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@ -69,7 +69,7 @@ $$称矩阵 $\boldsymbol{K}$ 为基 $T_1$ 到基 $T_2$ 的**过渡矩阵**.由
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这个定义看上去很复杂，其实是很自然的，这一系列的性质都是我们熟悉的向量空间所具有的，这里只是给它一般化了而已。这里的“加法”和“数乘”只是代表两种运算，并不一定就是我们平常所说的加法和乘法。
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和向量空间类似，我们也可以定义线性子空间、基、维数和坐标等概念，也可以讨论线性空间中的基变换和坐标变换，但这里就不一一赘述了。我们主要关注线性空间的基。
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设 $(V,\mathbb{F},+,\cdot)$ 为 $n$ 维线性空间，若 $\mathbb{F}\subseteq\mathbb{R}$ ，则对任意 $\boldsymbol{\alpha}\in V$，若它在某一组基下的坐标为 $\boldsymbol{x}$ ，则所有这种坐标组成的集合是一个 $n$ 维的向量空间 $U$ 。而每一个线性空间中的元素对这一组基都有唯一的一个坐标，我们就可以建立起从 $V$ 到 $U$ 的一个双射 $\varphi: U\rightarrow V,\boldsymbol{x}\mapsto\boldsymbol{\alpha}$。设这组基为$T_1:\boldsymbol{\alpha}_1,\cdots,\boldsymbol{\alpha}_n$，则这个双射$\varphi$就可以写成$$\boldsymbol{\alpha}=\varphi(\boldsymbol{x})=\begin{bmatrix}\boldsymbol{\alpha}_1\ \cdots\ \boldsymbol{\alpha}_n\end{bmatrix}\boldsymbol{x}.$$这样，我们就可以把所有线性空间中的问题通过它的一组基放到一个维数相同的向量空间中去解决。这其实就是**同构**的思想，每一个线性空间都与一个同维的向量空间结构相同，能够保持原来空间中的运算性质。这也是为什么我们要先做一些向量空间的题目。
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设 $(V,\mathbb{F},+,\cdot)$ 为 $n$ 维线性空间，若 $\mathbb{F}\subseteq\mathbb{R}$ ，则对任意 $\boldsymbol{\alpha}\in V$，若它在某一组基下的坐标为 $\boldsymbol{x}$ ，则所有这种坐标组成的集合是一个 $n$ 维的向量空间 $U$ 。而每一个线性空间中的元素对这一组基都有唯一的一个坐标，我们就可以建立起从 $V$ 到 $U$ 的一个双射 $\varphi: U\rightarrow V,\boldsymbol{x}\mapsto\boldsymbol{\alpha}$。设这组基为$T_1:\boldsymbol{\alpha}_1,\cdots,\boldsymbol{\alpha}_n$，则这个双射 $\varphi$ 就可以写成$$\boldsymbol{\alpha}=\varphi(\boldsymbol{x})=\begin{bmatrix}\boldsymbol{\alpha}_1\ \cdots\ \boldsymbol{\alpha}_n\end{bmatrix}\boldsymbol{x}.$$这样，我们就可以把所有线性空间中的问题通过它的一组基放到一个维数相同的向量空间中去解决。这其实就是**同构**的思想，每一个线性空间都与一个同维的向量空间结构相同，能够保持原来空间中的运算性质。这也是为什么我们要先做一些向量空间的题目。
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>[!example] 线性空间的几个例子
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> $(1)$ 对任意给定的正整数$m,n,\mathbb{R}^{m\times n}=\{\boldsymbol A=[a_{ij}]_{m\times n}|a_{ij}\in\mathbb{R}\}$关于矩阵加法和数乘构成数域$\mathbb{R}$上的线性空间，成为**实矩阵空间**；
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