diff --git a/一些有趣的线代题目.md b/一些有趣的线代题目.md index 0814fbb..4619d59 100644 --- a/一些有趣的线代题目.md +++ b/一些有趣的线代题目.md @@ -50,4 +50,42 @@ $$ $$ $$\text{rank}(A - E) = k$$ +证毕 +设 $A, B$ 是 3 阶矩阵，$AB = 2A - B$，如果 $\lambda_1, \lambda_2, \lambda_3$ 是 $A$ 的 3 个不同特征值。证明： + +(1) $AB = BA$； + +(2) 存在可逆矩阵 $P$，使得 $P^{-1}AP$ 与 $P^{-1}BP$ 均为对角矩阵。 + +**证明：** + +(1) ∵ $AB = 2A - B$ + +$$ +\therefore (A - 2E)(B + E) = -2E +$$ + +$$ +\therefore (A - 2E)(B + E) = (B + E)(A - 2E) +$$ + +$$ +\therefore AB = BA +$$ + +(2) 设 $P^{-1}AP = \Lambda$，$\Lambda$ 为对角矩阵 +则 $P^{-1}APBP = P^{-1}BAPP$ + +$$ +\therefore P^{-1}APP^{-1}BP = P^{-1}BPP^{-1}APP +$$ + +设 $P^{-1}BP = N_2$ + +$$ +\therefore \Lambda_1\Lambda_2 = \Lambda_2\Lambda_1 +$$ + +与对角矩阵可交换的矩阵必为对角矩阵 + 证毕 \ No newline at end of file diff --git a/素材/未命名.md b/素材/未命名.md deleted file mode 100644 index c69749f..0000000 --- a/素材/未命名.md +++ /dev/null @@ -1,8 +0,0 @@ -设 $\boldsymbol{\beta}_1, \boldsymbol{\beta}_2, \dots, \boldsymbol{\beta}_m$ 均为实数域上的 n 维列向量，其中 m < n ，证明 $\boldsymbol{\beta}_1, \boldsymbol{\beta}_2, \dots, \boldsymbol{\beta}_m$ 线性无关的充要条件为 -$$\begin{vmatrix} -\boldsymbol{\beta}_1^\mathrm{T}\boldsymbol{\beta}_1 & \boldsymbol{\beta}_1^\mathrm{T}\boldsymbol{\beta}_2 & \dots & \boldsymbol{\beta}_1^\mathrm{T}\boldsymbol{\beta}_m \\ -\boldsymbol{\beta}_2^\mathrm{T}\boldsymbol{\beta}_1 & \boldsymbol{\beta}_2^\mathrm{T}\boldsymbol{\beta}_2 & \dots & \boldsymbol{\beta}_2^\mathrm{T}\boldsymbol{\beta}_m \\ -\vdots & \vdots & & \vdots \\ -\boldsymbol{\beta}_m^\mathrm{T}\boldsymbol{\beta}_1 & \boldsymbol{\beta}_m^\mathrm{T}\boldsymbol{\beta}_2 & \dots & \boldsymbol{\beta}_m^\mathrm{T}\boldsymbol{\beta}_m -\end{vmatrix} -\neq 0.$$ diff --git a/素材/特征值与相似对角化.md b/素材/特征值与相似对角化.md index dec5f20..6610d9e 100644 --- a/素材/特征值与相似对角化.md +++ b/素材/特征值与相似对角化.md @@ -77,16 +77,34 @@ $$P=\begin{bmatrix}\boldsymbol\xi_1&\boldsymbol\xi_2&\cdots&\boldsymbol\xi_n\end >注意：$\alpha^T\beta=(\beta^T\alpha)^T$（矩阵转置性质），而 $\beta^T\alpha=-3$（数，转置等于自身），故 $\alpha^T\beta=-3$，因此 $A^2=-3A$。 >由上面的性质，我们知道$A$的特征值只有可能是$0$或$-3$，又$A$不可能只有$0$一种特征值，故$A$的非零特征值只能为$-3$，从而$A^2$的非零特征值为$9$. -2. 针对“有理函数”设问 >[!example] 例题3 ->已知 $4$ 阶矩阵 $A$ 与 $B$ 相似，$A$ 的全部特征值为 $1,2,3,4$，则行列式 $|B^{-1}-E|$ 为\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_ +>设 $\boldsymbol{\beta}_1, \boldsymbol{\beta}_2, \dots, \boldsymbol{\beta}_m$ 均为实数域上的 n 维列向量，其中 m < n ，证明 $\boldsymbol{\beta}_1, \boldsymbol{\beta}_2, \dots, \boldsymbol{\beta}_m$ 线性无关的充要条件$$\begin{vmatrix} +\boldsymbol{\beta}_1^\mathrm{T}\boldsymbol{\beta}_1 & \boldsymbol{\beta}_1^\mathrm{T}\boldsymbol{\beta}_2 & \dots & \boldsymbol{\beta}_1^\mathrm{T}\boldsymbol{\beta}_m \\ +\boldsymbol{\beta}_2^\mathrm{T}\boldsymbol{\beta}_1 & \boldsymbol{\beta}_2^\mathrm{T}\boldsymbol{\beta}_2 & \dots & \boldsymbol{\beta}_2^\mathrm{T}\boldsymbol{\beta}_m \\ +\vdots & \vdots & & \vdots \\ +\boldsymbol{\beta}_m^\mathrm{T}\boldsymbol{\beta}_1 & \boldsymbol{\beta}_m^\mathrm{T}\boldsymbol{\beta}_2 & \dots & \boldsymbol{\beta}_m^\mathrm{T}\boldsymbol{\beta}_m +\end{vmatrix} +\neq 0.$$ + +**证明：** +设矩阵$B=\begin{bmatrix}\boldsymbol{\beta}_1\ \boldsymbol{\beta}_2\cdots\ \boldsymbol{\beta}_m\end{bmatrix}$，则$$B^TB=\begin{bmatrix}\boldsymbol{\beta}_1^\mathrm{T}\boldsymbol{\beta}_1 & \boldsymbol{\beta}_1^\mathrm{T}\boldsymbol{\beta}_2 & \dots & \boldsymbol{\beta}_1^\mathrm{T}\boldsymbol{\beta}_m \\ +\boldsymbol{\beta}_2^\mathrm{T}\boldsymbol{\beta}_1 & \boldsymbol{\beta}_2^\mathrm{T}\boldsymbol{\beta}_2 & \dots & \boldsymbol{\beta}_2^\mathrm{T}\boldsymbol{\beta}_m \\ +\vdots & \vdots & & \vdots \\ +\boldsymbol{\beta}_m^\mathrm{T}\boldsymbol{\beta}_1 & \boldsymbol{\beta}_m^\mathrm{T}\boldsymbol{\beta}_2 & \dots & \boldsymbol{\beta}_m^\mathrm{T}\boldsymbol{\beta}_m\end{bmatrix}.$$考虑线性方程组$B^TB\boldsymbol{x}=\boldsymbol{0}$和$B\boldsymbol{x}=\boldsymbol{0}$.下证这两个线性方程组同解. +（i）若$B\boldsymbol{y}=\boldsymbol{0}$，则$B^TB\boldsymbol{y}=B^T\boldsymbol{0}=\boldsymbol{0}$，故$N(B)\subseteq N(B^TB)$； +（ii）若$B^TB\boldsymbol{y}=\boldsymbol{0}$，两边左乘$\boldsymbol{y}^T$得$\boldsymbol y^TB^TB\boldsymbol y=(B\boldsymbol y)^TB\boldsymbol y==0$，故$B\boldsymbol y=\boldsymbol0$，从而$N(B^TB)\subseteq N(B)$. +综上，$N(B^TB)=N(B)$，即线性方程组$B^TB\boldsymbol{x}=\boldsymbol{0}$和$B\boldsymbol{x}=\boldsymbol{0}$同解. +而$|B^TB|\neq0\Leftrightarrow$方程$B^TB\boldsymbol x=\boldsymbol 0$有唯一零解$\Leftrightarrow B\boldsymbol x=\boldsymbol 0$有唯一零解$\Leftrightarrow \boldsymbol{\beta}_1, \boldsymbol{\beta}_2, \dots, \boldsymbol{\beta}_m$ 线性无关.证毕. +2. 针对“有理函数”设问 +>[!example] 例题4 +>已知 $4$ 阶矩阵 $A$ 与 $B$ 相似，$A$ 的全部特征值为 $1,2,3,4$，则行列式 $|B^{-1}-E|$ 为$\underline{\qquad}$. >[!note] 解析 >“对于有理函数 $f(x)$ ，矩阵 $f(A)$ 的特征值为 $f(\lambda)$ ，对应的特征向量不变. ” >根据这一条性质，我们求得矩阵 $B^{-1}-E$ 的所有特征值，进而求得行列式. >$f(x)=\frac{1}{x}-1$，则 $B^{-1}-E$ 的特征值为 $0,-\frac12, -\frac23,-\frac34$，相乘结果为 $0$，故答案为 $0$. ->[!example] （[[线代2022秋A|2022]]）例题4 +>[!example] （[[线代2022秋A|2022]]）例题5 已知 $n$ 阶方阵$\boldsymbol{A}$与$\boldsymbol{B}$相似，$\boldsymbol{C}$与$\boldsymbol{D}$相似，则下列命题中正确的是【】 A. $\boldsymbol{A}+\boldsymbol{C}$与$\boldsymbol{B}+\boldsymbol{D}$相似. B. $\boldsymbol{AC}$与$\boldsymbol{BD}$相似. @@ -100,7 +118,7 @@ D. $\boldsymbol{A}^\text{T}+\boldsymbol{A}$与$\boldsymbol{B}^\text{T}+\boldsymb >转置不能作为有理式的一部分！ ##### 特征值大题在设问时，往往回归“特征值”的本源，用特征多项式求解特征值，并应用特征值的性质. ->[!example] （[[线代2023秋A|2023]]）例题5 +>[!example] （[[线代2023秋A|2023]]）例题6 >设矩阵 $A=\begin{bmatrix}3&1&2\\0&a&0\\2&b&3\end{bmatrix}$ 仅有两个相异特征值，且 $A$ 相似于对角矩阵，求 $a,b$， 并求可逆矩阵 $P$，使得$P^{-1}AP$ 为对角矩阵． >[!note] 解析 diff --git a/试卷库/线性代数期末真题/线代2020秋A.md b/试卷库/线性代数期末真题/线代2020秋A.md new file mode 100644 index 0000000..bdc9a3e --- /dev/null +++ b/试卷库/线性代数期末真题/线代2020秋A.md @@ -0,0 +1,103 @@ +# 20—21学年秋季学期《线性代数》考试试卷（A）卷 + +考试形式：闭卷 +考试时间：150 分钟 +满分：100 分 + +| 题号 | 一 | 二 | 三 | 总分 | +|------|----|----|----|------| +| 得分 | | | | | +| 评阅人 | | | | | + +**注意**： +1. 所有答题都须写在此次考试的答题卡上，写在其它纸上一律无效。 +2. 密封线左边请勿答题，密封线外不得有姓名及相关标记。 + +--- + +## 一、单选题（共6小题，每小题3分，共18分） + +1. 设$n$阶方阵$A$满足$A^{2} - 3A + 2E = 0$，则下列命题中正确的是 + A.$A - E = O$ + B.$\mathrm{rank}(A - E) = n - 1$ + C. 非齐次线性方程组$Ax = b$只有唯一解 + D.$A$的列向量组线性相关 + +2. 设$A = \left[ \begin{array}{lll}a & b & b \\ b & a & b \\ b & b & a \end{array} \right]$，$A^{*}$为$A$的伴随矩阵，若$\mathrm{rank}A^{*} = 1$，则必有 + A.$a = b$且$a + 3b\neq 0$ + B.$a = b$或$a + 3b\neq 0$ + C.$a\neq b$且$a + 3b = 0$ + D.$a\neq b$且$a + 3b\neq 0$ + +3. 已知$\eta_{1},\eta_{2}$是非齐次线性方程组$A x = b$的两个不同解,$\xi_{1},\xi_{2}$是对应的齐次线性方程组$A x = 0$的基础解系,$k_{1},k_{2}$为任意常数,则$A x = b$的通解为 【】 + A.$k_{1}\xi_{1} + k_{2}(\xi_{1} + \xi_{2}) + \frac{2\eta_{1} - \eta_{2}}{3}$ + B.$k_{1}\xi_{1} + k_{2}(\xi_{1} + \xi_{2}) + \frac{2\eta_{1} + \eta_{2}}{3}$ + C.$k_{1}\xi_{1} + k_{2}(\eta_{1} - \eta_{2}) + \frac{2\eta_{1} - \eta_{2}}{3}$ + D.$k_{1}\xi_{1} + k_{2}(\eta_{1} - \eta_{2}) + \frac{2\eta_{1} + \eta_{2}}{3}$ + +4. 已知向量空间$V$的两组基$\alpha_{1},\alpha_{2},\alpha_{3}$与$\beta_{1},\beta_{2},\beta_{3}$,其中$\beta_{1} = \alpha_{1}$,$\beta_{2} = \alpha_{1} + \alpha_{2}$,$\beta_{3} = \alpha_{1} + \alpha_{2} + \alpha_{3}$,则由基$\beta_{1},\beta_{2},\beta_{3}$到基$\alpha_{1},\alpha_{2},\alpha_{3}$的过渡矩阵为 【】 + A.$\left[ \begin{array}{lll}1 & 1 & 1\\ 0 & 1 & 1\\ 0 & 0 & 1 \end{array} \right]$ + B.$\left[ \begin{array}{lll}1 & 1 & 0\\ 0 & 1 & 1\\ 0 & 0 & 1 \end{array} \right]$ + C.$\left[ \begin{array}{lll}1 & -1 & 0\\ 0 & 1 & -1\\ 0 & 0 & 1 \end{array} \right]$ + D.$\left[ \begin{array}{lll}1 & -1 & -1\\ 0 & 1 & -1\\ 0 & 0 & 1 \end{array} \right]$ + +5. 设$A = \left[ \begin{array}{lll}1 & 1 & 1\\ 1 & 1 & 1\\ 1 & 1 & 1 \end{array} \right],B = \left[ \begin{array}{lll}3 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 \end{array} \right],$则 + A.$A$与$B$既相似又合同 + B.$A$与$B$相似但不合同 + C.$A$与$B$等价但不相似 + D.$A$与$B$合同但不相似 + +6. 二次型$f(x_{1},x_{2},x_{3}) = (x_{1} + x_{2})^{2} + (x_{2} + x_{3})^{2} - (x_{3} - x_{1})^{2}$的正负惯性指数分别为 【】 + A. 2,0 + B. 1,1 + C. 2,1 + D. 1,2 + +--- + +## 二、填空题（共6小题，每小题3分，共18分） + +7. 设$n$阶行列式$D_{n} = \left| \begin{array}{lll}x & a & \dots & a\\ a & x & \dots & a\\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ a & a & \dots & x \end{array} \right|$，则第二行元素的代数余子式之和等于______。 + +8. 设$A = \left[ \begin{array}{ll}O & B\\ C & O \end{array} \right]$，其中$B,C$皆为可逆矩阵，则$A^{-1} =$______。 + +9. 设向量空间$V = \{(a,2b,4b,a)|a,b\in \mathbb{R}\}$，则$V$的维数等于 ______。 + +10. 设$P$为$n$阶可逆矩阵，$A$为$n$阶方阵，$B = PAP^{-1} - P^{-1}AP$，则$B$的特征值和等于 ______。 + +11. 设4阶矩阵$A$与$B$相似，且$A$的特征值为2,3,4,5，则$\left|B - 2E\right| =$______。 + +12. 已知实二次型$f(x_{1},x_{2},x_{3}) = x_{1}^{2} + 2x_{1}x_{2} - 2x_{1}x_{3} + 4x_{2}^{2} + 2\lambda x_{2}x_{3} + 4x_{3}^{2}$为正定二次型，则$\lambda$的取值范围是 ______。 + +--- + +## 三、计算与证明题（共6小题，共64分） + +13. 计算$n$阶行列式 +$$ + D_{n} = \left[ \begin{array}{llll}0 & 2 & 2 & \dots & 2\\ 2 & 0 & 2 & \dots & 2\\ 2 & 2 & 0 & \dots & 2\\ \vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ 2 & 2 & 2 & \dots & 0 \end{array} \right]. \quad (10分) +$$ + +14. 设$A$的伴随矩阵$A^{*} = \left[ \begin{array}{lll}4 & 0 & 0\\ 2 & 1 & 0\\ -1 & 0 & 1 \end{array} \right],|A| > 0$，且$A^{-1}BA = A^{-1}B + 2E$，求$B$。（10分） + +15. 求解非齐次线性方程组 +$$ + \left\{ \begin{array}{l} -x_{1} + 2x_{3} - 4x_{3} = 5, \\ 2x_{1} + 3x_{2} + x_{3} = 4, \\ 3x_{1} + 8x_{2} - 2x_{3} = 13, \\ -4x_{1} + x_{2} - 9x_{3} = 6. \end{array} \right. \quad (10分) +$$ + +16. 已知三阶矩阵$A$与三维向量$x$，使得向量组$x, Ax, A^2 x$线性无关，且满足$A^3 x = 3Ax - 2A^2 x$。 + (1) 记$P = [x\ Ax\ A^2 x]$，求三阶矩阵$B$，使$A = PBP^{-1}$。（5分） + (2) 计算行列式$\left|A + E\right|$。（5分） + +17. 设三阶实对称矩阵$A$的特征值$\lambda_{1} = 1, \lambda_{2} = 2, \lambda_{3} = -2$，且$\pmb{\alpha}_{i} = (1, -1,1)^{\mathrm{T}}$是$A$对应于$\lambda_{i}$的一个特征向量。记$B = A^{5} - 4A^{3} + E$，其中$E$为三阶单位矩阵。 + (1) 验证$\alpha_{i}$是矩阵$B$的特征向量，并求$B$的全部特征值与特征向量。（8分） + (2) 求矩阵$B$。（4分） + +18. 已知实二次型 +$$ + f(x_{1}, x_{2}, x_{3}) = x_{1}^{2} - 2x_{2}^{2} + x_{3}^{2} + 2x_{1}x_{2} - 4x_{1}x_{3} + 2x_{2}x_{3}, +$$ + 求正交变换$x = Qy$，将二次型$f(x_{1}, x_{2}, x_{3})$化为标准形，并写出标准形。（12分） + +--- +（试卷结束） \ No newline at end of file diff --git a/试卷库/线性代数期末真题/线代2023秋A.md b/试卷库/线性代数期末真题/线代2023秋A.md new file mode 100644 index 0000000..f1c77af --- /dev/null +++ b/试卷库/线性代数期末真题/线代2023秋A.md @@ -0,0 +1,140 @@ +# 国防科技大学2023—2024学年秋季学期《线性代数》考试试卷（A）卷 + +考试形式：闭卷 +考试时间：150分钟 +满分：100分 + +| 题号 | 一 | 二 | 三 | 四 | 五 | 六 | 七 | 八 | 总分 | +|------|----|----|----|----|----|----|----|----|------| +| 得分 | | | | | | | | | | +| 评阅人 | | | | | | | | | | + +**注意**： +1. 所有答题都须写在此试卷纸密封线右边，写在其它纸上一律无效。 +2. 密封线左边请勿答题，密封线外不得有姓名及相关标记。 + +--- + +## 一、单选题（共6小题，每小题3分，共18分） + +1. 设矩阵$A_{4\times 4} = [\alpha_{1}\alpha_{2}\alpha_{3}\alpha_{4}]$，$B_{4\times 4} = [2\alpha_{1}\alpha_{2}3\alpha_{3}\alpha_{4}]$，$\left|A\right| = 6$，$\left|B\right| = 12$，则下列命题中错误的是 【】 + A.$\left|A + B\right| = 216$ + B.$\left|A^{-1}B\right| = 2$ + C.$\left|A - B\right| = 0$ + D.$\left|AB\right| = 72$ + +2. 下列命题中错误的是 【】 + A. 设$A,B$均为$n$阶方阵，若$A^{2} = A,B^{2} = B,(A + B)^{2} = A + B$，则$AB = BA = 0$ + B. 对换$n$阶可逆矩阵$A$的第$i,j$两行后得到矩阵$B$，则$AB^{-1} = P(j,i)$ + C. 设$A,B$均为$n$阶可逆矩阵，且$A + B$也可逆，则$A^{-1} + B^{-1}$不一定可逆 + D. 设$n$阶矩阵$A$满足$A^{2} - 3A + 2E = 0$，则$\mathrm{rank}(A - 2E) + \mathrm{rank}(A - E) = n$ + +3. 若向量组$\alpha_{1} = (6,k + 1,3)^{\mathrm{T}},\alpha_{2} = (k,2, - 2)^{\mathrm{T}},\alpha_{3} = (k,1,0)^{\mathrm{T}}$线性无关，则$k$的取值为【】 + A.$k = - 4$或$k = \frac{3}{2}$ + B.$k\neq - 4$且$k\neq \frac{3}{2}$ + C.$k = - 4$或$k\neq \frac{3}{2}$ + D.$k\neq - 4$或$k = \frac{3}{2}$ + +4. 设$A,B$均为$n$阶实对称矩阵，下列选项正确的是 【】 +$①$若$A\sim B$，则$A\equiv B$ +$②$若$A\equiv B$，则$Ax = 0$与$Bx = 0$为同解方程组 +$③$若$A\sim B$，则$A = B$ +$④$若$A\equiv B$，则$A\sim B$ + A.$①$$②$ + B.$①$$③$ + C.$②$$④$ + D.$③$$④$ + +5. 设方阵$A$的每行元素之和均为3，下列命题错误的是 【】 + A.$A x = 3x$一定有非零解 + B.$A^{2} - A$的每行元素之和均为6 + C.$A^{\mathrm{T}}x = 3x$一定有非零解 + D.$A x = 3x$和$A^{\mathrm{T}}x = 3x$一定有公共的非零解 + +6. 已知$\mathbb{R}^3$上的线性变换$T$在基$a_{1},a_{2},a_{3}$下矩阵为$\left[ \begin{array}{lll}1 & -1 & 2\\ 1 & 1 & 3\\ 2 & 3 & 4 \end{array} \right]$，则$T$在基$a_{3},a_{2},a_{1}$下的矩阵为 【】 + A.$\left[ \begin{array}{lll}2 & -1 & 1\\ 3 & 1 & 1\\ 4 & 3 & 2 \end{array} \right]$ + B.$\left[ \begin{array}{lll}2 & 3 & 4\\ 1 & 1 & 3\\ 1 & -1 & 2 \end{array} \right]$ + C.$\left[ \begin{array}{lll}4 & 3 & 2\\ 3 & 1 & 1\\ 2 & -1 & 1 \end{array} \right]$ + D.$\left[ \begin{array}{lll}1 & -1 & 2\\ 1 & 1 & 3\\ 2 & 3 & 4 \end{array} \right]$ + +--- + +## 二、填空题（共6小题，每小题3分，共18分） + +1. 已知$A,B,C$均为$n$阶方阵，$\left|A\right| = -1,\left|B\right| = 2,\left|C\right| = 3$，$A,B,C$的伴随矩阵记为$A^{\ast},B^{\ast},C^{\ast}$，则$\left|A^{\ast}C B^{-1} + A^{-1}C B^{\ast}\right| =$______ + +2. 矩阵$\left[ \begin{array}{lll}1 & 3 & 1 & 5\\ 2 & 0 & 3 & 2\\ 0 & 1 & 3 & 2\\ 4 & 3 & 1 & 6 \end{array} \right]$的（等价）标准形是 ______ + +3. 若关于$x_{1},x_{2},x_{3}$的方程组 +$$ + \left\{ \begin{array}{l}x_{1} + x_{2} + x_{3} = a - 2b + c\\ 3x_{1} + 2x_{2} + x_{3} = 2a + b - 3c\\ 2x_{1} + 3x_{2} - x_{3} = -a + b - c \end{array} \right. +$$ + 的解集构成实数域上的向量空间，则$(a,b,c) =$______ + +4. 令$\mathbb{R}^{3\times 3}$表示全体3阶实方阵构成的线性空间，令$W = \{A\in \mathbb{R}^{3\times 3}\mid A^{\mathrm{T}} = A,\mathrm{tr}(A) = 0\}$，则$\dim W =$______ + +5. 已知3维列向量$a,\beta$满足$\left\| a\right\| = 1$，$\left\| \beta \right\| = 2$，$a^{\mathrm{T}}\beta = 0$，则方阵$a a^{\mathrm{T}} + \beta \beta^{\mathrm{T}}$的三个特征值分别为 ______ + +6. 已知实二次型$f(x_{1},x_{2},x_{3}) = a(x_{1}^{2} + x_{2}^{2} + x_{3}^{2}) + 4x_{1}x_{2} + 4x_{1}x_{3} + 4x_{2}x_{3}$的秩与正惯性指数均为1，则$a =$______ + +--- + +## 三、计算题（10分） + +已知$n$阶行列式 +$$ +D_{n} = \left| \begin{array}{cccc} a_{1} & b & b & \dots & b \\ - b & a_{2} & b & \dots & b \\ \vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ - b & - b & - b & \dots & a_{n} \end{array} \right| +$$ +令$A_{1}, A_{2}, \dots , A_{n}$分别表示$D_{n}$的第一行元素的代数余子式，计算$A_{1} + A_{2} + \dots + A_{n}$。 + +--- + +## 四、证明题（10分） + +设向量$\beta_{1} = 3a_{1} + a_{2} + a_{3} + a_{4}$，$\beta_{2} = a_{1} + 3a_{2} + a_{3} + a_{4}$，$\beta_{3} = a_{1} + a_{2} + 3a_{3} + a_{4}$，$\beta_{4} = a_{1} + a_{2} + a_{3} + 3a_{4}$。证明向量组$\beta_{1}, \beta_{2}, \beta_{3}, \beta_{4}$线性无关当且仅当向量组$a_{1}, a_{2}, a_{3}, a_{4}$线性无关。 + +--- + +## 五、计算题（10分） + +已知矩阵 +$$ +A = \left[ \begin{array}{llll}5 & 0 & 0 & 0 \\ 1 & 5 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 5 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 5 \\ 0 & 0 & 0 & -25 \end{array} \right] +$$ +求$A^{n}$，其中$n \geq 3$。 + +--- + +## 六、计算题（10分） + +设关于$x_{1},x_{2},x_{3},x_{4}$的方程组 +$$ +\left\{ \begin{array}{c}x_{1} + 2x_{3} = 1\\ 2x_{1} + px_{2} + 4x_{3} + px_{4} = p - 2\\ x_{1} + (p + 2)x_{3} = p - 1\\ - x_{1} - x_{3} + (p - 1)x_{4} = -2 \end{array} \right. +$$ +的解集为$V$。当$p$为何值时，$V$中所含线性无关的向量个数最多，并求出此时方程组的通解。 + +--- + +## 七、计算题（12分） + +设矩阵 +$$ +A = \left[ \begin{array}{lll}3 & 1 & 2\\ 0 & a & 0\\ 2 & b & 3 \end{array} \right] +$$ +仅有两个相异特征值，且$A$相似于对角矩阵，求$a, b$，并求可逆矩阵$P$，使得$P^{- 1}AP$为对角矩阵。 + +--- + +## 八、计算题（共2小题，第1小题9分，第2小题3分，共12分） + +已知实二次型 +$$ +f(x_{1},x_{2},x_{3}) = 2x_{1}^{2} + x_{2}^{2} - 4x_{1}x_{2} + 2ax_{2}x_{3} \quad (a\geq 0) +$$ +通过正交变换$\pmb {x} = \pmb{Q}\pmb{y}$可化为标准形$y_{1}^{2} - 2y_{2}^{2} + 4y_{3}^{2}$。 + +(1) 求$a$的值及正交矩阵$\pmb{Q}$。 +(2) 当$\| \pmb {x}\| = 2$时，求解一个向量$\pmb{x}$使得$f(x_{1},x_{2},x_{3})$取最大值。 + +--- +（试卷结束） \ No newline at end of file