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编写小组/讲义/子数列问题&考试易错点汇总.md

@@ -185,52 +185,47 @@ $$
 >[!example] **例1**（拉链定理）
  >设级数$\sum\limits_{n=1}^{\infty}(a_{2n-1}+a_{2n})$收敛于S，且$\lim\limits_{n \to \infty}a_n=0$，证明：级数$\sum\limits_{n=1}^{\infty}a_n$收敛于S。
  
-**解析**
-设$\sum\limits_{n=1}^{\infty}a_n$的部分和为$S_n$，则$\sum\limits_{n=1}^{\infty}(a_{2n-1}+a_{2n})$的部分和$T_n=S_{2n}$。
-因$\sum\limits_{n=1}^{\infty}(a_{2n-1}+a_{2n})$收敛于S，即有$\lim\limits_{n \to \infty}T_n=S$，所以$\lim\limits_{n \to \infty}S_{2n}=S$。
-又
-$$\lim\limits_{n \to \infty}S_{2n+1}=\lim\limits_{n \to \infty}(S_{2n}+a_{2n+1})=\lim\limits_{n \to \infty}S_{2n}+\lim\limits_{n \to \infty}a_{2n+1}=S$$
-于是由拉链原理知$\lim\limits_{n \to \infty}S_n=S$，所以由级数收敛定义知级数$\sum\limits_{n=1}^{\infty}a_n$收敛于S。
- 
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 >[!example] **例2**（拉链定理）
 >设$$a_n = \left(1 + \frac{1}{n}\right) \cdot \sin\frac{n\pi}{2}$$
 >证明：数列$\{a_n\}$的极限不存在。
 >
 
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-**解析**
-    核心方法
-    利用数列子列的性质：若数列$\{a_n\}$收敛，则其所有子列必收敛于同一极限；若存在两个子列收敛于不同值，则原数列极限不存在。
-    步骤1：构造第一个子列$\{a_{4k}\}（k\in\mathbb{N_+}$
-    当n=4k时，
-    $$\sin\frac{4k\pi}{2} = \sin2k\pi = 0$$        因此
-    $$a_{4k} = \left(1 + \frac{1}{4k}\right) \cdot 0 = 0$$
-    取极限得：
-$$\lim_{k \to \infty}a_{4k} = \lim_{k \to \infty}0 = 0$$
-    步骤2：构造第二个子列$$\{a_{4k+1}\}（k\in\mathbb{N_+}）$$
-    当n=4k+1时，
-$$\sin\frac{(4k+1)\pi}{2} = \sin\left(2k\pi + \frac{\pi}{2}\right) = 1$$
-     因此
-$$a_{4k+1} = \left(1 + \frac{1}{4k+1}\right) \cdot 1 = 1 + \frac{1}{4k+1}$$
-     取极限得：
-$$\lim_{k \to \infty}a_{4k+1} = \lim_{k \to \infty}\left(1 + \frac{1}{4k+1}\right) = 1$$
-    步骤3：结论
-    由于子列$\{a_{4k}\}$收敛于0，子列$\{a_{4k+1}\}$收敛于1，二者极限不相等，故数列$\{a_n\}$的极限不存在。
 
 
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 >[!example] **例3**（海涅定理）
 > 证明狄利克雷函数
 $$D(x)= \begin{cases}1, & x\text{为有理数时}, \\ 0, & x\text{为无理数时}\end{cases}$$
 在$(-\infty,+\infty)$上每一点都不存在极限。
 
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-**解析**
-1. 构造第一个数列$\{x_n^{(1)}\}$：
-   取$x_n^{(1)} = x_0 + \frac{1}{n}$（有理数），则$$\lim\limits_{n \to \infty} x_n^{(1)} = x_0$$由于$x_n^{(1)}$是有理数，所以$D(x_n^{(1)}) = 1$，因此$$\lim\limits_{n \to \infty} D(x_n^{(1)}) = 1$$
-2. 构造第二个数列$\{x_n^{(2)}\}$：
-   取$x_n^{(2)} = x_0 + \frac{\sqrt{2}}{n}$（无理数），则$$\lim\limits_{n \to \infty} x_n^{(2)} = x_0$$由于x_n^{(2)}是无理数，所以$D(x_n^{(2)}) = 0$，因此$$\lim\limits_{n \to \infty} D(x_n^{(2)}) = 0$$由于$$\lim\limits_{n \to \infty} D(x_n^{(1)}) = 1 \neq 0 = \lim\limits_{n \to \infty} D(x_n^{(2)})$$根据海涅定理，$\lim\limits_{x \to x_0} D(x)$不存在。
-   由于$x_0$是任意一点，所以狄利克雷函数在任何点处都不存在极限。
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 # 考试易错点总结
@@ -240,122 +235,99 @@ $$D(x)= \begin{cases}1, & x\text{为有理数时}, \\ 0, & x\text{为无理数
 >[!example] 例1
  >设函数 $y = \ln(1 + \sin^2 x)$，求其微分 $dy$。
 
-**解**：
-对方程 $y = \ln(1 + \sin^2 x)$ 两边关于 $x$ 求导。
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-$$ y‘ = \frac{1}{1+\sin^2 x} \cdot (2\sin x \cos x) = \frac{\sin 2x}{1+\sin^2 x} $$
 
-根据微分的定义，$dy = y’ dx$，故
 
-$$ dy = \frac{\sin 2x}{1+\sin^2 x} dx $$
-注意：不要漏写 $dx$ ！
+
+```
 
 ## **Vol.2等价无穷小问题**
+
 注意，等价无穷小只能用于乘除，用于加减虽然有时也会得到正确的答案，但这并不是有保证的。归根到底这是因为等价无穷小是一种**近似**，在乘除中它的近似程度还可以用，但在加减中就未必了，加减中我们需要更精确的近似方法：泰勒展开。另外重要极限也是等价无穷小的两种特殊情况。
->[!example] 例题
->求极限$$\lim\limits_{x\to0}\frac{tanx-sinx}{x^3}$$.
 
-**解**：如果直接用$tanx\sim x,sinx\sim x(x\to0)$的话，分子就会变成$0$，从而极限为$0$.
-然而从另一个角度看，$$\lim\limits_{x\to0}\frac{tanx-sinx}{x^3}=\lim\limits_{x\to0}\frac{sinx-sinxcosx}{x^3cosx}=\lim\limits_{x\to0}\frac{sinx(1-cosx)}{x^3}\cdot \frac{1}{cosx}=\lim\limits_{x\to0}\frac{x\cdot\frac{1}{2}x^2}{x^3}=\frac{1}{2}.$$
-两个似乎都有道理，那么到底那个是对的呢？学了泰勒展开之后，我们会知道第二种才是正确的.再看看函数图像我们也能明白这一点.
+>[!example] 例题
+>求极限$$\lim\limits_{x\to0}\frac{tanx-sinx}{x^3}$$
 
-![[易错点-等价无穷小.png]]
+```
 
-## Vol. 3:可去间断点的说明
 
->[!example] 例2
- >求曲线 $y = \frac{x^2 + 2x - 3}{x^2 - 3x + 2}$ 的所有渐近线。
 
-**解**：
 
-函数在分母为零的点无定义。令 $x^2 - 3x + 2 = 0$，解得 $x = 1$ 和 $x = 2$。
 
-**注：必须对这两个点分别进行讨论**。
 
-在 $x = 1$ 处：
 
-$$ \lim_{x \to 1} y = \lim_{x \to 1} \frac{(x+3)(x-1)}{(x-1)(x-2)} = \lim_{x \to 1} \frac{x+3}{x-2} = -4 $$
 
-极限存在且为有限值，故 $x = 1$ 是**可去间断点**，该点处**没有**铅直渐近线。
+```
 
-在 $x = 2$ 处：
+## Vol. 3:可去间断点的说明
 
-$$ \lim_{x \to 2} y = \lim_{x \to 2} \frac{x+3}{x-2} = \infty $$
+>[!example] 例2
+ >求曲线 $y = \frac{x^2 + 2x - 3}{x^2 - 3x + 2}$ 的所有渐近线。
 
-故 $x = 2$ 处有一条**铅直渐近线** $x = 2$。
+```
 
-**求水平(&斜)渐近线**：
 
-$$ \lim_{x \to \infty} y = \lim_{x \to \infty} \frac{1 + \frac{2}{x} - \frac{3}{x^2}}{1 - \frac{3}{x} + \frac{2}{x^2}} = 1 $$
 
-因此，曲线有一条**水平渐近线** $y = 1$，无**斜渐近线**
 
-**结论**：曲线的渐近线为 $x = 2$ 和 $y = 1$。
 
-## Vol. 4:正项级数的判别法勿滥用
->[!example] 例3
- >判断级数 $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^{n} n^2}{3^n}$ 的敛散性（绝对收敛、条件收敛或发散）。
 
-**错误做法示范**：观察级数 $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^{n} n^2}{3^n}$，若直接对其使用比值判别法：
 
-    $$ \lim_{n \to \infty} \left| \frac{u_{n+1}}{u_n} \right| = \lim_{n \to \infty} \frac{(n+1)^2 / 3^{n+1}}{n^2 / 3^n} = \frac{1}{3} < 1 $$
 
+```
 
-若由此断言“原级数收敛”，则犯了**滥用判别法**的错误。因为比值判别法（及比较、根值判别法）仅
+## Vol. 4:正项级数的判别法勿滥用
+>[!example] 例3
+ >判断级数 $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^{n} n^2}{3^n}$ 的敛散性（绝对收敛、条件收敛或发散）。
 
-在判定**正项级数**时，其结论（收敛）才直接适用于原级数本身。
+```
 
-**正确解法**：
 
-这是一个**任意项级数**（具体为交错级数）。
 
- 判断其敛散性，应先考察其是否**绝对收敛**。即，考虑由各项绝对值构成的**正项级数**：
 
-$$ \sum_{n=1}^{\infty} \left| \frac{(-1)^{n} n^2}{3^n} \right| = \sum_{n=1}^{\infty} \frac{n^2}{3^n} $$
 
-对上述**正项级数**使用比值判别法（此时使用是完全正确的）：
 
-$$ \lim_{n \to \infty} \frac{a_{n+1}}{a_n} = \frac{1}{3} < 1 $$
 
-故该正项级数收敛。
 
-根据定义，若一个级数的绝对值级数收敛，则该级数**绝对收敛**。绝对收敛的级数必然收敛。
+```
 
 ## Vol. 5:误用p级数
 **机械地套用p级数结论，而忽视了其应用前提：指数 `p` 必须是与 `n` 无关的常数。**
 
 > [!example] 例题1：
 >$$判定\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^{1 + \frac{1}{n}}}的敛散性$$
-#### ❌ 经典错误思路
-1.  形式像 `1/n^p`
-2.  "指数"是 `1 + 1/n`
-3.  因为 `1/n > 0`，所以 `p = 1 + 1/n > 1` 恒成立，误判为收敛
-#### ✅ 正确分析与解法
-**错误原因**：`pₙ = 1 + 1/n` 不是常数，其极限为1。
-使用比值审敛法与调和级数 `∑ 1/n` 比较：
-$$\lim_{n \to \infty} \frac{ \frac{1}{n^{1 + \frac{1}{n}}} }{ \frac{1}{n} } = \lim_{n \to \infty} \frac{1}{n^{1/n}} = 1$$
-可知两级数敛散性相同，且调和级数发散 ⇒ 原级数**发散**。
 
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 > [!example] 例题2：
 >$$判定\sum_{n=2}^{\infty} \frac{1}{n \cdot \ln n}的敛散性$$
 
+```
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-#### ❌ 经典错误思路
-无法直接套用p级数，因多了一个 `ln n` 因子。错误地认为 `1/(n ln n) < 1/n`，认为原级数收敛
 
-#### ✅ 正确分析与解法(超纲，仅供拓展)
-**正确解法**（积分判别法）：
-$$
-\int_{2}^{\infty} \frac{dx}{x \ln x} = \int_{\ln 2}^{\infty} \frac{du}{u} = \infty
-$$
-该积分发散 ⇒ 原级数**发散**。
 
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 ## Vol. 6: 条件收敛、绝对收敛、发散
+
 **仅当利用比值/根值判别法判断出$\sum |a_n|$发散时$\Rightarrow$$\sum a_n$发散
 
 #### 基本定义
@@ -365,6 +337,7 @@ $$
 3.  **条件收敛**：如果 $\sum a_n$ 收敛但 $\sum |a_n|$ 发散，则称 $\sum a_n$ **条件收敛**
 
 #### 正确分析：
+
 仅有$\sum |a_n|$ 收敛 ⇒ $\sum a_n$收敛
 **证明**：
 - 使用柯西收敛准则。对于任意 $\varepsilon > 0$：
@@ -438,7 +411,6 @@ $$L = \lim_{n \to \infty} \sqrt[n]{|a_n|}$$
 >（A）左右导数都存在                                         （B）左导数存在，右导数不存在   
 >（C）左导数不存在，右导数存在                                     （D）左右导数都不存在
 
-**解：**$f(1)=\frac{2}{3},f'_-(1)=\lim\limits_{x\to1^-}\frac{\frac{2}{3}x-\frac{2}{3}}{x-1}=\frac{2}{3},f'_+(1)=\lim\limits_{x\to1^+}\frac{x^2-\frac{2}{3}}{x-1}=+\infty$,故左导数存在，右导数不存在，选$B$.
 
 ## **Vol.8绝对收敛级数**
 绝对收敛的级数满足加法交换律，也就是说，交换各项的顺序不会导致最后结果的改变。但条件收敛的级数是不满足交换律的，改变加法的顺序可能会导致最后结果的改变，甚至可能使原本收敛的级数变成发散级数。这一点了解就行，不会出题目给大家考。
@@ -456,11 +428,16 @@ $\frac{dy}{dx}=\frac{1}{f'(y)}=\frac{1}{f'(f^{-1}(x))}$
 > [!example] 例1
 > 求$d(\arcsin x)$
 
-解：设$y=\arcsin x$，即$x=\sin y$，$dx=\cos y\ dy$，即$dy=\frac{dx}{\cos y}$
-作辅助三角形
-![[易错点9-1.png]]
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+
 
-得$\cos y=\sqrt{1-x^2}$，综上，$dy=\frac{dx}{\sqrt{1-x^2}}$，即$d(\arcsin x)=\frac{dx}{\sqrt{1-x^2}}$
+```
 
 ## Vol. 10: 无界与无穷大的辨析
 很多人都觉得无界和无穷大是同一个概念，因为它们的实在是太像了：画在坐标系上都是“直指苍穹🚀”或者“飞流直下三千尺”嘛！但是，“无界”准确来说不完全是这样。要准确辨析它们，需要回到它们的**定义**上：