提交了素材（一阶）齐次微分方程

素材/（一阶）齐次微分方程.md

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+>[!info] 定义
+>一阶齐次线性微分方程是指这样形式的微分方程：$$\frac{\mathrm dy}{\mathrm dx}=\varphi\left(\frac yx\right)\qquad\text{或}\qquad\frac{\mathrm dx}{\mathrm dy}=\varphi\left(\frac xy\right).$$
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+实际上，函数 $\varphi$ 可能不是以这样明确的形式给我们的. 更一般地，齐次微分方程可以这样给出：$$\frac{\mathrm dy}{\mathrm dx}=f(x,y),$$我们需要“观察”出 $f(x,y)$ 的性质，并判断它是否能被转化为 $\varphi\left(\dfrac yx\right)$. 而这种性质称为**伸缩不变性**：对于任意实数 $t$，有 $f(x,y)=f(tx,ty)$. 换句话说，如果函数 $f(x,y)$ 满足伸缩不变性，则它可以转化为 $\varphi\left(\dfrac yx\right)$. 
+解决了如何判断一个方程是否为齐次微分方程的问题，接下来我们一般地推导这类微分方程的解法。
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+以 $\dfrac{\mathrm dy}{\mathrm dx}=\varphi\left(\dfrac yx\right)$ 为例，令 $u=\dfrac yx$，则 $y=ux, \mathrm dy = u\mathrm dx + x \mathrm du$. 故方程变为$$u+x\frac{\mathrm du}{\mathrm dx}=\varphi(u)\implies\frac{\mathrm du}{\varphi(u)-u}=\frac{\mathrm dx}{x}\implies\ln|x|=\int\frac{\mathrm du}{\varphi(u)-u}.$$ 故只需要算出不定积分 $\displaystyle \int\frac{\mathrm du}{\varphi(u)-u}$ 即可……吗？
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+不对，还有可能 $\varphi(u)=u$. 如果这样，那么就有$$\dfrac{\mathrm dy}{\mathrm dx}=\varphi\left(\dfrac yx\right)=\frac yx\implies y=Cx,$$其中 $C$ 为常数. 这是一种特殊情况，也得考虑到.
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+接下来做几道练习题.
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+>[!example] 例题1
+>求解方程$$\frac{\mathrm dy}{\mathrm dx}=\frac{2x-5y+3}{2x+4y-6}.$$
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+>[!tip] 提示
+>这是一个齐次方程吗？可以验证：并不是. 但它可以转化为齐次方程：因为右边分式上下都是一个直线方程，我们可以通过平移变化使它们经过原点，从而称为齐次方程.
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+>[!solution] 解
+>令 $x=X+h, y=Y+k$，则原方程可以化为 $$\frac{\mathrm dY}{\mathrm dX}=\frac{2X-5Y+(2h-5k+3)}{2X+4Y+(2h+4k-6)}.$$
+>为了使等式右边称为齐次式，令 $$\begin{cases}2h-5k+3=0\\2h+4k-6=0\end{cases},$$解得 $h=k=1.$ 则原方程可以转化为 $$\frac{\mathrm dY}{\mathrm dX}=\frac{2-5\frac{Y}{X}}{2+4\frac{Y}{X}}.$$令 $z=\dfrac YX$, 则 $\displaystyle X\frac{\mathrm dz}{\mathrm dX}=\frac{2-7z-4z^2}{2+4z}\implies\frac{2+4z}{2-7z-4z^2}\mathrm dz=\frac{\mathrm dX}{X}，$ 积分得 $$(z+2)^2(4z-1)=\frac C{X^3}.$$带入 $z=\dfrac YX$ 得 $$(Y+2X)^2(4Y-X)=C$$即$$(y+2x-3)^2(4y-x-3)=C.$$
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+>[!summary] 题后总结
+>有时候需要做变换之后，$f(x,y)$ 才成为齐次的，从而可以用齐次方程的方法求解.