考试易错点9、10

编写小组/二阶微分推导.md

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-首先提出一个问题：
-导数和微分是一个东西吗
-**不是。它们密切相关，但本质不同。**
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-### 一阶情形
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-- **导数 (Derivative)**
-    - **本质**：一个**函数**（或该函数在某点的值）
-    - **含义**：因变量相对于自变量的**变化率**（瞬时斜率）
-    - **定义**：$f'(x) = \frac{dy}{dx} = \lim_{\Delta x \to 0} \frac{\Delta y}{\Delta x}$
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-- **微分 (Differential)**
-    - **本质**：一个**表达式**或**量**
-    - **含义**：函数改变量的**线性主要部分**
-    - **定义**：$dy = f'(x) \, dx$
-        - 其中 $dx$ 是自变量的微分（任意微小改变量）
-        - $dy$ 是因变量沿切线方向的近似改变量
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-**一阶关系**：$dy = f'(x) \, dx$
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-### 二阶情形
-#### 二阶导数 
-- **本质**：一阶导数的导数，仍是一个**函数**
-- **符号**：$f''(x)$, $y''$, $\frac{d^2y}{dx^2}$
-- **含义**：函数**变化率的变化率**，描述函数的**凹凸性**
-- **定义**：$f''(x) = \frac{d}{dx}[f'(x)]$
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-#### 二阶微分 
-- **本质**：微分的微分，是一个**表达式**
-- **符号**：$d^2y$
-- 
- 我们知道：$f''(x) =lim_{\Delta x \rightarrow0} \frac{f'(x+\Delta x) - f'(x)}{dx} = \frac{d^2f(x)}{(dx)^2}$ 
-现在尝试推导这一公式
-由两函数相乘一阶微分公式：$d[f(x).g(x)] = g(x)d[(fx)] + f(x)d[g(x)]$ 
-得：
- $f''(x) = \frac{d(\frac{df(x)}{dx})}{dx}$ 
-     $= \frac{1}{dx}.\frac{d(df(x))}{dx} + df(x) . \frac{d(\frac{1}{dx})}{dx}$
-     $= \frac{d^2f(x)}{(dx)^2} +df(x) . \frac{d(\frac{1}{dx})}{dx}$ 
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-     嘿！您猜怎么着！
-     出现了额外的一项，与二阶导数公式不符： $df(x) . \frac{d(\frac{1}{dx})}{dx}=-df(x) . \frac{1}{d^2x}. \frac{d({dx})}{dx}$ 
-问题出在 $d(dx)$ 上：
-     我们知道，一阶导数的意义是当 $\Delta x$ 趋于无穷小的时候 $\Delta y$ 的变化率
-     实际上，在函数曲线上的任何一点处取函数微分， $dx$ 都是相等的
-     即 $dx$ 永远是均匀的，求高阶微分时将其视为常数
-     所以：$d(dx) = 0$
-### $f''(x) =lim_{\Delta x \rightarrow0} \frac{f'(x+\Delta x) - f'(x)}{dx} = \frac{d^2f(x)}{(dx)^2}= \frac{d^2f(x)}{dx^2}$ 
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-**注意此处的约定写法**：$(dx)^2$ 写作 $dx^2$（注意：这不是 $d(x^2)$）
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编写小组/讲义/二阶微分推导.md

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 - **导数 (Derivative)**
     - **本质**：一个**函数**（或该函数在某点的值）
     - **含义**：因变量相对于自变量的**变化率**（瞬时斜率）
-    - **定义**：$f'(x) = \frac{dy}{dx} = \lim_{\Delta x \to 0} \frac{\Delta y}{\Delta x}$
+    - **定义**：$f'(x) = \frac{dy}{dx} = \lim\limits_{\Delta x \to 0} \frac{\Delta y}{\Delta x}$
 
 - **微分 (Differential)**
     - **本质**：一个**表达式**或**量**
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 - **本质**：微分的微分，是一个**表达式**
 - **符号**：$d^2y$
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- 我们知道：$f''(x) =lim_{\Delta x \rightarrow0} \frac{f'(x+\Delta x) - f'(x)}{dx} = \frac{d^2f(x)}{(dx)^2}$ 
+ 我们知道：$f''(x) =\lim\limits_{\Delta x \rightarrow0} \frac{f'(x+\Delta x) - f'(x)}{dx} = \frac{d^2f(x)}{(dx)^2}$ 
 现在尝试推导这一公式
 由两函数相乘一阶微分公式：$d[f(x).g(x)] = g(x)d[(fx)] + f(x)d[g(x)]$ 
 得：
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      $= \frac{d^2f(x)}{(dx)^2} +df(x) . \frac{d(\frac{1}{dx})}{dx}$ 
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      嘿！您猜怎么着！
-     出现了额外的一项，与二阶导数公式不符： $df(x) . \frac{d(\frac{1}{dx})}{dx}=-df(x) . \frac{1}{d^2x}. \frac{d({dx})}{dx}$ 
+     出现了额外的一项，与二阶导数公式不符： $df(x)\frac{d(\frac{1}{dx})}{dx}=-df(x) \frac{1}{d^2x}\frac{d({dx})}{dx}$ 
 问题出在 $d(dx)$ 上：
      我们知道，一阶导数的意义是当 $\Delta x$ 趋于无穷小的时候 $\Delta y$ 的变化率
      实际上，在函数曲线上的任何一点处取函数微分， $dx$ 都是相等的
      即 $dx$ 永远是均匀的，求高阶微分时将其视为常数
      所以：$d(dx) = 0$
-### $f''(x) =lim_{\Delta x \rightarrow0} \frac{f'(x+\Delta x) - f'(x)}{dx} = \frac{d^2f(x)}{(dx)^2}= \frac{d^2f(x)}{dx^2}$ 
+### $f''(x) =\lim\limits_{\Delta x \rightarrow0} \frac{f'(x+\Delta x) - f'(x)}{dx} = \frac{d^2f(x)}{(dx)^2}= \frac{d^2f(x)}{dx^2}$ 
  
 **注意此处的约定写法**：$(dx)^2$ 写作 $dx^2$（注意：这不是 $d(x^2)$）
 

编写小组/讲义/子数列问题&考试易错点汇总（解析版）.md

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   - 编写小组
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+## Vol. 9: 反函数求导  
+易错：变量混淆。反函数的导数 = 原函数导数的倒数，但**自变量和因变量角色互换**。
+这一点，大家都明白，但是一写在答题卡上就错了😂。
+如何防止？我们可以试着用微分学来理解：
+$y=f^{-1}(x)$，即$x = f(y)$，求$f^{-1'}$就是在求$\frac{dy}{dx}$，而$\frac{dy}{dx}=\frac{dy}{df(y)}=\frac{dy}{f'(y)dy}=\frac{1}{f'(y)}$
+然后，就这么完了？如果就这么完了，那就真完了。
+为什么？$f^{-1'}$最后应该是一个关于$x$的函数，$\frac{dy}{dx}$应当用$x$来表示。
+所以，我们还需要将$y = f^{-1}(x)$代入，即：
+$\frac{dy}{dx}=\frac{1}{f'(y)}=\frac{1}{f'(f^{-1}(x))}$
+> [!example] 示例1
+> 求$d(\arcsin x)$
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+解：设$y=\arcsin x$，即$x=\sin y$，$dx=\cos y\ dy$，即$dy=\frac{dx}{\cos y}$
+作辅助三角形
+![[易错点9-1.png]]
+得$\cos y=\sqrt{1-x^2}$，综上，$dy=\frac{dx}{\sqrt{1-x^2}}$，即$d(\arcsin x)=\frac{dx}{\sqrt{1-x^2}}$
+## Vol. 10: 无界与无穷大的辨析
+很多人都觉得无界和无穷大是同一个概念，因为它们的实在是太像了：画在坐标系上都是“直指苍穹🚀”或者“飞流直下三千尺”嘛！但是，“无界”准确来说不完全是这样。要准确辨析它们，需要回到它们的**定义**上：
+无穷大的定义：$\forall M > 0, \exists \delta>0$，当$0<|x-x_0|<\delta$时有$|f(x)|>M$，称$f(x)$是当$x\rightarrow x_0$时的无穷大量
+无界量的定义：由有界的定义($\exists M > 0, \forall x \in D_f,|f(x)|<M$)反推，无界的定义应该是$\forall M > 0$,
+$\forall \delta>0, \exists x \in \mathring{U}(x_0,\delta)$有 $|f(x)|>M$，称$f(x)$是当$x\rightarrow x_0$时的无界量
+**核心区别**：无穷大是**存在某**去心邻域内**任意**$x$都大于$M$，无界是需要对**任意**邻域**存在**一个$x$使得$|f(x)|>M$
+**联系**：无穷大一定是无界量，但是无界量不一定是无穷大。
+> [!example] 示例1
+> 无穷震荡$\lim\limits_{x\rightarrow 0}{\frac{1}{x}\sin\frac{1}{x}}$
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+![[易错点10-1.png]]
+这个并不是无穷大——不管取的邻域有多小，我总能找到一个令$\sin\frac{1}{x}=0$的$x$，此时$\frac{1}{x}\sin\frac{1}{x}=0$。
+那这个是有界的吗？也不是。这就是典型的**不是无界量的无穷大**。
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+> [!example] 示例2
+> 双子数列$\lim\limits_{n\rightarrow \infty}{n\cos n\pi}$
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+总结：无穷大是在邻域内“一直都很大”，无界是邻域内“有很大的”