@ -1,11 +1,11 @@
# Section 1 正交矩阵
## ** 正交矩阵**
**定理**
设$\boldsymbol {A}$为n阶实方阵， \boldsymbol {A}^\mathrm{T}\boldsymbol {A}=\boldsymbol {E}$ 的充要条件是$\boldsymbol {A}$的列（行）向量组为标准正交向量组.
设${A}$为$ n$ 阶实方阵，则 ${A}^\mathrm{T}{A}={E}$ 的充要条件是${A}$的列（行）向量组为标准正交向量组.
定义
若$\boldsymbol{A}$为n阶实矩阵， \boldsymbol {A}^\mathrm{T}\boldsymbol {A}=\boldsymbol {E}$，则称$\boldsymbol {A}$为正交矩阵.
若$\boldsymbol{A}$为n阶实矩阵，
**性质 1**
设$\boldsymbol{\varepsilon}_1,\boldsymbol{\varepsilon}_2,\dots,\boldsymbol{\varepsilon}_n$ 为 $\mathbb{R}^n$ 的标准正交基，若记 $A_{n\times n}=\begin{bmatrix}\boldsymbol{\varepsilon}_1& \boldsymbol{\varepsilon}_2& \dots& \boldsymbol{\varepsilon}_n\end{bmatrix}$，则 $\boldsymbol {A}^\mathrm{T}\boldsymbol {A}=\boldsymbol {E}$.
设$\boldsymbol{\varepsilon}_1,\boldsymbol{\varepsilon}_2,\dots,\boldsymbol{\varepsilon}_n$ 为 $\mathbb{R}^n$ 的标准正交基，若记 $A_{n\times n}=\begin{bmatrix}\boldsymbol{\varepsilon}_1& \boldsymbol{\varepsilon}_2& \dots& \boldsymbol{\varepsilon}_n\end{bmatrix}$，则 ${A}^\mathrm{T}{A}={E}$.
**性质 2**
若 $A$ 为正交矩阵，则 $|A|=1$ 或 $|A|=-1$。
**性质 3**
@ -13,59 +13,56 @@
**性质 4**
若 $A,B$ 为 $n$ 阶正交矩阵，则 $AB$ 也是正交矩阵。
**性质 5**
若 $A$ 为 $n$ 阶正交矩阵，则对任意的 $x\in\mathbb{R}^n$，有 $\|Ax\|=\|x\|$。 可利用向量长度的定义进行分析：$\|Ax\|^2=\langle Ax,Ax\rangle=x^\mathrm{T} A^\mathrm{T} A x=x^\mathrm{T} x=\|x\|^2$.
若 $A$ 为 $n$ 阶正交矩阵，则对任意的 $\boldsymbol x\in\mathbb{R}^n$，有 $\|A\boldsymbol x\|=\|\boldsymbol x\|$。 可利用向量长度的定义进行分析：$\|A\boldsymbol x\|^2=\langle A\boldsymbol x,A\boldsymbol x\rangle=\boldsymbol x^\mathrm{T} A^\mathrm{T} A \boldsymbol x=x^\mathrm{T} \boldsymbol x=\|\boldsymbol x\|^2$.
这一性质提供了一个重要的线索：利用正交矩阵通过矩阵乘法对向量施行变换，所得向量与原向量的长度相同，同理可得向量的夹角也不变。因此在几何空间中进行几何变换，当变换矩阵为正交矩阵时可以保持图形的形状不变。
### ** 例子**
>[!example] 例题1
>设 $\boldsymbol{\alpha}$ 为 n 维实列向量，且 $\|\boldsymbol{\alpha}\| = k$，令 $H = E - l\boldsymbol{\alpha}\boldsymbol{\alpha}^T$，其中 $k,l \in \mathbb{R}$。试讨论 $k,l$ 满足什么条件时 H 为正交矩阵。
>设 $\boldsymbol{\alpha}$ 为 $ n$ 维实列向量，且 $\|\boldsymbol{\alpha}\| = k$，令 $H = E - l\boldsymbol{\alpha}\boldsymbol{\alpha}^T$，其中 $k,l \in \mathbb{R}$。试讨论 $k,l$ 满足什么条件时 $ H$ 为正交矩阵。
>[!note] ** 解析**
解题思路
正交矩阵的定义是：若矩阵 H 满足 $H^T H = E$（其中 E 为单位矩阵），则 H 为正交矩阵。我们从这个定义出发推导条件。
正交矩阵的定义是：若矩阵 H 满足 $H^T H = E$（其中 $ E$ 为单位矩阵），则 $ H$ 为正交矩阵。我们从这个定义出发推导条件。
>步骤1：
>已知 $H = E - l\alpha\alpha^T$，转置得
$$H^T = (E - l\alpha\alpha^T)^T = E^T - l(\alpha\alpha^T)^T = E - l\alpha\alpha^T$$
>（因为 $E^T=E$，且 $(\alpha\alpha^T)^T = \alpha\alpha^T$）
>已知 $H = E - l\boldsymbol \ alpha\boldsymbol \alpha^T$，转置得
$$H^T = (E - l\boldsymbol \ alpha\boldsymbol \ alpha^T)^T = E^T - l(\boldsymbol \alpha\boldsymbol \ alpha^T)^T = E - l\boldsymbol \ alpha\boldsymbol \alpha^T$$
>（因为 $E^T=E$，且 $(\boldsymbol \ alpha\boldsymbol \alpha^T)^T = \boldsymbol \ alpha\boldsymbol \alpha^T$）
>步骤2：
>$$\begin{align*}
H^T H & = (E - l\alpha\alpha^T)(E - l\alpha\alpha^T) \\
& = E \cdot E - E \cdot l\alpha\alpha^T - l\alpha\alpha^T \cdot E + l^2\alpha\alpha^T \cdot \alpha\alpha^T \\
& = E - 2l\alpha\alpha^T + l^2\alpha(\alpha^T\alpha)\alpha^T
H^T H & = (E - l\boldsymbol \ alpha\boldsymbol \alpha^T)(E - l\boldsymbol \ alpha\boldsymbol \alpha^T) \\
& = E \cdot E - E \cdot l\boldsymbol \ alpha\boldsymbol \alpha^T - l\boldsymbol \ alpha\boldsymbol \alpha^T \cdot E + l^2\boldsymbol \ alpha\boldsymbol \alpha^T \cdot \boldsymbol \ alpha\boldsymbol \alpha^T \\
& = E - 2l\boldsymbol \ alpha\boldsymbol \ alpha^T + l^2\boldsymbol \ alpha(\alpha^T\boldsymbol \ alpha)\boldsymbol \alpha^T
\end{align*}$$
>步骤3：
>步骤3： boldsymbol \ alpha^T\boldsymbol \ alpha = \|\boldsymbol \alpha\|^2 = k^2 \Rightarrow H^T H = E - 2l\boldsymbol \ alpha\boldsymbol \ alpha^T + l^2 k^2 \boldsymbol \ alpha\boldsymbol \alpha^T$
>合并同类项：
>$$H^T H = E + \left(-2l + l^2 k^2\right)\alpha\alpha^T$$
>$$H^T H = E + \left(-2l + l^2 k^2\right)\boldsymbol \ alpha\boldsymbol \alpha^T$$
>步骤4：
>要使上式等于单位矩阵 E， ：
>$$\left(-2l + l^2 k^2\right)\alpha\alpha^T = O$$
>要使上式等于单位矩阵 $ E$ ，必须满足：
>$$\left(-2l + l^2 k^2\right)\boldsymbol \ alpha\boldsymbol \alpha^T = O$$
>（
>若 $\alpha \neq 0（ ） ， ：
>若 $\boldsymbol \ alpha \neq \boldsymbol 0（ ） boldsymbol \ alpha\boldsymbol \ alpha^T \neq O$，因此系数必须为$ 0$ ：
$$-2l + l^2 k^2 = 0 \implies l(l k^2 - 2) = 0$$
>解得$l = 0$ 或 $l = \dfrac{2}{k^2}$。
>若 $\alpha = 0（ ，
>最终结论
>$$\boxed{
\begin{aligned}
>若 $\boldsymbol \alpha = \boldsymbol 0（
>最终结论$$\begin{aligned}
& 1.\ \text{当}\ k = 0\ \text{时，对任意实数}\ l,\ H\ \text{为正交矩阵；} \\
& 2.\ \text{当}\ k \neq 0\ \text{时，}l = 0\ \text{或}\ l = \dfrac{2}{k^2}\ \text{时，}H\ \text{为正交矩阵。}
\end{aligned}
}$$
\end{aligned}$$
>[!example] 例题2
>已知 A = $[a_{ij}]_{n \times n} 为 n\,(n \ge 2)$ 阶正交矩阵，证明：$A_{ij} = \pm a_{ij}\;(i,j=1,2,\dots,n)$，其中 $A_{ij}$ 为行列式 $|A|$ 中 $a_{ij}$ 的代数余子式。
>已知 $A$ = $[a_{ij}]_{n \times n}$为 $ n\,(n \ge 2)$ 阶正交矩阵，证明：$A_{ij} = \pm a_{ij}\;(i,j=1,2,\dots,n)$，其中 $A_{ij}$ 为行列式 $|A|$ 中 $a_{ij}$ 的代数余子式。
>[!note] ** 解析**
>设 A为 n阶正交矩阵（ ） ， {E}$
>又由伴随矩阵与逆矩阵的关系：$\boldsymbol A^{-1} = \frac{1}{|A|}\boldsymbol {A}^*$$
>联立得 $\boldsymbol {A}^T= \frac{1}{|A|}\boldsymbol A^*$
>设 $A$为 $n$阶正交矩阵（$n\ge2$），则 ${A}^T{A}= {E}$
>又由伴随矩阵与逆矩阵的关系：$A^{-1} = \frac{1}{|A|}{A}^*$
>联立得 ${A}^T= \frac{1}{|A|}A^*$
>正交矩阵的行列式满足 $\frac{1}{|A|} =±1$，故 $A^*={|A|}A^T=±A^T$
>由伴随矩阵的定义，其第 $(j,i)$ 元为 $a_{ij}$
>证毕
## 施密特正交化法
### ** 定理**
设$\boldsymbol{\alpha}_1,\boldsymbol{\alpha}_2,\dots,\boldsymbol{\alpha}_p$ 是向量空间 V 中的线性无关向量组，则
设$\boldsymbol{\alpha}_1,\boldsymbol{\alpha}_2,\dots,\boldsymbol{\alpha}_p$ 是向量空间 $ V$ 中的线性无关向量组，则
如下方法所得向量组$\boldsymbol{\varepsilon}_1,\boldsymbol{\varepsilon}_2,\dots,\boldsymbol{\varepsilon}_p$
施密特正交化与单位化公式
正交化过程
@ -79,10 +76,10 @@ k=1,2,3,\dots,p$$
### ** 例子**
>[!example] ** 例3**
已知 $\boldsymbol{\alpha}_1,\boldsymbol{\alpha}_2,\dots,\boldsymbol{\alpha}_5$ 为欧氏空间 V 的一组标准正交基，令$$\boldsymbol{\beta}_1 = \boldsymbol{\alpha}_1+\boldsymbol{\alpha}_3,\quad
已知 $\boldsymbol{\alpha}_1,\boldsymbol{\alpha}_2,\dots,\boldsymbol{\alpha}_5$ 为欧氏空间 $ V$ 的一组标准正交基，令$$\boldsymbol{\beta}_1 = \boldsymbol{\alpha}_1+\boldsymbol{\alpha}_3,\quad
\boldsymbol{\beta}_2 = \boldsymbol{\alpha}_1-\boldsymbol{\alpha}_2+\boldsymbol{\alpha}_4,\quad
\boldsymbol{\beta}_3 = 2\boldsymbol{\alpha}_1+\boldsymbol{\alpha}_2+\boldsymbol{\alpha}_3,$$
$U = \text{span}\{\boldsymbol{\beta}_1,\boldsymbol{\beta}_2,\boldsymbol{\beta}_3\}$求 U 的一个标准正交基。
$U = \text{span}\{\boldsymbol{\beta}_1,\boldsymbol{\beta}_2,\boldsymbol{\beta}_3\}$求 $ U$ 的一个标准正交基。
>[!note] ** 解析**：
>施密特正交化
@ -101,13 +98,13 @@ $$\|\boldsymbol{\gamma}_2\|=\sqrt{\dfrac{5}{2}}$$
$$\boldsymbol{\varepsilon}_2=\dfrac{\boldsymbol{\alpha}_1-2\boldsymbol{\alpha}_2-\boldsymbol{\alpha}_3+2\boldsymbol{\alpha}_4}{\sqrt{10}}$$
$$\|\boldsymbol{\gamma}_3\|=\sqrt{\dfrac{3}{2}}$$
$$\boldsymbol{\varepsilon}_3=\dfrac{\boldsymbol{\alpha}_1+2\boldsymbol{\alpha}_2-\boldsymbol{\alpha}_3}{\sqrt{6}}$$
>U 的标准正交基为
>$ U$ 的标准正交基为
>$$\boldsymbol{\varepsilon}_1=\frac{\boldsymbol{\alpha}_1+\boldsymbol{\alpha}_3}{\sqrt{2}},\quad
\boldsymbol{\varepsilon}_2=\frac{\boldsymbol{\alpha}_1-2\boldsymbol{\alpha}_2-\boldsymbol{\alpha}_3+2\boldsymbol{\alpha}_4}{\sqrt{10}},\quad
\boldsymbol{\varepsilon}_3=\frac{\boldsymbol{\alpha}_1+2\boldsymbol{\alpha}_2-\boldsymbol{\alpha}_3}{\sqrt{6}}$$
>[!example] ** 例4**
>已知 A = $[\boldsymbol{\alpha}_1\ \boldsymbol{\alpha}_2\ \boldsymbol{\alpha}_3\ \boldsymbol{\alpha}_4]$ 为正交矩阵，其中
>已知 $ A$ $ =$ $[\boldsymbol{\alpha}_1\ \boldsymbol{\alpha}_2\ \boldsymbol{\alpha}_3\ \boldsymbol{\alpha}_4]$ 为正交矩阵，其中
>$$\boldsymbol{\alpha}_3 = \frac{1}{3}\begin{bmatrix}1\\-2\\0\\2\end{bmatrix},\quad
\boldsymbol{\alpha}_4 = \frac{1}{6}\begin{bmatrix}2\sqrt{6}\\0\\-\sqrt{6}\\-\sqrt{6}\end{bmatrix}$$
试求一个$\boldsymbol{\alpha}_1$ 和一个 $\boldsymbol{\alpha}_2$。
@ -174,45 +171,45 @@ $$\boldsymbol{\varepsilon}_3=\dfrac{\boldsymbol{\alpha}_1+2\boldsymbol{\alpha}_2
**核心步骤**：
1求二次型对应实对称矩阵A的全部特征值 $\lambda_1,\lambda_2,...,\lambda_n$
1求二次型对应实对称矩阵 $ A$ 的全部特征值 $\lambda_1,\lambda_2,...,\lambda_n$
对每个特征值，求对应的特征向量，并将属于同一特征值的特征向量正交化；
2将所有正交化后的特征向量单位化， ；
2将所有正交化后的特征向量单位化， $ Q$ ；
3作正交变换 $X=QY$ ，二次型化为标准型 $f=\lambda_1y_1^2+\lambda_2y_2^2+...+\lambda_ny_n^2$ 。
**特点**： ， （ ） ； ， （ ） ； ，
**特点**：标准型系数为 $ A$ 的特征值，具有唯一性（不计顺序）；正交变换保持向量长度、夹角不变，几何意义明确（如旋转、反射变换）；但计算量较大，需求解特征值和特征向量。
#### ** （四）合同变换法（直接作用于矩阵，直观体现合同关系）**
合同变换法直接对实对称矩阵A进行初等变换， ， ， ，
合同变换法直接对实对称矩阵 $ A$ 进行初等变换，通过“初等行变换+同步初等列变换”，将 $ A$ 化为对角阵 $\Lambda$ ，同步记录初等列变换得到可逆矩阵 $ C$ ，本质是直接构造 $C^TAC=\Lambda$ 。
**核心步骤**：
1构造分块矩阵 $\begin{pmatrix}A\\I\end{p matrix}$ （ ） ；
1构造分块矩阵 $\begin{bmatrix}A\\I\end{b matrix}$ （ ） ；
2对A施行初等行变换的同时， ， ；
2对 $ A$ 施行初等行变换的同时，对整个分块矩阵的列施行相同的初等列变换，使 $ A$ 化为对角阵 $\Lambda$ ；
3此时下方单位矩阵I同步化为可逆矩阵C，
3此时下方单位矩阵I同步化为可逆矩阵 $ C$ ，满足 $C^TAC=\Lambda$ ，对应线性代换 $X=CY$ ，二次型化为标准型 $f=\Lambda_{11}y_1^2+\Lambda_{22}y_2^2+...+\Lambda_{nn}y_n^2$ 。
**特点**： ， ； ， ； ，
**区别**： ： （ ， ） ， ； ： （ ， ） ， ； ： ， ；
**区别**： $ Q$ 为正交矩阵， $Q^T=Q^{-1}$ ） ， ； ： （ ， ） ， ； ： ， ；
**关联**：所有方法均基于可逆线性代换，本质都是矩阵的合同对角化；无论哪种方法得到的标准型，其正、负惯性指数均由惯性定理保证恒定，最终都可通过进一步代换化为唯一的规范型。
>[!danger] 待整合
>与一个**实对称矩阵** 相似：特征值及其几何重数、代数重数相等
>合同： （ ）
>即：如果 $\boldsymbol A$ 与 $\boldsymbol B$ 合同，且 $\boldsymbol A$ 是实对称矩阵，则 $\boldsymbol B$ 也是实对称矩阵。
>证明：$\boldsymbol B=\boldsymbol P^\mathrm T\boldsymbol A\boldsymbol P \Rightarrow \boldsymbol B^\mathrm T=(\boldsymbol P^\mathrm T\boldsymbol A\boldsymbol P)^\mathrm T=\boldsymbol P^\mathrm T\boldsymbol A^\mathrm T\boldsymbol P=\boldsymbol P^\mathrm T\boldsymbol A\boldsymbol P$，即 $\boldsymbol B^\mathrm T=\boldsymbol B$
>合同：惯性相同（正惯性指数、负惯性指数、$ 0$ 数都相同）且本身也是**实对称矩阵**.
>即：如果 $A$ 与 $B$ 合同，且 $A$ 是实对称矩阵，则 $B$ 也是实对称矩阵。
>证明：$B=P^\mathrm TAP \Rightarrow B^\mathrm T=(P^\mathrm TAP)^\mathrm T=P^\mathrm TA^\mathrm TP=P^\mathrm TAP$，即 $B^\mathrm T=B$
>[!example] 例题
>已知三阶实对称矩阵 $\boldsymbol A$ 与 $\begin{bmatrix}2& 0& 0\\0& 1& 0\\0& 0& -3\end{bmatrix}$ 相似，则下列矩阵中，与 $\boldsymbol A$ 相似但不合同的是
>A. $\begin{bmatrix}1& 1& 1\\1& 1& 1\\1& 1& 1\end{bmatrix}$ B. $\begin{bmatrix}-3& 0& 0\\0& 1& 0\\0& 0& 2\end{bmatrix}$ C. $\begin{bmatrix}-3& 1& 1\\0& 1& 1\\0& 0& 2\end{bmatrix}$ D. $\begin{bmatrix}1& 0& 0\\0& -2& 0\\0& 0& 3\end{bmatrix}$
>已知三阶实对称矩阵 $A$ 与 $\begin{bmatrix}2& 0& 0\\0& 1& 0\\0& 0& -3\end{bmatrix}$ 相似，则下列矩阵中，与 $\boldsymbol A$ 相似但不合同的是
>A. $\begin{bmatrix}1& 1& 1\\1& 1& 1\\1& 1& 1\end{bmatrix}\qquad $ B. $\begin{bmatrix}-3& 0& 0\\0& 1& 0\\0& 0& 2\end{bmatrix}\qquad $ C. $\begin{bmatrix}-3& 1& 1\\0& 1& 1\\0& 0& 2\end{bmatrix}\qquad $ D. $\begin{bmatrix}1& 0& 0\\0& -2& 0\\0& 0& 3\end{bmatrix}$
>[!note] 解析
>与一个**实对称矩阵** 相似：特征值及其几何重数、代数重数相等
>合同： （ ）
>C选项的特征值与 $\boldsymbol A$ 相同， ， 选项的矩阵不是对称矩阵
>合同：惯性相同（正惯性指数、负惯性指数、$ 0$ 数都相同）且本身也是**实对称矩阵**
> $C$ 选项的特征值与 $A$ 相同，然而, $C$ 选项的矩阵不是对称矩阵
