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@ -5,7 +5,382 @@ tags:
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**内部资料，禁止传播**
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**编委会（不分先后，姓氏首字母顺序）：陈峰华 陈玉阶 程奕铭 韩魏 刘柯妤 卢吉辚 王嘉兴 王轲楠 彭靖翔 郑哲航 钟宇哲 支宝宁
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### 多次运用中值定理
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## **辅助函数的构造方法**
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### **原理**
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在证明与导数相关的等式或不等式时，常通过构造辅助函数，将原问题转化为对某个函数应用中值定理（如罗尔定理、拉格朗日定理等）。构造辅助函数的核心思想是：**将待证等式视为某个函数求导后的结果**。
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### **常见构造类型**
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#### 1. 乘积型与商型
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若结论形如：
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$$
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f'(\xi)g(\xi) + f(\xi)g'(\xi) = 0
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$$
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可构造辅助函数：
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$$
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F(x) = f(x)g(x)
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$$
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若结论形如：
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$$
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f'(\xi)g(\xi) - f(\xi)g'(\xi) = 0
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$$
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可构造辅助函数：
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$$
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F(x) = \frac{f(x)}{g(x)} \quad (g(x) \neq 0)
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$$
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#### 2. 含幂函数因子
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若结论形如：
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$$
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n f(\xi) + \xi f'(\xi) = 0
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$$
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可构造辅助函数：
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$$
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F(x) = x^n f(x)
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$$
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#### 3. 一阶线性微分结构
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若结论形如：
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$$
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f'(\xi) + P(\xi)f(\xi) = 0
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$$
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可构造积分因子：
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$$
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\mu(x) = e^{\int P(x)\mathrm{d}x}
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$$
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并设辅助函数：
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$$
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F(x) = \mu(x) f(x)
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$$
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#### 4. 对数型
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若结论形如：
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$$
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\frac{f'(\xi)}{f(\xi)} = k
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$$
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可构造辅助函数：
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$$
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F(x) = \ln|f(x)| - kx
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$$
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#### 5. 常数变易法
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若结论形如：
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$$
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f'(\xi) = \lambda f(\xi)
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$$
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可构造辅助函数：
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$$
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F(x) = e^{-\lambda x} f(x)
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$$
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或者写成：
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$$
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f'(\xi) + \lambda f(\xi) = 0
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$$
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则构造辅助函数：
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$$
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F(x) = e^{\lambda x} f(x)
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$$
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### **例题**（先看完后面的知识再做这个）
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>[!example] 例1
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设 $f(x)$ 在 $[0, 1]$ 上连续，在 $(0, 1)$ 内可导，且 $f(0)=0$，$f(1)=1$。
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证明：存在 $\xi \in (0, 1)$ 使得$f'(\xi) = 2\xi f(\xi)$
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**解析**：
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将结论改写为：
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$$
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f'(\xi) - 2\xi f(\xi) = 0
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$$
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属于一阶线性微分结构，其中 $P(x) = -2x$。
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积分因子为：
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$$
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\mu(x) = e^{\int (-2x)\mathrm{d}x} = e^{-x^2}
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$$
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构造辅助函数：
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$$
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F(x) = e^{-x^2} f(x)
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$$
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则 $F(0) = 0$，$F(1) = e^{-1}$。
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需进一步寻找另一个点 $c$ 使 $F(c)=0$，才可应用罗尔定理。通常需结合题目其他条件（如积分中值定理、零点定理等）找出该点。
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>[!example] 例2
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设 $f(x)$ 在 $[a, b]$ 上三阶可导，且 $f(a) = f'(a) = f(b) = 0$。
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证明：存在 $\xi \in (a, b)$ 使得：$f'''(\xi) + k f''(\xi) = 0$
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**解析**：
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结论可写为：
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$$
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\bigl[ e^{kx} f''(x) \bigr]' \big|_{x=\xi} = 0
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$$
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因此构造辅助函数：
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$$
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H(x) = e^{kx} f''(x)
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$$
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由条件可推知存在 $\eta_1, \eta_2 \in (a, b)$ 使 $f''(\eta_1) = f''(\eta_2) = 0$，从而 $H(\eta_1)=H(\eta_2)=0$。
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对 $H(x)$ 应用罗尔定理即得证。
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>[!example] 例3
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设 $f(x)$ 在 $[0, 1]$ 上可导，且$f(1) = 2\int_0^{1/2} e^{1-x} f(x) dx$
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证明：存在 $\xi \in (0, 1)$ 使得：$f'(\xi) = (1-\xi) f(\xi)$
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**解析**：
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结论化为：
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$$
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f'(\xi) - (1-\xi) f(\xi) = 0
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$$
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积分因子为：
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$$
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\mu(x) = e^{\int (x-1) \mathrm{d}x} = e^{\frac{x^2}{2} - x}
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$$
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构造辅助函数：
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$$
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F(x) = e^{\frac{x^2}{2} - x} f(x)
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$$
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利用题设积分条件与积分中值定理，可找到 $\eta \in (0, \frac{1}{2})$ 使 $F(\eta) = F(1)$，再对 $F(x)$ 应用罗尔定理即证。
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## **罗尔定理**
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### **原理**
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若函数 f(x) 满足以下三个条件：
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在闭区间 $[a,b]$ 上连续；
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在开区间 $(a,b)$ 内可导；
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区间端点函数值相等，即 $f(a)=f(b)$；
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则在 $(a,b)$ 内至少存在一点 $\xi$，使得 $f'(\xi)=0$。
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罗尔定理的几何意义为：满足条件的函数曲线在区间内至少有一条水平切线。
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它是拉格朗日中值定理（$f(b)-f(a)=f'(\xi)(b-a)$）当 $f(a)=f(b)$ 时的特例。
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### **适用条件**
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罗尔定理的核心适用题型是证明导函数方程 $f'(\xi)=0$ 在区间 $(a,b)$ 内有根以及衍生的相关证明题。
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具体可分为以下几类：
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1.直接证明 $f'(\xi)$=0 存在根
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题目给出函数 f(x) 在 $[a,b]$ 上的连续性、$(a,b)$ 内的可导性，且满足 $f(a)=f(b)$，直接应用罗尔定理证明存在 $\xi\in(a,b)$ 使得 $f'(\xi)=0$。
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2.构造辅助函数证明导函数相关方程有根
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对于形如 $f'(\xi)+g(\xi)f(\xi)=0$、$f''(\xi)=0$ 等方程，需构造满足罗尔定理条件的辅助函数 $F(x)$，通过 $F(a)=F(b)$ 推导 $F'(\xi)=0$，进而等价转化为目标方程。
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3.结合多次罗尔定理证明高阶导数零点存在
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若函数 f(x) 有 n+1 个点的函数值相等，可多次应用罗尔定理，证明其 n 阶导数 $f^{(n)}(\xi)=0$ 在对应区间内有根。
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4.证明函数恒为常数（反证法结合罗尔定理）
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若 $f'(x)\equiv0$ 在区间内成立，可通过反证法假设存在两点函数值不等，结合罗尔定理推出矛盾，进而证明函数为常数。
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罗尔定理针对于一个函数，不同于柯西中值定理针对于两个函数
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### **例题**
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>[!example] 例1
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设 $f(x)$ 在 $[0,1]$ 连续，$(0,1)$ 可导，且 $f(1) = 0$，求证存在 $\xi \in (0,1)$ 使得 $nf(\xi) + \xi f'(\xi) = 0$。
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**解析**：
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设辅助函数 $\varphi(x) = x^n f(x)$，则 $\varphi(0)=0$，$\varphi(1)=0$。由罗尔定理，存在 $\xi \in (0,1)$，使得 $\varphi'(\xi)=0$即
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$$
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n\xi^{n-1} f(\xi) + \xi^n f'(\xi) = 0
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$$
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两边除以 $\xi^{n-1}$ ($\xi>0$)，得 $nf(\xi) + \xi f'(\xi) = 0$。
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>[!example] 例2
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设函数 $f(x)$ 在 $[a,b]$ 上可导，且
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$$f(a) = f(b) = 0，\quad f'_+(a)f'_-(b) > 0，$$
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试证明 $f'(x) = 0$ 在 $(a,b)$ 内至少有两个根。
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**解析**：
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由导数极限定理及 $f'_+(a)f'_-(b) > 0$，知在 $a$ 右侧和 $b$ 左侧，$f(x)$ 的符号相同，不妨设 $f'_+(a)>0$，$f'_-(b)>0$。则在 $a$ 右侧附近 $f(x)>0$，在 $b$ 左侧附近 $f(x)>0$。由于 $f(a)=f(b)=0$，由极值点的费马定理，$f(x)$ 在 $(a,b)$ 内至少有一个极大值点，该点处导数为零。又因为 $f(x)$ 在 $[a,b]$ 上连续，在 $(a,b)$ 内可导，且 $f(a)=f(b)$，由罗尔定理至少存在一点 $c \in (a,b)$ 使 $f'(c)=0$。结合极大值点处的导数零点，可知至少有两个导数为零的点。
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>[!example] 例3
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设 $f(x)$ 在 $[0, 1]$ 上具有二阶导数，且满足
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$$f(0) = 0, \, f(1) = 1, \, f\left(\frac{1}{2}\right) > \frac{1}{4}$$证明：
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(1)至少存在一点 $\xi \in (0, 1)$，使得 $f''(\xi) < 2$；
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(2)若对一切 $x \in (0, 1)$，有 $f''(x) \neq 2$，则当 $x \in (0, 1)$ 时，恒有 $f(x) > x^2$。
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**解析**：
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(1) 考虑函数 $g(x)=f(x)-x^2$，则 $g(0)=0$，$g(1)=0$，$g(1/2)=f(1/2)-1/4>0$。由极值点的费马定理及罗尔定理，$g(x)$ 在 $(0,1)$ 内存在极大值点 $\eta$，且 $g'(\eta)=0$，$g''(\eta) \leq 0$。即 $f'(\eta)=2\eta$，$f''(\eta) \leq 2$。若 $f''(\eta) < 2$，则取 $\xi=\eta$ 即可；若 $f''(\eta)=2$，则考虑在 $\eta$ 两侧应用拉格朗日中值定理，可找到另一个点 $\xi$ 使得 $f''(\xi)<2$。
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(2) 用反证法。假设存在 $x_0 \in (0,1)$ 使 $f(x_0) \leq x_0^2$，结合 $f(0)=0$，$f(1)=1$ 和 $f(1/2)>1/4$，利用连续性及中值定理可推出存在 $\xi$ 使 $f''(\xi)=2$，矛盾。
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## **拉格朗日中值定理**
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### **原理**
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若函数 f(x) 满足两个条件:
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在闭区间 $[a,b]$ 上连续；
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在开区间 $(a,b)$ 内可导；
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则在 $(a,b)$ 内至少存在一点 $\xi$，使得
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$f(b)-f(a)=f'(\xi)(b-a)$
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也可写成等价形式 $f'(\xi)=\dfrac{f(b)-f(a)}{b-a}$。
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是罗尔定理的推广，同时也是柯西中值定理的特例。其几何意义为：满足条件的函数曲线在区间 (a,b) 内，至少存在一点的切线与连接端点 (a,f(a)) 和 (b,f(b)) 的弦平行。
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### **适用条件**
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拉格朗日中值定理的核心适用题型是建立函数增量与导数的关联，进行不等式的证明，这是最常见的题型。通过对目标函数在指定区间上应用拉格朗日中值定理，得到 $f(b)-f(a)=f'(\xi)(b-a)$，再利用导数 $f'(\xi)$ 的取值范围（有界性、正负性）放大或缩小式子，推导不等式。
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### **例题**
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>[!example] 例1
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设函数 $f(x)$ 在 $(-1,1)$ 内可微，且
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$$f(0) = 0, \quad |f'(x)| \leq 1,$$证明：在 $(-1,1)$ 内，$|f(x)| < 1$。
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**解析**：
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对任意 $x \in (-1,1)$，由拉格朗日中值定理，存在 $\xi$ 介于 $0$ 与 $x$ 之间，使得
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$$
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f(x) - f(0) = f'(\xi)(x-0)
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$$
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即 $f(x) = f'(\xi) x$。由于 $|f'(\xi)| \leq 1$，$|x| < 1$，故 $|f(x)| = |f'(\xi)| \cdot |x| < 1$。
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>[!example] 例2
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设 $f''(x) < 0$，$f(0) = 0$，证明对任意 $x_1 > 0, x_2 > 0$ 有
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$$f(x_1 + x_2) < f(x_1) + f(x_2)$$
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**解析**：
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不妨设 $0 < x_1 < x_2$。由拉格朗日中值定理：
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$$
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f(x_1+x_2)-f(x_2) = f'(\xi_1)x_1, \quad \xi_1 \in (x_2, x_1+x_2)
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$$
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$$
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f(x_1)-f(0) = f'(\xi_2)x_1, \quad \xi_2 \in (0, x_1)
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$$
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于是
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$$
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f(x_1+x_2)-f(x_2)-f(x_1) = [f'(\xi_1)-f'(\xi_2)]x_1
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$$
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对 $f'(x)$ 在 $[\xi_2,\xi_1]$ 上应用拉格朗日中值定理，存在 $\xi \in (\xi_2,\xi_1)$，使
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$$
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f'(\xi_1)-f'(\xi_2) = f''(\xi)(\xi_1-\xi_2) < 0
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$$
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故 $f(x_1+x_2)-f(x_2)-f(x_1) < 0$，即 $f(x_1+x_2) < f(x_1)+f(x_2)$。
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>[!example] 例3
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设 $f(x)$ 在 $(-\infty, +\infty)$ 内二阶可导，且 $f''(x) \neq 0$。
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（1）证明：对于任何非零实数 $x$，存在唯一的 $\theta(x)$ ($0<\theta(x)<1$)，使得
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$$f(x) = f(0) + x f'(x\theta(x));$$
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（2）求
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$$\lim_{x \to 0} \theta(x).$$
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解：
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1. 证： 对于任何非零实数 $x$，由中值定理，存在 $\theta(x)$ $(0<\theta(x)<1)$，使得
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$$
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f(x)=f(0)+x f'(x\theta(x)).
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$$
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如果这样的 $\theta(x)$ 不唯一，则存在 $\theta_{1}(x)$ 与 $\theta_{2}(x)$ $(\theta_{1}(x)<\theta_{2}(x))$，使得 $f'(x\theta_{1}(x))=f'(x\theta_{2}(x))$，由罗尔定理，存在一点 $\xi$，使得 $f''(\xi)=0$，这与 $f''(x)\neq 0$ 矛盾。所以 $\theta(x)$ 是唯一的。
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2. 解 注意到 $f''(0)=\lim_{x\rightarrow 0} \frac{f'(x\theta(x))-f'(0)}{x\theta(x)}$，又知
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$$
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\begin{aligned}
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\lim_{x\rightarrow 0} \frac{f'(x\theta(x))-f'(0)}{x}
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&= \lim_{x\rightarrow 0} \frac{\frac{f(x)-f(0)}{x}-f'(0)}{x} \\
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&= \lim_{x\rightarrow 0} \frac{f(x)-f(0)-x f'(0)}{x^{2}} \\
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&= \lim_{x\rightarrow 0} \frac{f'(x)-f'(0)}{2x} \\
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&= \frac{f''(0)}{2},
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\end{aligned}
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$$
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所以 $\lim_{x\rightarrow 0} \theta(x)=\frac{1}{2}$。
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## **柯西中值定理**
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### **原理**
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设函数 $f(x)$ 和 $g(x)$ 满足以下条件：
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1. 在闭区间 $[a, b]$ 上连续；
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2. 在开区间 $(a, b)$ 内可导；
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3. 对任意 $x \in (a, b)$，有 $g'(x) \neq 0$；
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则在 $(a, b)$ 内至少存在一点 $\xi$，使得：
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$$
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\frac{f(b) - f(a)}{g(b) - g(a)} = \frac{f'(\xi)}{g'(\xi)}
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$$
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柯西中值定理的几何意义为：由参数方程 $(g(t), f(t))$ 表示的曲线，在两点间的割线斜率等于曲线上某点切线的斜率。
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它与拉格朗日中值定理的关系为：当 $g(x) = x$ 时，柯西中值定理退化为拉格朗日中值定理。它是处理两个函数之间微分中值关系的通用形式。
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### **适用条件**
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柯西中值定理的核心适用题型是**证明形如 $\frac{f(b)-f(a)}{g(b)-g(a)} = \frac{f'(\xi)}{g'(\xi)}$ 的等式成立**，以及处理**涉及两个中值点 $\xi, \eta$ 的问题**。
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常见应用方向包括：
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1. 直接证明存在性等式；
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2. 通过函数配对，将目标等式转化为柯西中值定理的标准形式；
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3. 处理“双中值问题”，常与拉格朗日中值定理结合使用。
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### **例题**
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>[!example] 例1
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设 $f(x)$ 在 $[a, b]$ 上连续，在 $(a, b)$ 内可导，且 $a>0$。证明存在 $\xi \in (a, b)$，使得：
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$$\frac{f(b)-f(a)}{b-a} = \xi f'(\xi) \cdot \frac{\ln(b/a)}{b-a}$$
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**解析**：
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将等式变形为：
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\frac{f(b)-f(a)}{\ln b - \ln a} = \xi f'(\xi)
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$$
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取 $g(x) = \ln x$，则 $g'(x) = \frac{1}{x} \neq 0$ 在 $(a, b)$ 内成立。
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对 $f(x)$ 与 $g(x)$ 应用柯西中值定理，存在 $\xi \in (a, b)$ 使得：
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$$
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\frac{f(b)-f(a)}{\ln b - \ln a} = \frac{f'(\xi)}{1/\xi} = \xi f'(\xi)
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$$
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整理即得所求。
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>[!example] 例2
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设 $f(x)$ 在 $[a, b]$ 上连续，在 $(a, b)$ 内可导，证明存在不同的 $\xi, \eta \in (a, b)$，使得：
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$$f'(\xi) = \frac{a+b}{2\eta} f'(\eta)$$
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**解析**：
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1. 对 $f(x)$ 与 $g(x) = \frac{x^2}{2}$ 应用柯西中值定理，存在 $\eta \in (a, b)$ 使得：
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$$
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\frac{f(b)-f(a)}{(b^2 - a^2)/2} = \frac{f'(\eta)}{\eta}
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$$
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整理得：
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$$
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f(b)-f(a) = \frac{b^2 - a^2}{2\eta} f'(\eta)
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$$
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2. 对 $f(x)$ 应用拉格朗日中值定理，存在 $\xi \in (a, b)$ 使得：
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$$
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f(b)-f(a) = (b-a) f'(\xi)
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$$
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3. 联立两式，消去 $f(b)-f(a)$ 得：
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$$
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(b-a) f'(\xi) = \frac{(b-a)(a+b)}{2\eta} f'(\eta)
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$$
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由于 $b-a \neq 0$，约去后即得：
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$$
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f'(\xi) = \frac{a+b}{2\eta} f'(\eta)
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$$
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>[!example] 例3
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设 $0 < a < b$，证明存在 $\xi \in (a, b)$，使得：
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$$f(b)-f(a) = \frac{3\xi^2}{a^2+ab+b^2} f'(\xi)(b-a)$$
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**解析**：
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将等式变形为：
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$$
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\frac{f(b)-f(a)}{b^3 - a^3} = \frac{f'(\xi)}{3\xi^2}
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$$
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取 $g(x) = x^3$，则 $g'(x) = 3x^2 \neq 0$ 在 $(a, b)$ 内成立。
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由柯西中值定理，存在 $\xi \in (a, b)$ 使得：
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$$
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\frac{f(b)-f(a)}{b^3 - a^3} = \frac{f'(\xi)}{3\xi^2}
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$$
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整理后即得所求。
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## 多次运用中值定理
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多次运用中值定理一般有如下特征：
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1. 有多个中值（如$\xi,\eta$两个中值）；
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2. 有二阶导出现。
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@ -70,7 +445,7 @@ $$f(0) = 0, \, f(1) = 1, \, f\left(\frac{1}{2}\right) > \frac{1}{4}$$证明：
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直接对$f(x)$用中值定理吗？不是，这样子我们得不出任何的结论。或许我们应该构造一个新的函数，让我们更容易研究一些。观察要证的式子，由于我们完全不知道导数的性质，所以考虑函数$g(x)=f(x)-x^2$，有$g'(x)=f'(x)-2x,g''(x)=f''(x)-2$，且$g(0)=0,g(1)=0,g(\frac{1}{2})>0$.看到这些$0$就舒服很多了。注意这里应该是多次运用中值定理中的第2种情况，因为题目很明显给了我们分割区间的一个点：$\large{\frac{1}{2}}$.
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**解**：
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(1) 考虑函数 $g(x)=f(x)-x^2$，则 $g(0)=0$，$g(1)=0$，$g(1/2)=f(1/2)-1/4>0$。在$[0,\frac{1}{2}],[\frac{1}{2},1]$上分别用拉格朗日中值定理得$\exists\eta_1\in(0,\frac{1}{2}),\eta_2\in(\frac{1}{2},1)$，使得$$g'(\eta_1)=\frac{g(1/2)-g(0)}{1/2}>0,g'(\eta_2)=\frac{g(1)-g(1/2)}{1/2}<0$$对$g'(x)$在区间$[\eta_1,\eta_2]$上用拉格朗日中值定理得，$\exists\xi\in(\eta_1,\eta_2)$，使得$$g''(\xi)=\frac{g'(\eta_2)-g'(\eta_1)}{\eta_2-\eta_1}<0,$$即$$f''(\xi)<2.$$
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(1) 考虑函数 $g(x)=f(x)-x^2$，则 $g(0)=0$，$g(1)=0$，$g(1/2)=f(1/2)-1/4>0$。在$[0,\frac{1}{2}],[\frac{1}{2},1]$上分别用拉格朗日中值定理得，$\exists\eta_1\in(0,\frac{1}{2}),\eta_2\in(\frac{1}{2},1)$，使得$$g'(\eta_1)=\frac{g(1/2)-g(0)}{1/2}>0,g'(\eta_2)=\frac{g(1)-g(1/2)}{1/2}<0$$对$g'(x)$在区间$[\eta_1,\eta_2]$上用拉格朗日中值定理得，$\exists\xi\in(\eta_1,\eta_2)$，使得$$g''(\xi)=\frac{g'(\eta_2)-g'(\eta_1)}{\eta_2-\eta_1}<0,$$即$$f''(\xi)<2.$$
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(2) 用反证法。假设存在 $x_0 \in (0,1)$ 使 $f(x_0) \leq x_0^2$，故$g(x_0)\le0$。由$g(0)=0,g(1)=0,g(1/2)>0,\exists\alpha\in(0,1),g(\alpha)=0$.故由罗尔中值定理，$$\exists\beta_1\in(0,\alpha),\beta_2\in(\alpha,1),g'(\beta_1)=g'(\beta_2)=0,$$从而$$\exists\beta\in(\beta_1,\beta_2),g''(\beta)=0$$这与$f''(x)\neq2$，即$g''(x)\neq0$矛盾，故结论成立。
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**题后总结：**
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