From 1f09e12286fc1f1aec968c126b3db2c97c67bd21 Mon Sep 17 00:00:00 2001 From: =?UTF-8?q?=E7=8E=8B=E8=BD=B2=E6=A5=A0?= Date: Fri, 23 Jan 2026 09:05:21 +0800 Subject: [PATCH] vault backup: 2026-01-23 09:05:21 --- 素材/整合素材/正交及二次型.md | 27 +++++++++-------------- 编写小组/试卷/积佬卷.md | 25 +++++++++------------ 2 files changed, 21 insertions(+), 31 deletions(-) diff --git a/素材/整合素材/正交及二次型.md b/素材/整合素材/正交及二次型.md index d33dc6c..8cfadb8 100644 --- a/素材/整合素材/正交及二次型.md +++ b/素材/整合素材/正交及二次型.md @@ -60,23 +60,19 @@ $$-2l + l^2 k^2 = 0 \implies l(l k^2 - 2) = 0$$ >由伴随矩阵的定义，其第 $(j,i)$ 元为 $a_{ij}$​ 的代数余子式 $A_{ij}$​，而 $\pm A^T$ 的第 $(j,i)$ 元为 $±a_{ij}$​。比较对应元素得$A_{ij}​=±a_{ij}​,i,j=1,2,…,n.$ >证毕 ## 施密特正交化法 -### **定理** -设$\boldsymbol{\alpha}_1,\boldsymbol{\alpha}_2,\dots,\boldsymbol{\alpha}_p$ 是向量空间 $V$ 中的线性无关向量组，则 -如下方法所得向量组$\boldsymbol{\varepsilon}_1,\boldsymbol{\varepsilon}_2,\dots,\boldsymbol{\varepsilon}_p$ -施密特正交化与单位化公式 -正交化过程 + +设 $\boldsymbol{\alpha}_1,\boldsymbol{\alpha}_2,\dots,\boldsymbol{\alpha}_p$ 是向量空间 $V$ 的一组基，则用如下方法所得向量组 $\boldsymbol{\varepsilon}_1,\boldsymbol{\varepsilon}_2,\dots,\boldsymbol{\varepsilon}_p$ 为 $V$ 的一组标准正交基 $$\begin{align*} \boldsymbol{u}_1 &= \boldsymbol{\alpha}_1, \\ \boldsymbol{u}_k &= \boldsymbol{\alpha}_k - \sum_{i=1}^{k-1}\frac{\langle\boldsymbol{\alpha}_k,\boldsymbol{u}_i\rangle}{\langle\boldsymbol{u}_i,\boldsymbol{u}_i\rangle}\boldsymbol{u}_i,\quad k=2,3,\dots,p. \end{align*}$$ -单位化过程 +单位化得 $$\boldsymbol{\varepsilon}_k = \frac{\boldsymbol{u}_k}{\|\boldsymbol{u}_k\|},\quad k=1,2,3,\dots,p$$ 还有另一个更加常用的正交化法：$$\begin{aligned} \boldsymbol u_1&=\boldsymbol\alpha_1,\boldsymbol\varepsilon_1=\dfrac{\boldsymbol u_1}{\|\boldsymbol u_1\|},\\ -\boldsymbol u_k&=\boldsymbol\alpha_k-\sum_{i=1}^{k-1}\langle\boldsymbol\varepsilon_i,\boldsymbol\alpha_i\rangle\boldsymbol\varepsilon_i,\boldsymbol\varepsilon_k=\dfrac{\boldsymbol u_k}{\|\boldsymbol u_k\|}(k=2,3,\cdots,n). +\boldsymbol u_k&=\boldsymbol\alpha_k-\sum_{i=1}^{k-1}\langle\boldsymbol\varepsilon_i,\boldsymbol\alpha_k\rangle\boldsymbol\varepsilon_i,\boldsymbol\varepsilon_k=\dfrac{\boldsymbol u_k}{\|\boldsymbol u_k\|}(k=2,3,\cdots,p). \end{aligned}$$ - ### **例子** >[!example] **例3** 已知 $\boldsymbol{\alpha}_1,\boldsymbol{\alpha}_2,\dots,\boldsymbol{\alpha}_5$ 为欧氏空间 $V$ 的一组标准正交基，令$$\boldsymbol{\beta}_1 = \boldsymbol{\alpha}_1+\boldsymbol{\alpha}_3,\quad @@ -94,17 +90,15 @@ $U = \text{span}\{\boldsymbol{\beta}_1,\boldsymbol{\beta}_2,\boldsymbol{\beta}_3 >$$\boldsymbol{\gamma}_3=\boldsymbol{\beta}_3-\dfrac{\langle\boldsymbol{\beta}_3,\boldsymbol{\gamma}_1\rangle}{\langle\boldsymbol{\gamma}_1,\boldsymbol{\gamma}_1\rangle}\boldsymbol{\gamma}_1-\dfrac{\langle\boldsymbol{\beta}_3,\boldsymbol{\gamma}_2\rangle}{\langle\boldsymbol{\gamma}_2,\boldsymbol{\gamma}_2\rangle}\boldsymbol{\gamma}_2$$ >$$\langle\boldsymbol{\beta}_3,\boldsymbol{\gamma}_1\rangle=3,\quad \langle\boldsymbol{\beta}_3,\boldsymbol{\gamma}_2\rangle=0$$ ->$$\boldsymbol{\gamma}_3=\frac{1}{2}\boldsymbol{\alpha}_1+\boldsymbol{\alpha}_2-\frac{1}{2}\boldsymbol{\alpha}_3$$ +>$$\boldsymbol{\gamma}_3=-\boldsymbol{\alpha}_1+2\boldsymbol{\alpha}_2+\boldsymbol{\alpha}_3+3\boldsymbol\alpha_4$$ >步骤2：单位化 $$\boldsymbol{\varepsilon}_1=\dfrac{\boldsymbol{\gamma}_1}{\|\boldsymbol{\gamma}_1\|}=\dfrac{\boldsymbol{\alpha}_1+\boldsymbol{\alpha}_3}{\sqrt{2}}$$ -$$\|\boldsymbol{\gamma}_2\|=\sqrt{\dfrac{5}{2}}$$ -$$\boldsymbol{\varepsilon}_2=\dfrac{\boldsymbol{\alpha}_1-2\boldsymbol{\alpha}_2-\boldsymbol{\alpha}_3+2\boldsymbol{\alpha}_4}{\sqrt{10}}$$ -$$\|\boldsymbol{\gamma}_3\|=\sqrt{\dfrac{3}{2}}$$ -$$\boldsymbol{\varepsilon}_3=\dfrac{\boldsymbol{\alpha}_1+2\boldsymbol{\alpha}_2-\boldsymbol{\alpha}_3}{\sqrt{6}}$$ +$$\|\boldsymbol{\gamma}_2\|=\sqrt{\dfrac{5}{2}},\boldsymbol{\varepsilon}_2=\dfrac{\boldsymbol{\alpha}_1-2\boldsymbol{\alpha}_2-\boldsymbol{\alpha}_3+2\boldsymbol{\alpha}_4}{\sqrt{10}}$$ +$$\|\boldsymbol{\gamma}_3\|=\sqrt{\dfrac{3}{2}},\boldsymbol{\varepsilon}_3=\dfrac{-\boldsymbol{\alpha}_1+2\boldsymbol{\alpha}_2+\boldsymbol{\alpha}_3+3\boldsymbol\alpha_4}{\sqrt{19}}$$ >$U$ 的标准正交基为 >$$\boldsymbol{\varepsilon}_1=\frac{\boldsymbol{\alpha}_1+\boldsymbol{\alpha}_3}{\sqrt{2}},\quad \boldsymbol{\varepsilon}_2=\frac{\boldsymbol{\alpha}_1-2\boldsymbol{\alpha}_2-\boldsymbol{\alpha}_3+2\boldsymbol{\alpha}_4}{\sqrt{10}},\quad -\boldsymbol{\varepsilon}_3=\frac{\boldsymbol{\alpha}_1+2\boldsymbol{\alpha}_2-\boldsymbol{\alpha}_3}{\sqrt{6}}$$ +\boldsymbol{\varepsilon}_3=\dfrac{-\boldsymbol{\alpha}_1+2\boldsymbol{\alpha}_2+\boldsymbol{\alpha}_3+3\boldsymbol\alpha_4}{\sqrt{19}}$$ >[!example] **例4** >已知 $A$ $=$ $[\boldsymbol{\alpha}_1\ \boldsymbol{\alpha}_2\ \boldsymbol{\alpha}_3\ \boldsymbol{\alpha}_4]$ 为正交矩阵，其中 @@ -112,9 +106,8 @@ $$\boldsymbol{\varepsilon}_3=\dfrac{\boldsymbol{\alpha}_1+2\boldsymbol{\alpha}_2 \boldsymbol{\alpha}_4 = \frac{1}{6}\begin{bmatrix}2\sqrt{6}\\0\\-\sqrt{6}\\-\sqrt{6}\end{bmatrix}$$ 试求一个$\boldsymbol{\alpha}_1$ 和一个 $\boldsymbol{\alpha}_2$。 - >[!note] **解析** ->$\boldsymbol{\alpha}_1,\boldsymbol{\alpha}_2$必须与 $\boldsymbol{\alpha}_3,\boldsymbol{\alpha}_4$都正交，且$\boldsymbol{\alpha}_1 与 \boldsymbol{\alpha}_2$ 也正交，模长为1。 +>$\boldsymbol{\alpha}_1,\boldsymbol{\alpha}_2$必须与 $\boldsymbol{\alpha}_3,\boldsymbol{\alpha}_4$都正交，且$\boldsymbol{\alpha}_1 与 \boldsymbol{\alpha}_2$ 也正交，模长为 $1$。 >设 $\boldsymbol{x}=(x_1,x_2,x_3,x_4)^T$，正交条件等价于方程组： >$$\begin{cases} \langle\boldsymbol{x},\boldsymbol{\alpha}_3\rangle = x_1 - 2x_2 + 2x_4 = 0\\ @@ -122,7 +115,7 @@ $$\boldsymbol{\varepsilon}_3=\dfrac{\boldsymbol{\alpha}_1+2\boldsymbol{\alpha}_2 \end{cases}$$ >解上述齐次方程组,得到两个线性无关的解： >$$\boldsymbol{\xi}_1=(2,1,4,0)^T,\quad -\boldsymbol{\xi}_2=(0,1,0,1)^T$$ +\boldsymbol{\xi}_2=(0,1,-1,1)^T$$ >正交化 >$$\boldsymbol{\beta}_1 = \boldsymbol{\xi}_1 = (2,1,4,0)^T$$ >$$\boldsymbol{\beta}_2 = \boldsymbol{\xi}_2 - \frac{\langle\boldsymbol{\xi}_2,\boldsymbol{\beta}_1\rangle}{\langle\boldsymbol{\beta}_1,\boldsymbol{\beta}_1\rangle}\boldsymbol{\beta}_1 diff --git a/编写小组/试卷/积佬卷.md b/编写小组/试卷/积佬卷.md index 4cd21db..13f63f9 100644 --- a/编写小组/试卷/积佬卷.md +++ b/编写小组/试卷/积佬卷.md @@ -21,42 +21,39 @@ (D)$2f(a)$ 2. 设$y = f(x)$为区间$[0,1]$上单调增加的连续函数，且$f(0) = 0$，$f(1) = 2$，$x = g(y)$为 -$y = f(x)$的反函数。若$\int_{0}^{1} f(x) \, dx = \frac{1}{3}$，则$\int_{0}^{2} g(y) \, dy$的值为（ ）。 +$y = f(x)$的反函数。若$\displaystyle\int_{0}^{1} f(x) \, dx = \frac{1}{3}$，则$\displaystyle\int_{0}^{2} g(y) \, dy$的值为（ ）。 (A)$\frac{1}{3}$ (B)$\frac{2}{3}$ (C)$\frac{4}{3}$ (D)$\frac{5}{3}$ -3. 已知函数$f(x), g(x)$在$(-\infty, +\infty)$内可导，且$f'(x) > 0, g'(x) < 0$，则（ ）。 +3. 已知函数$\displaystyle f(x), g(x)$在$\displaystyle(-\infty, +\infty)$内可导，且$f'(x) > 0, g'(x) < 0$，则（ ）。 -(A)$$\int_0^1 f(x) dx > \int_1^2 f(x) dx$$ +(A)$\displaystyle\int_0^1 f(x) \text{d}x > \int_1^2 f(x) \text{d}x$ -(B)$$\int_0^1 |f(x)| dx > \int_1^2 |f(x)| dx$$ +(B)$\displaystyle\int_0^1 |f(x)| dx > \int_1^2 |f(x)| dx$ -(C)$$\int_0^1 f(x)g(x) dx > \int_1^2 f(x)g(x) dx$$ +(C)$\displaystyle\int_0^1 f(x)g(x) dx > \int_1^2 f(x)g(x) dx$ -(D)$$\int_0^1 f[g(x)] dx > \int_1^2 f[g(x)] dx$$ +(D)$\displaystyle\int_0^1 f[g(x)] dx > \int_1^2 f[g(x)] dx$ --- ## 二、填空题（共5小题，每小题3分，共15分） -4. 不定积分$$\int \frac{1}{x(1+2\ln x)} \, dx =$$ +4. 不定积分$\displaystyle\int \frac{1}{x(1+2\ln x)} \, dx =\underline{\qquad}$ -5. 定积分$$\int_{-1}^{1} \frac{x\left(\cos x + x\right)}{1+x^2} \, dx$$的值为 +5. 定积分$\displaystyle\int_{-1}^{1} \frac{x\left(\cos x + x\right)}{1+x^2} \, dx$的值为$\underline{\qquad}.$ -6. 已知$$\int f(x) \, dx = \arctan x + C$$则$f'(x) =$ +6. 已知$\displaystyle\int f(x) \, dx = \arctan x + C$则 $f'(x) =\underline{\qquad}.$ --- ## 三、解答题（共8小题，共54分） -7. （6分）计算极限 -$$ - \lim_{x\to 0}\frac{x\int_{0}^{x}\sqrt{1 + t^{4}}\mathrm{d}t}{x - \ln(1 + x)}. -$$ +7. （6分）计算极限 $\displaystyle\lim_{x\to 0}\frac{x\int_{0}^{x}\sqrt{1 + t^{4}}\mathrm{d}t}{x - \ln(1 + x)}.$ -8. （6分）计算不定积分 +8. （6分）计算不定积分 $$ \int \frac{2 - \sqrt{2x + 1}}{2 + \sqrt{2x + 1}}\mathrm{d}x $$