From f53bce854429d3c024f505fab9ca196a586c8204 Mon Sep 17 00:00:00 2001 From: Cym10x Date: Mon, 26 Jan 2026 10:36:20 +0800 Subject: [PATCH 1/2] =?UTF-8?q?M=20=E7=B4=A0=E6=9D=90/=E8=B0=8F=E5=AD=A6?= =?UTF-8?q?=E9=AB=98=E6=95=B0=E8=80=85=E5=8D=81=E6=80=9D=E7=96=8F.md?= MIME-Version: 1.0 Content-Type: text/plain; charset=UTF-8 Content-Transfer-Encoding: 8bit --- 素材/谏学高数者十思疏.md | 2 +- 1 file changed, 1 insertion(+), 1 deletion(-) diff --git a/素材/谏学高数者十思疏.md b/素材/谏学高数者十思疏.md index 8b93d9f..9b6d18b 100644 --- a/素材/谏学高数者十思疏.md +++ b/素材/谏学高数者十思疏.md @@ -1 +1 @@ -学高数者，诚能见等价，则思加减不能替；将有洛，则思代换以化简；念复合，则思漏层而求导；惧积分，则思不定以加C；乐微分，则思dx而莫忘；忧定积，则思牛莱而相减；虑换元，则思积分上下限；惧级数，则思判别勿用错；项所加，则思无因忽以谬导；式所及，则思无以线而滥用。总此十思，宏兹九章，简能而任之，择善而从之，则牛顿尽其谋，莱氏竭其力，泰勒播其惠，柯西效其忠。文理争驰，学生无事，可以尽数分之乐，可以养高代之寿。 \ No newline at end of file +学高数者，诚能见等价，则思加减不能替；将有洛，则思代换以化简；念复合，则思漏层而求导；惧积分，则思不定以加C；乐微分，则思dx而莫忘；忧定积，则思牛莱而相减；虑换元，则思积分上下限；惧级数，则思判别勿用错；项所加，则思无因忽以谬导；拐所及，则思无因x而漏y。总此十思，宏兹九章，简能而任之，择善而从之，则牛顿尽其谋，莱氏竭其力，泰勒播其惠，柯西效其忠。文理争驰，学生无事，可以尽数分之乐，可以养高代之寿。 \ No newline at end of file From bdd8fbd283fd2d24250ce383c4447e6c1f68ea74 Mon Sep 17 00:00:00 2001 From: =?UTF-8?q?=E7=8E=8B=E8=BD=B2=E6=A5=A0?= Date: Mon, 26 Jan 2026 12:42:43 +0800 Subject: [PATCH 2/2] vault backup: 2026-01-26 12:42:43 --- 笔记分享/自然对数的底与欧拉常数.md | 4 ++++ 1 file changed, 4 insertions(+) create mode 100644 笔记分享/自然对数的底与欧拉常数.md diff --git a/笔记分享/自然对数的底与欧拉常数.md b/笔记分享/自然对数的底与欧拉常数.md new file mode 100644 index 0000000..3358fc2 --- /dev/null +++ b/笔记分享/自然对数的底与欧拉常数.md @@ -0,0 +1,4 @@ +考虑两个数列$$x_n=\left(1+\frac{1}{n}\right)^n,y_n=\left(1+\frac{1}{n}\right)^{n+1},$$对所有的自然数 $n,$ 显然有 $\displaystyle y_n=x_n\left(1+\frac{1}{n}\right)>x_n.$ 接下来考察两个数列的单调性. +由“几何平均数小于等于算术平均数”可知$$x_n=\left(1+\frac{1}{n}\right)^n\cdot1\le\left(\frac{n(1+1/n)+1}{n+1}\right)^{n+1}=\left(1+\frac{1}{n+1}\right)^{n+1}=x_{n+1},$$于是数列 $\{x_n\}$ 单调递增; +$$\frac{1}{y_n}=\left(\frac{n}{n+1}\right)^{n+1}\cdot1\le\left(\frac{(n+1)\frac{n}{n+1}+1}{n+2}\right)^{n+2}=\left(\frac{n+1}{n+2}\right)^{n+2}=\frac{1}{y_{n+1}},$$于是数列 $\displaystyle\{\frac{1}{y_n}\}$ 单调递增，即数列 $\{y_n\}$ 单调递减. 于是有 $$2=x_1\le x_n\ln \frac{2}{1}+\ln \frac{3}{2}+\cdots+\frac{n+1}{n}-\ln n=\ln (n+1)-\ln n>0,$$故数列 $\{b_n\}$ 单调递减有下界，故收敛，记 $\gamma=\lim\limits_{n\to\infty} b_n.$ \ No newline at end of file