alpha}_4,\quad \boldsymbol{\beta}_3 = 2\boldsymbol{\alpha}_1+\boldsymbol{\alpha}_2+\boldsymbol{\alpha}_3,$$ $U = \text{span}\{\boldsymbol{\beta}_1,\boldsymbol{\beta}_2,\boldsymbol{\beta}_3\}$, 求 $U$ 的一个标准正交基。 ->[!note] **解析**： - >施密特正交化 ->步骤1：正交化 ->取$$ \boldsymbol{\gamma}_1=\boldsymbol{\beta}_1=\boldsymbol{\alpha}_1+\boldsymbol{\alpha}_3,\ \ -\boldsymbol{\gamma}_2=\boldsymbol{\beta}_2-\dfrac{\langle\boldsymbol{\beta}_2,\boldsymbol{\gamma}_1\rangle}{\langle\boldsymbol{\gamma}_1,\boldsymbol{\gamma}_1\rangle}\boldsymbol{\gamma}_1$$$$\langle\boldsymbol{\beta}_2,\boldsymbol{\gamma}_1\rangle=1,\quad -\langle\boldsymbol{\gamma}_1,\boldsymbol{\gamma}_1\rangle=2$$ ->$$\boldsymbol{\gamma}_2=\frac{1}{2}\boldsymbol{\alpha}_1-\boldsymbol{\alpha}_2-\frac{1}{2}\boldsymbol{\alpha}_3+\boldsymbol{\alpha}_4$$ ->$$\boldsymbol{\gamma}_3=\boldsymbol{\beta}_3-\dfrac{\langle\boldsymbol{\beta}_3,\boldsymbol{\gamma}_1\rangle}{\langle\boldsymbol{\gamma}_1,\boldsymbol{\gamma}_1\rangle}\boldsymbol{\gamma}_1-\dfrac{\langle\boldsymbol{\beta}_3,\boldsymbol{\gamma}_2\rangle}{\langle\boldsymbol{\gamma}_2,\boldsymbol{\gamma}_2\rangle}\boldsymbol{\gamma}_2$$ ->$$\langle\boldsymbol{\beta}_3,\boldsymbol{\gamma}_1\rangle=3,\quad -\langle\boldsymbol{\beta}_3,\boldsymbol{\gamma}_2\rangle=0$$ ->$$\boldsymbol{\gamma}_3=-\boldsymbol{\alpha}_1+2\boldsymbol{\alpha}_2+\boldsymbol{\alpha}_3+3\boldsymbol\alpha_4$$ ->步骤2：单位化 -$$\boldsymbol{\varepsilon}_1=\dfrac{\boldsymbol{\gamma}_1}{\|\boldsymbol{\gamma}_1\|}=\dfrac{\boldsymbol{\alpha}_1+\boldsymbol{\alpha}_3}{\sqrt{2}}$$ -$$\|\boldsymbol{\gamma}_2\|=\sqrt{\dfrac{5}{2}},\boldsymbol{\varepsilon}_2=\dfrac{\boldsymbol{\alpha}_1-2\boldsymbol{\alpha}_2-\boldsymbol{\alpha}_3+2\boldsymbol{\alpha}_4}{\sqrt{10}}$$ -$$\|\boldsymbol{\gamma}_3\|=\sqrt{15},\boldsymbol{\varepsilon}_3=\dfrac{-\boldsymbol{\alpha}_1+2\boldsymbol{\alpha}_2+\boldsymbol{\alpha}_3+3\boldsymbol\alpha_4}{\sqrt{19}}$$ ->$U$ 的标准正交基为 ->$$\boldsymbol{\varepsilon}_1=\frac{\boldsymbol{\alpha}_1+\boldsymbol{\alpha}_3}{\sqrt{2}},\quad -\boldsymbol{\varepsilon}_2=\frac{\boldsymbol{\alpha}_1-2\boldsymbol{\alpha}_2-\boldsymbol{\alpha}_3+2\boldsymbol{\alpha}_4}{\sqrt{10}},\quad -\boldsymbol{\varepsilon}_3=\dfrac{-\boldsymbol{\alpha}_1+2\boldsymbol{\alpha}_2+\boldsymbol{\alpha}_3+3\boldsymbol\alpha_4}{\sqrt{19}}$$ - ->[!note] 另解 ->我们可以用另一种正交化的方法，再利用基和坐标的关系简化步骤。 ->易知 $\boldsymbol \beta_1,\boldsymbol \beta_2,\boldsymbol \beta_3$ 在基 $\boldsymbol \alpha_1,\boldsymbol \alpha_2,\boldsymbol \alpha_3,\boldsymbol \alpha_4$ 下的坐标分别为 $\boldsymbol x_1=(1,0,1,0)^\text T,\boldsymbol x_2=(1,-1,0,1)^\text T,\boldsymbol x_3=(2,1,1,0)^\text T$ +>[!note] 解析 +>用第二种正交化的方法，再利用基和坐标的关系简化步骤。 +>易知 $\boldsymbol \beta_1,\boldsymbol \beta_2,\boldsymbol \beta_3$ 在基 $\boldsymbol \alpha_1,\boldsymbol \alpha_2,\boldsymbol \alpha_3,\boldsymbol \alpha_4$ 下的坐标分别为 $\boldsymbol x_1=(1,0,1,0)^\text T,\boldsymbol x_2=(1,-1,0,1)^\text T,\boldsymbol x_3=(2,1,1,0)^\text T$。 +>用施密特正交化法：$$\begin{aligned} +>&\boldsymbol u_1=\boldsymbol x_1,\quad\boldsymbol\varepsilon_1=\dfrac{\boldsymbol u_1}{\|\boldsymbol u_1\|}=\dfrac{1}{\sqrt2}(1,0,1,0)^\text T;\\ +>&\boldsymbol u_2=\boldsymbol x_2-\langle\boldsymbol\varepsilon_1,\boldsymbol x_2\rangle\boldsymbol\varepsilon_1,\quad\boldsymbol\varepsilon_2=\dfrac{\boldsymbol u_2}{\|\boldsymbol u_2\|}=\dfrac{1}{\sqrt{10}}(1,-2,-1,2)^\text T;\\ +>&\boldsymbol u_3=\boldsymbol x_3-\langle\boldsymbol\varepsilon_1,\boldsymbol x_3\rangle\boldsymbol\varepsilon_1-\langle\boldsymbol\varepsilon_2,\boldsymbol x_3\rangle\boldsymbol\varepsilon_2,\quad\boldsymbol\varepsilon_3=\dfrac{\boldsymbol u_3}{\|\boldsymbol u_3\|}=\dfrac{1}{\sqrt{35}}(3,4,-3,1)^\text T. +>\end{aligned}$$于是 $U$ 的标准正交基可以为$$\boldsymbol \xi_1=\dfrac{\boldsymbol \alpha_1+\boldsymbol \alpha_2}{\sqrt2},\boldsymbol \xi_2=\dfrac{\boldsymbol \alpha_1-2\boldsymbol \alpha_2-\boldsymbol \alpha_3+2\boldsymbol \alpha_4}{\sqrt{10}},\boldsymbol \xi_3=\dfrac{3\boldsymbol \alpha_1+4\boldsymbol \alpha_2-3\boldsymbol \alpha_3+\boldsymbol \alpha_4}{\sqrt{35}}.$$ >[!example] **例4** >已知 $A$ $=$ $[\boldsymbol{\alpha}_1\ \boldsymbol{\alpha}_2\ \boldsymbol{\alpha}_3\ \boldsymbol{\alpha}_4]$ 为正交矩阵，其中