Merge remote-tracking branch 'origin/develop' into develop

编写小组/试卷/1231线性代数考试卷（解析版）.md

@@ -0,0 +1,390 @@
+## 一、选择题，共六道，每题3分，共18分
+
+1. 设 $A$ 为 $n$ 阶对称矩阵，$B$ 为 $n$ 阶反对称矩阵，下列矩阵中为反对称矩阵的是【 】
+
+   (A) $AB - BA$;  
+   (B) $AB + BA$;  
+   (C) $BAB$;  
+   (D) $(AB)^2$.
+
+2.  设 $e_1, e_2$ 和 $\varepsilon_1, \varepsilon_2$ 是线性空间 $\mathbb{R}^2$ 的两组基，并且已知关系式  
+$$
+\varepsilon_1 = e_1 + 5e_2,\quad \varepsilon_2 = e_2,
+$$  
+则由基 $e_1, e_2$ 到基 $\varepsilon_1, \varepsilon_2$ 的过渡矩阵是  
+
+$$
+(A) \begin{bmatrix}
+-1 & 0 \\
+5 & -1
+\end{bmatrix} \quad
+(B) \begin{bmatrix}
+0 & -1 \\
+-6 & 0
+\end{bmatrix} \quad
+(C) \begin{bmatrix}
+1 & 0 \\
+-5 & -1
+\end{bmatrix} \quad
+(D) \begin{bmatrix}
+1 & 0 \\
+-5 & 1
+\end{bmatrix}.
+$$
+
+---
+
+解析：
+
+$$
+\varepsilon_1 = e_1 + 5e_2,\quad \varepsilon_2 = 0e_1 + 1e_2.
+$$
+
+把它们按列排成矩阵形式：
+
+$$
+[\varepsilon_1, \varepsilon_2] = [e_1, e_2] 
+\begin{pmatrix}
+1 & 0 \\
+5 & 1
+\end{pmatrix}.
+$$
+
+基变换矩阵为：
+
+$$
+T = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 5 & 1 \end{pmatrix}.
+$$
+$$
+\quad 
+T^{-1} = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ -5 & 1 \end{pmatrix}.
+$$
+$\quad T^{-1} = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ -5 & 1 \end{pmatrix}$是坐标变换矩阵，即为过渡矩阵，选D
+
+---
+
+3. 设向量组  
+   $$
+   \alpha_1 = (0, 0, c_1)^T,\quad 
+   \alpha_2 = (0, 1, c_2)^T,\quad 
+   \alpha_3 = (1, -1, c_3)^T,\quad 
+   \alpha_4 = (-1, 1, c_4)^T,
+   $$  
+   其中 $c_1, c_2, c_3, c_4$ 为任意常数，则下列向量组线性相关的是【 】
+
+   (A) $\alpha_1, \alpha_2, \alpha_3$;  
+   (B) $\alpha_1, \alpha_2, \alpha_4$;  
+   (C) $\alpha_1, \alpha_3, \alpha_4$;  
+   (D) $\alpha_2, \alpha_3, \alpha_4$.
+
+4. 设 $A, B$ 为 $n$ 阶矩阵，则【 】
+
+   (A) $\text{rank}[A \ AB] = \text{rank} A$;  
+   (B) $\text{rank}[A \ BA] = \text{rank} A$;  
+   (C) $\text{rank}[A \ B] = \max\{\text{rank} A, \text{rank} B\}$;  
+   (D) $\text{rank}[A \ B] = \text{rank}[A^T \ B^T]$.
+
+5. 设 $A$ 可逆，将 $A$ 的第一列加上第二列的 2 倍得到 $B$，则 $A^*$ 与 $B^*$ 满足【 】
+
+   (A) 将 $A^*$ 的第一列加上第二列的 2 倍得到 $B^*$;  
+   (B) 将 $A^*$ 的第一行加上第二行的 2 倍得到 $B^*$;  
+   (C) 将 $A^*$ 的第二列加上第一列的 $(-2)$ 倍得到 $B^*$;  
+   (D) 将 $A^*$ 的第二行加上第一行的 $(-2)$ 倍得到 $B^*$.
+
+6. 已知方程组
+   $$
+   \text{(I)} \quad
+   \begin{cases}
+   x_1 + 2x_2 + 3x_3 = 0, \\
+   2x_1 + 3x_2 + 5x_3 = 0, \\
+   x_1 + x_2 + ax_3 = 0,
+   \end{cases}
+   $$
+   与
+   $$
+   \text{(II)} \quad
+   \begin{cases}
+   x_1 + bx_2 + cx_3 = 0, \\
+   2x_1 + b^2x_2 + (c+1)x_3 = 0
+   \end{cases}
+   $$
+   同解，则【 】
+
+   (A) $a = 1, b = 0, c = 1$;  
+   (B) $a = 1, b = 1, c = 2$;  
+   (C) $a = 2, b = 0, c = 1$;  
+   (D) $a = 2, b = 1, c = 2$.
+
+## 二、填空题，共六道，每题3分，共18分
+
+7. 已知向量 $\alpha_1 = (1,0,-1,0)^T$，$\alpha_2 = (1,1,-1,-1)^T$，$\alpha_3 = (-1,0,1,1)^T$，则向量 $\alpha_1 + 2\alpha_2$ 与 $2\alpha_1 + \alpha_3$ 的内积
+   $$
+   \langle \alpha_1 + 2\alpha_2,\, 2\alpha_1 + \alpha_3 \rangle = \underline{\qquad\qquad}.
+   $$
+
+8. 设2阶矩阵A=$\begin{bmatrix}3&-1\\-9&3\end{bmatrix}$，n为正整数，则$A^n=\underline{\quad\quad}$。
+
+---
+
+解析：
+先计算$A^2$：
+
+$$A^2 
+= \begin{bmatrix}3&-1\\-9&3\end{bmatrix}\begin{bmatrix}3&-1\\-9&3\end{bmatrix} $$
+$$= \begin{bmatrix}3\times3 + (-1)\times(-9)&3\times(-1) + (-1)\times3\\-9\times3 + 3\times(-9)&-9\times(-1) + 3\times3\end{bmatrix}
+$$$$= \begin{bmatrix}18&-6\\-54&18\end{bmatrix} $$
+$$= 6\begin{bmatrix}3&-1\\-9&3\end{bmatrix} = 6A$$
+ 
+由此递推：
+- $$A^3 = A^2 \cdot A = 6A \cdot A = 6A^2 = 6\times6A = 6^2A$$
+- 归纳可得当$n \geq 1$时，$A^n = 6^{n-1}A$
+ 
+
+ 
+将A代入得：
+$$A^n = 6^{n-1}\begin{bmatrix}3&-1\\-9&3\end{bmatrix} $$
+ ---
+
+
+9. 若向量组
+   $$
+   \alpha_1 = (1,0,1)^T,\quad \alpha_2 = (0,1,1)^T,\quad \alpha_3 = (1,3,5)^T
+   $$
+   不能由向量组
+   $$
+   \beta_1 = (1,1,1)^T,\quad \beta_2 = (1,2,3)^T,\quad \beta_3 = (3,4,a)^T
+   $$
+   线性表示，则
+   $$
+   a = \underline{\qquad\qquad}.
+   $$
+
+10. 设矩阵
+    $$
+    A = \begin{bmatrix}
+    1 & a_1 & a_1^2 & a_1^3 \\
+    1 & a_2 & a_2^2 & a_2^3 \\
+    1 & a_3 & a_3^2 & a_3^3 \\
+    1 & a_4 & a_4^2 & a_4^3
+    \end{bmatrix},\quad
+    x = \begin{bmatrix} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \\ x_4 \end{bmatrix},\quad
+    b = \begin{bmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \\ 1 \end{bmatrix},
+    $$
+    其中常数 $a_1, a_2, a_3, a_4$ 互不相等，则线性方程组 $Ax = b$ 的解为
+    $$
+    \underline{\qquad\qquad\qquad\qquad}.
+    $$
+---
+解析：
+
+一眼顶针，鉴定为：   $$
+   x = (1,0,0,0)^T$$
+---
+
+
+
+11. 
+
+$$
+A^{k} = 0
+$$
+
+$$
+k=     \underline{\qquad\qquad\qquad\qquad}.
+    $$
+12.
+    $$
+    \underline{\qquad\qquad\qquad\qquad}.
+    $$
+
+
+---
+
+12. （10 分）计算 下面的$n$ 阶行列式
+
+    $$
+    D_n = \begin{vmatrix}
+    1 & 2 & 3 & \cdots & n-1 & n \\
+    2 & 1 & 2 & \cdots & n-2 & n-1 \\
+    3 & 2 & 1 & \cdots & n-3 & n-2 \\
+    \vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots & \vdots \\
+    n-1 & n-2 & n-3 & \cdots & 1 & 2 \\
+    n & n-1 & n-2 & \cdots & 2 & 1
+    \end{vmatrix}.
+    $$
+
+
+$$
+\begin{vmatrix}
+1+x_1 & 1+x_1^2 & \cdots & 1+x_1^n \\
+1+x_2 & 1+x_2^2 & \cdots & 1+x_2^n \\
+\vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\
+1+x_n & 1+x_n^2 & \cdots & 1+x_n^n
+\end{vmatrix}
+
+$$
+---
+
+13. 设$A=\begin{bmatrix}1 & -1 & 0 & -1 \\ 1 & 1 & 0 & 3 \\ 2 & 1 & 2 & 6\end{bmatrix},B=\begin{bmatrix}1 & 0 & 1 & 2 \\ 1 & -1 & a & a-1 \\ 2 & -3 & 2 & -2\end{bmatrix}$,向量$\alpha=\begin{bmatrix}0\\2\\3\end{bmatrix},\beta=\begin{bmatrix}1\\0\\-1\end{bmatrix}$.
+     
+     (1)证明：方程组$Ax=\alpha$的解均为方程组$Bx=\beta$的解；
+     (2)若方程组$Ax=\alpha$与方程组$Bx=\beta$不同解，求$a$的值.
+
+---
+
+解析：
+(1)证明：$[A\ \ \alpha] \rightarrow \begin{bmatrix}1 & 0 & 0 & 1 & 1\\0 & 1 & 0 & 2 & 1\\0 & 0 & 1 & 1 & 0\end{bmatrix}$,于是$Ax=\alpha$的通解为$$x=k\begin{bmatrix}-1\\-2\\-1\\1\end{bmatrix}+\begin{bmatrix}1\\1\\0\\0\end{bmatrix},$$把方程$Bx=\beta$还原成方程组得$$\begin{cases}x_1&+x_2&+x_3&+2x_4&=1\\x_1&-x_2&+ax_3&+(a-1)x_4&=1\\2x_1&-3x_2&+2x_3&-2x_4&=-1\end{cases}$$把$Ax=\alpha$的解带入上方程组，显然符合，故方程组$Ax=\alpha$的解均为方程组$Bx=\beta$的解.
+
+(2)方程组$Bx=\beta$与方程组$Ax=\alpha$不同解，而由上一题，方程组$Ax=\alpha$的解是$Bx=\beta$的解的真子集，于是$\dim N(A)<\dim N(B),r(A)=3>r(B),r(B)\le2$.对$B$进行初等行变换得$$B\rightarrow\begin{bmatrix}1&0&1&2\\0&1&0&2\\0&0&a-1&a-1\end{bmatrix},$$于是$a=1$.
+
+---
+
+14. （10 分）设 
+    $$
+    \alpha_1 = (1,0,-1)^T,\quad \alpha_2 = (2,1,1)^T,\quad \alpha_3 = (1,1,1)^T
+    $$
+    和
+    $$
+    \beta_1 = (0,1,1)^T,\quad \beta_2 = (-1,1,0)^T,\quad \beta_3 = (0,2,1)^T
+    $$
+    是 $\mathbb{R}^3$ 的两组基，求向量
+    $$
+    u = \alpha_1 + 2\alpha_2 - 3\alpha_3
+    $$
+    在基 $\beta_1, \beta_2, \beta_3$ 下的坐标。
+
+---
+
+解析：
+
+已知：
+
+$$
+A = (\alpha_1, \alpha_2, \alpha_3) = 
+\begin{bmatrix} 
+1 & 2 & 1 \\ 
+0 & 1 & 1 \\ 
+-1 & 1 & 1 
+\end{bmatrix},
+$$
+
+$$
+B = (\beta_1, \beta_2, \beta_3) = 
+\begin{bmatrix} 
+0 & -1 & 0 \\ 
+1 &  1 & 2 \\ 
+1 &  0 & 1 
+\end{bmatrix}.
+$$
+
+设 $u$ 在基 $\alpha_1, \alpha_2, \alpha_3$ 下的坐标为 $x = (1, 2, -3)^T$，在基 $\beta_1, \beta_2, \beta_3$ 下的坐标为 $y$，则
+
+$$
+u = (\alpha_1, \alpha_2, \alpha_3) x = (\beta_1, \beta_2, \beta_3) y,
+$$
+
+即
+
+$$
+Ax = By.
+$$
+
+因为 $B$ 可逆，所以
+
+$$
+y = B^{-1} A x.
+$$
+
+用增广矩阵求解 $y$：
+
+$$
+(B, Ax) = 
+\begin{bmatrix}
+0 & -1 & 0 & \vert & 2 \\
+1 &  1 & 2 & \vert & -1 \\
+1 &  0 & 1 & \vert & -2
+\end{bmatrix}
+$$
+
+作行初等变换：
+
+$$
+\begin{aligned}
+&\rightarrow
+\begin{bmatrix}
+1 & 0 & 1 & \vert & -2 \\
+0 & 1 & 1 & \vert & 1 \\
+0 & -1 & 0 & \vert & 2
+\end{bmatrix} \\
+&\rightarrow
+\begin{bmatrix}
+1 & 0 & 1 & \vert & -2 \\
+0 & 1 & 1 & \vert & 1 \\
+0 & 0 & 1 & \vert & 3
+\end{bmatrix} \\
+&\rightarrow
+\begin{bmatrix}
+1 & 0 & 0 & \vert & -5 \\
+0 & 1 & 0 & \vert & -2 \\
+0 & 0 & 1 & \vert & 3
+\end{bmatrix}.
+\end{aligned}
+$$
+
+因此向量
+
+$$
+u = \alpha_1 + 2\alpha_2 - 3\alpha_3
+$$
+
+在基 $\beta_1, \beta_2, \beta_3$ 下的坐标为
+
+$$
+y = (-5, -2, 3)^T.
+$$
+
+---
+
+
+15. （12 分）设 $n$ 阶方阵 $A, B$ 满足 $AB = A + B$。
+
+    （1）证明 $A - E$ 可逆；
+    
+    （2）证明 $AB = BA$；
+    
+    （3）证明 $\mathrm{rank}(A) = \mathrm{rank}(B)$；
+    
+    （4）若矩阵
+    $$
+    B = \begin{bmatrix}
+    1 & -3 & 0 \\
+    2 &  1 & 0 \\
+    0 &  0 & 2
+    \end{bmatrix},
+    $$
+    求矩阵 $A$。
+
+
+---
+
+
+
+
+---
+
+16. 设矩阵$A=\begin{bmatrix}1&2&1&2\\0&1&t&t\\1&t&0&1\end{bmatrix}$，齐次线性方程组Ax=0的基础解系中含有两个解向量，求Ax=0的通解。
+
+---
+
+解析：
+因为n=4，$n-\text{rank}A=2$，所以$\text{rank}A=2$。
+对A施行初等行变换，得
+$$A=\begin{bmatrix}1&2&1&2\\0&1&t&t\\1&t&0&1\end{bmatrix}\to\begin{bmatrix}1&2&1&2\\0&1&t&t\\0&t-2&-1&-1\end{bmatrix}$$
+
+$$\to\begin{bmatrix}1&2&1&2\\0&1&t&t\\0&0&-(1-t)^2&-(1-t)^2\end{bmatrix}\to\begin{bmatrix}1&0&1-2t&2-2t\\0&1&t&t\\0&0&-(1-t)^2&-(1-t)^2\end{bmatrix}$$
+
+ 
+要使$\text{rank}A=2$，则必有t=1。
+此时，与Ax=0同解的方程组为$\begin{cases}x_1=x_3\\x_2=-x_3-x_4\end{cases}$，得基础解系为
+$$\boldsymbol{\xi}_1=\begin{bmatrix}1\\-1\\1\\0\end{bmatrix},\ \boldsymbol{\xi}_2=\begin{bmatrix}0\\-1\\0\\1\end{bmatrix}$$
+方程组的通解为$$\boldsymbol{x}=k_1\boldsymbol{\xi}_1+k_2\boldsymbol{\xi}_2，（k_1,k_2为任意常数）$$

编写小组/试卷/2018-19线性代数期末考试卷.md

@@ -120,55 +120,3 @@
     \underline{\qquad\qquad\qquad\qquad}.
     $$
 
-13. （10 分）计算 $n$ 阶行列式
-
-    $$
-    D_n = \begin{vmatrix}
-    1 & 2 & 3 & \cdots & n-1 & n \\
-    2 & 1 & 2 & \cdots & n-2 & n-1 \\
-    3 & 2 & 1 & \cdots & n-3 & n-2 \\
-    \vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots & \vdots \\
-    n-1 & n-2 & n-3 & \cdots & 1 & 2 \\
-    n & n-1 & n-2 & \cdots & 2 & 1
-    \end{vmatrix}.
-    $$
-
-
-
-
-
-
-
-14. （10 分）设 
-    $$
-    \alpha_1 = (1,0,-1)^T,\quad \alpha_2 = (2,1,1)^T,\quad \alpha_3 = (1,1,1)^T
-    $$
-    和
-    $$
-    \beta_1 = (0,1,1)^T,\quad \beta_2 = (-1,1,0)^T,\quad \beta_3 = (0,2,1)^T
-    $$
-    是 $\mathbb{R}^3$ 的两组基，求向量
-    $$
-    u = \alpha_1 + 2\alpha_2 - 3\alpha_3
-    $$
-    在基 $\beta_1, \beta_2, \beta_3$ 下的坐标。
-
-
-
-15. （12 分）设 $n$ 阶方阵 $A, B$ 满足 $AB = A + B$。
-
-    （1）证明 $A - E$ 可逆；
-    
-    （2）证明 $AB = BA$；
-    
-    （3）证明 $\mathrm{rank}(A) = \mathrm{rank}(B)$；
-    
-    （4）若矩阵
-    $$
-    B = \begin{bmatrix}
-    1 & -3 & 0 \\
-    2 &  1 & 0 \\
-    0 &  0 & 2
-    \end{bmatrix},
-    $$
-    求矩阵 $A$。

编写小组/试卷/高数期中试卷.md

@@ -0,0 +1,46 @@
+#官方试卷
+时量：120分钟  满分：100分
+#### 一、单选题（共5小题，每小题3分，共15分）
+1. 若$\lim\limits_{n\rightarrow\infty}a_n=4$，则当$n$充分大时，恒有
+	A. $|a_n|\le 1$
+	B. $|a_n|>2$
+	C. $|a_n|<2$
+	D. $|a_n|>4$
+2. 已知$g(x)=\frac{1}{x^2}$，复合函数$y=f(g(x))$对$x$的导数为$-\frac{1}{2x}$，则$f'(\frac{1}{2})$的值为
+	A. $1$
+	B. $2$
+	C. $\frac{\sqrt 2}{4}$
+	D. $\frac{1}{2}$
+3. 设$f(x)$可导且$f'(x_0)=\frac{1}{3}$，则当$\Delta x \rightarrow 0$时，$f(x)$在$x_0$处的微分$\text{d}y$是$\Delta x$的
+	A. 同阶无穷小
+	B. 低阶无穷小
+	C. 等价无穷小
+	D. 高阶无穷小
+4. 设数列通项为$x_n=\begin{cases}\frac{n^2-\sqrt{n}}{n},n=2k, \\ \frac{1}{n},n=2k+1  \end{cases}(k\in \mathbb{N}^+)$，则当$n\rightarrow\infty$时，$x_n$是
+	A. 无穷大量
+	B. 无穷小量
+	C. 有界变量
+	D. 无界变量
+5. 下列四个级数，**发散**的是
+	A. $\sum\limits_{n=1}^{\infty}{(a^{\frac{1}{n}}+a^{-\frac{1}{n}}-2)}(a>0)$
+	B. $\sum\limits_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^{2n\sin{\frac{1}{n}}}}$
+	C. $\sum\limits_{n=1}^{\infty}{(\frac{\cos{n!}}{n^2+1}+\frac{1}{\sqrt{n+12}})}$
+	D. $\sum\limits_{n=1}^{\infty}\frac{[\sqrt{2}+(-1)^n]^n}{3^n}$
+#### 二、填空题（共5小题，每小题3分，共15分）
+6. 函数$f(x)=\frac{\mathrm{e}^\frac{1}{x-1} \ln{|1+x|}}{(\mathrm{e}^x-1)(x-2)}$的第二类间断点的个数为____.
+7. 设函数$y=x-\frac{1}{\sqrt{2}}\arctan{(\sqrt{2}\tan x)}$，则$\text{d}y|_{x=\frac{\pi}{4}}=$\_\_\_\_\_.
+8. 已知级数$\sum\limits_{n=2}^{\infty}{(-1)^n\frac{1}{n^a}\ln\frac{n+1}{n-1}}$条件收敛，则常数$a$的取值范围是_____.
+9. 已知函数$f(x)$在$x=1$处可导，且$f(1)=0,f'(1)=2$，则$\lim\limits_{x\rightarrow 0}{\frac{f(e^{x^2})}{\sin^2 x}}$=\_\_\_\_\_\_.
+10. 曲线$y=\frac{1}{2}x^2$与曲线$y=c\ln x$相切，则常数$c$的值为\_\_\_\_\_\_.
+#### 三、解答与证明题（11~19小题，共70分）
+11. （6分）求极限$\lim\limits_{x\rightarrow 0}(\cos 2x + x\arcsin x)^\frac{1}{x^2}$.
+12. （6分）求极限$\lim\limits_{n\rightarrow\infty}\sqrt[n+2]{2\sin^2 n+\cos^2 n}$.
+13. （6分）已知函数$f(x)=\begin{cases}\sin 2x+1, x\le 0\\a^{2x}+b, x>0 \end{cases}$在$x=0$处可导，求常数$a,b$的值.
+14. （6分）设$y=y(x)$是由方程$y=x\mathrm{e}^y=1$所确定的函数，求曲线$y=y(x)$在$x=0$对应点处的切线方程.
+15. （8分）设函数$y=f(x)$的极坐标式为$\rho=\mathrm{e}^\theta$，求$\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}|_{\theta=\frac{\pi}{2}}$，$\frac{\mathrm{d}^2 y}{\mathrm{d}x^2}|_{\theta=\frac{\pi}{2}}$.
+16. （8分）设$f(x)$在$(-\infty,+\infty)$内是以$2T$为周期的连续函数，证明对任一实数$x_0$，方程$f(x)=f(x+T)$在区间$[x_0-\frac{T}{2},x_0+\frac{T}{2}]$上至少有一个根.
+17. （10分）求曲线$y=\frac{x^2-3x+2}{x-1}+2\ln|x-2|,(x>0)$的所有渐近线方程.
+18. （10分）百米跑道上正在举行百米赛跑，摄影师站在50米处为4号跑道夺冠种子选手A录像，摄像头始终对准选手A，摄影师距离4号跑道5米，若选手A以10m/s的速度从摄影师正前方经过，问此时摄影镜头的角速度是多少？ ![[期中试卷-18.png]]
+19. （10分）设$a_1=3,a_{n+1}=\frac{a_n}{2}+\frac{1}{n},n=1,2,\dots,$
+	(1) 证明$\lim\limits_{n\rightarrow\infty}a_n$存在，并求其极限值；（5分）
+	(2) 证明：对于任意实数$p$，级数$\sum\limits_{n=1}{\infty}{n^p(\frac{a_n}{a_{n+1}}-1)}$收敛. （5分）

编写小组/试卷/高数期中试卷解析.md

@@ -0,0 +1,62 @@
+#官方试卷
+#民间答案
+#### 一、单选题（共5小题，每小题3分，共15分）
+1. 若$\lim\limits_{n\rightarrow\infty}a_n=4$，则当$n$充分大时，恒有
+	A. $|a_n|\le 1$
+	B. $|a_n|>2$
+	C. $|a_n|<2$
+	D. $|a_n|>4$
+> **答案：B**
+>  解析：保号性 
+> 若$\lim\limits_{n\rightarrow\infty}a_n=4$，按照定义，$\forall \epsilon >0,\exists N, n>N\text{时},|a_n-4|<\epsilon$，
+> 取$\epsilon=2$，则$|a_n-4|<\epsilon$，则$2<a_n<6$，B选项符合题意
+2. 已知$g(x)=\frac{1}{x^2}$，复合函数$y=f(g(x))$对$x$的导数为$-\frac{1}{2x}$，则$f'(\frac{1}{2})$的值为
+	A. $1$
+	B. $2$
+	C. $\frac{\sqrt 2}{4}$
+	D. $\frac{1}{2}$
+>**答案：D**
+>解析：复合函数求导法则
+>$y'=f'(g(x))g'(x)=\frac{-2}{x^3}f'(\frac{1}{x^2})=-\frac{1}{2x}\Rightarrow f'(\frac{1}{x^2})=\frac{x^2}{4}$，即$f'(\frac{1}{x})=\frac{x}{4}(x> 0)$
+>代入$x=2$得：$f'(\frac{1}{2})=\frac{1}{2}$
+3. 设$f(x)$可导且$f'(x_0)=\frac{1}{3}$，则当$\Delta x \rightarrow 0$时，$f(x)$在$x_0$处的微分$\text{d}y$是$\Delta x$的
+	A. 同阶无穷小
+	B. 低阶无穷小
+	C. 等价无穷小
+	D. 高阶无穷小
+> **答案：A**
+> 解析：同阶无穷小；微分的定义
+> $\Delta x \rightarrow 0$时，$\Delta x \sim \mathrm{d}x$，又$\mathrm{d}y|_{x=x_0}=\frac{1}{3}\mathrm{d}x$，故$\mathrm{d}y$与$\Delta{x}$是同阶不等价的无穷小
+4. 设数列通项为$x_n=\begin{cases}\frac{n^2-\sqrt{n}}{n},n=2k, \\ \frac{1}{n},n=2k+1  \end{cases}(k\in \mathbb{N}^+)$，则当$n\rightarrow\infty$时，$x_n$是
+	A. 无穷大量
+	B. 无穷小量
+	C. 有界变量
+	D. 无界变量
+>**答案：D**
+>解析：易错点10-无穷大与无界的辨析
+>$\lim\limits_{k\to\infty}a_{2k}=+\infty$，因此$a_n$无界；然而，$\lim\limits_{k\to\infty}a_{2k+1}=0$，因此$a_n(n\to\infty)$不是无穷大
+5. 下列四个级数，**发散**的是
+	A. $\sum\limits_{n=1}^{\infty}{(a^{\frac{1}{n}}+a^{-\frac{1}{n}}-2)}(a>0)$
+	B. $\sum\limits_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^{2n\sin{\frac{1}{n}}}}$
+	C. $\sum\limits_{n=1}^{\infty}{(\frac{\cos{n!}}{n^2+1}+\frac{1}{\sqrt{n+12}})}$
+	D. $\sum\limits_{n=1}^{\infty}\frac{[\sqrt{2}+(-1)^n]^n}{3^n}$
+>**答案：C**
+>
+#### 二、填空题（共5小题，每小题3分，共15分）
+6. 函数$f(x)=\frac{\mathrm{e}^\frac{1}{x-1} \ln{|1+x|}}{(\mathrm{e}^x-1)(x-2)}$的第二类间断点的个数为____.
+7. 设函数$y=x-\frac{1}{\sqrt{2}}\arctan{(\sqrt{2}\tan x)}$，则$\text{d}y|_{x=\frac{\pi}{4}}=$\_\_\_\_\_.
+8. 已知级数$\sum\limits_{n=2}^{\infty}{(-1)^n\frac{1}{n^a}\ln\frac{n+1}{n-1}}$条件收敛，则常数$a$的取值范围是_____.
+9. 已知函数$f(x)$在$x=1$处可导，且$f(1)=0,f'(1)=2$，则$\lim\limits_{x\rightarrow 0}{\frac{f(e^{x^2})}{\sin^2 x}}$=\_\_\_\_\_\_.
+10. 曲线$y=\frac{1}{2}x^2$与曲线$y=c\ln x$相切，则常数$c$的值为\_\_\_\_\_\_.
+#### 三、解答与证明题（11~19小题，共70分）
+11. （6分）求极限$\lim\limits_{x\rightarrow 0}(\cos 2x + x\arcsin x)^\frac{1}{x^2}$.
+12. （6分）求极限$\lim\limits_{n\rightarrow\infty}\sqrt[n+2]{2\sin^2 n+\cos^2 n}$.
+13. （6分）已知函数$f(x)=\begin{cases}\sin 2x+1, x\le 0\\a^{2x}+b, x>0 \end{cases}$在$x=0$处可导，求常数$a,b$的值.
+14. （6分）设$y=y(x)$是由方程$y=x\mathrm{e}^y=1$所确定的函数，求曲线$y=y(x)$在$x=0$对应点处的切线方程.
+15. （8分）设函数$y=f(x)$的极坐标式为$\rho=\mathrm{e}^\theta$，求$\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}|_{\theta=\frac{\pi}{2}}$，$\frac{\mathrm{d}^2 y}{\mathrm{d}x^2}|_{\theta=\frac{\pi}{2}}$.
+16. （8分）设$f(x)$在$(-\infty,+\infty)$内是以$2T$为周期的连续函数，证明对任一实数$x_0$，方程$f(x)=f(x+T)$在区间$[x_0-\frac{T}{2},x_0+\frac{T}{2}]$上至少有一个根.
+17. （10分）求曲线$y=\frac{x^2-3x+2}{x-1}+2\ln|x-2|,(x>0)$的所有渐近线方程.
+18. （10分）百米跑道上正在举行百米赛跑，摄影师站在50米处为4号跑道夺冠种子选手A录像，摄像头始终对准选手A，摄影师距离4号跑道5米，若选手A以10m/s的速度从摄影师正前方经过，问此时摄影镜头的角速度是多少？ ![[期中试卷-18.png]]
+19. （10分）设$a_1=3,a_{n+1}=\frac{a_n}{2}+\frac{1}{n},n=1,2,\dots,$
+	(1) 证明$\lim\limits_{n\rightarrow\infty}a_n$存在，并求其极限值；（5分）
+	(2) 证明：对于任意实数$p$，级数$\sum\limits_{n=1}{\infty}{n^p(\frac{a_n}{a_{n+1}}-1)}$收敛. （5分）