From 28b8c2728fb8451cc3ded3c9bbd080289df2c559 Mon Sep 17 00:00:00 2001 From: =?UTF-8?q?=E7=8E=8B=E8=BD=B2=E6=A5=A0?= Date: Fri, 23 Jan 2026 08:12:04 +0800 Subject: [PATCH] vault backup: 2026-01-23 08:12:04 --- 素材/整合素材/二次型与合同题目.md | 1 + 试卷库/线性代数期末真题/线代2011秋A.md | 12 ++++++------ 2 files changed, 7 insertions(+), 6 deletions(-) diff --git a/素材/整合素材/二次型与合同题目.md b/素材/整合素材/二次型与合同题目.md index fc07422..a48409e 100644 --- a/素材/整合素材/二次型与合同题目.md +++ b/素材/整合素材/二次型与合同题目.md @@ -28,6 +28,7 @@ >记 $\boldsymbol x=(x_1,x_2,x_3)^T,\boldsymbol y=(y_1,y_2,y_3)^T,\boldsymbol z=(z_1,z_2,z_3)^T,\boldsymbol C=\begin{bmatrix}1&2&2\\0&1&2\\0&2&1\end{bmatrix}$，于是 $\boldsymbol x=\boldsymbol{Cy},\boldsymbol x=\boldsymbol C\begin{bmatrix}0&-1&0\\-1&0&0\\0&0&1\end{bmatrix}\boldsymbol z$，从而$$\boldsymbol x=\boldsymbol C\begin{bmatrix}0&-1&0\\-1&0&0\\0&0&1\end{bmatrix}\begin{bmatrix}z_1\\z_2\\z_3\end{bmatrix}=\boldsymbol C\begin{bmatrix}-z_2\\-z_1\\z_3\end{bmatrix},$$于是此变换下标准型为$\displaystyle f(x_1,x_2,x_3)=4(-z_2)^2-\frac{1}{2}(-z_1)^2=-\frac{1}{2}z_1^2+4z_2^2.$ **题后总结：** 此题关键在于理解可逆矩阵与初等变换之间的关系。如果能看到前一个线性变换和后一个线性变换之间只差了两次初等变换，把初等变换写成矩阵的形式，并运用矩阵乘法的结合律，就能够解出这道题了。 +**补充：** 如果两个变换矩阵之间的关系不那么明显，可以采用如下机械化的方法：记 $\boldsymbol x=C_1\boldsymbol y,\boldsymbol x=C_2\boldsymbol z$, 则 $C_1\boldsymbol y=C_2\boldsymbol z\Rightarrow \boldsymbol y=C_1^{-1}C_2\boldsymbol z$, 然后根据已有的标准型转化为要求的标准型。 >[!example] 例题 >把二次型 $\displaystyle f(x_1,x_2,x_3)=x_1^2+2x_1x_2+2x_1x_3+2x_2^2+6x_2x_3+100x_3^2$ 通过配方法化为标准型。 diff --git a/试卷库/线性代数期末真题/线代2011秋A.md b/试卷库/线性代数期末真题/线代2011秋A.md index 0ce37ac..f5481d7 100644 --- a/试卷库/线性代数期末真题/线代2011秋A.md +++ b/试卷库/线性代数期末真题/线代2011秋A.md @@ -16,7 +16,7 @@ $$ 1 & 0 & 1 \end{bmatrix}, $$ - 且正整数$n \geq 2$，则$A^n - 2A^{n - 1} =$__________。 + 且正整数$n \geq 2$，则$A^n - 2A^{n - 1} =\underline{\qquad}$。 2. 已知矩阵$A$的逆矩阵 $$ @@ -26,15 +26,15 @@ $$ 5 & 2 & 0 \end{bmatrix}, $$ - 则$\left(\dfrac{1}{2} A^*\right)^{-1} =$__________。 + 则$\left(\dfrac{1}{2} A^*\right)^{-1} =\underline{\qquad}$__________。 -3. 已知4阶矩阵$A$和$B$的列向量组分别为$a_1, a_2, a_3, a_4$和$\beta , a_2, a_3, a_4$，且$|A| = 4$，$|B| = 1$，则$|A + B| =$__________。 +3. 已知4阶矩阵$A$和$B$的列向量组分别为$a_1, a_2, a_3, a_4$和$\beta , a_2, a_3, a_4$，且$|A| = 4$，$|B| = 1$，则$|A + B| =$$\underline{\qquad}$。 -4. 设$A = [a_{ij}]_{3\times 3}$是正交矩阵，且$b = (1,0,0)^T$，$a_{11} = 1$，则$Ax = b$有一个解是 __________。 +4. 设$A = [a_{ij}]_{3\times 3}$是正交矩阵，且$b = (1,0,0)^T$，$a_{11} = 1$，则$Ax = b$有一个解是$\underline{\qquad}$。 -5. 设$n$阶实对称矩阵$A$的特征值为$\dfrac{1}{n}, \dfrac{2}{n}, \dots , 1$，则当$\lambda$__________ 时，$A - \lambda E$为正定矩阵。 +5. 设$n$阶实对称矩阵$A$的特征值为$\dfrac{1}{n}, \dfrac{2}{n}, \dots , 1$，则当$\lambda\underline{\qquad}$时，$A - \lambda E$为正定矩阵。 -6. 线性空间$V = \{ A \in \mathbb{R}^{n \times n} \mid A \text{ 为反对称矩阵} \}$的维数为 __________。 +6. 线性空间$V = \{ A \in \mathbb{R}^{n \times n} \mid A \text{ 为反对称矩阵} \}$的维数为$\underline{\qquad}$。 ---