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素材/整合素材/二次型与合同题目（未完成）.md

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+## 二次型
 二次型的题目有以下几种基本考点：
 >1. 求标准型（规范型）；
 >2. 求把二次型变为标准型的正交变换矩阵；
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 >[!note] 解：
 >记 $\boldsymbol x=(x_1,x_2,x_3)^T,\boldsymbol y=(y_1,y_2,y_3)^T,\boldsymbol z=(z_1,z_2,z_3)^T,\boldsymbol C=\begin{bmatrix}1&2&2\\0&1&2\\0&2&1\end{bmatrix}$，于是 $\boldsymbol x=\boldsymbol{Cy},\boldsymbol x=\boldsymbol C\begin{bmatrix}0&-1&0\\-1&0&0\\0&0&1\end{bmatrix}\boldsymbol z$，从而$$\boldsymbol x=\boldsymbol C\begin{bmatrix}0&-1&0\\-1&0&0\\0&0&1\end{bmatrix}\begin{bmatrix}z_1\\z_2\\z_3\end{bmatrix}=\boldsymbol C\begin{bmatrix}-z_2\\-z_1\\z_3\end{bmatrix},$$于是此变换下标准型为$\displaystyle f(x_1,x_2,x_3)=4(-z_2)^2-\frac{1}{2}(-z_1)^2=-\frac{1}{2}z_1^2+4z_2^2.$
 
-**题后总结：** 此题关键在于理解可逆矩阵与初等变换之间的关系。如果能看到前一个线性变换和后一个线性变换之间只差了两次初等变换，把初等变换写成矩阵的形式，并运用矩阵乘法的结合律，就能够解出这道题了。
+**题后总结：** 此题关键在于理解<span style='color:red'>可逆矩阵与初等变换之间的关系</span>。如果能看到前一个线性变换和后一个线性变换之间<span style='color:red'>只差了两次初等变换</span>，把初等变换写成矩阵的形式，并运用矩阵乘法的结合律，就能够解出这道题了。
 
->[!example] 例题（配方法）
+>[!example] 例题
 >把二次型 $\displaystyle f(x_1,x_2,x_3)=x_1^2+2x_1x_2+2x_1x_3+2x_2^2+6x_2x_3+100x_3^2$ 通过配方法化为标准型。
 
 >[!example] 解：
 >$\displaystyle f=(x_1+x_2+x_3)^2+(x_2+2x_3)^3+95{x_3}^2$，令 $\displaystyle y_1=x_1+x_2+x_3,y_2=x_2+2x_3,y_3=x_3$，得 $\displaystyle f={y_1}^2+{y_2}^2+95{y_3}^2$
 
-**题后总结：** 配方法主要要注意，第一次配要把 $x_1$ 配干净，即在括号外面没有含 $x_1$ 的项，第二次就是 $x_2$，以此类推。
+**题后总结：** 配方法主要要注意，<span style='color:red'>第一次配要把</span> $\color{red}x_1$ <span style='color:red'>配干净</span>，即在括号外面没有含 $x_1$ 的项，第二次就是 $x_2$，以此类推。
 
 >[!example] 例题
 >设二次型 $\displaystyle f(x_1,x_2,x_3)=ax_1^2+2x_2^2-2x_3^2+2bx_1x_3,(b>0),$ 其中二次型的矩阵特征值之和为 $1$，之积为 $-12$. 求正交变换将二次型化为标准型. 
 
 >[!note] 解：
->二次型的矩阵为 $\displaystyle \boldsymbol A=\begin{bmatrix}1&0&b\\0&2&0\\b&0&-2\end{bmatrix}$，设其特征值分别为 $\lambda_1,\lambda_2,\lambda_3$, 则有$$\lambda_1\lambda_2\lambda_3=|\boldsymbol A|=2(-2a-b^2)=-12,\lambda_1+\lambda_2+\lambda_3=a+2-2=1\implies a=1,b=2.$$从而有$\displaystyle|\lambda\boldsymbol E-\boldsymbol A|=(\lambda-2)^2(\lambda-3)=0\implies \lambda_1=\lambda_2=2,\lambda_3=-3.$
+>二次型的矩阵为 $\displaystyle \boldsymbol A=\begin{bmatrix}1&0&b\\0&2&0\\b&0&-2\end{bmatrix}$，设其特征值分别为 $\lambda_1,\lambda_2,\lambda_3$, 则有$$\begin{aligned}\lambda_1\lambda_2\lambda_3=|\boldsymbol A|=2(-2a&-b^2)=-12,\lambda_1+\lambda_2+\lambda_3=a+2-2=1\\&\implies a=1,b=2.\end{aligned}$$从而有$\displaystyle|\lambda\boldsymbol E-\boldsymbol A|=(\lambda-2)^2(\lambda-3)=0\implies \lambda_1=\lambda_2=2,\lambda_3=-3.$
 >考虑 $\lambda=2$，则 $\displaystyle 2\boldsymbol E-\boldsymbol A=\begin{bmatrix}1&0&-2\\0&0&0\\-2&0&4\end{bmatrix}\rightarrow\begin{bmatrix}1&0&-2\\0&0&0\\0&0&0\end{bmatrix}$, 于是特征值 $2$ 的几何重数为 $2$, 对应的线性无关的特征向量可以为 $\displaystyle\xi_1=(2,0,1)^T,\xi_2=(0,1,0)^T$.
 >考虑 $\lambda=-3$，则 $\displaystyle -3\boldsymbol E-\boldsymbol A=\begin{bmatrix}-4&0&-2\\0&-5&0\\-2&0&-1\end{bmatrix}\rightarrow\begin{bmatrix}2&0&1\\0&1&0\\0&0&0\end{bmatrix}$，则特征值 $-3$ 几何重数为 $1$, 对应的特征向量为 $\xi_3=(-1,0,2)^T$.
 >对上述三个特征向量正交化得 $\displaystyle\varepsilon_1=(2/\sqrt{5},0,1/\sqrt{5})^T,\varepsilon_2=(0,1,0)^T,\varepsilon_3=(-1/\sqrt{5},0,2/\sqrt{5})^T,$ 故正交变换为 $\boldsymbol C=\begin{bmatrix}2/\sqrt{5}&0&1/\sqrt{5}\\0&1&0\\-1/\sqrt{5}&0&2/\sqrt{5}\end{bmatrix},$ 标准型为 $\displaystyle f=2y_1^2+2y_2^2-3y_3^2.$
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 >[!note] 证明：
 >设 $\displaystyle \boldsymbol A$ 的特征值分别为 $\lambda_1,\lambda_2,\lambda_3,\lambda_4$,则有 $|\boldsymbol A|=\lambda_1\lambda_2\lambda_3\lambda_4<0$，故四个特征值中有奇数个负数，故必定有正有负，从而二次型 $f$ 是不定的，故存在非零向量 $\displaystyle\boldsymbol c=(c_1,c_2,c_3,c_4)^T$，使得 $\displaystyle f(c_1,c_2,c_3,c_4)=0$.
 
-**题后总结：** 利用特征值正负与正定性的关系，以及特征值之积等于行列式，可以得出结论。**补充：** 正定 $\Leftrightarrow$ 二次型恒大于零（在 $x_i$ 不全为 $0$ 的时候）$\Leftrightarrow$ 特征值全正；半正定 $\Leftrightarrow$ 二次型恒大于等于零（在 $x_i$ 不全为 $0$ 的时候）$\Leftrightarrow$ 特征值全非负；负定 $\Leftrightarrow$ 二次型恒小于零（在 $x_i$ 不全为 $0$ 的时候）$\Leftrightarrow$ 特征值全负；半负定 $\Leftrightarrow$ 二次型恒小于等于零（在 $x_i$ 不全为 $0$ 的时候）$\Leftrightarrow$ 特征值全非正；不定 $\Leftrightarrow$ 二次型有正有负也有零（在 $x_i$ 不全为 $0$ 的时候）$\Leftrightarrow$ 特征值有正有负（可以有零也可以没有）
+**题后总结：** 利用特征值正负与正定性的关系，以及特征值之积等于行列式，可以得出结论。
+**补充：** 
+- 正定 $\Leftrightarrow$ 二次型恒大于零（在 $x_i$ 不全为 $0$ 的时候）$\Leftrightarrow$ 特征值全正；
+- 半正定 $\Leftrightarrow$ 二次型恒大于等于零（在 $x_i$ 不全为 $0$ 的时候）$\Leftrightarrow$ 特征值全非负；
+- 负定 $\Leftrightarrow$ 二次型恒小于零（在 $x_i$ 不全为 $0$ 的时候）$\Leftrightarrow$ 特征值全负；
+- 半负定 $\Leftrightarrow$ 二次型恒小于等于零（在 $x_i$ 不全为 $0$ 的时候）$\Leftrightarrow$ 特征值全非正；
+- 不定 $\Leftrightarrow$ 二次型有正有负也有零（在 $x_i$ 不全为 $0$ 的时候）$\Leftrightarrow$ 特征值有正有负（可以有零也可以没有）
 
 >[!example] 例题
 >证明：已知 $n$ 阶方阵 $\boldsymbol A$ 的特征值全大于 $0$, $\boldsymbol B$ 为 $n$ 半正定矩阵，则对任意 $k>0,l\ge0$，$k\boldsymbol A+l\boldsymbol B$ 正定.
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 >[!note] 证明：
 >由题意，$\boldsymbol A$ 正定，于是 $\boldsymbol x^T\boldsymbol A\boldsymbol x>0,\boldsymbol x\neq\boldsymbol 0$；$\boldsymbol B$ 正定，于是 $\boldsymbol x^T\boldsymbol B\boldsymbol x\ge0,\boldsymbol x\neq\boldsymbol 0$. 则 $\boldsymbol x^T(k\boldsymbol A+l\boldsymbol B)\boldsymbol x=k\boldsymbol x^T\boldsymbol A\boldsymbol x+l\boldsymbol x^T\boldsymbol B\boldsymbol x>0$，于是由定义，$k\boldsymbol A+l\boldsymbol B$ 正定.
 
-**题后总结：** 正定性很多时候都需要用定义来判断。
+**题后总结：** 正定性很多时候都需要用定义来判断。不要忘记定义！
 
 >[!example] 例题
 >已知二次型 $\displaystyle f(x_1,x_2,x_3)=x_1^2+2x_2^2+ax_3^2+2x_1x_3$ 经可逆线性变换 $\boldsymbol x=\boldsymbol P \boldsymbol y$ 化为 $\displaystyle y_1^2+y_2^2$.
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 >$\lambda=0$ 时，$-\boldsymbol A\rightarrow \begin{bmatrix}1&0&1\\0&1&0\\0&0&0\end{bmatrix}$, 取 $\eta_1=(1,0,-1)^T$；
 >$\lambda=2$ 时，$2\boldsymbol E-\boldsymbol A\rightarrow \begin{bmatrix}1&0&-1\\0&0&0\\0&0&0\end{bmatrix}$, 取 $\eta_2=(1,0,1)^T,\eta_3=(0,1,0)^T$. 
 >取 $\boldsymbol P_1=\begin{bmatrix}\eta_3\ \eta_2\ \eta_1\end{bmatrix}$, 则有 $\boldsymbol P_1^T\boldsymbol A\boldsymbol P_1=\begin{bmatrix}2&0&0\\0&2&0\\0&0&0\end{bmatrix},$ 再取 $\boldsymbol P_2=\begin{bmatrix}1/\sqrt{2}&0&0\\0&1/\sqrt{2}&0\\0&0&1\end{bmatrix}$, 有$\boldsymbol P_2^T\boldsymbol P_1^T\boldsymbol A\boldsymbol P_1\boldsymbol P_2=(\boldsymbol P_1\boldsymbol P_2)^T\boldsymbol A(\boldsymbol P_1\boldsymbol P_2)=\begin{bmatrix}1&0&0\\0&1&0\\0&0&0\end{bmatrix}$, 所以 $\boldsymbol P=\boldsymbol P_1\boldsymbol P_2=\begin{bmatrix}0&1/\sqrt{2}&1\\1/\sqrt{2}&0&0\\0&1/\sqrt{2}&-1\end{bmatrix}$.
->（2）由 $\boldsymbol x^T\boldsymbol x=1$ 知 $x_1^2+x_2^2+x_3^2=1$. 
+>（2）由 $\boldsymbol x^T\boldsymbol x=1$ 知 $x_1^2+x_2^2+x_3^2=1$.  由（1）知，存在正交变换 $\boldsymbol x=C\boldsymbol z$，使得 $\displaystyle f\overset{\boldsymbol x=C\boldsymbol z}{=}2(z_1^2+z_2^2)$. 由于正交变换不改变向量长度，有 $z_1^2+z_2^2+z_3^2=1\Rightarrow z_1^2+z_2^2=1-z_3^2$, 带入得 $$f=2(1-z_3^2)\le2, \text{等号当且仅当} z_3=0 \text{时取得.}$$
+>由（1），可取正交矩阵 $\displaystyle C=\begin{bmatrix}\frac{1}{\sqrt{2}} & 0 & \frac{1}{\sqrt{2}} \\0 & 1 & 0 \\\frac{1}{\sqrt{2}} & 0 & -\frac{1}{\sqrt{2}}\end{bmatrix}$，则 $\displaystyle \boldsymbol x=\begin{bmatrix}\frac{z_1}{\sqrt{2}} \\ z_2 \\ \frac{z_1}{\sqrt{2}}\end{bmatrix}$. 当 $x_1=x_2$ 时， $\displaystyle z_1=\sqrt 2z_2=\frac{\sqrt 6}{3}\Rightarrow x_1=x_2=x_3=\frac{1}{\sqrt 3}$. 故 当$\boldsymbol x=\begin{bmatrix}\frac{1}{\sqrt{3}} \\[4pt]\frac{1}{\sqrt{3}} \\[4pt]\frac{1}{\sqrt{3}}\end{bmatrix}$ 时，$f_{\max}=2.$
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+**题后总结：** （1）二次型里面求变换矩阵和原矩阵的题目都很多，这里取一道求变换矩阵的。要注意：<span style="color:red">变换矩阵中列向量排列的顺序要和它对应的特征值一致</span>。比如如果把题设条件改成 “化为 $y_1^2+y_3^2$ ”，那得出的变换矩阵 $P$ 就不是这样的。
+求变换矩阵的一般步骤是：
+1. 求特征值及对应的线性无关的特征向量；
+2. 如果需要正交化就把特征向量组进行正交化‘
+3. 按照题目要求的顺序拼接特征向量得到初步的变换矩阵 $P_1$；
+4. 再按照题目要求的系数大小配凑一个对角矩阵 $P_2$；
+5. 得到最终的变换矩阵 $P=P_1P_2$.
+（2）这是一问是求特定条件下二次型的最值。关键是找到这个正交矩阵，利用题设条件变形即可得出答案。这道题还要求我们把正交变换求出来——那就求嘛！
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+>[!example] 例题
+>$t$ 为何值时，二次型 $f(x_1,x_2,x_3,x_4)=x_1^2+x_2^2+x_3^2+3tx_4^2+tx_1x_2+2tx_3x_4$ 是正定的？
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+>[!note] 解：
+>二次型对应的矩阵为 $A=\begin{bmatrix}1 & \dfrac{t}{2} & 0 & 0 \\[6pt]\dfrac{t}{2} & 1 & 0 & 0 \\[6pt]0 & 0 & 1 & t \\[6pt]0 & 0 & t & 3t\end{bmatrix}.$ 由于二次型是正定的，故其矩阵的顺序主子式均大于零，所以$$\begin{vmatrix} 1 & \dfrac{t}{2} \\ \dfrac{t}{2} & 1 \end{vmatrix} = 1 - \dfrac{t^2}{4}>0,\begin{vmatrix}1 & \dfrac{t}{2} & 0 \\\dfrac{t}{2} & 1 & 0 \\0 & 0 & 1\end{vmatrix}=1-\dfrac{t^2}{4}>0,$$
+>$$|A|=\begin{vmatrix}1 & \dfrac{t}{2} & 0 & 0 \\[6pt]\dfrac{t}{2} & 1 & 0 & 0 \\[6pt]0 & 0 & 1 & t \\[6pt]0 & 0 & t & 3t\end{vmatrix}=(1 - \dfrac{t^2}{4})(3t-t^2)>0,$$故 $0<t<2.$
+
+**题后总结：** 利用顺序主子式讨论正定性，这是讨论<span style="color:red">带参数</span>的二次型正定性的主要方法。
 
+## 合同
+我们一般只讨论实对称矩阵的合同关系。由于实对称矩阵一定可相似对角化，且特征值一定为实数，故只要两个实对称矩阵的特征值正负惯性指数相同，它们就是合同的。另外，合同是一种等价关系，具有传递性，所以我们可以把一个矩阵合同变换化为对角矩阵，然后再判断它与其他矩阵是否合同。