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@@ -224,9 +224,10 @@ $$\lim_{k \to \infty}a_{4k+1} = \lim_{k \to \infty}\left(1 + \frac{1}{4k+1}\righ
 $$D(x)= \begin{cases}1, & x\text{为有理数时}, \\ 0, & x\text{为无理数时}\end{cases}$$
 在$(-\infty,+\infty)$上每一点都不存在极限。
 
-
 **解析**
 
+方法一：
+
 首先考虑 $x_0$ 为有理数的情况：
 
 1. 构造第一个数列 $\{x_n^{(1)}\}$：
@@ -252,28 +253,52 @@ $$D(x)= \begin{cases}1, & x\text{为有理数时}, \\ 0, & x\text{为无理数
 
 再考虑 $x_0$ 为无理数的情况：
 
+设 $[x_0]_n$ 为 $x_0$ 取到 $n$ 位小数后的结果，则有
+$$\lim\limits_{n \to \infty} [x_0]_n = x_0$$
+但是需要注意的是，极限并不是完全相等，其实相差了一个无穷小，也就是要多趋近有多趋近，但是它实质上还是一个有理数，因为它毕竟不是 $x_0$ 本身
+
+这种思路的目的是为了找到这样一种表达式，极限是 $x_0$ 的同时，与第一种情况类似，仍是有理数
+
 1. 构造第一个数列 $\{x_n^{(3)}\}$：
    
-   取 $x_n^{(1)} = x_0 + \frac{1}{n}$（有理数），则
-   $$\lim\limits_{n \to \infty} x_n^{(1)} = x_0$$
+   取 $x_n^{(3)} = [x_0]_n$（有理数），则
+   $$\lim\limits_{n \to \infty} x_n^{(3)} = x_0$$
    
-   由于 $x_n^{(1)}$ 是有理数，所以 $D(x_n^{(1)}) = 1$，因此
+   由于 $x_n^{(3)}$ 是有理数，所以 $D(x_n^{(3)}) = 1$，因此
    $$\lim\limits_{n \to \infty} D(x_n^{(1)}) = 1$$
 
-2. 构造第二个数列 $\{x_n^{(2)}\}$：
+2. 构造第二个数列 $\{x_n^{(4)}\}$：
    
-   取 $x_n^{(2)} = x_0 + \frac{\sqrt{2}}{n}$（无理数），则
-   $$\lim\limits_{n \to \infty} x_n^{(2)} = x_0$$
+   取 $x_n^{(4)} = [x_0]_n + \frac{\sqrt{2}}{n}$（无理数），则
+   $$\lim\limits_{n \to \infty} x_n^{(4)} = x_0$$
    
-   由于 $x_n^{(2)}$ 是无理数，所以 $D(x_n^{(2)}) = 0$，因此
-   $$\lim\limits_{n \to \infty} D(x_n^{(2)}) = 0$$
+   由于 $x_n^{(4)}$ 是无理数，所以 $D(x_n^{(4)}) = 0$，因此
+   $$\lim\limits_{n \to \infty} D(x_n^{(4)}) = 0$$
    
    由于
-   $$\lim\limits_{n \to \infty} D(x_n^{(1)}) = 1 \neq 0 = \lim\limits_{n \to \infty} D(x_n^{(2)})$$
+   $$\lim\limits_{n \to \infty} D(x_n^{(3)}) = 1 \neq 0 = \lim\limits_{n \to \infty} D(x_n^{(4)})$$
    
    根据海涅定理，$\lim\limits_{x \to x_0} D(x)$ 不存在。
-   
-   由于 $x_0$ 是任意一点，所以狄利克雷函数在任何点处都不存在极限。
+
+综上所述， $x_0$ 是任意一点时，都能得到$\lim\limits_{x \to x_0} D(x)$ 不存在，所以狄利克雷函数在任何点处都不存在极限。
+
+方法二：利用实数的稠密性
+
+1. **取任意实数 $a$**。
+2. **构造序列**：
+   - 对每个 $n \in \mathbb{N}^*$，由有理数的稠密性，存在有理数 $r_n$ 满足 $|r_n - a| < \frac{1}{n}$。
+   - 对每个 $n \in \mathbb{N}^*$，由无理数的稠密性，存在无理数 $s_n$ 满足 $|s_n - a| < \frac{1}{n}$。
+3. **证明序列收敛**（用 $\varepsilon$-$N$ 语言）：
+   - 对任意 $\varepsilon > 0$，取 $N = \lfloor 1/\varepsilon \rfloor + 1$，则当 $n > N$ 时，$|r_n - a| < 1/n < \varepsilon$，故 $\lim r_n = a$。
+   - 同理 $\lim s_n = a$。
+4. **计算函数值极限**：
+   - $D(r_n) = 1$，常数序列极限为 $1$。
+   - $D(s_n) = 0$，常数序列极限为 $0$。
+5. **应用海涅归结原理**：
+   - 若 $\lim_{x \to a} D(x)$ 存在，则任何收敛于 $a$ 的序列 $\{x_n\}$ 都应有 $\lim D(x_n)$ 相等。
+   - 但 $\{r_n\}$ 和 $\{s_n\}$ 都收敛于 $a$，却得到不同的极限 $1$ 和 $0$，矛盾。
+1. **结论**：$\lim_{x \to a} D(x)$ 不存在，且 $a$ 任意，故 $D(x)$ 在每一点都无极限。
+
 
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