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151
试卷库/线性代数/线代2010秋A.md
Unescape View File

@ -0,0 +1,151 @@
# 2010—2011学年秋季学期《线性代数》考试试卷（A）卷
**考试形式：闭卷**
**考试时间：150分钟**
**满分：100分**
---
## 一、填空题（共6小题，每小题3分，共18分）
1. 设$\alpha_{1},\alpha_{2},\alpha_{3}$是欧氏空间的标准正交基，则向量$2\alpha_{1} - \alpha_{2} + 3\alpha_{3}$的长度为 __________。
2. 设矩阵
$$
A = \left[ \begin{array}{ccc}
2 & 1 & 1 \\
\frac{1}{3} & \frac{1}{\sqrt{2}} & \frac{1}{3\sqrt{2}} \\
a & b & \frac{-4}{3\sqrt{2}} \\
\frac{2}{3} & \frac{-1}{\sqrt{2}} & \frac{1}{3\sqrt{2}}
\end{array} \right]
$$
为正交矩阵，则$ab =$__________。
3. 若实二次型
$$
f(x_{1},x_{2},x_{3}) = x_{1}^{2} + 2\lambda x_{1}x_{2} - 2x_{1}x_{3} + 4x_{2}^{2} + 4x_{2}x_{3} + 4x_{3}^{2}
$$
为正定二次型，则$\lambda$的取值范围为 __________。
4. 已知$\alpha_{1},\alpha_{2}$是非齐次线性方程组$A_{2\times 3}x = b$的两个线性无关的解，且$\mathrm{rank}A = 2$。若$\alpha = k\alpha_{1} + l\alpha_{2}$是方程组$Ax = b$的通解，则常数$k,l$须满足关系式 __________。
5. 设$A$为$n$阶实对称矩阵，且$A^{2} + 2A - 3E = 0$，$\lambda = 1$是$A$的一重特征值，则行列式$|A + 2E| =$__________。
6. 设$A$为$n$阶可逆矩阵，且每一行元素之和都等于常数$a\neq 0$，则$A$的逆矩阵的每一行元素之和为 __________。
---
## 二、单选题（共6小题，每小题3分，共18分）
1. 设$A$为$n$阶可逆矩阵，$A$的第二行乘以2为矩阵$B$，则（ ）。
- (A)$A^{-1}$的第二行乘以2为$B^{-1}$
- (B)$A^{-1}$的第二列乘以2为$B^{-1}$
- (C)$A^{-1}$的第二行乘以$\frac{1}{2}$为$B^{-1}$
- (D)$A^{-1}$的第二列乘以$\frac{1}{2}$为$B^{-1}$
2. 设向量组$\alpha_1,\alpha_2,\alpha_3$线性无关，$\alpha_2,\alpha_3,\alpha_4$线性相关，以下命题中错误的是（ ）。
- (A)$\alpha_1$不能被$\alpha_2,\alpha_3,\alpha_4$线性表示
- (B)$\alpha_2$不能被$\alpha_1,\alpha_3,\alpha_4$线性表示
- (C)$\alpha_4$能被$\alpha_1,\alpha_2,\alpha_3$线性表示
- (D)$\alpha_1,\alpha_2,\alpha_3,\alpha_4$线性相关
3. 设$A = [a_{ij}]_{n\times n}$，二次型
$$
f(x_1,x_2,\dots ,x_n) = \sum_{i=1}^n (a_{i1}x_1 + a_{i2}x_2 + \dots + a_{in}x_n)^2
$$
的矩阵为（ ）。
- (A)$A$
- (B)$A^2$
- (C)$A^T A$
- (D)$A A^T$
4. 设$A, B$均为4阶方阵，且$\mathrm{rank}A = 4$，$\mathrm{rank}B = 3$，$A$和$B$的伴随矩阵为$A^*$和$B^*$，则$\mathrm{rank}(A^* B^*)$等于（ ）。
- (A) 1
- (B) 2
- (C) 3
- (D) 4
5. 已知$\alpha_1,\alpha_2,\alpha_3,\alpha_4$是向量空间$V$的一个基，以下向量组也是$V$的基的是（ ）。
- (A)$\alpha_1+\alpha_2,\ \alpha_2+\alpha_3,\ \alpha_3+\alpha_4,\ \alpha_4+\alpha_1$
- (B)$\alpha_1-\alpha_2,\ \alpha_2-\alpha_3,\ \alpha_3-\alpha_4,\ \alpha_4-\alpha_1$
- (C)$\alpha_1+\alpha_2,\ \alpha_2+\alpha_3,\ \alpha_3+\alpha_4,\ \alpha_4-\alpha_1$
- (D)$\alpha_1+\alpha_2,\ \alpha_2+\alpha_3,\ \alpha_3-\alpha_4,\ \alpha_4-\alpha_1$
6. 设3阶方阵$A$的三个特征值为$\lambda_1 = 0,\ \lambda_2 = 3,\ \lambda_3 = -6$，对应于$\lambda_1$的特征向量为$x_1 = (1,0,-1)^T$，对应$\lambda_2$的特征向量为$x_2 = (2,1,1)^T$，记向量$x_3 = x_1 + x_2$，则（ ）。
- (A)$x_3$是对应于特征值$\lambda_1 = 0$的特征向量
- (B)$x_3$是对应于特征值$\lambda_2 = 3$的特征向量
- (C)$x_3$是对应于特征值$\lambda_3 = -6$的特征向量
- (D)$x_3$不是$A$的特征向量
---
## 三、（10分）计算$n$阶行列式
$$
D_n = \begin{vmatrix}
1 + x_1^2 & x_1x_2 & \cdots & x_1x_n \\
x_2x_1 & 1 + x_2^2 & \cdots & x_2x_n \\
\vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\
x_nx_1 & x_nx_2 & \cdots & 1 + x_n^2
\end{vmatrix}
$$
其中$x_i \neq 0, i = 1, 2, \dots , n$。
---
## 四、（10分）设3阶方阵$A,B$满足方程$A^{2}B - A - B = E$，试求矩阵$B$，其中
$$
A = \begin{bmatrix}
1 & 0 & 1 \\
0 & 2 & 0 \\
-2 & 0 & 1
\end{bmatrix}。
$$
---
## 五、（10分）判定向量组
$$
\alpha_1 = \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \\ 4 \end{pmatrix},\
\alpha_2 = \begin{pmatrix} 2 \\ 3 \\ 4 \\ 5 \end{pmatrix},\
\alpha_3 = \begin{pmatrix} 3 \\ 4 \\ 5 \\ 6 \end{pmatrix},\
\alpha_4 = \begin{pmatrix} 4 \\ 5 \\ 6 \\ 7 \end{pmatrix}
$$
的线性相关性，求其一极大线性无关组，并将其余向量用该极大线性无关组线性表示。
---
## 六、（10分）设线性方程组为
$$
\left\{
\begin{array}{l}
x_{1} - 3x_{2} - x_{3} = 0, \\
x_{1} - 4x_{2} + ax_{3} = b, \\
2x_{1} - x_{2} + 3x_{3} = 5,
\end{array}
\right.
$$
问：$a, b$取何值时，方程组无解、有唯一解、有无穷多解？在有无穷多解时求出其通解。
---
## 七、（12分）已知实二次型
$$
f(x_{1},x_{2},x_{3}) = 2x_{1}x_{2} + 2x_{2}x_{3} + 2x_{3}x_{1},
$$
求正交变换$x = Qy$，将二次型$f(x_{1},x_{2},x_{3})$化为标准形，并写出正交变换$x = Qy$。
---
## 八、（12分）设$A$是$m \times n$实矩阵，$\beta \neq 0$是$m$维实列向量，证明：
(1)$\mathrm{rank}A = \mathrm{rank}(A^{\mathrm{T}}A)$；
(2) 线性方程组$A^{\mathrm{T}}Ax = A^{\mathrm{T}}\beta$有解。
---
**注意：**
1. 所有答题都须写在此试卷纸密封线右边，写在其它纸上一律无效。
2. 密封线左边请勿答题，密封线外不得有姓名及相关标记。

183
试卷库/高数期末真题/2013高数期末考试卷.md
Unescape View File

@ -0,0 +1,183 @@
# 2013—2014学年秋季学期《高等数学》考试试卷（A）卷
（2014年1月24日）
**考试形式：闭卷**
**考试时间：150分钟**
**满分：100分**
---
## 一、填空题（共5小题，每小题3分，共15分）
1. 函数
$$
f(x) = \left\{
\begin{array}{ll}
e^{-x}, & x\geq 0,\\
x - 1, & x< 0
\end{array}
\right.
$$
的反函数的定义域为 __________。
2. 若级数$\sum_{n = 1}^{\infty}\dfrac{(-1)^n}{n^p}\sin \left(\dfrac{1}{\sqrt{n}}\right)$绝对收敛，则常数$p$的取值范围是 __________。
3. 曲线$y = \ln (\sec x + \tan x)$在$(0,0)$处的切线方程为 __________。
4. 不定积分
$$
\int \dfrac{\ln(2x + 1)}{2x + 1}\mathrm{d}x
$$
的计算结果为 __________。
5. 记$S$为区间$[1, + \infty)$上介于曲线$y = \dfrac{1}{\sqrt{x^2 + x}}$与$x$轴之间的无界图形，则$S$绕$x$轴旋转一周所得的旋转体的体积为 __________。
---
## 二、选择题（共5小题，每小题3分，共15分）
1. 设$y = f(x)$是区间$[-a,a]$上可导的偶函数，则下列函数中在区间$[-a,a]$上一定为偶函数的是（ ）。
（A）$f^{\prime}(x)$
（B）$x^{2}f^{\prime}(x)$
（C）$\int_{0}^{x}f(t)\mathrm{d}t$
（D）$\int_{0}^{x}xf(t)\mathrm{d}t$
2. 曲线$y = (x - 1)(x - 2)^{2}(x - 3)^{3}$的拐点个数为（ ）。
（A）1
（B）2
（C）3
（D）4
3. 设$y = f(x)$是$(0, + \infty)$内正值、连续且严格单调减少的函数。下列表格分别给出了函数$g(x) = \int_{x}^{2}f(t)\mathrm{d}t$在点$x = 1,2,3$处的值，则可能出现的情形是（ ）。
|$x$|$g(x)$|
|------|----------|
| 1 | -2 |
| 2 | 0 |
| 3 | 1 |
|$x$|$g(x)$|
|------|----------|
| 1 | -2 |
| 2 | 0 |
| 3 | 3 |
|$x$|$g(x)$|
|------|----------|
| 1 | 2 |
| 2 | 0 |
| 3 | -1 |
|$x$|$g(x)$|
|------|----------|
| 1 | 2 |
| 2 | 0 |
| 3 | 1 |
（A）第一表
（B）第二表
（C）第三表
（D）第四表
4. 设函数$y = f(x)$具有二阶导数，且$f^{\prime}(x)< 0,f^{\prime \prime}(x)< 0$，$\Delta x$为自变量$x$在点$x_{0}$处的增量，$\Delta y$与$\mathrm{d}y$分别为$f(x)$在点$x_{0}$处的增量与微分，若$\Delta x > 0$，则（ ）。
（A）$0< \mathrm{d}y< \Delta y$
（B）$0< \Delta y< \mathrm{d}y$
（C）$\Delta y< \mathrm{d}y< 0$
（D）$\mathrm{d}y< \Delta y< 0$
5. 设函数$y = f(x)$二阶可导，其图形在$(0,1)$处的曲率圆的方程为$(x - 1)^{2} + y^{2} = 2$，则函数$f(x)$的二阶带佩亚诺余项的麦克劳林公式为（ ）。
（A）$f(x) = 1 - x + x^{2} + o(x^{2})$
（B）$f(x) = 1 + x - x^{2} + o(x^{2})$
（C）$f(x) = 1 + x - 2x^{2} + o(x^{2})$
（D）$f(x) = 1 - x - 2x^{2} + o(x^{2})$
---
## 三、（6分）求极限
$$
\lim_{n\to \infty}n\left(\frac{1}{n^2 + \pi} + \frac{1}{n^2 + 2\pi} + \dots + \frac{1}{n^2 + n\pi}\right)。
$$
## 四、（6分）求曲线$y = \dfrac{1}{x} + \dfrac{x^2}{\sqrt{1 + x^2}}$的所有渐近线。
## 五、（6分）已知数列$\{a_n\}$有界，试用$\epsilon - N$语言证明
$$
\lim_{n\to \infty}\dfrac{a_n}{n} = 0。
$$
---
## 六、（6分）设
$$
\left\{
\begin{array}{l}
x = \cos (t^2),\\
y = \int_{0}^{t^2} e^{-s^2} \sin u \mathrm{d}u,
\end{array}
\right.
$$
求$\dfrac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}, \dfrac{\mathrm{d}^2 y}{\mathrm{d}x^2}$。
## 七、（6分）已知$a$为正常数，试判断级数
$$
\sum_{n = 1}^{\infty} \dfrac{a^n \cdot n!}{n^n}
$$
的敛散性。
---
## 八、（8分）已知$f^{\prime}(x) = \arctan (x^{2} - 1)$，$f(1) = 0$，求$\int_{0}^{1}f(x)\mathrm{d}x$。
*注：原试卷中此处含有一幅插图，内容为辅助图形或提示，具体内容未在文本中给出，保留说明。*
## 九、（8分）已知函数$\phi (x)$在$(- \infty , + \infty)$内具有二阶连续导数，且$\phi (0) = 0$。问：当常数$a,b$为何值时，函数
$$
f(x) = \left\{
\begin{array}{ll}
\dfrac{\phi(x)}{x}, & x > 0,\\
ax + b, & x\leq 0
\end{array}
\right.
$$
在$(- \infty , + \infty)$内可导？并讨论$f^{\prime}(x)$的连续性。
---
## 十、（8分）从1997年4月1日到2007年4月18日，我国铁路经过了七次大提速，每次大提速前，科研人员都要对铁路轨道进行检测，尤其要对弯道进行改造，为确保火车在弯道上的行驶安全，火车所受到的离心力必须平稳变化，因此要求从直道进入弯道时曲率必须是连续变化的，为此需要设计一段曲线轨道将直线轨道与圆弧轨道连接起来，称此连接轨道曲线为缓和曲线，通常选用三次多项式曲线作为缓和曲线，如图所示，$CO$为直线轨道，$AB$为圆弧轨道，$OA$为缓和曲线，已知圆弧轨道半径为$R$（km），$A$点的横坐标为$l$（km）。
（1）设缓和曲线方程为$y = ax^{3} + bx^{2} + cx + d$，试给出系数$a,b,c,d$所满足的关系式；
（2）由于$l\ll R$，工程上通常近似地取缓和曲线的方程为$y = \dfrac{1}{6RI} x^{3}$。试验证该曲线在点$A$处的曲率半径近似为$R$。
*注：原试卷中此处含有一幅插图（第十题图），内容未在文本中给出，保留说明。*
---
## 十一、（8分）已知函数
$$
f_{n}(x) = \int_{0}^{x}t^{2}(1 - t)\sin^{2n}t\mathrm{d}t, \quad x\in (-\infty , + \infty),
$$
其中$n$为正整数。
（1）证明：对任意正整数$n$，函数$f_{n}(x)$在$x = 1$处取得最大值；
（2）记$a_{n} = f_{n}(1), \ n = 1,2,\dots$，试判断级数$\sum_{n = 1}^{\infty} a_{n}$的敛散性。
---
## 十二、（8分）已知函数$f(x)$在$[0,1]$上连续，在$(0,1)$内可导，且$f(0) = 0$，$f(1) = 1$。试证明：
（1）存在$\xi \in (0,1)$，使得$f'(\xi) = 2\xi$；
（2）对任意正数$a,b$，在$(0,1)$内存在相异的两点$x_{1},x_{2}$，使得
$$
\frac{a}{f'(x_1)} + \frac{b}{f'(x_2)} = a + b。
$$
---
**注意：**
1. 所有答题都须写在此试卷纸密封线右边，写在其它纸上一律无效。
2. 密封线外不得有姓名及相关标记。
3. 当题目留空不够时，可写在试卷反面，但密封线内请勿答题。

187
试卷库/高数期末真题/2014高数期末考试卷.md
Unescape View File

@ -0,0 +1,187 @@
# 国防科技大学2014—2015学年秋季学期《高等数学》考试试卷（A）卷
（2015年1月27日）
**考试形式：闭卷**
**考试时间：150分钟**
**满分：100分**
---
## 一、填空题（共5小题，每小题3分，共15分）
1. 数列极限
$$
\lim_{n\to \infty}\left(\frac{n}{2n^2 + 1} + \frac{n}{2n^2 + 2} + \dots + \frac{n}{2n^2 + n}\right)
$$
的值为 __________。
2. 若$\alpha (x),\beta (x),\gamma (x)$都是$x\to x_0$过程中的无穷小量，且$\beta (x)$是$\alpha (x)$的高阶无穷小，$\gamma (x)$是$\alpha (x)$的等价无穷小，则极限
$$
\lim_{x\to x_0}\frac{2\alpha(x) - 3\beta(x)}{3\gamma(x) - 2\beta(x)}
$$
的值为 __________。
3. 若$y = f(x)$是$(-∞, +∞)$内以2为周期的可导函数，且
$$
\lim_{x\to 0}\frac{f(1 + x) + 4f(1 - x)}{x} = 3，
$$
则曲线$y = f(x)$在点$(3,f(3))$处的切线方程为 __________。
4. 定积分
$$
\int_{0}^{1}\frac{\arctan x}{\arctan x + \arctan(1 - x)}\mathrm{d}x
$$
的值为 __________。
5. 曲线$y = \dfrac{1}{\sqrt{4 + x^{2}}} (-\infty < x< +\infty)$与$x$轴所围成的无界图形绕$x$轴旋转一周所成立体的体积为 __________。
---
## 二、选择题（共5小题，每小题3分，共15分）
1. 设$a,b$为正常数，则数列极限
$$
\lim_{n\to \infty}\left(a^{-n} + b^{-n}\right)^{\frac{1}{n}}
$$
的值为（ ）。
（A）$\max (a,b)$
（B）$\min (a,b)$
（C）$\max \left(\dfrac{1}{a},\dfrac{1}{b}\right)$
（D）$\min \left(\dfrac{1}{a},\dfrac{1}{b}\right)$
2. 设$f(x)$在$(- \infty , + \infty)$内有定义，且$\lim_{x\to \infty}f(x) = a$，
$$
g(x) = \left\{
\begin{array}{ll}
x f\left(\dfrac{1}{x}\right), & x\neq 0,\\
0, & x = 0,
\end{array}
\right.
$$
则（ ）。
（A）$x = 0$为$g(x)$的连续点
（B）$x = 0$为$g(x)$的第一类间断点
（C）$x = 0$为$g(x)$的第二类间断点
（D）$g(x)$在$x = 0$处的连续性与$a$的值有关
3. 设有曲线$y = \dfrac{x^{2}}{3x + 2}$，则该曲线（ ）。
（A）只有一条铅直渐近线
（B）只有一条水平渐近线
（C）有一条铅直渐近线和一条水平渐近线
（D）有一条铅直渐近线和一条斜渐近线
4. 设函数$y = f(x)$在区间$[0,2]$上连续且严格单调增加，$f(0) = 0, f(2) = 1$。若
$$
\int_{0}^{2}f(x)\mathrm{d}x = \frac{1}{3}，
$$
则$\int_{0}^{1}f^{-1}(y)\mathrm{d}y$的值为（ ）。
（A）1
（B）$\dfrac{5}{3}$
（C）$\dfrac{2}{3}$
（D）$\dfrac{1}{3}$
5. 函数
$$
f(x) = \int_{0}^{x}e^{-t}(2 - t)(1 - t)^{2}\mathrm{d}t
$$
在$(- \infty , + \infty)$内极值点的个数为（ ）。
（A）0
（B）1
（C）2
（D）3
---
## 三、（6分）设
$$
\left\{
\begin{array}{l}
x = \int_{0}^{t}f(u^{2})\mathrm{d}u,\\
y = \int_{0}^{t}f(u)\mathrm{d}u,
\end{array}
\right.
$$
其中$f(u)$为定义在$(- \infty , + \infty)$内的正值连续函数，求$\dfrac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}$和$\dfrac{\mathrm{d}^{2}y}{\mathrm{d}x^{2}}$。
## 四、（6分）求极限
$$
\lim_{x\to 0}\left[\frac{\ln(1 + x)}{x}\right]^{\cos x}。
$$
## 五、（6分）求曲线$x^{2} + y^{2} - xy = 1$在点$P(1,1)$处的曲率。
---
## 六、（6分）设函数$f(x)$在$(- \infty , + \infty)$内连续，且满足
$$
\int_{0}^{x} u f(x - u) \mathrm{d}u = e^{x} \sin x，
$$
求$f(x)$的表达式。
## 七、（6分）设函数$y = f(x)$在$[0,2]$上可导，且$\int_{0}^{1} f(x) \mathrm{d}x = 0$。证明：至少存在一点$\xi \in (0,2)$，使得
$$
f'(\xi) = \frac{f(\xi)}{2 - \xi}。
$$
---
## 八、（8分）已知函数$y = f(x)$在$(- \infty , + \infty)$内有定义，记$\Delta y = f(x + \Delta x) - f(x)$。若$f(0) = 0$，且当$\Delta x \to 0$时，恒有
$$
\Delta y = \frac{x}{1 + x^2}\Delta x + o(\Delta x)。
$$
试求曲线$y = f(x)$的凹凸区间和拐点。
## 九、（8分）已知$\lambda$为常数，试讨论级数
$$
\sum_{n = 1}^{\infty}\frac{\lambda^n}{n(n + 2)}
$$
的敛散性，并求级数
$$
\sum_{n = 1}^{\infty}\frac{1}{n(n + 2)}
$$
的和。
---
## 十、（8分）嫦娥三号于2013年12月2日1时30分成功发射，12月6日抵达月球轨道。在距月面$100(\mathrm{m})$处时，嫦娥三号要做短暂悬停，随后经历自由落体和减速下降两个过程，直到离月面$4(\mathrm{m})$高时再度悬停。假设自由落体时间是其减速下降时间的4倍，减速下降过程的加速度$a(t)(\mathrm{m / s}^2)$的大小是减速下降时间$t(\mathrm{s})$的线性函数，即$a(t) = b - kt$（其中$b,k$为待定的正常数），月球重力加速度为$g(\mathrm{m / s}^2)$。
（1）求嫦娥三号减速下降过程的加速度$a(t)$的表达式；
（2）若不计悬停时间，问：嫦娥三号从距月面$100(\mathrm{m})$下降到距月面$4(\mathrm{m})$过程中耗费多少时间？
---
## 十一、（8分）设
$$
a_{n} = \int_{0}^{1}x\left|\ln x\right|^{n}\mathrm{d}x, \quad n = 1,2,\dots。
$$
（1）试建立$a_{n}$的递推公式；
（2）求极限
$$
\lim_{n\to \infty}\sqrt[n]{\frac{a_{n}}{n!}}。
$$
---
## 十二、（8分）设
$$
P_{n}(x) = 1 + x + \frac{x^{2}}{2!} + \dots + \frac{x^{n}}{n!}, \quad x\in (-\infty , + \infty)，
$$
其中$n$为正整数。
（1）证明：当$x > 0$时，有
$$
\left(1 + \frac{x}{n}\right)^{n} < P_{n}(x) < e^{x}。
$$
（2）证明：当$n$为偶数时，方程$P_{n}(x) = 0$无实根；当$n$为奇数时，方程$P_{n}(x) = 0$恰好有一个实根。
---
**注意：**
1. 所有答题都须写在此试卷纸密封线右边，写在其它纸上一律无效。
2. 密封线外不得有姓名及相关标记。
3. 当题目留空不够时，可写在试卷反面，但密封线内请勿答题。

154
试卷库/高数期末真题/2015高数期末考试卷.md
Unescape View File

@ -0,0 +1,154 @@
# 2015—2016学年秋季学期《高等数学》考试试卷（A）卷
（2016年1月19日）
**考试形式：闭卷**
**考试时间：150分钟**
**满分：100分**
---
## 一、填空题（共5小题，每小题3分，共15分）
1. 设$f(x) = \ln (2 - x) + \int_{0}^{x}\cos t^{2}\mathrm{d}t$，则$f^{\prime}(0)$的值为 __________。
2. 曲线$y = (x + 2)e^{-x}$的拐点为 __________。
3. 定积分$\int_{0}^{1}\dfrac{1}{1 + \sqrt[3]{x}}\mathrm{d}x$的值为 __________。
4. 若$\sin 2x$为函数$f(x)$的一个原函数，则$\int x f(x)\mathrm{d}x$等于 __________。
5. 设常数$a > 0$，则使得级数$\sum_{n = 1}^{\infty}\dfrac{a^n}{n + 1}$收敛的$a$的最大取值范围为 __________。
---
## 二、选择题（共5小题，每小题3分，共15分）
1. 极限
$$
\lim_{n\to \infty}\left(\frac{1}{n^2 + 1} + \frac{2}{n^2 + 2} + \dots + \frac{n}{n^2 + n}\right)
$$
的值为（ ）。
（A）0
（B）$\dfrac{1}{2}$
（C）$\dfrac{\pi}{4}$
（D）1
2. 已知函数$f(x)$在$x = 0$处可导，则极限
$$
\lim_{x\to 0}\dfrac{f(x)e^x - f(0)}{x}
$$
的值为（ ）。
（A）$f(0)$
（B）$f'(0)$
（C）$f'(0) - f(0)$
（D）$f'(0) + f(0)$
3. 设函数$f(x)$是定义在$(-∞, +∞)$内可导的偶函数，下列表格中给出了它的导函数$f'(x)$在$(0, +∞)$内的符号信息，则函数$f(x)$在$(-∞, +∞)$内（ ）。
|$x$|$(0,1)$|$1$|$(1,+∞)$|
|------|-----------|------|------------|
|$f'(x)$|$+$| 0 |$-$|
（A）有2个极大值点，1个极小值点
（B）有1个极大值点，2个极小值点
（C）有2个极大值点
（D）有2个极小值点
4. 设函数$y = y(x)$由参数方程
$$
\left\{
\begin{array}{l}
x = \int_{0}^{t}e^{-x^{2}}\mathrm{d}u,\\
y = \int_{0}^{t}(t - u)e^{-x^{2}}\mathrm{d}u
\end{array}
\right.
$$
所确定，则$\dfrac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x} = ($）。
（A）$e^{-t^2}$
（B）$\int_{0}^{t}e^{-t^2}\mathrm{d}u$
（C）$\int_{0}^{t}e^{-t^2 - t^2}\mathrm{d}u$
（D）$\int_{0}^{t}e^{t^2 - t^2}\mathrm{d}u$
5. 设函数$f(x)$在闭区间$[a,b]$上可导，则下面结论不正确的是（ ）。
（A）存在$\xi \in (a,b)$，使得$f(b) - f(a) = f'(\xi)(b - a)$
（B）存在$\xi \in [a,b]$，使得$\int_{a}^{b}f(x)\mathrm{d}x = f(\xi)(b - a)$
（C）存在$\xi \in (a,b)$，使得$\dfrac{f(b) - f(a)}{b^2 - a^2} = \dfrac{f'(\xi)}{2\xi}$
（D）存在$\xi \in (a,b)$，使得$\dfrac{bf(b) - af(a)}{b - a} = \xi f'(\xi) + f(\xi)$
---
## 三、（6分）求极限
$$
\lim_{x\to 0}\dfrac{x - \sin x}{\sqrt{1 + x^2}\tan x - 1}。
$$
## 四、（6分）求曲线$y = x + \dfrac{\sin x}{x^2 + x}$的渐近线方程。
## 五、（6分）设函数
$$
f(x) = \left\{
\begin{array}{ll}
\dfrac{\ln(1 + x)}{x}, & x > 0,\\
a + b\cos x, & x\leq 0.
\end{array}
\right.
$$
问：是否存在常数$a,b$使得$f(x)$在$x = 0$处可导？
---
## 六、（6分）证明：当$x > 0$时成立不等式
$$
x(2 + \cos x) > 3\sin x。
$$
## 七、（6分）求由曲线$y = \dfrac{1}{\sqrt{e^x + 1}} (0 \leq x < +\infty)$与两坐标轴所围成的平面图形绕$x$轴旋转一周所得立体的体积。
---
## 八、（8分）设$f(x)$是周期为4的可导的奇函数，且
$$
f^{\prime}(x) = 2(x - 1), \quad x\in [0,2]。
$$
（1）求$f(x)$在闭区间$[-2,2]$上的表达式；
（2）求$\int_{0}^{2016}|f(x)|\mathrm{d}x$。
## 九、（8分）设函数$f(x)$在$x = 0$处二次可导，且
$$
\lim_{x\to 0}\dfrac{\sin x - xf(x)}{x^3} = 1。
$$
（1）求$f(0), f^{\prime}(0)$及$f^{\prime \prime}(0)$；
（2）求曲线$y = f(x)$在点$(0,f(0))$处的曲率。
---
## 十、（8分）设$P$为抛物线$C: y = x(n - x) \ (n\in \mathbb{Z}^{+})$上的点。
（1）求$C$在点$P$处的切线与两坐标轴所围成的第一象限三角形的面积的最小值；
（2）记（1）中三角形面积的最小值为$A_{n} \ (n = 1,2,\dots)$，问：级数
$$
\sum_{n = 1}^{\infty}\dfrac{(-1)^n}{\ln A_n}
$$
是否收敛？若收敛，它是绝对收敛还是条件收敛？
---
## 十一、（8分）现有一顶角为$\dfrac{\pi}{3}$、底圆半径为$a$的正圆锥形漏斗内盛满水（顶角朝下），该漏斗向底圆半径为$b \ (b< a)$的空圆柱形水桶注水（假设水桶的体积大于漏斗的体积）。问：当漏斗水平面下降速度与水桶水平面上升速度相等时，漏斗中水平面高度是多少？
---
## 十二、（8分）设函数$f(x)$在闭区间$[a,b]$上连续。记
$$
\phi (x) = \left|x - \dfrac{a + b}{2}\right| - \left|f(x) - \dfrac{a + b}{2}\right|。
$$
（1）证明：若$\phi (a)\geq 0$且$\phi (b)\geq 0$，则存在$\xi \in [a,b]$，使得$f(\xi) = \xi$；
（2）证明：若对任意$x\in [a,b]$，均有$\phi (x)\geq 0$，则有
$$
\left|\int_{a}^{b}f(x)\mathrm{d}x - \dfrac{b^{2} - a^{2}}{2}\right|\leq \dfrac{(b - a)^{2}}{4}。
$$
---
**注意：**
1. 所有答题都须写在此试卷纸密封线右边，写在其它纸上一律无效。
2. 密封线外不得有姓名及相关标记。
3. 当题目留空不够时，可写在试卷反面，但密封线内请勿答题。

105
试卷库/高数期末真题/2016高数期末考试卷.md
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@ -0,0 +1,105 @@
# 2016—2017学年秋《高等数学》考试试卷（A）卷
## 参考解答
---
## 一、填空题（共5小题，每小题3分，共15分）
1. 设$y = \tan 2x$，则$\mathrm{d}y =$__________。
2. 极限$\lim_{x\to 0}\dfrac{x - \ln(1 + x)}{x\arctan x}$的值为 __________。
3. 函数$f(x) = x\ln (1 - x^2)$的带佩亚诺余项的5阶麦克劳林公式为 __________。
4. 已知$y = \arcsin x$为函数$f(x)$的原函数，则$f'\left(\dfrac{1}{2}\right)$的值为 __________。
5. 定积分$\int_{-1}^{1}\left(\sin x + |x|\right)e^{x^2}\mathrm{d}x$的值为 __________。
---
## 二、选择题（共5小题，每小题3分，共15分）
1. 设函数
$$
f(x) = \left\{
\begin{array}{ll}
x^3\mathrm{e}^{-x}, & x > 0,\\
x, & x\leq 0,
\end{array}
\right.
$$
则$f(x)$在$x = 0$处（ ）。
（A）可导
（B）连续但不可导
（C）左导数存在，但右导数不存在
（D）右导数存在，但左导数不存在
2. 若当$x\rightarrow x_0$时，$\alpha (x),\beta (x)$都是无穷小，则当$x\rightarrow x_0$时，下列表示式中不一定是无穷小的是（ ）。
（A）$\left|\alpha (x)\right| + \left|\beta (x)\right|$
（B）$\alpha^2 (x) + \beta^2 (x)$
（C）$\ln \left[1 + \alpha (x)\cdot \beta (x)\right]$
（D）$\dfrac{\alpha^2(x)}{\beta(x)}$
3. 函数$f(x) = \sqrt[3]{x^2} +2$在$(-∞, +∞)$内的极值点个数以及函数图形的拐点个数分别为（ ）。
（A）0,1
（B）1,1
（C）1,0
（D）0,0
4. 设函数$f(x)$连续，且
$$
f(x) = \ln x - x\int_{1}^{x}\dfrac{f(x)}{x}\mathrm{d}x，
$$
则$f(x)$的表达式为（ ）。
（A）$f(x) = \ln x - \dfrac{x}{2\mathrm{e}}$
（B）$f(x) = \ln x + \dfrac{x}{2\mathrm{e}}$
5. 已知级数$\sum_{n = 1}^{\infty}a_{n}$绝对收敛，$\sum_{n = 1}^{\infty}b_{n}$条件收敛，则下列三个级数
$$
\sum_{n = 1}^{\infty}(a_{n} + b_{n}),\quad \sum_{n = 1}^{\infty}a_{n}b_{n},\quad \sum_{n = 1}^{\infty}(a_{n}^{2} + b_{n}^{2})
$$
中，绝对收敛级数的个数为（ ）。
（A）0
（B）1
（C）2
（D）3
---
## 三、（6分）用$\epsilon - N$语言证明：若$\lim_{n\to \infty}a_{n} = a$，则有$\lim_{n\to \infty}\left|a_{n}\right| = \left|a\right|$。并举例说明其反之不真。
## 四、（6分）求曲线$x^{3} + xy + y^{2} = 1$在点$(1, - 1)$处的曲率。
## 五、（6分）一个等边三角形，其高以$2\mathrm{cm / s}$的速率增加。问：当高为$8\mathrm{cm}$时，该三角形面积的增长率为多少？
## 六、（6分）求曲线
$$
C: x(t) = \dfrac{\sin t}{1 + \cos t}, \quad y(t) = \dfrac{\cos t}{1 + \cos t}
$$
在$t = \dfrac{\pi}{2}$对应点处的切线方程。
## 七、（6分）计算不定积分
$$
\int \dfrac{x\cos x}{\sin^{3}x}\mathrm{d}x。
$$
## 八、（8分）求曲线$C: y = \ln \left|1 - e^{2x}\right|$的所有渐近线。
## 九、（8分）设$A(- 1,3)$、$B(3, - 5)$为抛物线$y = 4 - x^{2}$上两点。试在弧$AB$上求一点$P(x,y)$使$\Delta APB$的面积最大。
## 十、（8分）设
$$
a_{n} = \int_{0}^{1}x(1 - x)^{n}\mathrm{d}x, \quad n = 1,2,\dots。
$$
（1）求级数$\sum_{n = 1}^{\infty}a_{n}$的和；
（2）设常数$\lambda >0$，试讨论级数$\sum_{n = 1}^{\infty}\lambda^{n}a_{n}$的敛散性。
## 十一、（8分）设函数$f(x)$在$(- \infty , + \infty)$内连续，$\lim_{x\to 0}\dfrac{f(x)}{x} = a$。记
$$
g(x) = \int_{0}^{1}f(x t)\mathrm{d}t。
$$
（1）求$g^{\prime}(0)$；
（2）试讨论$g^{\prime}(x)$在$x = 0$处的连续性。
## 十二、（8分）设函数$f(x)$在$[0, + \infty)$上存在二阶导数，$f(0) = 0$，$f^{\prime}(0) > 0$，$f^{\prime \prime}(x)\leq a< 0$，其中$a$为常数。

129
试卷库/高数期末真题/2021高数期末考试卷.md
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@ -0,0 +1,129 @@
# 2021—2022学年秋季学期《高等数学》(I)考试试卷(A)卷
**考试形式：闭卷**
**考试时间：150分钟**
**满分：100分**
---
## 一、单选题（共5小题，每小题2分，共10分）
1. 设函数$f(x) = \dfrac{2 - \mathrm{e}^{x}}{1 + \mathrm{e}^{x}}\arctan \dfrac{1}{x}$，则$x = 0$是$f(x)$的（ ）。
（A）可去间断点
（B）跳跃间断点
（C）无穷间断点
（D）振荡间断点
2. 曲线$y = \dfrac{\ln(1 + x)}{x^{2} + 2x}$的渐近线条数为（ ）。
（A）0
（B）1
（C）2
（D）3
3. 下列级数中条件收敛的是（ ）。
（A）$\sum_{n = 1}^{\infty}\sin \left(n\pi +\dfrac{1}{\sqrt{n}}\right)$
（B）$\sum_{n = 1}^{\infty}\left(1 - \cos \dfrac{1}{\sqrt{n}}\right)$
（C）$\sum_{n = 1}^{\infty}\ln \left(1 + \dfrac{1}{\sqrt{n}}\right)$
（D）$\sum_{n = 1}^{\infty}(-1)^{n}\dfrac{\sqrt{n}}{n^{2} + 1}$
4. 设函数$f(x)$在$x = 0$处可导且$f^{\prime}(0) = 4$，又设$f(x)$满足方程$f(x + 1) = 4f(x)$，则当$n$为正整数时，$f^{\prime}(n) = ($）。
（A）$3^{n}$
（B）$3^{n + 1}$
（C）$4^{n}$
（D）$4^{n + 1}$
5. 设
$I_{1} = \int_{-1}^{1}\arctan x^{2}\mathrm{d}x$，
$I_{2} = \int_{-1}^{1}\arctan x^{4}\mathrm{d}x$，
$I_{3} = \int_{-1}^{1}x\arctan x^{4}\mathrm{d}x$，
则（ ）。
（A）$I_{1}< I_{2}< I_{3}$
（B）$I_{2}< I_{3}< I_{1}$
（C）$I_{3}< I_{2}< I_{1}$
（D）$I_{2}< I_{1}< I_{3}$
---
## 二、填空题（共5小题，每小题2分，共10分）
6. 曲线$y = \tan \dfrac{x}{2}$在点$P\left(\dfrac{\pi}{2},1\right)$处的切线方程为 __________。
7. 已知函数$g(x)$是$f(x) = \int_{-1}^{2x}\dfrac{\mathrm{d}t}{3 + t^4}$的反函数，则$g'(0)$的值为 __________。
8. 已知$\int f\left(\mathrm{e}^{x}\right)\mathrm{d}x = \left(x + 1\right)\mathrm{e}^{x} + C$，则函数$f(x)$在$x = 1$处的微分为 __________。
9. 曲线$y = \int_{0}^{x}(3x - t)\mathrm{e}^{-t}\mathrm{d}t(x > 0)$的拐点横坐标是 __________。
10. 不定积分$\int \dfrac{\sin\sqrt{x} + \cos\sqrt{x}}{\sqrt{x}}\mathrm{d}x$的计算结果为 __________。
---
## 三、解答题（共11小题，共80分）
11. （6分）计算极限$\lim\limits_{x\to 0}(1 + x - \sin x)^{\frac{1}{x\sin x^2}}$。
12. （6分）设$\alpha$为正常数，试判定级数$\sum_{n = 1}^{\infty}\dfrac{(2n - 1)!!}{(n!)^n}$的敛散性。
13. （6分）已知函数
$$
f(x) = \left\{
\begin{array}{ll}
\dfrac{\ln(1 + ax)}{x}, & x > 0,\\
\cos x + bx, & x\leq 0
\end{array}
\right.
$$
在$x = 0$处可导，求常数$a, b$的值。
14. （6分）计算定积分$\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\dfrac{\mathrm{d}x}{(2 - x)\sqrt{1 - x}}$。
15. （6分）设$y = y(x)$是由方程$y^{3} + x^{3} - 3x + 3y - 2 = 0$所确定的函数，求函数$y = y(x)$的单调区间与极值。
16. （6分）设数列$\{a_{n}\}$满足
$$
a_{1} = 2, \quad a_{n + 1} = \frac{3}{2 + a_{n}} \quad (n \in \mathbb{Z}^{+}),
$$
证明数列$\{a_{n}\}$存在极限，并求其值。
17. （8分）求曲线
$$
C: x = \dfrac{1 - t}{1 + t}, \quad y = \int_{0}^{t}\dfrac{\mathrm{e}^{x}}{(1 + u)^{2}}\mathrm{d}u
$$
在点$P(1,0)$处的曲率与曲率半径。
18. （8分）求极限
$$
\lim_{n\to \infty}\sqrt[n]{\left(1 + \frac{1^{2}}{n^{2}}\right)\left(1 + \frac{2^{2}}{n^{2}}\right)\cdots\left(1 + \frac{n^{2}}{n^{2}}\right)}.
$$
19. （8分）证明：当$0< x< \pi$时，
$$
x^{2} - x\sin x - \cos x - 1< \pi^{2}< \left(\int_{0}^{2\pi}\sqrt{\alpha + \cos^{4}\theta}\mathrm{d}\theta\right)^{2},
$$
其中常数$\alpha \in (0,1)$。
20. （10分）在输电线路中，悬挂于相邻两立塔高度相同的$A, B$两点之间的电缆呈悬链线状。如图所示，已知两立塔相距$2l$(m)，电缆最低点距离地面高度为$a$(m)，弧垂$f$(m)表示电缆下垂的最大高度。设电缆弧$\widehat{AB}$的方程为$y = a \cosh \dfrac{x}{a} (-l \leq x \leq l)$。
(1) 利用弧长公式$s = \int_{-l}^{l} \sqrt{1 + y'^{2}} \mathrm{~d}x$计算弧$\widehat{AB}$的长度；（5分）
(2) 证明：当$\dfrac{l}{a}$充分小时，成立下列近似等式：
$$
f \approx \frac{l^{2}}{2a}, \quad s \approx 2l + \frac{4f^{2}}{3l}. \quad (5分)
$$
注：$\cosh t = \dfrac{\mathrm{e}^{t} + \mathrm{e}^{-t}}{2}$为双曲余弦函数。
21. （10分）设函数$f(x)$在$[0,1]$上可导，且$\int_{0}^{1}f(x)\mathrm{d}x = 1$。
(1) 证明：至少存在一点$c\in (0,1)$，使得$\int_{0}^{c}f(t)\mathrm{d}t = \dfrac{1}{2}$；（3分）
(2) 证明：在$(0,1)$内存在不同两点$x_{1},x_{2}$，使得$\dfrac{1}{f(x_{1})} + \dfrac{1}{f(x_{2})} = 2$；（4分）
(3) 证明：至少存在一点$\xi \in (0,1)$，使得$f^{\prime}(\xi) = 2 - 2f(0)$。（3分）
---
**注意：**
1. 所有答题都须写在答题卡对应位置，写在其它纸上一律无效。
2. 答题卡密封线外不得有姓名及相关标记。

107
试卷库/高数期末真题/2022高数期末考试卷.md
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@ -0,0 +1,107 @@
# 2022—2023学年秋季学期《高等数学》（I）考试试卷（A）卷
**考试形式：闭卷**
**考试时间：150分钟**
**满分：100分**
---
## 一、单选题（共5小题，每小题2分，共10分）
1. 函数$f(x) = \dfrac{\frac{1}{2} - 2}{1 - x^2}$的第一类间断点个数为（ ）。
（A）0
（B）1
（C）2
（D）3
2. 设函数$f(x) = \lim_{n\to \infty}\dfrac{\ln(1 + x^n)}{n}$$(x > 0)$，则$f(x)$在$x = 1$处（ ）。
（A）左导数和右导数都存在
（B）左导数和右导数都不存在
（C）左导数存在，右导数不存在
（D）左导数不存在，右导数存在
3. 极限$\lim_{n\to \infty}\dfrac{1^3 + 2^3 + \cdots + n^3}{n^4}$的值为（ ）。
（A）1
（B）$\dfrac{1}{2}$
（C）$\dfrac{1}{3}$
（D）$\dfrac{1}{4}$
4. 已知级数$\sum_{n = 1}^{\infty}a_{n}$条件收敛，且$\lim_{n\to \infty}\dfrac{a_{n + 1}}{a_n} = a$，则（ ）。
（A）$a < -1$
（B）$a = -1$
（C）$-1 < a < 0$
（D）$a > 0$
5. 设
$I_1 = \int_0^1 \sin x^2 \, dx$，
$I_2 = \int_0^1 \sin x^4 \, dx$，
$I_3 = \int_0^1 \cos x^2 \, dx$，
则（ ）。
（A）$I_1 < I_2 < I_3$
（B）$I_3 < I_2 < I_1$
（C）$I_2 < I_1 < I_3$
（D）$I_3 < I_1 < I_2$
---
## 二、填空题（共5小题，每小题2分，共10分）
6. 曲线$y = (2x - 1)(2x + 1)^3$的拐点个数为 __________。
7. 函数$y = y(x)$是由方程$\sin x + \sin y = (x + 3)y$所确定的隐函数，则$\left.\mathrm{d}y\right|_{x = 0} =$__________。
8. 已知$f(x)$的原函数为$\mathrm{e}^{-x}$，则不定积分$\int \dfrac{f'(\ln x)}{x}\mathrm{d}x$的计算结果为 __________。
9. 已知当$x\rightarrow 0$时，函数$\phi (x)$与$1 - \cos x$是等价的无穷小量。若函数$f(x) = \int_{0}^{x}\phi (t)\mathrm{d}t$与$x^{a}\ln (1 + x)$是同阶无穷小，则常数$a$的值为 __________。
10. 函数$f(x) = (1 - x)\ln (1 + x^2)$的7阶带佩亚诺余项的麦克劳林公式是 __________。
---
## 三、解答题（共11小题，共80分）
11. （6分）求曲线$y = \ln (1 + \mathrm{e}^{-x}) + \dfrac{2 - x}{2 + x}\arctan \dfrac{x}{2}$的渐近线方程。
12. （6分）已知数列$\{a_{n}\}$单调且$\{a_{2n}\}$有界，问：$\{a_{n}\}$是否收敛？请说明理由。
13. （6分）已知函数$f(x) = \int_{-1}^{x} \mathrm{e}^{-t^{2}} \mathrm{d}t$，设$x = g(y)$是$y = f(x)$的反函数，求$g'(0)$与$g''(0)$。
14. （6分）计算极限$\lim_{x \to 0^{+}} \left(\dfrac{\tan x}{x}\right)^{\frac{1}{\ln(1 + x) - x}}$。
15. （6分）设常数$a > 0$，试讨论级数$\sum_{n = 1}^{\infty}\dfrac{a^n}{(2^n + 1)(n^2 + 1)}$的敛散性。
16. （6分）已知函数$f(x)$在$[0,2]$上可导，且$f(0) = 0$，$\int_{1}^{2} f(x) \mathrm{d}x = 0$。证明：至少存在$\xi \in (0,2)$，使得$f'(\xi) = 2022f(\xi)$。
17. （8分）求极坐标曲线$C:\rho = \mathrm{e}^{\theta}$在$\theta = \dfrac{\pi}{2}$对应点处的切线的直角坐标方程及曲率与曲率半径。
18. （8分）已知函数
$$
f(x) = \left\{
\begin{array}{ll}
x\mathrm{e}^{x^2} & ,x > 0,\\
x\ln (1 + x^2) & ,x\leq 0,
\end{array}
\right.
$$
计算定积分$I = \int_{0}^{2}f(x - 1)\mathrm{d}x$。
19. （8分）某单位在半径为 100 米的圆形跑道上组织 3000 米体能考核，考核组李某在距离跑道圆心 120 米某处观察，当参加考核的钱某与李某相距 100 米时，测得钱某的速度为 4 米每秒，求此时两人间距离的变化率。
20. （10分）
（1）证明：当$x > 1$时，$\ln^2 x < x - 1$；（4分）
（2）讨论曲线$y = 3\ln x + k$与曲线$y = 3x - \ln^3 x$的交点个数。（6分）
21. （10分）已知函数$y(x) = (\arcsin x)^2$。
（1）验证：$(1 - x^{2})y^{\prime\prime}(x) - xy^{\prime}(x) = 2$；（4分）
（2）求$y^{(n)}(0)$，并计算$\lim_{n\to \infty}\dfrac{y^{(n)}(0)}{n!}$。（6分）
---
**注意：**
1. 所有答题都须写在答题卡对应位置，写在其它纸上一律无效。
2. 答题卡密封线外不得有姓名及相关标记。

134
试卷库/高数期末真题/2023高数期末考试卷.md
Unescape View File

@ -0,0 +1,134 @@
# 国防科技大学2023—2024学年秋季学期《高等数学》（I）考试试卷（A）卷
**考试形式：闭卷**
**考试时间：150分钟**
**满分：100分**
---
## 一、单选题（共5小题，每小题2分，共10分）
1.$x = -1$是函数$f(x) = \arctan \dfrac{1 - x}{1 + x}$的（ ）。
（A）可去间断点
（B）跳跃间断点
（C）无穷间断点
（D）振荡间断点
2. 已知函数$f(x)$二阶可导，$y = \int_{0}^{x}f\left(\dfrac{1}{t}\right)\mathrm{d}t$，则$y^{\prime \prime} = ($）。
（A）$-\dfrac{1}{x^{2}} f^{\prime}\left(\dfrac{1}{x}\right)$
（B）$-\dfrac{1}{x^{2}} f^{\prime \prime}\left(\dfrac{1}{x}\right)$
（C）$f^{\prime}\left(\dfrac{1}{x}\right)$
（D）未给出
3. 极限$\lim_{n\to \infty}\dfrac{1}{n}\sum_{k = 1}^{n}(-1)^{k}k$（ ）。
（A）等于1
（B）等于-1
（C）等于0
（D）不存在
4. 下列级数条件收敛的是（ ）。
（A）$\sum_{n = 1}^{\infty}\dfrac{(-1)^{n}}{\sqrt{n}}$
（B）$\sum_{n = 2}^{\infty}\dfrac{(-1)^{n}}{\ln n}$
（C）$\sum_{n = 1}^{\infty}\dfrac{(-1)^{n}2^{n}}{n!}$
（D）$\sum_{n = 1}^{\infty}\dfrac{(-1)^{n}2^{2n}}{n^{2}}$
5. 设
$I_{1} = \int_{-1}^{1}\dfrac{x^{2}}{\sqrt{1 + x^{4}}}\mathrm{d}x$，
$I_{2} = \int_{-1}^{1}\dfrac{x^{3}}{\sqrt{1 + x^{4}}}\mathrm{d}x$，
$I_{3} = \int_{-1}^{1}\dfrac{x^{4}}{\sqrt{1 + x^{4}}}\mathrm{d}x$，
则（ ）。
（A）$I_{1} < I_{2} < I_{3}$
（B）$I_{3} < I_{2} < I_{1}$
（C）$I_{2} < I_{3} < I_{1}$
（D）$I_{2} < I_{1} < I_{3}$
---
## 二、填空题（共5小题，每小题2分，共10分）
6. 曲线$y = x^{3} - 3x^{2} + 4$的拐点为 __________。
7. 设级数$\sum_{n = 1}^{\infty}\dfrac{1}{n^{p}}\ln \left(1 + \dfrac{1}{\sqrt{n}}\right)$收敛，则常数$p$的最大取值范围为 __________。
8. 极限
$$
\lim_{n\to \infty}\left(\cos \frac{\pi}{2n} +\cos \frac{2\pi}{2n} +\dots +\cos \frac{n\pi}{2n}\right)\sin \frac{\pi}{n}
$$
的值为 __________。
9. 已知函数$f(x) = \int_{-1}^{x}\dfrac{t^{2}}{\sqrt{1 + \mathrm{e}^{t}}}\mathrm{d}t (-\infty < x< +\infty)$，$x = g(y)$是$y = f(x)$的反函数，则$g^{\prime}(0)$的值为 __________。
10. 不定积分$\int \dfrac{\ln x}{x^{2}}\mathrm{d}x$的计算结果为 __________。
---
## 三、解答题（共11小题，共80分）
11. （6分）求曲线$y = \dfrac{\ln(1 + \mathrm{e}^{x})}{1 + x}$的渐近线方程。
12. （6分）计算极限$\lim_{x\to 0}\dfrac{(1 + \tan x)^x - \mathrm{e}}{\arcsin x}$。
13. （6分）将函数$f(x) = \mathrm{e}^{x - x^2}$展开成4阶带佩亚诺余项的麦克劳林公式，并求$f^{(4)}(0)$。
14. （6分）已知函数
$$
f(x) = \left\{
\begin{array}{ll}
\dfrac{1}{1 + \sqrt[3]{x}}, & x \geq 0,\\
\dfrac{\arctan x}{1 + x^2}, & x < 0,
\end{array}
\right.
$$
计算定积分$I = \int_{-1}^{1} f(x) \mathrm{d}x$。
15. （6分）证明不等式：
$$
(1 + x)\ln (1 + x) - x\ln x > \dfrac{x}{1 + x}, \quad x > 0。
$$
16. （6分）近年来，为降低噪声污染，部分城市出台了主城区内禁止鸣笛的交通规则。交通管理部门在监控地段加装声源定位仪器，通过安装在不同位置的仪器接受声波信号的时间差来定位鸣笛车辆。图中地面 D 处立杆上安装了仪器 A 和 B，仪器 B 离地面距离为$h = 5\mathrm{m}$，两仪器间的距离为$dh = 0.17\mathrm{m}$，鸣笛车辆位于距离 D 点$L\mathrm{m}$处。已知声音的传播速度为$340\mathrm{m/s}$。试解答如下问题：
（1）写出仪器 B 接收到鸣笛声所需时间$T$的计算公式；（2分）
（2）若仪器 A 和 B 接收鸣笛声的时间差为$dT = 1 \times 10^{-4}\mathrm{s}$，利用微分估算距离$L$的值。（4分）
*注：原题图中未给出，此处保留题图说明。*
17. （8分）已知曲线$C_1: \mathrm{e}^{xy} + y^2 = 2\cos x$与$C_2: y = f(x)$在点$P(0,1)$处有公切线。
（1）求该公切线方程；（4分）
（2）求极限$\lim_{n\to \infty}\left[f\left(\dfrac{1}{n}\right)\right]^n$。（4分）
18. （8分）设函数$f(x)$在$[a,b]$上可导，$f(a) = f(b) = 0$。
（1）求$g(x) = \mathrm{e}^{\int_{a}^{x}f(t)\mathrm{d}t}$的导数；（3分）
（2）证明：至少存在一点$\xi \in (a,b)$，使得$f^{\prime}(\xi) = f^{2}(\xi)$。（5分）
19. （8分）求曲线
$$
C:\left\{
\begin{array}{l}
x = \int_{0}^{t^{2}}\mathrm{e}^{-u^{2}}\mathrm{d}u,\\
y = 1 + \mathrm{e}^{-t^{2}}
\end{array}
\right.
$$
在$t = 0$对应点处的曲率和曲率半径。
20. （10分）设曲线$y = x\mathrm{e}^{-x}$与直线$x = t$，$x = 2t$$(t > 0)$及$x$轴所围曲边梯形的面积为$S(t)$，求$S(t)$的最大值。
21. （10分）设函数$f(x)$在$(-\infty , +\infty)$内可导，且$|f'(x)| \leq r$（$0 < r < 1$）。取实数$x_1$，记$x_{n+1} = f(x_n)$，$n = 1, 2, \dots$。证明：
（1）$\sum_{n = 1}^{\infty}(x_{n + 1} - x_n)$收敛；（5分）
（2）数列$\{x_n\}$收敛（记$\lim_{n \to \infty} x_n = a$）；（3分）
（3）方程$f(x) = x$有唯一实根$x = a$。（2分）
---
**注意：**
1. 所有答题都须写在答题卡对应位置，写在其它纸上一律无效。
2. 答题卡密封线外不得有姓名及相关标记。

130
试卷库/高数期末真题/2024高数期末考试卷.md
Unescape View File

@ -0,0 +1,130 @@
# 国防科技大学2024—2025学年秋季学期《高等数学》（I）考试试卷（A）卷
**考试形式：闭卷**
**考试时间：150分钟**
**满分：100分**
---
## 一、单选题（共5小题，每小题2分，共10分）
1. 已知函数$f(x) = \lim_{n\to \infty}\sqrt[n]{1 + x^n + x^{2n}} \ (x > 0)$，则$f(x)$在$x = 1$处的（ ）。
（A）左导数不存在，右导数存在
（B）左导数存在，右导数不存在
（C）左导数、右导数均存在
（D）左导数、右导数均不存在
2. 已知函数$f(x)$在$(-∞, +∞)$上连续，则函数$y = \int_{0}^{x}f(t^{2})\mathrm{d}t$的微分为（ ）。
（A）$f(x^{2})\mathrm{d}x$
（B）$2x f(x^{2})\mathrm{d}x$
（C）$f^{\prime}(x^{2})\mathrm{d}x$
（D）$2x f^{\prime}(x^{2})\mathrm{d}x$
3. 已知函数$f(x) = x\mathrm{e}^{x} - ax - bx^{2}$与$g(x) = \int_{1}^{x}\ln (1 + t^{2})\mathrm{d}t$是$x\rightarrow 0$过程的同阶无穷小量，则（ ）。
（A）$a = -1, b = -1$
（B）$a = 1, b = 1$
（C）$a = -1, b = 1$
（D）$a = 1, b = -1$
4. 已知$a_{n} = \int_{0}^{\pi n}|\cos x|\mathrm{d}x, n = 1,2,\dots$，则下列级数收敛的是（ ）。
（A）$\sum_{n = 1}^{\infty}\dfrac{a_{n}}{n}$
（B）$\sum_{n = 1}^{\infty}\dfrac{a_{n}}{n^{2}}$
（C）$\sum_{n = 1}^{\infty}(-1)^{n}\dfrac{a_{n}}{n}$
（D）$\sum_{n = 1}^{\infty}(-1)^{n}\dfrac{a_{n}^{2}}{n^{2}}$
5. 有一圆柱体底面半径与高均随时间变化，底面半径每秒增加$2\mathrm{cm}$，高每秒减少$3\mathrm{cm}$。则当底面半径为$10\mathrm{cm}$、高为$5\mathrm{cm}$时，该圆柱体（ ）。
（A）体积在增大，表面积在减小
（B）体积在减小，表面积在增大
（C）体积和表面积都在增大
（D）体积和表面积都在减小
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## 二、填空题（共5小题，每小题2分，共10分）
6. 已知函数$f(x) = x\ln x$，则$f^{(2025)}(x)$的计算结果为 __________。
7. 曲线$C: x^{3} + y^{3} - xy = 1$在点$(1,1)$处的切线方程为 __________。
8. 函数$f(x) = (x^{2} + x + 1)\mathrm{e}^{-x}$的严格单调增加区间为 __________。
9. 定积分$\int_{-2024}^{2024}[x]\mathrm{d}x$（其中$[x]$表示不超过$x$的最大整数）的值为 __________。
10. 已知函数$f(x), g(x)$在闭区间$[a,b]$上连续，且$f(x) > 0$，则极限
$$
\lim_{n\to \infty}\int_{a}^{b}g(x)\sqrt[n]{f(x)}\mathrm{d}x
$$
的值为 __________。
---
## 三、解答题（共11小题，共80分）
11. （6分）计算极限
$$
\lim_{x\to 0}\frac{x - \int_{0}^{x}\cos t^{2}\mathrm{d}t}{x^{3}\ln(1 + \tan^{2}x)}。
$$
12. （6分）已知$F(x) = x + \arctan \sqrt{x}$为$f(x)$的原函数，计算不定积分$\int x f(x) \mathrm{d}x$。
13. （6分）已知
$$
f(x) = \frac{1}{1 + x^2} + 2x \int_{-1}^1 f(x) \mathrm{d}x + \int_{-1}^1 x f(x) \mathrm{d}x，
$$
求函数$f(x)$的表达式。
14. （6分）求极限
$$
\lim_{n \to \infty} \sqrt[n]{\left(1 + \frac{n}{n+1}\right)\left(1 + \frac{n}{n+2}\right)\cdots\left(1 + \frac{n}{n+n}\right)}。
$$
15. （6分）设函数$f(x)$在闭区间$[0,2]$上可导，且$\int_{0}^{1} f(x) \mathrm{d}x = 0$。证明：至少存在一点$\xi \in (0,2)$，使得
$$
f'(\xi) = \frac{2}{2 - \xi} f(\xi)。
$$
16. （6分）设有一高为$h$米的塑像竖立在高为$1.5 + a$米的底座上，问观察者（眼睛距地面 1.5 米）离塑像底座多远，才能使看到的塑像最清楚（即视角最大）？
*注：原题图中未给出，此处保留题图说明。*
17. （8分）求曲线$C: y = \frac{2 - x}{2 + x} e^x$的渐近线与拐点。
18. （8分）求曲线
$$
C:\left\{
\begin{array}{ll}
x = \int_{1}^{t^{2}}\frac{\cos u}{u}\mathrm{d}u,\\
y = \int_{1}^{t^{2}}\frac{\sin u}{u}\mathrm{d}u
\end{array}
\right.
$$
在$t = \frac{\sqrt{\pi}}{2}$所对应点$P$处的曲率和曲率半径。
19. （8分）已知$a$为常数，试判断级数
$$
\sum_{n=1}^{\infty} \left(\frac{a^n}{\sqrt{n}} + \frac{\sin n}{n^2}\right)
$$
的敛散性，若收敛，请指明是条件收敛还是绝对收敛。
20. （10分）已知数列$\{a_{n}\}$满足
$$
a_{1} = 1, \quad a_{n + 1} = \frac{1}{\ln(3 + a_{n})}, \quad n = 1,2,\dots。
$$
（1）证明数列$\{a_{n}\}$收敛；（6分）
（2）设$\lim_{n\to \infty}a_{n} = a$，证明：$\frac{1}{2} < a < 1$。（4分）
21. （10分）已知函数$f(x)$在闭区间$[0,1]$上二阶连续可导，$f'(0) = f'(1)$，记$M = \max_{0 \leqslant x \leqslant 1} |f''(x)|$，证明：
（1）$\left|f(x) - (1 - x)f(0) - xf(1)\right| \leq \dfrac{x(1 - x)}{2} M$；（6分）
（2）$\left| \int_{0}^{1} f(x) \mathrm{d}x - \dfrac{f(0) + f(1)}{2} \right| \leq \dfrac{M}{12}$。（4分）
---
**注意：**
1. 所有答题都须写在答题卡对应位置，写在其它纸上一律无效。
2. 答题卡密封线外不得有姓名及相关标记。
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