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**编委会（不分先后，姓氏首字母顺序）：陈峰华 陈玉阶 程奕铭 韩魏 刘柯妤 卢吉辚 王嘉兴 王轲楠 彭靖翔 郑哲航 钟宇哲 支宝宁
# 单方程组解的问题
### 线性方程组解的判定
对非齐次线性方程组 $A_{m\times n}x=b$,
1. 无解的充要条件是 $\text{rank}A < \text { rank }[ A \ \ b ]$；
2. 有唯一解的充要条件是 $\text{rank}A = \text{rank}[A\ \ b] = n$；
3. 有无穷多解的充要条件是 $\text{rank}A = \text{rank}[A\ \ b] < n $。
注:上述定理也说明非齐次线性方程组有解的充要条件是 $\text{rank}A = \text{rank}[A\ \ b]$。
把以上结论应用到齐次线性方程组，可得
推论 齐次线性方程组 $A_{m\times n}x=0$ 有非零解（无穷多解）的充要条件是 $\text{rank}A < n $，即系数矩阵的秩小于未知数个数。
### 矩阵方程解的判定
本质上和线性方程组是一脉相承的，只是形式上更一般化。
最常见的矩阵方程是 $\boldsymbol{AX} = \boldsymbol{B}$，其中$\boldsymbol{A}$是 $m\times n$ 矩阵，$\boldsymbol{B}$ 是 $m\times p$ 矩阵，$\boldsymbol{X}$ 是待求的$n\times p$矩阵。
1. 有解的充要条件：
矩阵方程有解的充要条件是系数矩阵 $\boldsymbol{A}$ 的秩等于增广矩阵 $[\boldsymbol{A} \ \boldsymbol{B}]$的秩，即：
$$r(\boldsymbol{A}) = r([\boldsymbol{A} \ \boldsymbol{B}])$$
这个结论和非齐次线性方程组有解的条件完全一致。
理解上可以将 $B$ 拆分成一列列 $b$ ，从而化归为上面的线性方程组问题
2. 解的结构：
- 唯一解：当$r(\boldsymbol{A}) = r([\boldsymbol{A} \ \boldsymbol{B}]) = n$ 时，方程有唯一解。
- 无穷多解：当 $r(\boldsymbol{A}) = r([\boldsymbol{A} \ \boldsymbol{B}]) < n $ 时，方程有无穷多解。
可逆矩阵
- 当 $\boldsymbol{A}$ 是 n 阶可逆矩阵时，矩阵方程 $\boldsymbol{AX} = \boldsymbol{B}$有唯一解:$\boldsymbol{X} = \boldsymbol{A}^{-1}\boldsymbol{B}$
其他形式的矩阵方程
- 对于 $\boldsymbol{XA} = \boldsymbol{B}$ 形式的方程，可以转置为 $\boldsymbol{A}^T\boldsymbol{X}^T = \boldsymbol{B}^T$，再套用上述方法，或类似于方程 $AX = B$ 有解的充要条件是$\text{rank} \begin{bmatrix} A & B \end{bmatrix} = \text{rank}A$，由方程 $XA = B$ 有解可知 $\text{rank} \begin{bmatrix} A \\ B \end{bmatrix} =\text{rank}A$
- 对于 $\boldsymbol{AXB} = \boldsymbol{C}$ 形式的方程，当 $\boldsymbol{A} 和 \boldsymbol{B}$ 都可逆时，有唯一解 $\boldsymbol{X} = \boldsymbol{A}^{-1}\boldsymbol{C}\boldsymbol{B}^{-1}$。
>[!example] ** 例1**
>设矩阵
>$$A = \begin{bmatrix}
1 & a_1 & a_1^2 & a_1^3 \\
1 & a_2 & a_2^2 & a_2^3 \\
1 & a_3 & a_3^2 & a_3^3 \\
1 & a_4 & a_4^2 & a_4^3
\end{bmatrix},
\quad
x = \begin{bmatrix}
x_1 \\ x_2 \\ x_3 \\ x_4
\end{bmatrix},
\quad
b = \begin{bmatrix}
1 \\ 1 \\ 1 \\ 1
\end{bmatrix}$$
其中常数 $a_1, a_2, a_3, a_4$ 互不相等，则线性方程组 $Ax = b$ 的解为 ______________ 。
**答**：
**解析**：由范德蒙行列式的性质可知 $|A| \neq 0$，从而线性方程组 $Ax = b$ 有唯一解。
又由
$$
\begin{bmatrix}
1 & a_1 & a_1^2 & a_1^3 \\
1 & a_2 & a_2^2 & a_2^3 \\
1 & a_3 & a_3^2 & a_3^3 \\
1 & a_4 & a_4^2 & a_4^3
\end{bmatrix}
\begin{bmatrix}
1 \\
0 \\
0 \\
0
\end{bmatrix}
=
\begin{bmatrix}
1 \\
1 \\
1 \\
1
\end{bmatrix}
$$
可知 $Ax = b$ 的解为
$$
\begin{bmatrix}
1 \\
0 \\
0 \\
0
\end{bmatrix}
$$
>[!example] ** 例2**
> 设 $A, B$ 均为 $n$ 阶方阵，满足$\text{rank} \begin{bmatrix} A \\ B \end{bmatrix} = \text{rank}B,$ 且方程 $XA = B$ 有解。若 $\operatorname{rank} A = k$，则$\text{rank} \begin{bmatrix} B & O \\ A & E \end{bmatrix} =\underline{\hspace{3cm}}.$
**解析**：
类似于方程 $AX = B$ 有解的充要条件是$\text{rank} \begin{bmatrix} A & B \end{bmatrix} = \text{rank}A$，由方程 $XA = B$ 有解可知 $\text{rank} \begin{bmatrix} A \\ B \end{bmatrix} = \text{rank}B=\text{rank}A=k$，由初等变换不改变秩得$$\text{rank} \begin{bmatrix} B & O \\ A & E \end{bmatrix} =\text{rank} \begin{bmatrix} B & O \\ O & E \end{bmatrix}=n+k$$
# 多方程组的问题（线性方程组同解）
## ** $Ax=0$与$Bx=0$同解问题**：
充要条件：$rankA=rankB=rank\begin{bmatrix} A \\ B\end{bmatrix}$.
$Ax=\alpha$ 与$Bx=\beta$同解问题：
充要条件：$rank\begin{bmatrix} A & \alpha\end{bmatrix}=rank\begin{bmatrix} B & \beta\end{bmatrix}=rank\begin{bmatrix} A & \alpha\\ B& \beta\end{bmatrix}$.
如何理解（非严格证明，目的是便于理解）：
首先，为了简化问题，我们只考虑齐次线性方程组同解问题，对于$Ax=0$与$Bx=0$，
考虑这两个齐次线性方程组的解空间，分别记为$N(A)$,$N(B)$,这两个集合是完全相同的，
可以得到$N(A)\subset N(B)$,以及$N(B)\subset N(A)$.
$N(A)\subset N(B)$可以得到什么呢？
说明$Ax=0$的解比较少，$Bx=0$的解比较多，一个方程组解多就说明他的方程限制相对宽松，解少则说明方程要求比较严格。换言之，$Bx=0$的每个方程是由$Ax=0$的方程线性表示的,同理$N(B)\subset N(A)$ 可以得到 $Ax=0$ 的每个方程是由 $Bx=0$ 的方程线性表示的，进而说明这两个系数矩阵的行向量能够互相线性表示，即行向量组等价.用秩的语言表示：$rankA=rankB=rank\begin{bmatrix} A \\ B\end{bmatrix}$.
另一个角度：这两个矩阵化成最简行阶梯型，是相同的，进行化简的时候只用到行变换，故它们的行向量组等价.
需要注意的是,这个条件是充要的.非常的好用.
非齐次的时候同理.
注意：由此，我们还能得到一些别的结论
例如：$A$ 和 $B$ 等价（可以通过初等变换得到），并不能得到两方程同解，因为等价的初等变换可能包括初等列变换，而列变换可能改变两方程的解
>[!example] 例1
>6. 已知方程组$\quad\begin{cases}x_1 + 2x_2 + 3x_3 = 0, \\2x_1 + 3x_2 + 5x_3 = 0, \\x_1 + x_2 + ax_3 = 0,\end{cases}$ 与$\quad\begin{cases}x_1 + bx_2 + cx_3 = 0, \\2x_1 + b^2x_2 + (c+1)x_3 = 0\end{cases}$同解，则
(A) $a = 1, b = 0, c = 1$;
(B) $a = 1, b = 1, c = 2$;
(C) $a = 2, b = 0, c = 1$;
(D) $a = 2, b = 1, c = 2$.
解析：类似于方程 $AX = B$ 有解的充要条件是$\text{rank} \begin{bmatrix} A & B \end{bmatrix} = \text{rank}A$，由方程 $XA = B$ 有解可知 $\text{rank} \begin{bmatrix} A \\ B \end{bmatrix} = \text{rank}B=\text{rank}A=k$，由初等变换不改变秩得$$\text{rank} \begin{bmatrix} B & O \\ A & E \end{bmatrix} =\text{rank} \begin{bmatrix} B & O \\ O & E \end{bmatrix}=n+k$$
# 线性方程组的系数矩阵与解关系
在研究线性方程组的解的性质（例如维数）时，我们通常要与其系数矩阵本身的性质产生联系：
>[!note] 定理1：
>对于齐次方程组 $\boldsymbol{A}_{m \times n}\boldsymbol{x}=\boldsymbol{0}$，设$\mathrm{rank}\boldsymbol{A}=r$，则
> $$\dim N(\boldsymbol{A})=n-r$$
> [!example] 例1
> 已知三阶方阵 $A=\begin{bmatrix}\alpha_1& \alpha_2& \alpha_3\end{bmatrix}$ 有三个不同的特征值，其中$\alpha_3=2\alpha_1+\alpha_2$，若 $\beta=\alpha_1+3\alpha_2+4\alpha_3$ ，求线性方程组 $Ax=\beta$ 的通解.
$\begin{bmatrix}1\\3\\4\end{bmatrix}+k\begin{bmatrix}2\\1\\-1\end{bmatrix}, k\in\mathbb{R}$
>解析：由 $\alpha_3=2\alpha_1+\alpha_2$ 可得 $A$ 的列向量组线性相关， $|A|=0$；又因为 $A$ 的三个特征值各不相同，故 $A$ 有两个不为零的特征值 $\lambda_1,\lambda_2$，且 $A$ 可相似对角化，即 $A=P^{-1}\begin{bmatrix}\lambda_1&& \\& \lambda_2& \\&& 0\end{bmatrix}P$， && \\& \lambda_2& \\&& 0\end{bmatrix}P)=\mathrm{rank}\begin{bmatrix}\lambda_1&& \\& \lambda_2& \\&& 0\end{bmatrix}=2$
>故 $Ax=0$ 的解空间维数是 $1$ （ ）
>$\beta=\alpha_1+3\alpha_2+4\alpha_3$，所以 $(1,3,4)^\mathrm{T}$ 为特解； （ ）
>$\alpha_3=2\alpha_1+\alpha_2$，所以$A\begin{bmatrix}2k\\k\\-k\end{bmatrix}=2\alpha_1+\alpha_2-\alpha_3=0$，所以 $(2,1,-1)^\mathrm{T}$ 为基础解系； （ ）
>解空间维数是 $1$ ，方程的解 $\begin{bmatrix}1\\3\\4\end{bmatrix}+k\begin{bmatrix}2\\1\\-1\end{bmatrix}, k\in\mathbb{R}$ 维数是 $1$，该解完备
> [!example] 例2
> 设 $$
A = \begin{bmatrix}
1 & -1 & 0 & -1 \\
1 & 1 & 0 & 3 \\
2 & 1 & 2 & 6
\end{bmatrix}, \quad
B = \begin{bmatrix}
1 & 0 & 1 & 2 \\
1 & -1 & a & a-1 \\
2 & -3 & 2 & -2
\end{bmatrix},$$
向量 $$
\alpha = \begin{bmatrix} 0 \\ 2 \\ 3 \end{bmatrix}, \quad
\beta = \begin{bmatrix} 1 \\ 0 \\ -1 \end{bmatrix}.$$
(1) 证明：方程组 $Ax = \alpha$ 的解均为方程组 $Bx = \beta$ 的解；
(2) 若方程组 $Ax = \alpha$ 与方程组 $Bx = \beta$ 不同解，求 $a$ 的值。
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**解：**
(1) 由于
$$
\left( \begin{array}{c}
A \quad \alpha \\
B \quad \beta
\end{array} \right) =
\left( \begin{array}{ccccc}
1 & -1 & 0 & -1 & 0 \\
1 & 1 & 0 & 3 & 2 \\
2 & 1 & 2 & 6 & 3 \\
1 & 0 & 1 & 2 & 1 \\
1 & -1 & a & a-1 & 0 \\
2 & -3 & 2 & -2 & -1
\end{array} \right)
$$
$$
\rightarrow
\left( \begin{array}{ccccc}
1 & -1 & 0 & -1 & 0 \\
0 & 1 & 0 & 2 & 1 \\
0 & 0 & 2 & 2 & 0 \\
0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 0 & 0 & 0
\end{array} \right),
$$
故
$$
R \left( \begin{array}{c}
A \quad \alpha \\
B \quad \beta
\end{array} \right) = R(A, \alpha),
$$
从而方程组
$$
\begin{cases}
Ax = \alpha, \\
Bx = \beta
\end{cases}
$$
与 $Ax = \alpha$ 同解，故 $Ax = \alpha$ 的解均为 $Bx = \beta$ 的解。
(2) 由于 $Ax = \alpha$ 的解均为 $Bx = \beta$ 的解，若 $Ax = \alpha$ 与 $Bx = \beta$ 同解，则与题意矛盾，故 $Ax = \alpha$ 的解是 $Bx = \beta$ 解的真子集。于是 $Ax = 0$ 的基础解系中解向量的个数小于 $Bx = 0$ 的基础解系中解向量的个数，即
$$
4 - R(A) < 4 - R ( B ) ,
$$
故 $R(A) > R(B)$。又因 $R(A) = 3$，故 $R(B) < 3 $ ， 则
$$
\left| \begin{array}{ccc}
1 & 0 & 1 \\
1 & -1 & a \\
2 & -3 & 2
\end{array} \right| = 0,
$$
解得 $a = 1$。
# 秩的不等式
### 1. 和的秩不超过秩的和
设 $A, B$ 为同型矩阵，则
$$ \operatorname{rank}(A+B) \leq \operatorname{rank} A + \operatorname{rank} B $$
### 2. 积的秩不超过任何因子的秩
设 $A_{m \times n}, B_{n \times k}$，则
$$ \operatorname{rank}(AB) \leq \min\{\operatorname{rank} A, \operatorname{rank} B\} $$
### 3. 重要不等式
设 $A_{m \times n}, B_{n \times k}$，则
$$ \operatorname{rank}(AB) \geq \operatorname{rank} A + \operatorname{rank} B - n $$
特别地，当 $AB = 0$ 时，有 $\operatorname{rank} A + \operatorname{rank} B \leq n$。
### 4. 分块式
设 $A_{n \times n}$，
$$(1)\ \mathrm{rank}
\begin{bmatrix}
A \\
B
\end{bmatrix} \geq \text{rank } A, \quad \text{rank }
\begin{bmatrix}
A \\
B
\end{bmatrix} \geq \text{rank } B
$$
$$(2)\ \mathrm{rank}
\begin{bmatrix}
A & 0 \\
0 & B
\end{bmatrix} = \text{rank } A + \text{rank } B
$$
$$(3)\ \mathrm{rank}
\begin{bmatrix}
A & E_n \\
0 & B
\end{bmatrix} \geq \text{rank } A + \text{rank } B
$$
$$(4)\ \mathrm{rank}
\begin{bmatrix}
A & 0 \\
0 & B
\end{bmatrix} = \text{rank }
\begin{bmatrix}
A & B \\
0 & B
\end{bmatrix} = \text{rank }
\begin{bmatrix}
A + B & B \\
B & B
\end{bmatrix} \geq \text{rank } (A + B)
$$
>[!information] 思路1
>通过矩阵的秩的不等式，最大限度限制所求的表达式的取值范围，或者将其**限制到一个具体的值**.
>在希望求一个矩阵的秩的确切值时，也可以考虑用不等式关系来“夹逼”，常见的不等式：
>1. $\mathrm{rank}\boldsymbol{A}+\mathrm{rank}\boldsymbol{B}-n\le\mathrm{rank}(\boldsymbol{AB})\le\min{\{\mathrm{rank}\boldsymbol{A}, \mathrm{rank}\boldsymbol{B}\}}$
>2. $\mathrm{rank}(\boldsymbol{A+B})< \mathrm { rank } \boldsymbol A + \mathrm { rank } \boldsymbol B $
>3. 矩阵加边不会减小秩；
>
> [!note] 思路2
> 在遇到诸如 $AB=O$ 的情况，务必要想到$\mathrm{rank}\boldsymbol{A}+\mathrm{rank}\boldsymbol{B}-n\le\mathrm{rank}(\boldsymbol{AB}) \Rightarrow \mathrm{rank}\boldsymbol{A}+\mathrm{rank}\boldsymbol{B}\le n$
