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## 合同
我们一般只讨论实对称矩阵的合同关系。由于实对称矩阵一定可相似对角化，且特征值一定为实数，故只要两个实对称矩阵的特征值正负惯性指数相同，它们就是合同的。另外，合同是一种等价关系，具有传递性，所以我们可以把一个矩阵合同变换化为对角矩阵，然后再判断它与其他矩阵是否合同。
>[!example] 例题
>已知三阶实对称矩阵 $A$ 与 $\begin{bmatrix}2&0&0\\0&1&0\\0&0&-3\end{bmatrix}$ 相似，则下列矩阵中，与 $A$ 相似但不合同的是（）
>$\text{A.}\begin{bmatrix}1&1&1\\1&1&1\\1&1&1\end{bmatrix}.\qquad\text{B.}\begin{bmatrix}-3&0&0\\0&1&0\\0&0&2\end{bmatrix}.\qquad\text{C.}\begin{bmatrix}-3&1&1\\0&1&1\\0&0&2\end{bmatrix}.\qquad\text{D.}\begin{bmatrix}1&0&0\\0&-2&0\\0&0&3\end{bmatrix}.$
>[!note] 解：
>易知 $A$ 的特征值为 $2,1,-3$.
>（A）矩阵有特征值 $0$, 不相似；
>（B）显然相似且合同；
>（C）显然相似，但不是实对称矩阵，不合同；
>（D）正负惯性指数相同，所以合同，但特征值不同，所以不相似。
>综上，选（C）。
